Модели линейной и множественной регрессии и экономический смысл их параметров

/

Автономная некоммерческая организация высшего образования

«ПЕРМСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ»

Факультет Экономический

Кафедра Менеджмента

Профиль Управление малым бизнесом Контрольная работа по дисциплине: «Эконометрика»

Выполнил: Калинина Мария Игоревна Группа: М11−13-С (И)

Пермь 2014 г.

Задание № 1.

По данным об экономических результатах деятельности российских банков, по данным Банка России и Федеральной службы государственной статистики выполните следующие задания:

1. Проведите качественный анализ связей экономических переменных, выделив зависимую и независимую переменные

2. Постройте поле корреляции результата и фактора

3. Рассчитайте параметры следующих функций:

· линейной

· степенной

· показательной

· равносторонней гиперболы

4. Оцените качество каждой модели через среднюю ошибку аппроксимации икритерий Фишера

5. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 15% от его среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости

6. Оценить полученные результаты, выводы оформить в аналитической записке.

Таблица 1

Решение

1. По данным об экономических результатах деятельности российских банков среднегодовая численность занятых в экономике зависит от величины кредитов, предоставленных предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам.

Поэтому кредиты, предоставленные предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам (независимая переменная), среднегодовая численность занятых в экономике (зависимая переменная).

2. Построим поле корреляции результата и фактора (на координатную плоскость наносим точки ((кредиты, предоставленные предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам), (среднегодовая численность занятых в экономике)):

Рис. 1 Поле корреляции

· Уравнение парной линейной регрессии имеет вид:

.

Для расчёта параметров и линейной регрессии необходимо решить систему нормальных уравнений относительно и :

.

По исходным данным определяем

, ,, , .

Составим вспомогательную таблицу 1.

Параметр можно рассчитать по формуле:

.

Параметр рассчитывается по формуле:

.

Следовательно, уравнение линейной регрессии имеет вид:

Таблица 1

.

То есть при увеличении кредитов, предоставленных предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам на 1 млн руб., среднегодовая численность занятых в экономике увеличиваются на 146,422 млн руб.

· Перед построением степенной модели проведём процедуру линеаризации переменных путём логарифмирования обеих частей этого уравнения:

.

Сделаем замену:

.

Составим вспомогательную таблицу 2:

Параметр определим по формуле:

.

Параметр определим по формуле:

Таблица 2

.

Тогда уравнение имеет вид:

.

Выполним его потенцирование:

.

То есть при увеличении кредитов, предоставленных предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам на 1%, среднегодовая численность занятых в экономике увеличиваются на 3,114%.

· Показательная модель регрессии имеет вид:

.

Проведём процедуру линеаризации путём логарифмирования обеих частей уравнения:

.

Сделаем замену:

.

Следовательно, уравнение имеет вид:

.

Составим вспомогательную таблицу 3:

Параметр определим по формуле:

.

Параметр определим по формуле:

.

Следовательно, уравнение регрессии имеет вид:

.

Выполним его потенцирование, получим:

.

· Уравнение гиперболы линеаризуется при помощи замены,

Таблица 3

тогда уравнение имеет вид:

.

Для расчётов используем данные таблицы 4.

Параметр определим по формуле:

.

Параметр определим по формуле:

.

Уравнение регрессии имеет вид:

.

4. Величина средней ошибки аппроксимации определяется как среднее отклонение расчётных значений от фактических:

.

Таблица 4

То есть среднее отклонение фактических и расчётных значений составляет 1 457 508,57%, так как допустимый предел отклонения, то можно сказать, что линейная модель некорректно описывает указанную зависимость.

.

То есть среднее отклонение фактических и расчётных значений составляет 76,2%, так как допустимый предел отклонения, то можно сказать, что степенная модель некорректно описывает указанную зависимость.

.

То есть среднее отклонение фактических и расчётных значений составляет 63,7%, так как допустимый предел отклонения, то можно сказать, что показательная модель некорректно описывает указанную зависимость.

.

То есть среднее отклонение фактических и расчётных значений составляет 12 527,841%, так как допустимый предел отклонения, то можно сказать, что модель равносторонней гиперболы некорректно описывает указанную зависимость.

Выдвинем гипотезу о статистической не значимости уравнения регрессии в целом.

Проведём сравнение фактического и критического значенийкритерия Фишера. определяется по формуле:

.

находим с помощью статистических таблиц на уровне значимости

.

Так как все (кроме степенного), то гипотеза о случайном отклонении коэффициентов от нуля отвергается, следовательно, уравнения (кроме степенного) статистически значимы.

5. Прогнозное значение определяется путём подстановки в уравнение регрессии прогнозного значения (в нашем случае)

.

Вычисляется средняя стандартная ошибка прогноза:

где .

Строится доверительный интервал:

где

.

· Для линейной модели.

.

Строим доверительный интервал:

.

Следовательно, при увеличении кредитов, предоставленных предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам на 15% среднегодовая численность занятых в экономике с вероятностью 0,95 будут находиться в интервале от млн. руб. до 222 171,773 млн руб.

· Для степенной модели.

.

Строим доверительный интервал:

.

Следовательно, при увеличении кредитов, предоставленных предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам на 15% среднегодовая численность занятых в экономике с вероятностью 0,95 при использовании степенной модели будут находиться в интервале от млн. руб. до 315 269,129 млн руб.

· Для показательной модели.

.

Строим доверительный интервал:

.

Следовательно, при увеличении кредитов, предоставленных предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам на 15% среднегодовая численность занятых в экономике с вероятностью 0,95 при использовании показательной модели будут находиться в интервале от млн. руб. до 88 522,896 млн руб.

· Для гиперболической модели.

.

Строим доверительный интервал:

.

Следовательно, при увеличении кредитов, предоставленных предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам на 15% среднегодовая численность занятых в экономике с вероятностью 0,95 при использовании модели гиперболы будут находиться в интервале от млн. руб. до 499 309,397 млн руб.

6. По полученным данным видно, что ни одно из уравнений для описания предложенной зависимости не подходит. (Ошибка аппроксимации для всех уравнений превышает норму в несколько раз).

Задание № 2.

По данным об экономических результатах деятельности российских банков выполните следующие задания:

1. Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

2. Определите стандартизованные коэффициенты регрессии

3. Определите парные и частные коэффициенты корреляции, а также множественный коэффициент корреляции

4. Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общегокритерия Фишера

5. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозные значения факторов составляют 80% от их максимальных значений

6. Оценить полученные результаты, выводы оформить в аналитической записке.

Таблица 5

Решение

1. Линейное уравнение множественной регрессии имеет вид:

.

Параметры уравнения определим с помощью функции регрессии.

Таблица 6 Вывод итогов

.

Следовательно, уравнение имеет вид:

.

То есть при увеличении средств предприятий и организаций на 1% кредиты предприятиям и организациям уменьшаются на 2853,05 млн руб.

При увеличении выпущенных ценных бумаг на 1% кредиты предприятиям и организациям уменьшаются на 5051,73 млн руб.

2. Стандартизованные коэффициенты регрессии рассчитаем по формулам:

Составим вспомогательную расчетную таблицу 7

.

Таким образом, уравнение регрессии в стандартизованном масштабе имеет вид:

.

То есть при увеличении средств предприятий и организаций на среднеквадратическое отклонение кредиты предприятиям и организациям уменьшаются на 0,198 от своего среднеквадратического отклонения.

Таблица 7

^{При увеличении} выпущенных ценных бумаг на среднеквадратическое отклонение кредиты предприятиям и организациям уменьшаются на 0,217 от своего среднеквадратического отклонения.

3. Парные коэффициенты корреляции найдём по формулам:

.

Частные коэффициенты корреляции можно выразить через парные коэффициенты, следующим образом:

.

Определим множественный коэффициент корреляции:

.

Так как, следовательно, зависимость кредиты предприятиям и организациям от средств предприятий и организаций и выпущенных ценных бумаг практически отсутствует.

4. Выдвинем гипотезу о случайном отличии коэффициентов, , от нуля.

Общий критерий проверяет гипотезу о статистической значимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи:

.

Сравнивая и, приходим к выводу, что причин для отклонения гипотезы нет, так как с вероятностью 0,95 делаем заключение о статистической не значимости уравнения в целом и показателя тесноты связи .

Так как (или 6,6%), то 6,6% изменения кредиты предприятиям и организациям связано с изменением средств предприятий и организаций и выпущенных ценных бумаг и 93,4% от других факторов.

5. Прогнозное значение факторов составляют 80% от их максимальных значениях, следовательно:

.

Таким образом

(млн. руб.).

То есть, если прогнозные значения факторов составят 80% от их максимальных значений, прогнозное значение кредитов предприятиям и организациям составит млн. руб.

6. Так как распределениеФишера указывает на то, что гипотезу о незначимости уравнения регрессии следует принять, то уравнение статистически незначимо, следовательно, не описывает указанную зависимость.

Задание № 3.

По данным о средних потребительских ценах в РФ, взятым из соответствующей таблицы, выполнить следующие действия:

1. Параметры линейного, экспоненциального, степенного, гиперболического трендов, описывающих динамику доли малых предприятий. Выберите из них наилучший, используя среднюю ошибку аппроксимации и коэффициент детерминации

2. Выбрать лучшую форму тренда и выполнить точечный прогноз на 2012, 2013 и 2014 годы

3. Определить коэффициенты автокорреляции 1, 2, 3 и 4 порядков

4. Построить автокорреляционную функцию временного ряда. Охарактеризовать структуру этого ряда.

Таблица 8

Решение

1. Построим поле корреляции:

Рис. 2 Поле корреляции

· Добавив линию тренда (линейная, показать уравнение на диаграмме, поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации), получим:

Рис. 3 Поле корреляции

Следовательно, уравнение линейной зависимости имеет вид:

.

То есть

.

· Изменив тип линии тренда на степенную, получим:

Рис. 4 Поле корреляции

Следовательно, уравнение степенной зависимости имеет вид:

.

То есть

.

· Изменив тип линии тренда на экспоненциальную, получим:

Рис. 5 Поле корреляции

Следовательно, уравнение экспоненциальной зависимости имеет вид:

.

То есть

.

· Изменив тип линии тренда на логарифмическую, получим:

Рис. 6 Поле корреляции

Следовательно, уравнение логарифмической зависимости имеет вид:

.

То есть

.

Коэффициент детерминации, объясняющий долю дисперсии, вызванной факторным признаком, определяется по формуле:

или «-квадрат» на диаграмме.

Таким образом

.

Величина средней ошибки аппроксимации определяется как среднее отклонение расчётных значений от фактических:

.

Составим вспомогательную таблицу:

Таблица 9

38,9% больше допустимых 10%, т. е модель составлена некорректно.

17,8% больше допустимых 10%, т. е. модель составлена некорректно.

8,4% меньше допустимых 10%, т. е. модель составлена некорректно.

78,1% больше допустимых 10%, т. е. модель составлена некорректно.

По полученным данным видно, что только экспоненциальная модель отражает указанную зависимость.

Наилучшей из предложенных моделей является экспоненциальная зависимость, она отражает 98,75% изменения цены на билет от времени.

2. Выполним точный прогноз на 2012, 2013 и 2014 годы:

17,478*EXP (0,2214*15)= 483,9 312 965 (руб.)

17,478*EXP (0,2214*16)= 603,8 603 407 (руб.)

17,478*EXP (0,2214*17)= 753,5 104 957 (руб.).

3. Рассчитаем несколько последовательных коэффициентов автокорреляции.

Для этого составляем первую вспомогательную таблицу 10.

Таблица 10

Величина коэффициента автокорреляции уровней ряда первого порядка измеряет зависимость между соседними уровнями ряда при лаге 1.

Следовательно

где ;

.

Составляем вспомогательную таблицу для расчёта коэффициента автокорреляции второго порядка.

Таблица 11

Следовательно

где ,

Составляем вспомогательную таблицу для расчёта коэффициента автокорреляции третьего порядка.

Таблица 12

Следовательно

где ,

.

Составляем вспомогательную таблицу для расчёта коэффициента автокорреляции четвёртого порядка.

Таблица 13

Следовательно

где ,

.

4. Последовательность коэффициентов корреляции, где, как функция интервала между наблюдениями называется автокорреляционной функцией.

Все полученные значения заносим в сводную таблицу.

Таблица 14

Рис. 7 Функция автокорреляции

Так как самым большим оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, ряд содержит только тенденцию.

экономика кредит экспоненциальный автокорреляция

Список источников

Валентинов В. А. Эконометрика: Практикум — М.: Дашков и К, 2008 — 436 с.

Джонстон Дж. Эконометрические методы. — М.: Статистика, 1990.

Доугерти К.

Введение

в эконометрику: учеб. для студентов вузов/ К. Доугерти.- М.: Юрайт-Издат, 2007. 416 с.

Доугерти К.

Введение

в эконометрику: учебник для вузов. — 2 — е изд. — М.: ИНФРА — М, 2007. — 432 с.

Елисеева И.И. практикум по эконометрике (+CD): учеб. пособие/ И. И. Елисеева, С. В. Курышева, Н. М. Гордеенко и др.; Под ред. И. И. Елисеевой.- 2-е изд., перераб. и доп.- М.: Финансы и статистика, 2006. 344 с.

Замков О. О. Толстопятенко А.В. Черемных Ю. Н. Математические методы в экономике.- М.: ДИС, 2003.

Магнус Я.Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. Начальный курс. — М.: Дело, 2003.

Новиков А. И. Эконометрика: учеб. пособие/ А. И. Новиков.- 2-е изд., испр. и доп.- М.: Инфра-м, 2007. 144 с.

Практикум по эконометрике: учебное пособие / И. И. Елисеева. С. В. Курышева, Д. М. Гордиенко и др; под ред. И. И. Елисеевой.- М.: Финансы и статистика, 2003

Эконометрика Учебное пособие /И.И. Елисеева. С. В. Курышева, Д. М. Гордиенко и др. — М.: Финансы и статистика, 2003.

Интернет-ресурсов

· Материалы по книге К. Доугерти на сайте издательства Oxford Univesity Press;

· Сайт журнала «The Econometrics Journal» .

Дополнительные полезные адреса Интернета:

· Журнал «Экономика и математические методы»";