Процесс обучения младших школьников решению задач стохастического характера

Введение

Глава 1. Основные теоретические сведения

1.1 История возникновения и развития комбинаторики и теории вероятностей

1.2 Основные комбинаторные понятия

1.3 Основные понятия теории вероятностей Глава 2. Методика работы над заданиями стохастического характера

2.1 Методика работы над комбинаторными задачами в начальной школе

2.2 Методика работы над заданиями с элементами теории вероятностей в начальной школе

Глава 3. Анализ системы обучения «Гармония»

3.1 Анализ комплекта учебников «Гармония» (под редакцией Н.Б. Истоминой)

3.2 Специфика содержания учебного предмета «Математика»

Глава 4. Задания стохастического характера

4.1 Система упражнений стохастического характера

4.2 Система упражнений комбинаторного характера характера

4.3 Система упражнений с элементами теории вероятностей

4.4 План внеклассных мероприятий

4.5 Внеклассное мероприятие «Решение задач комбинаторного и стохастического характера"(по мотивам мультипликационного фильма «Алеша Попович и Тугарин Змей»)

Заключение

Литература

Важным аспектом модернизации содержания математического образования является включение в школьные программы элементов комбинаторики и теории вероятностей. Это обусловлено ролью, которую играют вероятностно-статистические знания в общеобразовательной подготовке современного человека. Ряд наук развивается на вероятностно-статистической базе, и без соответствующей подготовки невозможно полноценное изучение этих дисциплин, без минимальной вероятностно-статистической грамотности трудно воспринимать социально-экономическую информацию и принимать на ее основе решения.

Во многих странах, в частности, в Великобритании, Германии, США, Франции, Японии и др., с элементами теории вероятностей учащиеся знакомятся в младших классах и на протяжении всего периода обучения в школе усваивают вероятностно-статистические подходы к анализу распространенных ситуаций, встречающихся в повседневной жизни. До недавнего времени Россия оставалась одной из немногих стран с развитой системой образования, где вероятностно-статистические знания практически всегда оставались за пределами школьного обучения. С наступлением XXI века мы окончательно убедились в неотвратимости пришествия в среднюю школу стохастики, изучающей случайные явления. Об этом, в частности, свидетельствует предстоящее включение в содержание школьного математического образования новой стохастической Стохастический (от греч. stochastikos — умеющий угадывать) — случайный, вероятностный. линии «Анализ данных», в которой представлены основы вероятностно-статистических подходов к анализу явлений повседневной жизни. Изучение школьниками закономерностей случайных явлений требует от учителя владения специфической методикой, направленной на развитие особого типа мышления и формирование особых, недетерминированных представлений. Поэтому остро встает проблема методической готовности учителей, способных к успешной реализации вероятностно-статистической содержательно-методической линии в школьном курсе математики.

В ряду исследований особое место занимают работы, имеющие фундаментальное значение для решения проблемы формирования методической готовности учителя к обучению школьников стохастике. К ним относятся:

исследование А. Г. Мордковича, в котором разработана и реализована концепция профессионально-педагогической направленности специальной подготовки студентов педвузов;

исследования И. Б. Лариной, Э. А. Мирошниченко, С. А. Самсоновой и др., связанные с решением проблем профессиональной подготовки будущих учителей математики при обучении стохастике;

исследования, посвященные решению конкретных научно-методических проблем обучения школьников элементам теории вероятностей и математической статистики (Л.О. Бычкова, СИ. Воробьева, Ж. Кудратов, К. Н. Курындина, И. О. Соловьева, В. В. Фирсов и др.).

Таким образом, в последнее время в России сделаны реальные шаги к введению в школьный курс математики стохастической содержательно-методической линии. Разработаны проекты концепции школьного математического образования, экспериментальные учебные программы, базисные и школьные учебные планы, новые учебники математики для средней школы, в которых представлен стохастический материал, появился ряд научно-методических работ, посвященных этой проблеме. Федеральный компонент государственных образовательных стандартов общего, основного общего и среднего (полного) общего образования. Приложение к приказу Минобр России, № 1089 от 05.03.04.

При изучении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в школе предлагается ориентироваться на следующее содержание. Решение комбинаторных задач: перебор вариантов, подсчет числа вариантов с помощью правила умножения. Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Диаграммы Эйлера. Понятие и примеры случайных событий. Частота события, вероятность. Равновозможные события и подсчет их вероятности. Представление о геометрической вероятности Там же. Перечисленный круг вопросов представляет собой некоторый минимум, доступный учащимся основной школы и достаточный для формирования у них первоначальных вероятностно-статистических представлений.

Современные исследования (Выготский Л.С., Медведева О. С., Давыдов В. В., Гейдман Б. Г., Темерязев Т. Е., Рубина А. Г., А. П. Тонких и др.) показывают, что развитие у детей способностей к комбинациям и перестановкам предметов намного эффективнее начинать в раннем детстве, так как с возрастом у человека формируется консервативное мышление, что затрудняет восприятие многих понятий комбинаторики, теории вероятностей, математической статистики. В старшей школе тем ученикам, которые знакомы лишь с детерминированными моделями реального мира, очень сложно воспринимать идеи вероятностного, случайного характера. Таким образом, необходима пропедевтическая подготовка изучения этих разделов математики. Это не только повлияет на развитие мышления школьников, но и поможет учащимся накопить определенный запас представлений о статистическом характере окружающих явлений и их свойствах. Поэтому современный человек должен иметь понятие об основных методах анализа данных и вероятностных закономерностях, которые играют важную роль в науке, технике, экономике. Виленкин. Н. Я. Математика, Алгебра 9 класс. Москва, «Просвещение», 1996, стр. 332.

В начальной школе стохастика может быть представлена в виде элементов комбинаторики, теории графов, наглядной и описательной статистики. Их изучение формирует у младших школьников отдельные комбинаторные способности, вероятностные понятия («чаще», «реже», «невозможно», «возможно» и др.), статистическую культуру.

Реализация стохастической содержательно-методической линии в младших классах предоставит школьникам возможность:

научиться осуществлять несложный перебор всех возможных вариантов при решении простейших комбинаторных задач;

получить представления о графах, «читать» информацию, заданную с помощью простых диаграмм, таблиц, графов;

приобрести первоначальный опыт проведения простых стахостических экспериментов;

получить представления о некоторых вероятностных понятиях.

В работе мы рассмотрели основные теоретические положения комбинаторики и теории вероятностей, рассмотрели существующие методики работы над заданиями с элементами теории вероятностей и комбинаторики, а также методику работы над заданиями такого типа в начальной школе, разработали задания стохастического характера и план одного из внеклассных занятий.

Предмет исследования — использование в процессе обучения младших школьников заданий начального курса математики по программе.

Объект исследования — процесс обучения младших школьников решению задач стохастического характера.

Цели работы:

— изучение и систематизация основных теоретических вопросов, связанных с комбинаторикой, теорией вероятностей, мтаематической статистикой;

— изучение и систематизация основных методических вопросов, связанных с изучением в начальной школе элементов комбинаторики и теории вероятностей;

разработка системы заданий и практического занятия, посвященных стохастике.

Задачи:

1. Изучение и анализ научно-методической литературы по теме исследования.

2. Обобщение и систематизация основных вопросов теории по теме исследования.

3. Знакомство, обобщение и систематизация практических заданий стохастического характера.

4. Ознакомление с существующими методиками работы над заданиями стохастического характера.

5. Анализ программы по математике Н. Б. Истоминой.

6. Разработка заданий стохастического характера.

7. Разработка практического занятия, на котором реализуется стохастическая учебно-методическая линия.

Глава 1. Основные теоретические сведения

1.1 История возникновения и развития комбинаторики и теории вероятностей До того, как та или иная область знания формируется в особую науку, она сначала проходит длительный период накопления эмпирического материала, потом развивается в недрах другой, более общей науки и лишь затем выделяется в самостоятельную ветвь. С задачами, в которых приходится выбирать те или иные предметы, располагать их в определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие, люди столкнулись еще в доисторическую эпоху, выбирая наилучшие расположения охотников во время охоты, воинов во время битвы, инструментов во время работы. Определенным образом располагались украшения на одежде, узоры на керамике, перья в оперении стрелы. Ещё в древности было замечено, что имеются явления, обладающие следующей особенностью: при малом числе наблюдений над ними не замечается никакой зависимости, но по мере увеличения числа наблюдений всё яснее проявляется определенная закономерность. Наши предки понимали, что у десятка охотников вероятность поразить животное на охоте больше, чем у одного; вероятность благополучно переправиться на противоположный берег реки через брод выше, чем в глубоководном ее месте и т. д. Позднее, на основе наблюдения и опыта, человек стал оценивать случайные события, классифицировать их исходы как невозможные, возможные и достоверные. Он заметил, что случайностями не так уж редко управляют объективные закономерности.

По мере усложнения производственных и общественных отношений все чаще приходилось пользоваться понятиями о порядке, иерархии, группировании.

В пирамиде, где был похоронен египетский фараон Тутанхамон, нашли разграфленную доску с тремя горизонталями и 10 вертикалями и фигурки для древней игры ''сенет'', правило которой мы, вероятно, никогда не узнаем. Позже появились нарды, шашки и шахматы, а также их различные варианты (китайские и японские шахматы, японские облавные шашки ''го'' и т. д.). В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания передвигаемых фигур, и выигрывал тот, кто их лучше заучил.

В китайских рукописях, относящихся к XII—XIII вв. до н.э. встречаются упоминания о вопросах, близких к комбинаторным (точно датировать эти рукописи невозможно, поскольку в 213 г. до н.э. император Цинн Ши-Хуан приказал сжечь все книги, так что до нас дошли сделанные позднее копии). В этих книгах писалось, что все в мире является сочетанием двух начал — мужского и женского, которое авторы обозначали символами — и ——. В рукописи ''Же Ким'' (''Книга перестановок'') показаны различные соединения этих знаков по два и по три.

Восемь рисунков из трех рядов символов изображали землю, горы, воду, ветер, грозу, огонь, облака и небо (некоторые рисунки имели и иные значения). Неудивительно поэтому, что сумма первых 8 натуральных чисел (т. е. число 36) воплощала в представлениях древних китайцев весь мир.

Понадобилось выразить по мере углубления знаний и другие элементы мироздания с помощью тех же знаков — и — —. Были составлены 64 фигуры, содержавшие уже пять рядов черточек. Надо полагать, что автор рукописи ''Же Ким'' заметил удвоенные числа рисунков при добавлении одного ряда символов. Это можно рассматривать как первый общий результат комбинаторики.

В 391 г. н. э. толпа монахов разрушила центр языческой науки александрийский Музеум — и сожгла большую часть хранившейся в нем библиотеки, насчитывавшей многие тысячи томов. Остатки библиотеки разрушались в течение еще трех веков, а в 638 г. н.э. она окончательно погибла при взятии Александрии войсками арабского халифа Омара, и поэтому большинство научных книг безвозвратно погибло, и мы можем лишь догадываться об их содержании по кратким пересказам и намекам в сохранившихся рукописях. По этим намекам можно все же судить, что определенные представления о комбинаторике у греческих ученых были. Философ Ксенократ, живший в IV в. до н.э., подсчитывал число слогов. В III в. до н.э. историк Хрисии полагал, что число утверждений, получаемых из 10 аксиом, превышает миллион. По мнению же Гиппарха, из утверждающих аксиом можно составить 103 049 сочетаний, а добавив к ним отрицающие, 310 952. Мы не знаем, какой именно смысл придавали эти философы своим утверждениям и как они получали свои результаты — приводимые Гиппархом результаты слишком точны, чтобы считать их результатом грубой оценки, и в то же время не поддаются разумному истолкованию. По-видимому, у греческих ученых были какие-то, не дошедшие до нас правила комбинаторных расчетов - скорее всего ложные.

Конкретные комбинаторные задачи, касавшиеся перечисления небольших групп предметов, греки решали без ошибок. Аристотель описал без пропусков все виды правильных трехчленных силлогизмов, а его ученик Арисксен из Тарента перечислил различные комбинации длинных и коротких слогов в стихотворных размерах. Живший в IV в. н.э. математик Папп рассматривал число пар и троек, которые можно получить из трех элементов, допуская их повторения.

Греческие ученые уделяли большое внимание вопросам, пограничным между комбинаторикой и теорией чисел. Еще в VI в. до н.э. в школе философа-идеалиста математика Пифагора возникло убеждение, что миром правят числа, а вещи только отражение чисел. Пифагорейцы начали изучать свойства натуральных чисел. Их исследования о четных и нечетных числах, делимости чисел, простых и составных числах положили основу теории чисел. Как и китайцы, пифагорейцы придавали особое внимание числу 36 — оно было для них не только суммой первых 4 четных и первых 4 нечетных чисел, но и суммой первых трех кубов: 36 =. Символом совершенства пифагорейцы считали совершенные числа, равные сумме своих делителей, например, 6 = 1 + 2 + 3, 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14, а символом дружбы — дружественные числа, каждое из которых равно сумме делителей другого (например, 220 и 284). Отыскание таких чисел требовало комбинаторного искусства.

Доказательство известной теоремы о сторонах прямоугольного треугольника вызвало интерес к представлению чисел в виде суммы двух квадратов, к квадратным числам 1, 4, 0, 10 и т. д. Квадраты натуральных чисел изображались при этом геометрически. Пифагорейцы рассматривали и иные конфигурации точек, такие, как изображены на рисунке (рисунок). Каждый треугольник на рисунке получается из предыдущего увеличением длины его стороны на 1. Подсчитывая число точек в каждом треугольнике, получаем последовательность треугольных чисел: 1, 3, 6, 10 … Эти числа можно получить, последовательно складывая натуральные числа. Точно так же шестиугольники приводят к последовательности шестиугольных чисел 1, 0, 15… получаемой при последовательном суммировании арифметической прогрессии 1+ 5+ 9+ … В дальнейшем такие суммы удалось выразить с помощью биноминальных коэффициентов, играющих важную роль в комбинаторике.

Магические тайны учения и обряды возникли среди фанатичных иудаистов сторонников колдовства и магии, проповедовавших культ единого бога. Библия была провозглашена собранием божественных откровений, где каждому слову и числу придавалось особое мистическое значение. В каббалистических вычислениях евреев распространено изучение священных текстов и отдельных слов заменой букв числами. Для латинской азбуки: a = 1, b = 2 c = 3, d = 4… В имени богослова Johanes Huss (Иоганн Гусс) после такой замены букв числами получалась общая сумма «очков», равная 145. На эту сумму надо было подобрать другие слова, отражающие внутреннюю духовную сущность человека. Это магическое действие в каббалистике называется гематрией. Задача не из простых, на поиск таких бесплодных решений нередко тратились годы, а то и жизнь. В нашем примере имени Иоганн Гусс соответствуют слова: sermo domini dei и суммы цифр: 18+ 5+ 17+ 12+ 14 = 66; 4+ 14+ 12+ 9+ 13+ 9 = 61; 4+ 5+ 9 = 18, что в целом равно 145 и в точности соответствует исходной сумме очков. В переводе три латинских слова означают: ''Слово Господа Бога''. Итак, получилось: ''Иоганн Гусс = слово Господа Бога'' - смысл найден.

Упадок науки в эллинистических странах, отражавший общий кризис рабовладельческого общества, начинается со II в. до н.э. Многие работы того времени были посвящены мистическим толкованиям чисел в духе пифагорейцев (например, ''Арифметическая теология'' неопифагорейца Никомаха, жившего в I—II вв. н.э.). Большое развитие получили различные числовые суеверия и толкования, связанные с заменой букв соответствующими числами (греки обозначали числа с помощью букв — первые 9 букв алфавита обозначали числа от 1 до 9, следующие за ними — от 10 до 90, а последние 9 букв — от 100 до 900). Были ''ученые'', называвшиеся каббалистами, которые подвергали такому ''анализу'' слова Библии и других священных книг и делали на основе своих изысканий пророчества о будущем мира.

Не чуждался каббалистических вычислений и известный немецкий математик, монах ордена св. Августина Михаэль Штифель (1468 — 1567). Он применил каббалистику к имени тогдашнего папы римского Льва X, спекулировавшего индульгенциями, и сделал поразительное открытие: католический папа и есть апокалипсический зверь, ведь его имени соответствует число 666. Поисками смысла, заключенного в числе 666, занимался и Исаак Ньютон (1643 — 1727), в конце своей жизни написавший сочинение о пророке Данииле. Мания числа 666 веками использовалась не только для идеологической борьбы с неугодными людьми, но и в борьбе целых религиозных течений.

В Россию числовая мистика проникла из Византии. Православное духовенство неоднократно запрещало сочинения по астрономии и геометрии, не делая строгого различия между действительными и ложными знаниями. Тем не менее тайные науки продолжали существовать, о чем можно судить по широко распространенному в народе взгляду на Петра I как на Антихриста — его число тоже 666.

Астрологи также занимались комбинаторикой. Их интересовал вопрос о движении планет и их влиянии на судьбы людей. Особое значение придавали они сочетаниям планет — встречам различных планет в одном знаке зодиака. Астролог Бен Эзра в 1140 г. рассчитал количество сочетаний семи планет по две, по три и т. д. Он знал, что число сочетаний планет по три равно числу сочетаний по четыре. В окончательном виде формулу для числа сочетаний получил живший в XIV веке Л. Гершон, доказавший, что

C.

Эту формулу в начале XVII в. вывел французский математик П. Эригон.

Комбинаторные проблемы лишь затрагивались в общих трудах по астрологии, логике и математике, а большей частью относились к области математических развлечений, то уже в 1666 г. Г. В. Лейбниц публикует ''Диссертацию о комбинаторном искусстве'', в которой впервые появляется сам термин ''комбинаторный''. Титульный лист книги двадцатилетнего автора, имевшего уже ученую степень бакалавра… юриспруденции, обещал приложения ко всем областям науки и новый подход к логике изобретения, а тематика введения могла соперничать по своей широте с программой, которую, как свидетельствует Льюис Кэрролл, наметил Плотник для бесед с устрицами. Там провозглашалось приложение теории к замкам, органам, силлогизмам, смешению цветов и стихосложению, к логике, геометрии, военному искусству, грамматике, юриспруденции, медицине и теологии.

Диссертация Г. В. Лейбница должна была стать лишь началом большой работы, о которой он часто упоминал в своих письмах и печатных трудах и для которой делал в своих записных книжках многочисленные заметки. Из них видно, что Лейбниц планировал для комбинаторики все новые и новые приложения: к кодированию и декодированию, играм, статистике, теории наблюдений. Он считал, что комбинаторика должна заниматься одинаковым и различным, похожим и непохожим, абсолютным и относительным расположением, в то время как обычная математика занимается большим и малым, единицей и многим, целым и частью. Иными словами, под комбинаторикой Лейбниц понимал примерно то, что мы теперь называем дискретной математикой. К области комбинаторики Г. В. Лейбниц относил и ''универсальную характеристику'' - математику суждений, т. е. прообраз нынешней математической логики.

Проекты Г. В. Лейбница казались несбыточными здравомыслящим математикам его времени, но сейчас, после создания быстродействующих вычислительных устройств, многие планы Г. В. Лейбница стали претворяться в жизнь, а дискретная математика выросла в своем значении настолько, что начала соперничать с классическим математическим анализом.

В 1713 г. была опубликована книга ''Искусство предположений'' Якоба Бернулли, в которой указывались формулы для числа размещений из n элементов по k, выводились выражения для степенных сумм и т. д.

Таким образом, как наука теория вероятностей зародилась в XVII в. «Математика случая»? так назвал теорию вероятностей один из ее основателей французский ученый Б.Паскаль. Возникновение понятия «вероятности» было связано как с потребностями страхования, получившего значительное распространение в ту эпоху, когда заметно росли торговые связи и морские путешествия, так и в связи с развитием азартных игр, популярных в ту пору среди знати, феодалов и дворян. Слово «азарт», под которым обычно понимается сильное увлечение, горячность, является транскрипцией французского слова «hazard», означающего «случай», «риск». Азартными называют те игры, в которых выигрыш зависит не только и не столько от умения игрока, но и от случайности. Особенно распространенной была игра в кости. Было замечено, что при многократном бросании однородного кубика (все шесть граней которого отмечены соответственно числами 1, 2, 3, 4, 5, 6) число очков от 1 до 6 выпадают в среднем одинаково часто, иными словами, выражаясь языком математики, выпадение определённого числа очков имеет вероятность, равную 1/6. Аналогично вероятность появления на верхней грани кости чётного числа очков равна 3/6, так как из шести равновозможных случаев чётное число появляется только в трёх. Колемаев В. А., Калинина В. Н. Теория вероятности и математическая статистика. Москва, Инфра-М, 1997, стр. 124.

Схема азартных игр была очень проста и могла быть подвергнута всестороннему логическому анализу. Первые попытки этого рода связаны с именами известных учёных алгебраиста Д. Кардана (1501? 1576) и Г. Галилея (1564? 1642). Однако открытие этой теории, которая не только даёт возможность сравнивать случайные величины, но и производить определенные математические операции с ними, принадлежит двум выдающимися ученым? Блезу Паскалю (1623? 1662) и Пьеру Ферма (1601? 1665).

Один из представителей французской знати того времени, страстный игрок де Мере написал Б. Паскалю письмо, в котором просил ответить на ряд вопросов. Денежный выигрыш при игре в кости обычно зависит от комбинации выпавших чисел, на которую делаются ставки. Одна из таких комбинаций? выпадение хотя бы одной шестёрки при четырёх бросаниях игральной кости. Де Мере смог подсчитать число шансов этой комбинации. Более сложные комбинации возникали, если бросали сразу две кости. Де Мере пытался определить, сколько раз надо бросить пару костей, чтобы вероятность хотя бы одного появления двух шестёрок была больше ½. Он подсчитал, что достаточно 24 бросаний. Однако опыт игрока заставил де Мере сомневаться в правильности своих вычислений. Тогда он и обратился с этой задачей к математику Б. Паскалю, который предложил правильное решение. Эта задача кавалера де Мере заставила Б. Паскаля заняться изучением случайных событий. А в переписке Б. Паскаля и П. Ферма впервые стали упоминаться понятия теории вероятностей.

Подсчёт всех возможных и благоприятствующих данному событию случаев нередко представляет большие трудности. Вот почему для решения таких задач некоторые игроки обращались к крупным учёным. Х. Гюйгенсу был задан такой вопрос: «Если бросить одновременно три игральных кости, то какая сумма очков будет выпадать чаще? 11 или 12?» Подсчёт всех различных случаев здесь прост: N=63=216, но сумма 11 может получиться следующими шестью различными способами: 1+4+6, 1+5+5, 2+3+6, 2+4+5, 3+3+5, 3+4+4. Также шестью различными способами образуется сумма 12: 1+5+6, 2+4+6, 2+5+5, 3+3+6, 3+4+5, 4+4+4. Это обстоятельство наводит на мысль, что обе суммы должны появляться одинаково часто. Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятности. Москва, 1986. Однако это не так. Было замечено, что сумма 11 появляется чаще суммы 12. Дело в том, что вышеуказанные суммы по три числа сами по себе неодинаково часто выпадают. Так, если каждую из трех костей окрасить по-разному, скажем, в белый, красный и зелёный цвет, то становится ясным, что сочетание, в котором имеются три различных слагаемых, например (1+4+6), может получаться шестью различными способами:

1) 1 бел. + 4 красн. + 6 зел.; 2) 1 бел. + 6 красн. + 4 зел.;

3) 4 бел. + 1 красн. + 6 зел.; 4) 4 бел. + 6 красн. + 1 зел.;

5) 6 бел. + 1 красн. + 4 зел.; 6) 6 бел. + 4 красн. + 1 зел.

Аналогично сочетание с двумя одинаковыми слагаемыми, например (2+5+5), может получиться тремя различными способами, в то время как сочетания с одинаковыми слагаемыми, вроде (4+4+4), получается единственным способом. И вот для 11 очков мы получим, таким образом, не шесть различных способов, а 16 + 13 + 16 + 16 + 13 + 13 = 27. Аналогично, для суммы же 12 число различных способов будет равно 25.

Решение порой довольно сложных задач, с которыми обращались заинтересованные лица к Б. Паскалю, П. Ферма, Х. Гюйгенсу, способствовало разработке основных понятий и общих принципов теории вероятностей. Азартные игры стали для ученых удобной моделью для решения задач и анализа понятий данной теории. Об этом говорил ещё Х. Гюйгенс в своей книге «De ratiociniis ludo alleae» («О расчётах в азартной игре», 1657), которая была первой книгой в мире по теории вероятностей. Он писал: «При внимательном изучении предмета читатель заметит, что он занимается не только игрой, а что здесь даются основы глубокой и весьма интересной науки». Х. Гюйгенс впервые ввёл важное для теории вероятностей понятие математического ожидания, которое получило дальнейшее развитие в трудах Д. Бернулли, Даламбера и др. Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятности. Москва, 1986. На развитие теории вероятностей оказали серьёзное влияние потребности науки и запросы практики, в первую очередь страховое дело, начатое в некоторых странах ещё в XVI в.

Таким образом, в 60-е годы XVII в. были выработаны первые понятия и некоторые элементы теории вероятностей.

Следующий этап истории теории вероятностей (XVIII? начало XIX вв.) связан, главным образом, с именами французских математиков А. Муавром (1667? 1754), П. Лапласом (1749? 1827), С. Пуассоном (1781? 1840) и А. Лежандром (1752? 1833) и немецкого математика К. Гаусса (1777? 1855). «Аналитическая теория вероятностей» П. Лапласа считается классическим трудом по данному разделу математики. В это время в теории вероятностей, кроме понятия случайного события, рассматривается и понятие случайной величины. Теория вероятностей начала применяться в теории ошибок измерений, теории стрельбы и т. п.

В конце XVIII в. немецкий ученый Гинденбург и его ученики сделали даже попытку построить общую теорию комбинаторного анализа. Однако она не увенчалась успехом — в то время еще не было накоплено достаточного количества важных и интересных задач, которые могли бы дать необходимый фундамент для такой теории.

В середине XIX в. преподаватель Высшей реальной школы города Брюнн Г. И. Мендель производил опыты с горохом, в результате которых были открыты законы наследственности. Ученый скрестил два сорта гороха с жёлтыми и зелёными семенами, после чего растения дали только желтые семена (первое поколение гибридов). После самоопыления растений, выращенных из этих семян (второе поколение гибридов), появился горох и с жёлтыми, и с зелёными семенами. Мендель подсчитал, что отношение числа растений с жёлтыми семенами к числу растений с зелеными семенами равно 3,01. Механизм наследования так же случаен, как и исход бросания монеты или игральной кости.

В ХХ веке произошло строгое логическое обоснование теории вероятностей советским математиком А. Н. Колмогоровым.

Современный период истории теории вероятностей характеризуется возникновением и развитием многих новых областей и направлений. Наряду с понятием случайного события и случайной величины рассматриваются и играют наиболее существенную роль понятия случайной функции и случайного процесса. Круг применения теории вероятностей в различных областях науки и техники расширился настолько, что сейчас ее по праву можно считать одной из наиболее прикладных частей математики. Методы теории вероятностей широко применяются в различных отраслях техники и естествознания: в теории надёжности, теории массового обслуживания, в теоретической физике, геодезии, астрономии, теории стрельбы, теории ошибок наблюдений, теории автоматического управления, общей теории связи и во многих других теоретических и прикладных науках.

Теория вероятностей служит также для обоснования математической и прикладной статистики, которая используется при планировании и организации производства, при анализе технологических процессов, предупредительном и приёмочном контроле качества продукции и для многого другого.

1.2 Основные комбинаторные понятия

Комбинаторика (или теория соединений) раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, удовлетворяющих тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Комбинаторика решает задачи выбора и расположения элементов, обычно конечного множества в соответствии с заданными условиями.

Решение большинства комбинаторных задач основано на двух основных правилах, которые называют правилами суммы и произведения.

Правило суммы. Если объект, а можно выбрать m способами, а объект b можно выбрать k способами, отличными от способа выбора объекта a, то выбор «либо a, либо b «можно осуществить m+k способами. Правило суммы распространяется на тот случай, когда число попарно непересекающихся множеств более двух.

Правило произведения. Если объект, а можно выбрать n способами, и если после каждого такого выбора объект b можно выбрать m способами, то выбор «a и b «можно осуществить n m способами. Правило произведения распространяется на случай выбора кортежа любой длины.

Факториал — функция, определённая на множестве целых неотрицательных чисел, значение которой равно произведению натуральных чисел от 1 до донного числа n, т. е. 1 2 3 … n; обозначается n!; по определению 0! = 1, 1! = 1.

Кортежи длины n, составленные из различных элементов n — элементного множества, называются перестановками без повторений и обозначают символом Р.

Теорема. Число различных перестановок из n элементов равно произведению последних натуральных чисел от 1 до n включительно, то есть Р = 1 2 3 … n = n!

Всякое упорядоченное k — элементное подмножество n — элементного множества (k n) называется размещением из n элементов по k и обозначают символом А.

Теорема. Число различных размещений из n элементов по k равно произведению k последовательных натуральных чисел, наибольшим из которых является n, то есть, А = n (n — 1) (n — 2) … (n — k + 1) или, А = .

Всякое k — элементное подмножество n — элементного множества (kn) называется сочетанием из n элементов по k и обозначают символом C.

Теорема. Число сочетаний из n элементов по k элементов определяется по формуле:

C = .

Размещением с повторениями из k элементов по m элементов — это кортеж, составленный из m элементов k-элементного множества.

Число всевозможных размещений с повторениями из k элементов по m элементов обозначают и подсчитывают по формуле

.

Набор из n элементов, составленный из повторяющихся элементов m элементного множества, называется сочетанием с повторениями из m по n и обозначают символом .

Теорема.

.

Перестановкой с повторениями из m элементов состава k1, k2,…, km называется кортеж длины суммы k1+k2+…+km, где k1 — число повторений одного элемента множества, k2 — число повторений другого элемента множества и т. д., km — количество повторений оставшегося элемента множества.

Теорема. Число различных перестановок с повторениями данного состава (п1, пг, …, пт) вычисляется по формуле

Р(п1, пг, …, пт), где п =п1+ пг+ …+ пт.

1.3 Основные понятия теории вероятностей Теория вероятностей служит основой для анализа тех явлений окружающего мира, которым свойственна «изменчивость» и проявление которых не определяется однозначно условиями проводимых наблюдений. Вопрос о применимости вероятностных и статистических методов является непростым, и, во всяком случае, его целесообразно рассматривать после того, как участники обсуждения познакомятся с основными подходами и результатами данной науки.

Теория вероятностей - раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений. Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий. Знание закономерностей, которым подчиняются массовые случайные события, позволяет предвидеть, как эти события будут протекать. Так, хотя нельзя наперед определить результат одного бросания монеты, но можно предсказать, причем с небольшой погрешностью, число появлений герба, если монета будет брошена достаточно большое число раз. При этом предполагается, что монета бросается при одних и тех же условиях.

Методы теории вероятностей широко применяются практически во всех областях науки, техники и сельского хозяйства (в физике, биологии, психологии, педагогике, экономике, военном деле и др.)

Испытание (опыт, стохастический эксперимент) — наблюдение какого-либо явления при соблюдении определенного комплекса условий, который должен каждый раз строго выполняться при повторении данного испытания. Если то же самое явление наблюдается при другом комплексе условий, то это уже другое испытание.

Событие - какое-либо явление, которое может произойти или не произойти в результате данного испытания. События принято обозначать начальными заглавными буквами латинского алфавита А, В, С…

Случайное событие - событие, которое может либо произойти, либо не произойти в результате данного испытания. Например, в yрне имеются цветные шары. Из урны наудачу берут один шар. Извлечение шара из урны есть испытание. Появление шара определенного цвета — coбытие.

Элементарные исходы (элементарные события) - события, которые в данном испытании могут произойти, при этом все они взаимно исключают друг друга, и в результате испытания происходит одно из этих событий; каково бы ни было случайное событие А, по наступившему элементарному событию можно сказать, произошло или не произошло событие А. Элементарные исходы обозначают символом щ, щ, щ,…, щ

Те элементарные исходы испытания, в которых интересующее событие наступает, называют благоприятствующими этому событию. Пространство элементарных событий - совокупность всех элементарных событий данного испытания. Пространство элементарных событий обозначают символом Щ, т. е. Щ= { щ, щ, щ, …, щ}.

Пример.Испытание состоит в бросании двух игральных кубиков. Элементарное событие состоит в выпадении упорядоченной пары чисел (m, n) на первом и втором кубике соответственно, где т, п є N, т? 6, п? 6. Пространство Щ = {(1, 1), (1, 2), (1, 3),…, (6, 6)} состоит из 36 элементарных событий Тонких А. П. Математика. Москва, 2002.

События А1, А2,…, Аn называют равновозможными, если нет основания считать, что появление одного из них в результате испытания является более возможным, чем остальных.

События А1, А2,…, Аn называют единственно возможными, если какое-либо одно из них непременно должно наступить в результате испытания События А1, А2,…, Аn образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них. Тонких А. П. Математика. Москва. 2002, стр. 167.

Одним из основных понятий теории вероятности является понятие равновозможных исходов некоторого опыта. Такие опыты легче всего поддаются анализу.

Пример. Бросание симметричной однородной монеты. Рассмотрим опыт: монета подбрасывается один раз. Будем считать, что возможен только один из двух исходов: исход U1? монета упала вверх гербом (Г); исход U2? монета упала вверх надписью (Н). Таким образом, множество исходов рассматриваемого опыта состоит из двух элементов (U1;U2).

Симметрия и однородность монеты обеспечивают ей одинаковую возможность упасть после подбрасывания вверх гербом или надписью: ни одна из сторон монеты не имеет преимуществ перед другой. В этом смысле мы говорим, что исходы U1 и U2 равновозможные. Другими словами выпадение герба имеет такие же шансы осуществиться, как и надписи.

Пусть А? некоторое событие, связанное с данным опытом, которое в результате этого опыта может наступить или не наступить. Мы назовем исход Uk благоприятным событию А, если его наступление в результате опыта приводит к наступлению события А.

Определение. Под вероятностью Р (А) события, А понимается отношение числа равновозможных элементарных исходов, благоприятствующих событию, А общему числу равновозможных и единственно возможных элементарных исходов данного испытания, то есть

Р (А) = ,

где n (А) — число элементарных исходов, благоприятных событию А, и n — общее число всех элементарных исходов при данном испытании.

Такой подход к определению вероятности события называется классическим. Так как 0 n (А) n, то 0 Р (А) 1, то есть вероятность любого события есть неотрицательное число, не превышающее 1.

Если событию А благоприятствуют все исходы U1, U2,…, Un, то и Р (А) == 1, то есть речь идет о достоверном событии (принятое обозначение). Пример достоверного события А: «при бросании двух игральных кубиков сумма очков на верхних гранях не меньше двух и не больше 12», следовательно, Р (А)=1.

Пример. Проверка 1000 деталей, выпущенных при неизменной технологии, обнаружила 80 бракованных деталей. Чему равна частота и чему приближенно равна вероятность события А: «Наугад взятая деталь бракованная?» Из этой партии деталей выбирается наугад 100 деталей.

а) может ли оказаться, что все 100 деталей бракованные?

б) сколько бракованных деталей можно ожидать среди 100 000 деталей?

Решение. Для нахождения вероятности события А={наугад взятая деталь бракованная} можно сразу воспользоваться формулой, отражающей классический подход:

Число исходов, благоприятствующих данному событию n (A)=80, а общее число исходов n=1000. Следовательно, подставив соответствующие числа в формулу, мы получим:

Отсюда можно сделать вывод, что вероятность выборки бракованной детали из возможных мала, но такой исход событий возможен.

а) При решении данной задачи становится очевидным тот факт, что все 100 деталей не могут быть бракованными, так как из условий известно, что всего лишь 80 деталей содержат брак, а следовательно, 20 деталей из 100 будут качественными.

б) Отвечая на этот вопрос задачи, следует учесть, что в данном случае общее число исходов n=100 000, а вероятность наступления события, А из предыдущего решения: Р (А)=0,08. Требуется найти число исходов, благоприятствующих событию, А «наугад взятая деталь бракованная», т. е. n (A).

Решение. Используем формулу, отражающую классический подход:

(дет).

Ответ.8000деталей. Виленкин Н. Я. Математика, Алгебра 9 класс. Москва, 1996, стр. 344.

Если событию, А не благоприятствует ни один исход, то и, то есть речь идет о невозможном событии (заведомо непроизошедшее в результате данного испытания, принятое обозначение Ш). При бросании двух кубиков событие В: «сумма очков на верхних гранях кубиков равна 13»? является невозможным и Р (В) = 0.

Два события А и В называются эквивалентными (А = В), если каждое из них происходит всякий раз, когда происходит другое. Например, в коробке лежат только красные и синие шары, то появление красного шара и синего шара — это события эквивалентные. Эквивалентные события имеют одинаковые вероятности, т. е. если, А = В, то Р (А) = Р (В). Демидович Б. П., Кудрявцев В. А. Краткий курс высшей математики. Учебное пособие для вузов, -М., 2001. с. 547.

Говорят, что из события А следует событие В (А В), если событие В появляется всякий раз, как только произошло событие А.

Теорема. Если, А В, то Р (А) Р (В).

Доказательство. Пусть события, А и В включены в общую систему равновероятных элементарных исходов, где и — число благоприятных элементарных исходов соответственно для событий, А и В, а n — общее число элементарных исходов. Так как каждый элементарный исход для события, А является так же элементарным исходом для события В, то

Р (А) = /n /n = Р (В).

Теорема доказана.

Событие, происходящее тогда и только тогда, когда не происходит событие А, называется противоположным событию А.

Например, если при бросании монеты событие А есть выпадение надписи, то событие представляет собой не выпадение надписи, а выпадение герба. Или событие, А состоит в появлении красной масти при вытаскивании карты из колоды, то событие означает появление черной.

Несовместные события? события, А и В такие, что наступление одного из них исключает возможность наступления другого. Так, положительный ответ на вопрос несовместим с отрицательным ответом, выпадение четного числа очков при бросании игральной кости несовместно с выпадением нечетного числа. Выпадение четного числа очков (событие А) и числа очков, кратного трем (событие В), не будут несовместными, так как выпадение шести очков означает наступление и события А, и события В. Ясно, что события, А и всегда будут несовместными.

Непосредственный подсчёт случаев, благоприятствующих данному событию, может оказаться затруднительным. Поэтому для определения вероятности события бывает выгодно представить его в виде комбинации некоторых других, более простых событий. Используя научно-методическую литературу, приведём теоретические факты, применяя которые можно по вероятностям одних случайных событий вычислять вероятности других случайных событий, каким — либо образом связанных с первыми. Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятности. Москва, 1986. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятности. Москва, 1988. Тонких А. П. Математика. Москва, 2002. Колемаев В. А., Калинина В. Н. Теория вероятности и математическая статистика. Москва, Инфра-М, 1997.

Определение. Суммой (объединением) событий, А и В? назовем событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий, А и В. Сумму событий обозначают, А + В (или АВ).

Определение. Произведением (пересечением) событий, А и В? назовем событие, состоящее в их совместном появлении. Произведение событий обозначают (или АВ).

Определение. Разностью событий, А и В? назовем событие, происходящее тогда и только тогда, когда происходит событие А, но не происходит событие В. Разность событий обозначают .

На рис. 2 изображены события А + В,, АВ,. Тонких А. П. Математика. Москва. 2002, стр. 168.

а) А+В б) в) АВ г)

Теорема. Для любых событий А, В и С справедливы следующие законы и свойства:

1. Коммутативности

2. Ассоциативности

3. Дистрибутивности .

4. Идемпотентности

5. Поглощения Ш= A; A Ш= Ш.

6. 7.

8. Де Моргана:

9.

10. Двойного отрицания:. 11. Ш. 12. .

Аксиоматическое построение теории вероятностей позволяет, не обсуждая трудного вопроса о том, откуда известны первоначальные вероятности, если известны вероятности одних событий, вычислить по ним вероятности других, достаточно сложных событий. Такой подход был предложен А. Н. Колмогоровым.

Пусть? пространство элементарных событий некоторого стохастического эксперимента и выделена система S событий, являющаяся алгеброй событий. Это означает, что: 1) 2) Если 3) Если и и

Каждому событию А поставим в соответствие число Р (А) (его вероятность) так, что выполняются следующие свойства:

а) для всякого АS, справедливо: P (A) 0;

б) Р ()=1;

в) если, А и В несовместны (АВ = Ш), то Р (А + В) = P (A) + P (В).

Тройка (, S, Р) называется вероятностным пространством.