Двойные частные групп Ли положительной секционной кривизны

Одной из важных задач римановой геометрии является исследование геометрических и топологических свойств римановых пространств положительной секционной кривизны. Естественным образом, топологический аспект проблемы распадается на два направления: изучение топологических свойств односвязных пространств положительной секционной кривизны, и изучение свойств фундаментальных групп таких пространств. Дадим, сначала, краткий обзор и опишем результаты предлагаемой диссертации в первом направлении.

Известно очень мало примеров односвязных римановых многообразий положительной секционной кривизны, а именно:

1) классическими примерами являются компактные ранга 1 симметрические пространства, т. е. сферы 5″, комплексные проективные пространства СРп, кватернионные проективные пространства НРп и проективная плоскость Кэли СаР2. Отметим, что перечисленные примеры исчерпывают известные топологические типы пространств положительной секционной кривизны в размерностях > 24;

2) все классические пространства положительной секционной кривизны являются нормально однородными, что навело на мысль провести исследование в классе таких пространствэто исследование было предпринято Берже [1], который взялся описать все нормально однородные пространства положительной секционной кривизны и обнаружил два новых «исключительных пространства» вида 8р (2)/5£/(2) и 517(5)/ Бр (2) х 51 размерности 7 и 13, соответственно (причем вложение 5?/(2) С Эр (2) не является стандартным). Однако, в работе Берже была допущена неточность, в силу которой им было выпущено еще одно нормально однородное пространство положительной секционной кривизны в размерности 7 вида 50(3) х 5С/(3)/£/(2) (это пространство диффеоморф-но пространству Алоффа-Уоллаха Л^д, см. ниже). Ошибка была найдена и исправлена недавно, в работе Вилкинга [2]. При этом Вилкинг нашел на N1 д 1-параметрическое семейство нормально однородных метрик положительной секционной кривизны — это единственный пример с таким свойством;

3) Уоллах показал, что все четномерные однородные односвяз-ные замкнутые многообразия с метриками положительной кривизны исчерпываются нормально однородными многообразиями и многообразиями флагов над С Р2, НР2 и С аР2 (их размерности равны 6, 12 и 24, соответственно) [3];

4) Алофф и Уоллах [4] указали бесконечную серию пространств 7Ур1.

5) используя конструкцию Алоффа и Уоллаха, Эшенбург нашел бесконечную серию семимерных пространств с неоднородными метриками положительной кривизны [7], а в дальнейшем построил и шестимерный пример неоднородного пространства с метрикой положительной кривизны [8].

Этот список исчерпывает известные к настоящему времени топологические типы односвязных замкнутых многообразий, допускающих метрики положительной секционной кривизны. Заметим, что размерность 13 среди указанных имеют только два многообразия — сфера 513 и нормально однородное пространство Берже вЩЬ)/ Эр (2) х 51.

При построении своих пространств Эшенбург использовал понятие двойного частного группы Ли — естественного обобщения однородного пространства, которое, вкратце, состоит в следующем.

Рассмотрим группу Ли в и подгруппу Ли V в С х С. Зададим действие С/ на (7: и Э (ди д2): д € в дгдд¹ е в.

Рассмотренное действие может иметь неподвижные точки. Положим V = {(<71,02) ^ идх е Ас1(0)д2}. Тогда легко увидеть, что свободность рассмотренного действия, равносильна условию 17' = {(1,1)}, где 1 е — единица группы.

Если действие свободно и изометрично относительно некоторой римановой метрики на (?, то каноническим образом возникает фактормногообразие 0/11, называемое двойным частным группы Ли (7 (в случае, если и = Н х К, где Я, К С то двойное частное обозначают НС/К). Впервые конструкция двойного частного группы Ли возникла в работе Громолла и Майера [9] для построения метрики неотрицательной секционной кривизны на одной экзотической сфере Милнора.

Одним из основных результатов предлагаемой диссертации является конструкция новой серии односвязных замкнутых 13-мерных римановых многообразий, допускающих метрику строго положительной секционной кривизны. Построенные многообразия являются двойными частными группы Ли 17(5). А именно, в первой главе работы доказана следующая теорема (она следует из Теорем 1, 2 и 3 Главы 1):

Теорема А. Пусть II (5) — группа комплексных унитарных 5 х Ъ-матриц, а группа ?7(4) х 11(1) вложена в нее как подгруппа, состоящая из матриц блочного вида с двумя блоками размеров 4×4 и 1×1. Пусть М25 — однородное риманово многообразие, диффеоморфное ?/(5) и наделенное метрикой, индуцированной из двусторонне-инвариантной метрики на ?7(5) х ?7(4) х 11(1) при проекции.

Щ5) х ?7(4) х U (1) ->¦ ?/(5) х ?7(4) х U (1)/U (A) х ?7(1) = М25, где вложение ?7(4) х ?7(1) —> ?7(5) х f7(4) х ?7(1) диагонально (g (g, g) € и (5) X (17(4) X ?7(1)).

Пусть р= (pi,., р5) такой набор целых положительных чисел, что для всех подстановок a? выполняются следующие условия: a) Ра (1) +Р*(2) -р, 7(3) ~Ра{4) взаимно просто СРф), b) Ра{ 1) + Р<�т (2) +Ра{3) > Ра{4) + Ра{5),.

С) Р<�т (1) +Ра (2)+Рст (3) +Ра{4) > 3ра (5), d) ЧР<�т (1) + Рс{2)) > Ра{3) + Ра (4) + Аг (5) •.

Пусть Мр — фактор-многообразие, полученное из М25 относительно факторизации по действию группы S1 х (5р (2) х 51) вида где X е М2Ъ, zi, z2 6 Sl, A? .

1) пространство Мр односвязно и dim Мр = 13- пространство Мр имеет положительную секционную кривизну;

3) пространство Мр имеет группы когомологий.

Нг =.

Ъ при г = 0,2,4,9,11,13, 0 при г = 1,3,5,7,10,12- группы Н6 и Я8 конечны и их порядок равен — 4сгх сг2 + 8ст3|, где ой — значение элементарного симметрического полинома к-й степени от пяти переменных в точке (рг, ¦ ¦ •, Рь).

Условия а)-(1) выполняются, например, при р = 1, р2 = Рз = Ра — Рь = Чп1 где q — простое число. В этом случае порядок группы Н6(Мр) равен г (д, п) = 8д2п — + 1 и г (д, п) —> оо при <7 —оо или п оо. Отсюда, в частности, следует, что существует бесконечно много попарно негомеоморфных замкнутых односвяз-ных 13-мерных римановых многообразий вида Мр положительной секционной кривизны.

Существуют и другие серии, простейшую конструкцию которых указал нам У. Абреш. А именно, возьмем пятерку чисел, для которых выполняется условие а) теоремы, А (заметим, что под взаимной простотой мы понимаем равенство единице наибольшего общего делителя) и ни ОДНО ИЗ чисел ра{1) + Ра{2) — Ра-(3) — Ра (4) | не равно нулю, и будем добавлять ко всем числам р,—-, рь натуральное число ап = пП Ь<�х (1) + Ра (2) ~ Рсг (з) — Ра{ 4) | • Как легко заметить, существует такое достаточно большое число N1 что при всех п> N пятерки (рх + ап,. ,^5 + ап) удовлетворяют условиям Ь)-(1) и они всегда удовлетворяют условию а). Например, в качестве начальной пятерки можно взять (1,1,1,4д), д — любое натуральное число.

Можно заметить, что при р — р2 = ¦ ¦. = рь — 1 мы получаем пространство, диффеоморфное 13-мерному примеру Берже. Однако метрика нашего пространства при рг = 1, г = 1,., 5 хотя и является однородной, все же существенно «лучше» нормально однородной метрики Берже. В работе [10] Путтманн посчитал за-щемленность 1-параметрического семейства метрик на пространстве Берже: построенная в предлагаемой работе метрика имеет защемленность 1 /64, в то время как защемленность метрики Берже посчитана Хайнтцем в [11] и равна 16/(29 • 37). Отметим здесь же, что максимальная защемленность рассмотренного Путтман-ном семейства равна 1 /37.

В связи с этим кругом вопросов стоит отметить связь между пространством Алоффа-Уоллаха N1 д и пространством Берже, найденную Таймановым в [12]. Он описал вполне геодезическое вложение пространства Л^д в пространство Берже, при котором максимальное и минимальное значения секционных кривизн пространства Берже достигаются на двумерных площадках, касательных к вложенному подмногообразию. Это объяснило совпадение заще-мленностей пространства Берже и пространства Л^д (защемлен-ность последнего пространства была посчитана Хуангом в [13]). В свете конструкции Тайманова вычисления Путтманна показывают существование однородной метрики на А^д с защемленностью 1/37.

Структура Главы 1 следующая. В параграфе 1.1 строится однородная метрика на С/(5) (отличная от двусторонне инвариантной) и определяется свободное изометрическое действие группы Б1 х (5р (2) х 51). В целом, при построении метрики мы следуем методам, предложенным в [8]. При этом основным инструментом построения метрик выступает риманова субмерсия, впервые описанная и изученная О’Нилом в [14]. В параграфе 1.2 исследуется знак секционной кривизны построенных пространств Мр. Основную роль здесь играет формула О’Нила [14], ввиду которой достаточно проконтролировать площадки нулевой секционной кривизны в и (Ъ). Отметим, что при доказательстве положительности кривизны способ, предложенный в [8], связан с определенными трудностями, которые преодолеваются с помощью леммы 8. Наконец, в параграфе 1.3 исследуется топология построенных пространств: устанавливается односвязность и вычисляются группы когомоло-гий. Основным инструментом вычислений здесь выступает спектральная последовательность расслоения.

В рамках изучения геометрических свойств пространств положительной секционной кривизны в Главе 2 диссертации исследована интегрируемость геодезического потока на двойных частных групп Ли.

Сначала дадим краткий обзор по этому вопросу. Пусть М — риманово многообразие размерности п. Геодезический поток на Т*М вполне интегрируем, если существуют п первых интегралов /х,., /п: Т*М —> И, которые независимы почти всюду в Т*М и находятся в инволюции, то есть {/?, /?} = 0 для г^ = 1,., п, относительно стандартной симплектической структуры на Т*М.

Новый метод интегрирования геодезического потока на однородных пространствах был найден Тиммом [15], успешно применившим его к комплексным и вещественным грассмановым многообразиям. Опишем суть метода Тимма. Если группа Ли С с алгеброй Ли % действует на многообразии М изометриями, то возникает отображение момента Ф: ТМ g*. Тогда любая инвариантная функция / на g* дает первый интеграл /оф геодезического потока на М, причем все такие интегралы будут находится в инволюции. Тимм предложил рассмотреть цепочку вложенных подгрупп С] С (?2 С. С С&bdquo- = б и рассматривать первые интегралы, получающиеся из Ас?(С?г)-инвариантных полиномов на g*. Все такие интегралы будут находиться в инволюции. Однако доказательство функциональной независимости в методе Тимма явилось очень непростой задачей, которая не была разрешена в его работе в общей ситуации.

В [16] Патернайн и Спатцир применили метод Тимма к пространствам Эшенбурга М-1^т, 2 т и к сфере Громолла-Майера Е7, которые не являются однородными, а получаются как двойные частные групп Ли (для пространств Эшенбурга <3 = 3(1(3), II = II (1), для сферы Громолла-Майера С? = 5р (2), II = 5'р (1)). Патернайн и Спатцир для построения первых интегралов геодезического потока на двойных частных 811(3)/11(1) и Бр (2)/Бр (1) сначала применили метод Тимма к 311(3) и Бр (2), а затем использовали римаНОВЫ СубмерСИИ 311(3) —"• М,-1,2 т, 2 т и 5р (2) -> ?7.

Отметим, что в [16] была показана интегрируемость геодезического потока на пространствах, диффеоморфных пространствам Эшенбурга, но не изометричных им. В частности, на пространствах, рассмотренных в [16] секционная кривизна не является положительной.

В главе 2 предпринято исследование интегрируемости геодезического потока на двойных частных групп Ли общего вида Нй/К, причем основной трудностью явилось определение числа функционально независимых интегралов, возникающих из метода Тимма. Для этого в диссертации введено понятие ранга цепочки вложенных подалгебр, которое описано ниже.

Пусть g — алгебра Ли, X? g. Положим.

И&(Х) = г (Кег (ас!(Х))) через Z{l) мы обозначаем центр алгебры Ли Ь). Роль подалгебры И%(Х) раскрывается в Лемме 17, которая является узловым моментом в Главе 2: подалгебра ЛГ8 оказывается пространством градиентов в точке X всех Ай (С)-инвариантных полиномов на g.

Пусть имеется пара алгебр Ли Ь), Ь С Пусть g = Ь ф р — ортогональное разложение относительно Ас?(С)-инвариантной метрики на g. Предположим, что имеется векторное подпространство V С g. Положим гапк ((g, h), у) = тах<�Ит (ргр (Мё (Х))), где ргр: g —> р — ортогональная проекция. Число гапк{(%, Ь), V) назовем рангом пары относительно пространства V.

Пусть, теперь, дана цепочка вложенных подалгебр Ли о С gl С. С gn, и подпространство vCgn. Обозначим через рг{: gn —>• g? ортогональную проекцию. Число п-1 гапк ({ё№=0, V) =? гапА-((ёш,&), ргш (у)) о будем называть рангом цепочки вложенных подалгебр.

Основным результатом второй главы является следующая теорема (содержащаяся в Главе 2 как Теорема 4): Теорема Б.

Рассмотрим М = Н/К — двойное частное группы Положим.

V = (Ь + к)1 С g, где g, h, k — алгебры Ли групп С, Н, К и ортогональное дополнение берется относительно двусторонне инвариантной метрики на (2.

Пусть существуют цепочки вложенных алгебр Ли: ь = ь0 с. с ьг = к = к0 С. С кт = g, и Т — гапк ({Ьг}г, V), г2 = гапк ({к^у), г3 = гапк (0).

Тогда для геодезического потока па М существует по крайней мере Г1 + Г2 — Гз функционально независимых первых интегралов, находящихся в инволюции.

В качестве приложения этой теоремы мы доказываем интегрируемость геодезического потока на пространствах Эшенбурга положительной кривизны, построенных в [8] и на 13-мерных пространствах положительной кривизны, построенных и изученных в Главе 1.

Опишем структуру Главы 2. В параграфе 2.1 описан собственно метод Тимма. В параграфе 2.2 введено пространство Л^Х) и доказана упомянутая выше Лемма 17. При ее доказательстве существенную роль играют факты из теории полиномов, инвариантных относительно групп, порожденных отражениями. Основной работой в этом направлении явилась для нас статья Шевал-ле [17]. Однако для наших целей потребовалось некоторое усиление результатов Шевалле, которое мы проделали в Приложении, А (теорема о функциональной независимости в регулярных точках базиса инвариантных полиномов). В параграфе 2.3 вводится определение ранга цепочки вложенных подалгебр и устанавливаются некоторые оценки снизу на ранг, достаточные для приложений. В параграфе 2.4 доказывается основная теорема о числе независимых интегралов на двойных частных групп Ли (Теорема 4). Наконец, в параграфе 2.5 рассмотрены наши основные два примера в качестве приложения: 7-мерные пространства Эшенбурга и 13-мерные пространства автора, построенные в Главе 1. На всех этих пространствах показана интегрируемость геодезического потока по отношению к метрикам положительной кривизны.

Обсудим теперь другое направление исследований — изучение свойств фундаментальной группы многообразия положительной секционной кривизны. Теорема Синга, из которой следует, что фундаментальная группа четномерного многообразия положительной кривизны либо единичная, либо Z2, а также Теорема Май-ерса, гарантирующая конечность фундаментальной группы пространства положительной кривизны, наводят на мысль, что положительная кривизна накладывает сильные ограничения на фундаментальную группу. Известная гипотеза Чженя [18] состоит в следующем: верно ли, что у замкнутого многообразия положительной секционной кривизны все абелевы подгруппы фундаментальной группы цикличны?

По-видимому, гипотеза основывалась на том, что это верно для групп изометрий сфер и фундаментальных групп многообразий отрицательной кривизны.

Шанкар, в работе [19], определил свободное изометрическое действие группы Ли 30(3) на пространстве Алофф-Уоллаха Л^д уже не раз упоминавшемся выше. При этом Шанкаром была рассмотрена нормально однородная метрика, найденная Вилкингом. Следовательно, любая конечная подгруппа в 30(3) может быть реализована как фундаментальная группа некоторого 7-мерного многообразия положительной секционной кривизны. Подгруппа диагональных матриц в в О (3), изоморфная Ф явилась первым контрпримером к гипотезе Чженя. Однако других подгрупп вида Zp © Ър в группе Б О (3) нет, поэтому вопрос о реализуемости группы Zp ф Zp как подгруппы фундаментальной группы многообразия положительной секционной кривизны оставался до сих пор неясным, и Шанкаром в его работе была выдвинута гипотеза.

0 несуществовании таких подгрупп.

В Главе 3 предлагаемой диссертации описывается свободное изометрическое действие группы ф Zз на 7 -мерном пространстве Алоффа-Уоллаха А^д (в представлении Вилкинга) положительной секционной кривизны (Теорема 5).

Отсюда, опровергая предположение Шанкара, следует Теорема В. Существует замкнутое риманово многообразие положительной секционной кривизны с фундаментальной груп-пойЪг@Ъг. 1.

Автор благодарит научного руководителя И. А. Тайманова за постановку задачи и полезные советы.

1. Berger M. Les varietes Riemanniennes homogenes normales simplement connexes a courbure strictement positive, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4). 1961. V. 15. P. 179−246.

2. B. Wilking, The normal homogeneous space (5/7(3) x SO (3))/U*(2) has positive sectional curvature, Proc. Amer. Math. Soc., to appear.

3. Wallach N. R. Compact homogeneous Riemannian manifolds with strictly positive curvature, Ann. of Math. 1972. V. 96. 277 295.

4. Aloff S., Wallach N. R. An infinite family of distinct 7-manifolds admitting positively curved Riemannian structures, Bull. Amer. Math. Soc. 1975. V. 81. P. 93−97.

5. Berard Bergery L. Les varietes Riemanniennes homogenes simplement connexes de dimension impair a courbure strictement positive, J. Pure Math. Appl. 1976. V. 55. P. 47−68.

6. Kreck M., Stolz S. Some nondiffeomorphic homeomorphic homogeneous 7-manifolds with positive sectional curvature, J. Differential Geom. 1991. V. 33, N 2. P: 465−486.

7. Eschenburg J.-H. New examples of manifolds with strictly positive curvature, Invent. Math. 1982. V. 66. P. 469−480.

8. Eschenburg J.-H. Inhomogeneous spaces of positive curvature, Differential Geom. Appl. 1992. V. 2, N 2. P. 123−132.

9. D. Gromoll and W.T. Meyer, An exotic sphere with nonnegative sectional curvature, Ann. of Math. 100 (1974), 401−406.

10. T. Puttmann, Optimal pinching constants of odd dimensional homogeneous spaces, Inaugural-Dissertation zur Erlangung des Doktorgrades der Naturwissenschaften.1.l E. Heintze, The curvature of SU (5)/(Sp{2) x S1), Invent. Math. 13 (1971), 205 212.

11. И. А. Тайманов, О вполне геодезических вложениях 7-мерных многообразий в 13-мерные многообразия положительной секционной кривизны, Математический сборник, 187 (1996), 121 136.

12. Н.-М. Huang, Some remarks on the pinching problem, Bull. Inst. Math. Acad. Sin. 9 (1981), 321 340.

13. O’Neill B. The fundamental equations of a submersion, Michigan Math. J. 1966. V. 13. P. 459−469.

14. A. Thimm, Integrable geodesic flows on homogeneous spaces, Er-god. Th. & Dynam. Sys. (1981), 1, 495−517.

15. G.P. Paternain and R.J. Spatzier, New examples of manifolds with completely integrable geodesic flows, Advances in Mathematics 108 (1994), 346−366.

16. C. Chevalley, Invariants of finite groups, generated by reflections, Amer. J. Math. 77 (1955), 778−782.

17. S.-T. Yau, Seminar on Differential Geometry, Ann. Math. Studies, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1982.

18. K. Shankar, On the fundamental groups of positively curved manifolds, J. of Differential Geometry, 49 (1998), 179 182.

19. Milnor J. Morse Theory. Princeton: Princeton Univ. Press, 1963. (Ann. of Math. Stud- 51.).