Основные понятия математического анализа

1. Определение неопред. интеграла. Если ф-ия F (x) — первообр для ф-ии f (x) на промежутке [a, b], то мн-о ф-ий F (x)+C, где С =const, назыв неопред интегр от ф-и f (x) на этом промежутке: ?f (x)dx=F (x)+C При этом ф-я f (x) назыв подынтегр ф-ей, f (x)dx — подынтегр выр-ем, х — переменной интегр-я.

2. Опред-ие первообр от непрерыв ф-ии. Ф-ия F (x) назыв первообр для ф-ии f (x) на промежутке [a, b], если для всех значений х из этого промежутка выпя F'(x)=f (x). Если ф-ия f (x), хЄ[a, b] - непрерыв, то для нее сущ-ет первообразная (неопред. Интеграл)

4. Выр-ие (?f(x)dx). Производная неопред интеграла = подынтегр ф-ии. (?f (x)dx)'=f (x). Док-во: (?f (x)dx)'= =(F (x)+C)'= F'(x)= f (x)dx

5. Выр. ?dF(x) Неопред интеграл от дифф-ла некоторой ф-ии = сумме этой ф-ии и произвольной постоянной? dF (x)=F (x)+C.Так как? dF (x)= F'(x)dx, то? F'(x)dx=F (x)+C. Теорема: Если ф-я F (x) является первообр ф-ии f (x) на отрезке [a, b], то мн-во всех первообр ф-ии f (x) задается формулой F (x)+C, С=const.

Док-во: F(x)+C — первообр, тогда (F(x)+C)'= F'(x)+C'= F'(x)=f(x) Ф (х) — -тоже первообразная: Ф'(х)=f (x), xЄ[a, b]. (Ф (х)-F (x))'= Ф'(х)-F'(x)=f (x) — f (x)=0 =>Ф (х)-F (x)=C, С-const. Таким образом Ф (х)=F (x)+С. Ф-ия, производ которой на некотором промежутке Х равна 0, постоянна на этом промежут-ке. ?'(x)=0 => ?(x)=C, для каждого хЄ[a, b], тогда для каждого х1, х2 Є [a, b], х1<�х2. По теореме Лангранжа: ?(x2) — ?(x1)=0, ?(x)=С

6. Если k-const, ненулевое число, то ?kf(x)dx=k?f(x)dx —k можно вынести из-под знака интеграла. Пусть F (x) — первообр для ф-ии f (x), т. е. F'(x)=f (x), тогда kF (x)-первообр для ф-ии kf (x): (kF (x))'=kF'(x)=kf (x). k? f (x)dx=k[C+(x)F]=kF (x)+C1=?kf (x)dx, где С1=kC 7. Если ?f(x)dx=F(x)+C, то и ?f(u)du= F(u)+C, u=?(x) — произвольная ф-ия, непрерывн, дифферен-я. f (x)-непрерыв. => ?f (x)dx=F (x)+C, u=?(x)-непрерыв. дифферен. ф-я. F (u)=F (?(x)) -согласно инвариантности первого дифф-ла. Инвариантность первого дифф-ла: y=f (x) dy=f'(x)dx y=f (u), u=?(x) — непрерыв, диф-я dy=f'(x)du dF (u)=F'(u)du= =f (u)du ?f (u)du=?d (F (u))=F (u)+C

8. Выражение d(?f(x)dx)=f(x)dx — Дифференциал от неопред интегр = подынтегр выр-ю. d (?f (x)dx)=d (F (x)+C) =dF (x)+dC=F'(x)dx+0=f (x)dx

9. Интеграл ?[f(x)±g(x)]dx= ?f(x)dx±?g(x)dx -неопред интеграл от алгебраической суммы двух ф-ий равен алгебраической суммe интегр от этих

ф-ий в отдельности: Пусть F (x) и G (x) — первообразные для ф-ий f (x) и g (x): ?[f (x)+g (x)]dx=?(F'(x)+G'(x))dx=?(F (x)+G (x))'dx=?d (F (x)+G (x))= F (x)+G (x)+C= F (x)+G (x)+C1+C2=F (x)+C1+G (x)+C2 =?f (x)dx+?g (x)dx.

10. Вывод формулы замены переменного в неопред интегр (подстановка). Пусть ф-я x=?(t) опред-на и диф-ма на некотором промежутке Т и Х-мн-во значений этой ф-ии, на кот. определена ф-я f (x). Тогда, если на мн-е Х ф-я f (x) имеет первообр, то на мн-ве Т справедлива фор-ла: ?f (x)dx= ?f[?(t)]?'(t)dt Док: Пусть F (x)-первообр для f (x) на мн-ве Х. Рассмотрим на мн-ве Т сложную ф-ю F[?(t)]: (F[?(t)])'= F_x'[?(t)]?'(t) =f[?(t)]?'(t), т. е. ф-я f[?(t)]?'(t) имеет на мн-ве Т первообр F[?(t)] >?f[?(t)]?'(t)dt=F[?(t)]+C, Замечая что F[?(t)]+C=F (x)+C= ?f (x)dx, => получаем? f (x)dx= ?f[?(t)]?'(t)dt.

Дарбу: M_n=sup (f (x)); m_n=inf (f (x)), x (x_i-1; x_i) S_?= M_n?x_i — верхний; S_?= m_{n ?}x_i— нижний; СВ-ВА:

1, верхняя сумма >=нижней; 2, при изменеии разбиения верхняя не увел, нижняя не умень.; 3, измельчение разбиения-добовлене нескольких точек 0=< S_?-I< -для верх и ниж — Лемма.

11. Вывод формулы интегрир по частям. Пусть ф-ии u (x) и v (x) определены и диф-мы нанекотором пром-ке Х и пусть ф-я u'(x)v (x) имеет первообр на этом пром-ке. Тогда на пром-ке Х ф-я u (x)v'(x) также имеет перво-ю и справедлива формула: ?u (x)v'(x)dx=u (x)v (x)-?v (x)u'(x)dx. Док-во: [u (x)v (x)]'= u'(x)v (x)+u (x)v'(x) u (x)v'(x)=[u (x)v (x)]'-u'(x)v (x)Первообр ф-ии [u (x)v (x)]' на пром-ке Х является ф-я u (x)v (x). Ф-я u'(x)v (x) имеет первообр на Х по условию теор., и ф-я u (x)v'(x) имеет пер-ю на Х. Интегр-уя последнее рав-во получаем: ?u (x)v'(x)dx=u (x)v (x)-?v (x)u'(x)dx. Так как v'(x)dx=dv, u'(x)dx=du, то ее можно записать в виде: ?udv=uv-?vdu По лекциям: d(uv)=udv+vdu;?d(uv)= ?udv+vdu => ?udv=?d (uv)-?vdu=uv-?vdu Теорема о существовании конечного.

12. Определение дробно рациональной ф-ии. Понятие правильной и неправильной рациональной фун-ии. Простейшие дроби вида 1−4. Фун-ия вида P_n(x)=a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1 +…+ a₁x¹+ a_0, n — натуральное число. a_i, i=0, n=const называется мн-ном n-ой степени.

Определение: Дробно рацион фун-й (рациональной дробью) назыв фун-ия равная отношению 2-х мн-нов: f (x)= P_m(x)/ Q_n(x), P_m(x)-мн-eн степени m, Q_n(x)-многочлен степени n. Рацион дробь назыв правильной, если m

1) A/(x-a)

2) A/(x-a)^k k>=2 целое

3) (Mx+n)/(x²+px+q) x²+px+q=0, D<0

4) (Mx+n)/(x²+px+q)^k k>=2

предела интегральных сумм для непрерывных ф-ий: Пусть сущ f.

13. Если х=а — действит корень кратности k знамен-ля Q_n(x) прав-ой рацион дроби, т. е. Q_n(x)=(х-а)^k O_n-k(x) Тогда дробь будет представляться в виде суммы 2 правильных дробей: P_m(x)/Q_n(x)=A/(х-а)^k+Rs (x)/(х-а)^k-1O_n-k(x) A-некоторая постоянная, s_m(x)/Q_n(x)=[A O_n-k(x)+ P_m(x)-A Q_n-k(x)]/[(х-а)^k O_n-k(x)]=[ A O_n-k(x)]/ [(х-а)^k O_n-k(x)]+[ P_m(x)-A Q_n-k(x)]/ [(х-а)^k O_n-k(x)]=A/(х-а)^k +[P_m(x)-A Q_n-k(x)]/ [(х-а)^k O_n-k(x)], для каждого А. х=а — корень ура-я P_m(x) — A O_n-k(x)=0; P_m(а) — A O_n-k(а)=0; P_m(а)?0 и A O_n-k(а)?0; A= P_m(а)/A O_n-k(а); P_m(x) — A O_n-k(x)=(x-a) Rs (x); P_m(x)/Q_n(x)= A/(х-а)^k +[(x-a) Rs (x)]/[(x-a) O_n-k(x)]= A/(х-а)^k + Rs (x)/[(х-а)^k-1 O_n-k(x)]; A= P_m(а)/O_n-1(а).

14. Если Q_n(x)= (x²+px+q)^µ Т_n-µ(x), где p²-4q<0, Т_n-µ(x) мн-ен не делится на x²+px+q, то правильную рацион дробь P_m(x)/Q_n(x) можно представить в виде суммы 2 правильных: P_m(x)/Q_n(x) =(Mx+N)/ (x²+px+q)^µ +Фs (x)/[ (x²+px+q)^µ-1. Т_n-µ(x)],µ, N-нек постоянные, s_m(x)/Q_n(x) =[(Mx+N) Т_n-µ(x)+ P_m(x)-(Mx+N) Т_n-µ(x)]//(x²+px+q)^µ Т_n-µ(x)]= (Mx+N)/(x²+px+q)^µ+ [P_m(x)-(Mx +N) Т_n-µ(x)]/[ (x²+px+q)^µ Т_n-µ(x)] для люб µ и N. x²+px+q=0, D<0, x₁₂=?±i?, µ и N: P_m (?+i?)-[ µ (?+i?)+N]*T _n-µ(?+i?)=0. µ (?+i?)+N=[ P_m (?+i?)] /[ T _n-µ(?+i?)]=k+il. Система{ µ ?+N =k=> N=k- ?(L/b) µb=L=> m=L/b P_m(x)/Q_n(x)=(Mx+N)/(x²+px+q)^µ +Фs(x)/[ (x²+px+q)^µ-1Т_n-µ(x)] конечному пределу при ранге разбиения 0.

15. Разложение рацион дроби на простейшие. Если рацион ф-я R (x)/Q (x) имеет степень мн-на в числ-ле < степени мн-на в знамен-ле, а мн-н Q (x) представлен в виде Q (x)= A (x-a)^r(x-b)^s…(x²+2px+q)^t(x²+2ux+v)^z …, где a, b,., p, q, u, v,…-вещественные числа, то эту ф-ю можно единств образом представить в виде: R (x)/Q (x) =A1/(x-a)+A2/(x-a)²+… An/(x-a)ⁿ+… (M1x+N1) / (x²+2px+q)+ (M2x+N2)/ /(x²+2px+q)²+…+(Mkx+Nk)/(x²+2px+q)^k +, где А1, А2,.М1.N1-вещест числа

16. Определение дробно рацион фун-ии. Понятие правильной и неправ-ной рациональной фун-ии. Простейшие дроби вида 1−4. Фун-ия вида P_n(x)=a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1 ++ a₁x¹+ a_0, n — натуральное число. a_i, i=0, n=const называется мн-ном n-ой степени.

Определение: Дробно рацион фун-uей (рациональной дробью) назыв фун-ия равная отн-ю 2-х мн-нов: f (x)= P_m(x)/ Q_n(x), P_m(x)-мн-eн степени m, Q_n(x)-многочлен степени n. Рацион дробь назыв правильной, если m

1)A/(x-a) 2)A/(x-a)^k k>=2 целое

3)(Mx+n)/(x²+px+q) x²+px+q=0, D<0

4) (Mx+n)/(x²+px+q)^k k>=2

17. Вычисление интегралов от тригонометрических ф-ий.

1) ?R (sinx, cosx) dx Замена перем-ных tg (x/2)=t (универ. тригонометр замена) sinx=2t/(1+t²) cosx=(1-t²)/ /(1+t²) dx=2/(1+t²)dt;?R (2t/(1+t²), (1-t²)/ /(1+t²)) 2/(1+t²)dt=?R (t)dt

2)?R (sinx) cosxdx=|sinx=t, cosxdx=dt|=?R (t)dt

3)?R sinx (cosx)dx=|cosx=t, -sinxdx=dt|=-?R (t)dt

4) ?R (tgx)dx=|t=tgx, x=arctgt, dx=dt/(1+t²)|= ?R (t)dt/(1+t²) 5) R (sinx, cosx)= R (-sinx, -cosx)

?R (sinx, cosx) dx=|t=tgx, dx = dt/(1+ t²)| =?R (t)dt

6) ?sin ^m x cos ⁿ xdx

a)m=2k+1 ?sin ^2k x cos ⁿ x sinxdx=?(1-cos ² x)^k cos ⁿ x sinxdx=|t=cosx, dt=-sinxdx|=-?(1-t ²)^k t ⁿ dt

b)n=2k+1 ?sin ^m x cos ^2k x cosxdx= ?sin ^m x (1-sin ² x)^k dsinx

7) ?sin ^2p x cos ^2a xdx sin²x=(1-cos2x)/2

cos²x=(1+cos2x)/2 sinxcosx=(½)sin2x

8) m=-µ n=-? замена t=tgx

1/ sin²x=1+ ctg²x 1/ cos²x=1+tg²x

9) ?tg ^m x dx; ?ctg ^m x dx, m-целое >0ое tg²x=1/ cos²x-1

сtg²x=1/ sin²x-1

10) ?sinmxcosnxdx ?sinmxsinnxdx

?cosmxcosnxdx sinmxcosnx=(½)(sin (m+n)x+sin (m-n)x)

sinmxsinnx=(½)(cos (m-n)x-cos (m+n)x)

Теорема о существовании конечного предела интегральных сумм для непрерывных ф-ий

Пусть существует f определенная на замкнутом интервале [a, b] => ее интегр суммы стремяться к конечному пределу при ранге разбиения 0.

ax²+bx+c=a (x+b/2a)+(4ac-b²)/(4a²) x+b/2a=t; (ax+b)/(cx+d)=t^k=>

ax+b= cx t^k+ dt^k=>x=…; dx=(…)dt

Замена переменной: ?f (x)dx=|x= ?(t); t=g (x); dx= ?'(t)dt |=?f (?(t)) ?'(t)dt

Поднесение по знак дифф-ла: Если? f (x)dx=F (x)+C, то? f (n)dx=F (n)+C

интегрир по частям: ?udv=uv-?vdu

?x sin x dx=|u=x; du=dx; dv=sin x dx; v= -cos x|=-xcos x-?-cos xdx= -xcos x+sin x.

Ф-цию вида R (x,^m(ax+b)/(cx+d) -называют дробно линейной ирр-тью. С помощью замены t=^m(ax+b)/(cx+d) рационализируем интеграл. t^m= (ax+b)/(cx+d); x=(b-dt^m)/(ct^m-a) -рацион ф-ция от t; dx=(mt^m-1(ad-bc)dt)/(ct^m-a) R (x,^m(ax+b)/ (cx+d))dx=R ((b-dt^m)/ (ct^m-a), t) (mt^m-1(ad-bc)dt)/(ct^m-a)= R1(t)dt. R1(t)-рацион-ая. Вида R (x, ax+bx+c)dx, -квадр-ая ирр-ть где а, b, c=const. Если трёхчлен ax+bx+c имеет действит корни х1×2 то ax+bx+c=a (x-x1)(x-x2) и R (x, ax+bx+c)=R (x,(x-x1)(x-x2)a/(x-x1)=R1(x,(x-x2)/(x-x1); пусть ax+bx+c не имеет действит корней и а>0. Тогда подстановка (Эйлера) t=(ax+bx+c) +xa ax+bx+c=t-2xta+ax; x=(t-c)/2t (a)+bрацион функ-ция от t Ч.Т.Д; Если а<0 с>0 (ax+bx+c)>=0) то можно сделать замену ax+bx+c=xt+c {}{} Опред интеграл. Ограниченность интегрируемой ф-ии. {O}Разбиением [a, b] называется произвольное мн-во точек xi, I=0,1,…, i удовлетворяющее условию x0=a<�…(f, 1,…, i)= _I=1ⁱf (I)x; -интегральная сумма {Определение} Число Iназывается опред ф-ции y=f (x) на отр[a;b] и обозначается _a^bf (x)dx Если E >0 _E=(E)>0 | при любом разбиении мелкости ||<_E и любом выборе (.) i[xi-1,xi], I=1,…, i | _I=1ⁱf (i)x-I | При этом пишут I=lim ||0. {T}Если ф-ция интегрируема на отр. [a, b] то она ограничина на этом отрезке {Док-во} Пусть ф-ция y=f (x) интегрируема на [a, b] но не является ограниченным. на этом отрезке. На этом отрезке рассмотрим произвольное разбиение отрезка [a, b] то она ограничена хотя бы на одном на одном отр. разбиения. Пусть это будет отр. x_j0−1, xj0] Тогда на этом отрезке существует последов-ть точек {ⁿ_jo}>0 | lim_nf (ⁿ_jo)= Рассмотрим сумму =_I=1ⁱf (I)xi=f (io)xjo +_I=1ⁱf ()xi=f (jo)xjo+B Зафиксируем произвольным образом i[xi-1,xi] ijo lim (f, 1,…,₀ⁿ,., i) =lim (f (jo)xjo+B)= m>0 существует n0 | (f, 1,…,_jo⁽ⁿ⁾,…,_i)>m Отсюда, что интегр сумма при мелкости разбеения ||0 не могут стремится ни к какому конечному результату. Предположим, что I=lim_||0 E>0 _E>0 |, ||<_E и любой выбор точек i вып-ся нер-во |-I||=|-I+I|<|-I|+|I| <_E можно выбрать точки 1,.,_i такие, что ||>M ф-ция не может быть не ограничена на отр[a, b]. Ч.Т.Д. Ф-ла Ньтона-Лейбница _a^bf (x)dx=Ф (b)-Ф (а)=Ф (х)|_а^b -(1) {T} (основная теорема интегрального исчисления) Пусть ф-ция y=f (x) непрерывна на [a, b] и Ф (х)-какая либо из её первообразных. (1) {Док-во} F (x)= _a^xf (t)dt тогда ф-ции F (x) и Ф (x) первообразные для f (x) на [a, b] F (x)=Ф (х)+С; _a^xf (t)dt=Ф (х)+С Если x=a то _a^аf (t)dt=0 0=Ф (а)+С С=-Ф (а) _a^xf (t)dt=Ф (х)-Ф (а) Поллагая в равенстве x=b приходим к вормуле (1) Ч.Т.Д.

18. Равномерная сх-сть ф-ых послед-стей и рядов. Признак Вейерштрасса. Ф-циональную посл-сть {fn)x)} x E наз. равномерно сходящейся ф-цией f на м-ж Е, если для >0, сущ номер N, такой, что для т х E и n >N вып-ся: |fn (x)-f (x)|<. Если м-ж {fn)x)} равномерно сх-ся на м-ж Е, то она и просто сх-ся в ф-ции f на м-ж. Е тогда пишут: fn f.

наз. равномерно сх-ся рядом, если на м-ж Е равномерно сх-ся посл-сть его частичной суммы., т. е. равномерная сх-сть ряда означает: Sn (x) f (x) Не всякий сходящийся ряд является равномерно сх-ся, но всякий равномерно сх-ся — есть сх-ся Т. (Признак Вейерштрасса равномерной сх-ти ряда): Если числовой ряд: (7), где >=0 сх-ся и для x E и n = 1,2… если выполняется нер-во un (x)|<=n (8), ряд (9) наз абс-но и равномерно сх-ся на м-ж Е.

Док-ва:

Абсолютная сх-сть в каждой т. х следует из неравенства (8) и сх-ти ряда (7). Пусть S (x) — сумма ряда (9), а Sn (x) — его частичная сумма.

Зафиксируем произвольное >0 В силу сх-ти ряда (7) сущ. номера N, n >N и вып. нерво. Следовательно: |S (x)-Sn (x)| =. Это означает, что Sn (x) S (x) что означает равномерную сх-сть ряда.

19. Степенные ряды. Теорема Абеля. Степенным рядом наз ф-ный ряд вида: a₀+a₁x+a₂x²+… + a_nxⁿ = (1) xR членами которого Степенным рядом наз также ряд: a₀+a₁(x-x0)+a₂(x-x0)²… + a_n(x-x0)ⁿ = (2) Степенной ряд (1) сх-ся абс-но по крайней мере в т. х = 0, а ряд (2) в т х = х0, т. е в этих случаях все кроме 1 равны 0. являются степенные ф-ции. Числа an R, наз коэффициентами ряда (1). Ряд (2) сводится к ряду (1) по ф-ле у = х-х0.Т Абеля: 1Если степенной ряд (1) сх-ся в т. х0 0, то он сх-ся абсолютно при любом х, для которого |x|<|x0|, Если степеннгой ряд (1) расх-ся в т. х0, то он расх-ся в любой т. х, для которой |x|>|x0|

20. Радиус сх-ти и интервал сх-ти степенного ряда. Рассмотрим степенной ряд: (1) Число (конечное или бесконечное) R>=0 наз радиусом сх-ти ряда (1) если для любого х такого, что |x|R ряд расх-ся интервалом сх-ти. Т1 Для всякого степенного ряда (1) сущ-ет радиус сх-ти R 0<=R<=+ при этом, если |x|0, то на любом отрезке действительной оси вида |[-r, r] целиком лежащем внутри интервала сх-ти ряд (1) сх-ся равномерно.

На любом отрезке |x-x0|<=r сумма степенного ряда является непрерывной ф-цией.

Если ф-ция f (x) на интервале (x0-R, x0+R) является суммой ряда, то она дифференцируема на этом интервале и её производная f'(x) находится дифференцированием ряда. Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке целиком принадлежащем интервалу сходимости при этом полученный степенной ряд имеет тот же радиус сходимости что и исходный ряд.

21. Разложение ф-ций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена.

Пусть (1) сх-ся при |x-x0|

Пусть дествит. ф-ция f определена в некоторой окрестности т. х0 и имеет в этой точке производные всех порядков, тогда ряд:(6) наз рядом Тейлора ф-ции f в т, х0 При х0=0 ряд Тейлора принимает вид:

(6') и называется ряд Маклорена.

Ряд Тейлора может:

1 Расх-ся всюду, кроме х=х0

2 Сх-ся, но не к исходной ф-ции f (x), а к какой-нибудь другой.

3 Сх-ся к исходной ф-ции f (x)

Бесконечная дифференцируемость ф-ции f (x) в какой-то т. х0 является необходимым условием разложимости ф-ции в ряд Тейлора, но не является достаточным. Для введения доп-ных условий треб. ф-ла Тейлора.

Т2 Если ф-ция f (x) (n+1) дифф-ма на интервале (x0-h, x0+h) h>0, то для всех x (x0-h, x0+h) имеет место ф-ла Тейлора:

где остаток r_n(x) можно записать:

(8)

(9)

Формула (8) наз остаточным членом ф-лы Тейлора в интегральной форме. Ф-ла (9) — формулой Лагранжа.

Преобразуя ф-лу Тейлора при х0 = 0 получаем ф-лу Маклорена.

Т3 Если ф-ция f (x) имеет в окрестности т х0 производные любого порядка и все они ограниченны одним и тем же числом С, т е x U (x0) |f⁽ⁿ⁾(x)|<=C, то ряд Тейлора этой ф-ции сх-ся в ф-ции f (x) для всех х из этой окрестности.

22. Разложение элементарных ф-ций в ряд Тейлора (Маклорена). 1 Разложение ф-ции е^х ряд Маклорена. радиус сх-ти: R= следовательно ряд абсолютно сх-ся на всей числовой прямой. Разложение sinx и cosx В степенной ряд Маклорена сх-ся на всей числовой оси, сх-ся на всей числовой оси, f (x) = (1+x) наз. биномиальный ряд с показ-ем .

Разложение ф-ции ln (1+x)

сх-ся при -1

5 Разложение arctgx в степенной ряд Маклорена сх-ся при -1<=x<=1.