Понятие «функция» в основной и средней школе

Значения зависимой переменной называют значениями функции. Все значения которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции." Так на практике реализуется индуктивный подход к изучению функций в школе. Альтернативой ему служит дедуктивный подход, который, хотя и применяется реже, имеет целый ряд положительных аспектов, которые и стали причиной его применения в школе. Для этого подхода характерно первоначальное, полное и сжатое изложение учебного материала, пусть даже малопонятного при первом прочтении, и дальнейшая углубленная проработка всех примеров, терминов и определений. Такой подход к изучению функций и не только их позволяет учащимся самостоятельно попытаться проследить логические связи в излагаемом материале, резко увеличивает интенсивность мыслительной деятельности, способствует более активному и глубокому запоминанию. Вот как выглядит изложение той же темы «Понятие функции» в соответствии с дедуктивным подходом:

1. Зависимости одной переменной от другой называют функциональными зависимостями.

2. Зависимость переменной у от переменной х называют функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у. При этом используют запись у = f (х).

3. Переменную х называют независимой переменной или аргументом, а переменную у — зависимой переменной. Говорят, что у является функцией от х.

4. Значение у, соответствующее заданному значению х, называют значением функции.

5. Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции; все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют множество значений функции.

6. Для функции f приняты обозначения: D (f) -область определения функции, E (f) — множество значений функции, f (х0) — значение функции в точке х0.

7. Если D (f) М R и E (f) М R, то функцию называют числовой.

8. Элементы множества D (f) также называют значениями аргумента, а соответствующие им элементы E (f) — значениями функции.

9. Если функция задана формулой и область определения функции не указана, то считают, что область определения состоит из всех значений независимой переменной, при которых эта формула имеет смысл.

10. Графиком функции называют множество всех точек, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции. Затем, на следующих уроках, происходит детальный разбор этого материала при активной работе учащихся. Тщательно рассматриваются все определения, прорешиваются примеры — идет усвоение нового материала.

4. Конспект урока: «Функция распределения».

Во всех рассмотренных выше случаях случайная величина определялась путем задания значений самой величины и вероятностей этих значений. Однако, такой метод применим далеко не всегда. Например, в случае непрерывной случайной величины, ее значения могут заполнять некоторый произвольный интервал. Очевидно, что в этом случае задать все значения случайной величины просто нереально. Даже в случае, когда это сделать можно, зачастую задача решается чрезвычайно сложно. Рассмотренный только что пример даже при относительно простом условии (приборов только четыре) приводит к достаточно неудобным вычислениям, а если в задаче будет несколько сотен приборов? Поэтому встает задача по возможности отказаться от индивидуального подхода к каждой задаче и найти по возможности наиболее общий способ задания любых типов случайных величин. Пусть х — действительное число.

Вероятность события, состоящего в том, что Х примет значение, меньшее х, т. е. Х < x, обозначим через F (x). Определение. Функцией распределения называют функцию F (x), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х. Функцию распределения также называют интегральной функцией. Функция распределения существует как для непрерывных, так и для дискретных случайных величин. Она полностью характеризует случайную величину и является одной из форм закона распределения.

Для дискретной случайной величины функция распределения имеет вид: Знак неравенства под знаком суммы показывает, что суммирование распространяется на те возможные значения случайной величины, которые меньше аргумента х. Функция распределения дискретной случайной величины Х разрывна и возрастает скачками при переходе через каждое значение хi.

Так для примера, рассмотренного выше, функция распределения будет иметь вид: Свойства функции распределения:

1) значения функции распределения принадлежат отрезку [0, 1]. 2) F (x) — неубывающая функция. при 3) Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a, b), равна приращению функции распределения на этом интервале. 4) На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности функция распределения равна единице. 5) Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю. Таким образом, не имеет смысла говорить о каком — либо конкретном значении случайной величины.

Интерес представляет только вероятность попадания случайной величины в какой — либо интервал, что соответствует большинству практических задач. Плотность распределения. Функция распределения полностью характеризует случайную величину, однако, имеет один недостаток. По функции распределения трудно судить о характере распределения случайной величины в небольшой окрестности той или иной точки числовой оси.

Определение. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется функция f (x) — первая производная от функции распределения F (x). Плотность распределения также называют дифференциальной функцией. Для описания дискретной случайной величины плотность распределения неприемлема. Смысл плотности распределения состоит в том, что она показывает как часто появляется случайная величина Х в некоторой окрестности точки х при повторении опытов. После введения функций распределения и плотности распределения можно дать следующее определение непрерывной случайной величины. Определение.

Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения F (x) непрерывна на всей оси ОХ, а плотность распределения f (x) существует везде, за исключением (может быть, конечного числа точек. Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что некоторая случайная величина Х примет значение, принадлежащее заданному интервалу.

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b. Доказательство этой теоремы основано на определении плотности распределения и третьем свойстве функции распределения, записанном выше. Геометрически это означает, что вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ, кривой распределения f (x) и прямыми x=a и x=b. Функция распределения может быть легко найдена, если известна плотность распределения, по формуле: Свойства плотности распределения.

1) Плотность распределения — неотрицательная функция.

2) Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от — ¥ до ¥ равен единице.

Пример. Случайная величина подчинена закону распределения с плотностью: Требуется найти коэффициент а, построить график функции плотности распределения, определить вероятность того, что случайная величина попадет в интервал от 0 до. Построим график плотности распределения:

Заключение

Можно привести некоторые аттестационные данные, которые показывают нетолько успеваемость учащихся в средней школе, но из-за какой учебной литературы может зависит успеваемость учащегося в той или ионной степени. Анализ программного обеспечения позволяет сделать вывод о том, что из 147 общеобразовательных учреждений, принявших участие в апробации новой формы государственной (итоговой) аттестации, 39,6% образовательных учреждений осуществляют преподавание алгебры по учебнику Г. В. Дорофеева, 42% - по учебнику Ю. Н. Макарычева, 9,5%- по учебнику А. Г. Мордковича, 5(3,4%) ОУ — по учебнику Виленкина, 1(0,6%) ОУ — по учебнику Ш. А. Алимова, 5(3,4%) ОУ — по учебнику Теляковского С. А. Более высокие результаты показали выпускники школ, в которых используются в обучении учебники Мордковича А. Г. и Виленкина Н. Я. Поэтому при сравнении данных учебников при анализе темы «Функция» можно сказать, что они схожи по методике изложения темы и решению задач, которые начинаются от самых простых и заканчиваются довольно сложными задачами. Но при этом тема «Функция» остается более трудной для учащихся. Вызвал затруднения блок «Функции»: средний процент верных ответов по данному блоку составил 71% (44% учащихся не определили график линейной функции), что говорит о сформированности соответствующих умений выпускников. Наиболее трудными для учеников оказались задания, где требовалось показать умение читать графики и иллюстрировать по графику основные свойства функций.

Список использованной литературы Блох А. Я., Гусев В. А. и др. Методика преподавания математики в средней школе. — М. Просвещение, 1987

Виленкин Н.Я. «Алгебра». 9 кл.: Учебник для классов с углубленным изучением математики.

Виленкин Н.Я. и др. Современные основы школьного курса математики. — М. Просвещение, 1980.

Глейзер Г. И. История математики в школе: 7−8 класс — М.: Просвещение. 1982.

Глейзер Г. И. История математики в школе: 9−10 класс — М.: Просвещение. 1983.

Колмогоров А. Н. Алгебра и начала анализа., М., «Просвещение», 1990.

Математический энциклопедический словарь. — М.: Сов. энциклопедия. — 1988.

Мордкович А.Г. «Алгебра». 9 кл. Ч. 1: Учебник для классов с углубленным изучением математики (теория).

Мордкович А.Г. и др. «Алгебра и начала анализа». 10−11 кл. Ч.2: Задачник (базовый уровень).

Чистяков В. Д. Исторические экскурсы на уроках математики в средней школе. Минск: «Народная освета». — 1969.

Энциклопедический словарь юного математика. — М.: Педагогика. — 1989.

http:/www.prosv.ru — сайт издательства «Просвещение» (рубрика «Математика»)

Приложение, А Программное обеспечение образовательных учреждений по алгебре в территориях области.

Приложение Б Бернулли Иоганн (1667−1748 гг.)

Швейцарский математик. Был сотрудником Лейбница в разработкедифференциального и интегрального исчислений, в области которых им былсделан ряд открытий. Дал первое систематическое изложение дифференциального и интегрального исчислений, продвинул разработку методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений, поставил классическую задачу о геодезических линиях и нашел характерное геометрическое свойство этих линий, а позднее вывел их дифференциальное уравнение. Даламбер Жан Лерон (1717−1783 гг.)

Французский математик, механик философ. Основные математическиеисследования относятся к теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Дал (1748) метод решения дифференциального уравнения второго порядка с частными производными, выражающего малые колебания бесконечной однородной струны (волнового уравнения), в виде суммы двух произвольных функций. Ему принадлежат также важные результаты в теории обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и систем таких уравнений первого и второго порядков. В теории рядов его имя носит широко употребительный достаточный признак сходимости. В алгебре дал первое (не вполне строгое) доказательство основной теоремы о существовании корня у алгебраического уравнения. Много труда вложил в «Энциклопедию наук, искусств, ремесел», длякоторой он написал всю физико-математическую часть. Декарт Рене (1596−1650 гг.)

Французский философ, математик, физик. Он является одним изосновоположников аналитической геометрии. В его главном математическомтруде «Геометрия» (1637) впервые введено понятие переменной величины, создан метод координат (декартовы координаты), введены общепринятые теперь значки для переменных величин (x, y, z,…) буквенных коэффициентов (a, b, c,…), степеней (x3, a5,…). Декарт положил начало ряду исследованийсвойств уравнений. Он сформулировал правило знаков для определения числа положительных и отрицательных корней (правило Декарта); поставил вопрос о границах действительных корней и выдвинул проблему приводимости (представления целой рациональной функции с рациональными коэффициентами в виде произведения двух функций такого же рода); указал, что уравнение третьей степени разрешимо в квадратных радикалах и его корни находятся с помощью циркуля и линейки, когда оно приводимо. Дирак Поль Адриен Морис (1902;1984 гг.)

Английский физик-теоретик, один из основателей квантовой механики. Основные труды в математике по функциональному анализу и математической физике (уравнение Дирака, дельта-функция Дирака, статистика Ферми-Дирака). Нобелевская премия (1933).

f (x) = (x+½)2

y

x

y

f (x) = x2

— ½

x