Заключительный этап в решении учебной математической задачи

Для учебных задач особое значение имеет не получение ответа, а процесс нахождения его, процесс переработки входной информации в выходную. Ответ особенно существен для задач, которые человеку приходится решать в практической деятельности, для учебной же задачи на первом месте стоят поиски решения, осуществление его и познавательные выводы из проделанной работы. Поэтому необходим заключительный этап работы над учебной задачей.

Основным содержанием его должно быть осмысление выполненного решения, формулирование и решение других задач (если оказывается возможным), явно связанных с первой, порождаемых ею, и извлечение из всей проделанной работы выводов о том, как находятся и выполняются решения.

• 1) Необходимость обсуждения задачи и ее решения вытекает из основного назначения учебных математических задач. При обсуждении решения задачи нужно остановиться на следующих вопросах:
  • а) Более полное использование условия задачи. При решении многих задач следует стремиться к достаточно полному использованию содержащейся в них входной информации. Практически это означает, что по одному и тому же условию полезно решать не одну, а несколько задач, целью которых является получение различных результатов. Значит, многие задачи должны явно содержать несколько вопросов. В противном случае целесообразно задавать и дополнительный вопрос: «Что еще можно узнать из условия задачи?»

Можно сделать вывод, что в методическом отношении гораздо полезней многовопросные задачи. Действительно, многовопросность развивает основательность мышления. Она приучает школьников к установлению многосторонних связей в рассматриваемых ситуациях. Многовопросные задачи позволяют более экономно использовать время, отведенное для решения задач на уроках математики, так как на усвоение содержания задачи при этом расходуется гораздо меньше времени, чем при решении нескольких различных по условию одновопросных задач.

б) Обсуждение работы по поиску решения. Основная трудность при решении математической задачи состоит в нахождении решения, а не в осуществлении его. Поэтому оказывается необходимым выявление идеи (главной мысли), положенной в основу решения (как эта идея возникла? Что помогло найти решение?), иначе говоря, нуждается в обсуждении подход к решению задачи, поиск решения.

Приступая к решению задачи, ищут прежде всего ведущую идею (принцип), из которой следует исходить. Если такая идея найдена, то дальнейшее решение представляет собой ее конкретизацию, воплощение. Но может случиться так, что найденная идея не обеспечивает достижения цели. Тогда ищут иные идеи, подходящие для данной задачи, и испытывают их. Вот эти поиски и отбор идей, из которых можно исходить при решении задач, наверное, и составляют основную трудность решения. Поэтому важно учесть и использовать факторы, помогающие этим поискам, и преодолеть факторы, мешающие им.

Чтобы иметь возможность выбрать идею решения задачи, нужно располагать достаточным запасом таких идей. Этот запас и создается в практике решения задач (при обсуждении решений). Успешные действия при решении подкрепляются, и добытая ценная информация фиксируется в долговременной памяти. Так накапливается хороший опыт решения задач.

• в) Выявление связей с ранее решенными задачами. При решении математических задач часто используются методы и результаты решения предшествующих задач. Именно поэтому полезно выявление связей рассматриваемой задачи с решенными ранее. Но не только поэтому. Сравнивая задачу с решенными ранее сходными задачами, ученики выявляют их общие и различные черты, лучше усваивают идею решения данной задачи, глубже познают метод решения класса сходных задач и таким образом готовятся к решению следующих задач.
• 2) Вторая часть заключительного этапа в решении задачи — поиски и осуществление новых способов ее решения, их сравнение и выбор лучшего варианта решения.

Стоит только отметить, что более эффективного пути для воспитания гибкости математического мышления и находчивости, чем путь поисков различных решений задач, пожалуй, нет.

3) Третья составная часть заключительного этапа работы с задачей — формулирование и решение некоторых других задач, «порожденных» разобранной. Мы имеем здесь в виду обобщения и специализации исходной задачи, а также получение других задач из данной в результате частичного изменения ее условия.

Это могут быть задачи, в которых часть данных исходной задачи принимается за искомое, а некоторые искомые считаются данными; задачи, полученные заменой одних объектов другими (без изменения искомых) и т. д. Так возникают задачи, обратные данным, суперпозиции задач, серии задач с различными данными, приводящими к одному результату, и т. п. Эту часть заключительного этапа можно назвать развитием темы задачи. Трудно переоценить значение развития темы задачи для воспитания математического мышления учащихся, развития познавательных способностей, формирования личности ученика. Очень полезно развитие темы задачи и в практическом отношении, так как изменения, обобщения и специализации задач воспитывают творческое отношение к тем задачам, которые ставит перед нами жизнь, делают наше мышление инициативным и более оперативным. В методическом отношении развитие темы задачи особенно ценно тем, что приучает учащихся к переконструированию задач, а это, как известно, основной прием поиска решений.

Развитие темы задачи в качестве заключительного этапа работы с ней особенно ценно при творческом подходе учителя к обучению решению задач.

4) По отношению к некоторым задачам с ярко выраженными особенностями (по содержанию и приемам решения) следует говорить и о четвертой части заключительного этапа. Мы имеем в виду прежде всего поучительные выводы (фиксации) из проделанной работы о том, как в подобных случаях находится и осуществляется решение, а также какие особенности задач подсказывают прием решения.

К этой части следует отнести и систематизацию различных возможных подходов к задачам определенного содержания. В ходе работы по решению серии связанных между собой задач наступает момент, когда оказывается очень полезным подвести итоги проделанной работы, систематизировать приемы решений, полнее выявить возможности для осуществления решений задач рассматриваемого вида и сходных с ними.

Ясно, что систематизирующие рассмотрения не только ценны для повторения теории и решения задач, но и имеют еще и явно выраженный исследовательский характер, содержат элементы творчества. Существенно, наконец, что они являются верным средством установления связей между различными математическими вопросами.

геометрия решение задача фронтальный.