Шестиугольные три-ткани с частично симметричным тензором кривизны

Геометрия три-тканей возникла на рубеже 20-х-30-х годов двадцатого века в работах немецкого геометра В. Бляшке, его учеников и коллег. В своей книге [18] Бляшке пишет: «Итак, мы видим, что столь необходимая для техники номография может быть включена в наше учение о тканях. Но геометрия тканей тесно связана и с многими «классическими» областями математики. В первую очередь имеется ввиду:

1) вопросы аксиоматического обоснования элементарной и проективной геометрии;

2) алгебраическая теория групп и теория непрерывных групп Ли;

3) проективная и алгебраическая геометрия;

4) классическая дифференциальная геометрия Гаусса;

5) проективная дифференциальная геометрия;

6) риманова геометрия и ее обобщения;

7) вариационное исчисление;

8) теория функций;

9) формы Пфаффа и дифференциальные уравнения;

10) теория расслоенных пространств." .

В этом высказывании содержится, по существу, целая программа исследований, к настоящему времени частично реализованная.

В первых работах по теории три-тканей, написанных В. Бляшке и его учениками, строится локальная «топологическая» дифференциальная геометрия ткани, т. е. изучаются локальные дифференциальногеометрические свойства тканей, инвариантные относительно локальных диффеоморфизмов:

5i = /i (®J'), det дх> J.

0, = 1,2.

В 1935 году Г. Боль [20] обобщает понятие три-ткани на четырехмерный случай, рассматривая три-ткани, образованные семействами двумерных поверхностей в четырехмерном пространстве. Он находит полную систему инвариантов изучаемых тканей и с помощью них определяет условия замыкания конфигураций Томсена (Т), Рей-демейстера (Л), и шестиугольных конфигураций (Н), образованных поверхностями ткани (рис. 1−3).

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4 Рис. 5 Рис. 6.

В 1936 г. появилась работа Черна [34], в которой методом внешних форм Э. Картана изучается геометрия многомерных три-тканей, образованных тремя семействами r-мерных поверхностей в 2г-мерном пространстве. Затем (в 1937 году) Г. Боль рассматривает новые конфигурации, отличные от (Т), ® и (Я). Их теперь обозначают {Вг), (Вт) и (ВГ) и называют соответственно левой, средней и правой фигурами Боля (рис. 4−6). В 1938 г. выходит в свет обстоятельная монография В. Бляшке и Г. Боля «Геометрия тканей» [19] в которой подводится итог исследованиям по геометрии тканей за прошедший период.

Современный этап исследований был подготовлен, с одной стороны, созданием мощного аппарата дифференциально-геометрических исследований Картана-Финикова-Лаптева-Васильева. С другой стороны, начиная с 50-х годов, все более усиливается интерес математиков и физиков к неассоциативным лупам и нелиевам алгебрам. Кроме того, в это время начинает активно развиваться абстрактная теория тканей.

Интенсивное изучение многомерных тканей начинается с 1969 г. работами М. А. Акивиса [3], [5] и продолжается до сих пор. К настоящему времени в этой области получен ряд фундаментальных результатов, отраженных в обзорах [1], [9], [10], [17], [30], [36], [38] и монографиях [24], [25]. Исследования ведутся преимущественно по трем направлениям: а) изучение специальных классов тканей, в первую очередь изо-клинных, трансверсально-геодезических, грассмановых и алгебраических, а также тканей, определяемых специальными соотношениями на основные тензорыб) исследование дифференциально-геометрических структур и аффинных связностей, определяемых тканямив) изучение локальных свойств тканей с помощью ее локальных координатных луп.

Теория тканей еще сравнительно молодой раздел математики, поэтому одной из основных проблем в этой области является проблема классификации. В большинстве работ, посвященных геометрическим и алгебраическим аспектам теории тканей, рассматриваются специальные классы тканей. Каждый класс тканей характеризуется прежде всего особым типом канонически присоединенной аффинной связности Г. (Впервые эта связность появилась в работе Черна [34], поэтому М. Киккава [27] предложил называть ее связностью Черна.) С помощью связности Черна были даны тензорные характеристики тканей Т, Я, Я [34], [35], чем было положено начало главному направлению исследований в современной дифференциально-геометрической теории тканей, а именно изучению тканей со специальным строением основных тензоров.

Цель данной диссертационной работы состоит в изучении шестиугольных три-тканей с частично симметричным тензором кривизны, которые мы называем тканями Hs.

Основные задачи настоящего исследования:

— найти общий вид структурных уравнений тканей Hs, в частности, шестимерных тканей Hs;

— провести классификацию шестимерных тканей Hs, найти структурные и конечные уравнения для каждого класса тканей;

— найти порядок замкнутой^{-структуры,} определяемой этими тканями;

— исследовать геометрическое строение найденных шестимерных тканей Hs.

Основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Выделим некоторые из них.

1. Найдены структурные уравнения 2г-мерных тканей Hs, структурные и конечные уравнения шестимерных тканей Н3 (г = 3).

2. Доказано, что^{-структура} ткани Н3 является замкнутой структурой порядка 3 в смысле определения М. Акивиса. (Напомним, что^{-структура} произвольной ткани Н является замкнутой порядка 4).

3. Проведена классификация шестиугольных тканей Hs по типу ассоциированной алгебры Ли. Доказано, что существуют (с точностью до изотопии) всего две нетривиальные, то есть не групповые, ткани Hs, а именно, ткани Н и, соответствующие трехмерным алгебрам Ли с одномерным и двумерным коммутантом соответственно.

4. Исследована геометрия тканей Н] и Нд.

Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты используются при чтении спецкурсов в рамках специализации по геометрии тканей в Тверском государственном университете, которая ведется в ТвГУ с конца 70-х годов. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на научном семинаре по дифференциальной геометрии кафедры функционального анализа и геометрии ТвГУ (рук. проф. A.M. Шелехов), кафедры математики Института стали и сплавов (рук. проф. М.А. Акивис), на геометрическом семинаре кафедры геометрии МГПИ (рук. проф. В. ФГКириченко), геометрическом семинаре Казанского университета (рук. проф. Б.Н. Шапуков), а также на конференции молодых ученых в Университете Дружбы Народов (рук. проф. Л.В. Сабинин).

Основное содержание диссертации отражено в восьми публикациях. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литертуры. Она изложена на 116 страницах машинописного текста.

Список литературы

содержит 48 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

1. Акивис М. А. Дифференциальная геометрия тканей. Проблемы геометрии// Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР 15, М., 1983, с. 187−213.

2. Акивис М. А. Дифференциально-геометрические структуры, связанные с три-тканью// Ткани и квазигруппы, Калинин, КГУ, 1982, с. 3−6.

3. Акивис М. А. Локальные дифференцируемые квазигруппы и три-ткани многомерных поверхностей! j Исследования по теории квазигрупп и луп, Кишинев, «Штиинца», 1973, с. 3−12.

4. Акивис М. А. О замкнутых G-структурах на дифференцируемом многообразии// Проблемы геометрии (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР) 7 (1975), с. 69−79.

5. Акивис М. А. О канонических разложениях уравнений локальной аналитической квазигруппы// ДАН СССР 188 (1969), N 5, с. 967−970.

6. Акивис М. А. О локальных алгебрах многомерной три-ткани// Сиб. мат. ж. 17 (1976), N 1, с. 5−11.

7. Акивис М. А. О три-тканях многомерных поверхностей//Тр. геом. сем. М., 1969, т. 2, с. 7.

8. Акивис М. А. Ткани и почти грассмановы структуры// Сиб. мат. ж. 23 (1982), N 6, с. 6−15.

9. Акивис М.А.- Гольдберг В. В. (Akivis М.А.- Goldberg V.V.) Algebraic aspects of web geometry// Comment. Math. Univ. Carolin. 41 (2000), N 2, p. 205−236.

10. Акивис M.A.- Гольдберг В. В. (Akivis М.А.- Goldberg V.V.) Differential geometry of webs// Handbook of Differential Geometry, p. 1−152, Elsevier Science B.V., 2000.

11. Акивис M. А.- Шелехов A.M. О вычислении тензоров кривизны и кручения многомерной три-ткани и ассоциатора связанной с ней локальной квазигруппы// Сиб. мат. ж. 12 (1971), N 5, с. 953−960.

12. Акивис М.А.- Шелехов A.M. О канонических координатах в локальной аналитической лупе// Ткани и квазигруппы, Калинин, КГУ, 1986, с. 120−124.

13. Акивис М.А.- Шелехов A.M. О локальных дифференцируемых квазигруппах и связностях, присоединенных к три-ткани// Сиб. мат. ж. 12 (1971), N 6, с. 1181−1191.

14. Акивис М. А.- Шелехов A.M. Основы теории тканей. Калинин, КГУ, 1981.

15. Акивис М.А.- Шелехов A.M. Geometry and Algebra of Multidimensional Three-Webs// Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/ Boston/ London, 1992.

16. Белоусов В. Д. Основы теории квазигрупп и луп. М., Наука, 1967.

17. Белоусов В. Д.- Рыжков В. В. Геометрия тканей. Алгебра. Геометрия. Топология// Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР 10 (1972), с. 159−188.

18. Бляшке В. (Blaschke W.) Введение в геометрию тканей. М., Физматгиз, 1959.

19. Бляшке В.- Бол Г. (Blaschke W.- Bol G.) Geometrie der Gewebe// Springer-Verlag, Berlin, 1938, viii+339 pp.

20. Бол Г. (Bol G.) Gewebe und Gruppen. Math. Ann. 114 (1937), p. 414−431.

21. Боцу В. П. Об изоклинности четырехмерных шестиугольных три-тканей// Моск. гидромелиоративн. ин-т, 1984. Деп. в ВИНИТИ АН СССР, 14.08.1984, N 5824−84ДЕП.

22. Боцу В. П. Об одном классе четырехмерных шестиугольных три-тканей// Укр. геом. сб. 18 1975, с. 27−36.

23. Васильева М. В. Группа Ли преобразований. М., 1969.

24. Гольдберг В. В. (Goldberg, V.V.) Local differentiable quasigroups and webs// Quasigroups and Loops: Theory and Applications, Heldermann-Verlag, Berlin, 1990, p. 263−311.

25. Гольдберг В. В. (Goldberg, V.V.) Theory of Multicodimensional (n+l)-Webs// Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/ Boston/ London, xxii+1988, 466 pp.

26. Егоров И. П. Геометрия. М., Просвещение, 1979.

27. Киккава М. (KikkawaM.) Canonical connections of homogeneous Lie loops and S-webs// Mem. Fac. Sci. Shimane Univ. 19 (1985), p. 37−55. (MR 87j:53 077- Zbl 588:53 014.).

28. Киккава M. (Kikkawa M.) Geometry of homogeneous Lie loops/ f Hiroshima Math. J. 5 (1975), N 2, p. 141−179.

29. Клековкин Г. А. О геометрии четырехмерной три-ткани// Кировский гос. пед. ин-т, Киров, 1982, Деп. в ВИНИТИ 4.08.1982, N 4288−82ДЕП.

30. Рыжков В. В. Дифференциальная геометрия точечных соответствий между пространствами. Алгебра. Топология. Геометрия/ / Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР. Москва, 1971, с. 153−174.

31. Толстихина Г. А. О четырехмерных тканях с симметричным тензором кривизны// Ткани и квазигруппы, Калинин, КГУ, 1981, с. 12−22.

32. Федорова В. И. О три-тканях с частично-кососимметричным тензором кривизны// Изв.вузов. Матем. 1976, N 11, с. 114 117.

33. Федорова В. И. Об одном классе три-тканей W& с частично-кососимметричным тензором кривизны// Укр. геом. сб. 20 (1977), с. 115−124.

34. Черн С. С. (Chern S. S.) Eine Invariantentheorie der Dreigewebe aus r-dimensionalen Mannigfaltigkeiten in R2r// Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 11 (1936), N 1−2, p. 333−358. (Zbl. 13, p. 418.).

35. Черн С. С. (Chern S. S.) Web geometry// Bull. Amer. Math. Soc.N.S.) 6 (1982), N 1, р. 1−8.

36. Шелехов А. М. Классификация многомерных три-тканей по условиям замыкания// Проблемы геометрии (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР) 21, 1989, с. 109−154.

37. Шелехов А. М. О вычислении ковариантных производных тензора кривизны многомерной три-ткани// Ткани и квазигруппы, Калинин, КГУ, 1986, с. 96−103.

38. Шелехов А. М. О дифференциально-геометрических объектах высших порядков многомерной три-ткани// Проблемы геометрии (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР) т.19, М., 1987, с. 101−154.

39. Шелехов А. М. О замкнутых g-структурах, определяемых многомерными три-тканями// Калинин, КГУ, Деп. в ВИНИТИ 25.12 1985, N 8815-В.

40. Шелехов А. М. On the theory of G-webs and G-loops// Global Differential Geometry and Global Analysis (Berlin, 1990), Lecture Notes in Math., 1481, Springer, 1991. p.264−270.

41. Шелехов A.M.- Шестакова M.A. О геометрическом доказательстве универсальности некоторых тождеств в лупах// Ткани и квазигруппы, Калинин, КГУ, 1984, с. 118−124.

42. Шелехов А. М.- Шестакова М. А. О тождествах в лупах со слабой ассоциативностью// Проблемы теории тканей и квазигрупп, Калинин, КГУ, 1985, с. 115−121.

43. Шестакова М. А. Пример шестиугольной три-ткани с частично симметричным тензором кривизны// Ткани и квазигруппы, Калинин, КГУ, 1990, с. 22−29.

44. Шестакова М. А. Структурные уравнения шестимерной шестиугольной три-ткани// Ткани и квазигруппы, Калинин, КГУ, 1988, с. 140−145.

45. Шестакова М. A. Characterization of some hexagonal 3-web in terms of associated Lie algebras// Webs and Quasigroups, 19 961 997, Tver, Tver State University, p. 133−141.

46. Шестакова M. A. On geometry of a six-dimensional hexagonal three-web H// Webs and Quasigroups, 2002, Tver, Tver State University, p. 106−117.

47. Шестакова M. A. On the theory of six-dimensional hexagonal three-webs// Webs and Quasigroups, 1993, Tver, Tver State University, p. 56−62.