Методы Лагранжа и Эйлера

Описание законов движения может быть выполнено по методу Ж. Л. Лагранжа и Л. Эйлера.

Метод Лагранжа предполагает наблюдение за отдельными материальными объектами — частицами жидкости при их перемещении в пространстве. Итог наблюдений за конкретной частицей начальными координатами (рис. 2) при перемещении за время является след, называемый траекторией.

Система функций геометрического характера:

(7).

описывающих траекторию частиц, позволяет найти кинематические характеристики путем дифференцирования:

(8).

а также вторые производные — ускорения:

(9).

Рис. 2. Характер движения жидкости

Метод Эйлера задает поле скоростей в рассматриваемой области движения жидкости. Полное описание задано, если скорости и давления определены в виде:

(10).

Линия, в каждой точке которой в данный момент времени вектор скорости направлен по касательной к ней, называется линией тока. Это основное понятие метода Эйлера. В случае неустановившегося движения в следующий момент движения через ту же точку будет проходить другая линия тока (рис. 3 а).

Так как вектор с компонентами с элементами с проекциями на оси координат, то из условия параллельности векторов следует пропорциональность их проекций:

(11).

В случае установившегося движения линия тока сохраняет свое положение в пространстве и совпадает с траекторией.

Каждая частица вращается с угловой скоростью. Линия, во всех точках которой направление векторов совпадает с касательной к ней, является вихревой линией.

Из того, что вектор с компонентами совпадает по направлению с элементом длины вихревой линии, имеющим компоненты, то уравнение вихревой линии имеет вид (рис. 3. б).

(12).

Линии тока могут совпадать с линиями завихренности. Такое движение называется винтовым и определяется:

(13).

Совокупность линий тока, проходящих через точки бесконечно малого замкнутого контура, образует элементарную трубку тока (рис. 4 а).

Рис. 4. Трубка тока и вихревая трубка

Аналогичное образование в поле угловых скоростей называется вихревой трубкой.

Пучок линий тока, проходящих через все точки площадки, ограниченной контуром называется элементарной струйкой.

Объем жидкости, проходящей через поперечное сечение 1 с площадью за время должен равняться объему жидкости, прошедшему через любое сечение 2 с площадью за то же время в случае несжимаемой среды.