Универсально вписанные и описанные многогранники

В комбинаторной и выпуклой геометрии, для которой по замечанию Хопфа [(1953)] характерна взаимосвязь чисто метрических и топологических соображений, имеется немало задач для решения которых используются топологические соображения. Для решения задач на плоскости нередко достаточно элементарного свойства непрерывных функций принимать на отрезке все промежуточные значения ([Яглом, Болтянский, 1951], гл. З), но в более высоких размерностях задачи резко усложняются, и для их решения по-видимому следует использовать более серьезные топологические соображения.

Во многих задачах выпуклой и комбинаторной геометрии при попытке перенести двумерный результат на более высокие размерности уже в размерности три мало законченных результатов, а в более высоких размерностях почти ничего не известно [(Болтянский, Гохберг, 1965), (Грюнбаум, 19бЗ), Яглом, Болтянский, 1951].

В данной диссертации топологические средства используются для поиска многомерных (чаще всего трехмерных) аналогов некоторых теорем из двумерной геометрии и для решения некоторых экстремальных, задач выпуклой геометрии в евклидовых и нормированных пространствах.

Первая глава содержит нижеследующую топологическую лемму и ее применение к известной задаче о непрерывных функциях на сфере в евклидовом пространстве [(Макеев, 1989)].

На многообразии Штифеля, п 2-реперов в евклидовом пространстве Шп свободно действуют циклические группы Zm поворотами реперов в их плоскости на кратные ^ углы. Имеются в виду повороты в направлении от первого вектора репера ко второму. Ниже мы будем рассматривать на многообразии Vi) П вышеописанное действие циклической группы Zp простого нечетного порядка р, образующую которой обозначим через t. А—.

Лемма 1.1.1 [(Макеев, 1989)]. Если / 6 Сп>3, а простое р > 2п — 2, то найдутся такие х G V2, n и числа 0 < i < • • • < iin-i < Р — 1, что f (tH (x)) =. — f (t%2n~2(x)). Если же р < 2п — 2, то орбита некоторой точки х G V2, п отображается функцией / в одну точку.

Откуда непосредственно следует [(Макеев, 1989)].

1. Теорема 1.2.1.Пусть точки Ai,., Ap лежат в вершинах правильного р-угольника, вписанного в большую окружность стандартной сферы 571−1 С R", п > 3, а р — простое число > 2п — 2. Тогда для произвольной функции f G C (Sn~1) найдутся такие номера 1 <(<�••< г2п-2 < Р и поворот, а сферы, что /(a (^jj) = • • • = /(«(Дгп-г)) — Если же р <2п — 2, то для произвольной функции / € C (Sn~1) найдется такой поворот, а сферы, что /(а (Лх)) = • • • = f (a (Ap)).

Лемма 1 в дальнейшем применяется при доказательстве различных геометрических теорем.

Вторая, Третья и четвертая главы диссертации посвящены задаче о вписанных и описанных многоугольниках и многогранниках для выпуклого тела.

Многогранник, А С М" называется вписанным в выпуклое тело К с R", если все его вершины принадлежат границе дК тела К. Многогранник, А описан вокруг К, если К С, А к К имеет общие точки со всеми гранями многогранника А.

Пусть G — замкнутая подгруппа группы Aff * сохраняющих ориентацию аффинных преобразований пространства Мт Многогранник, А назовем G-вписанным в выпуклое тело К (G-описанным вокруг К), если для некоторого g Е G многогранник дА вписан в К (описан вокруг К). В случае, когда G = Д//^, будем говорить об аффинно-вписанных и аффинно-описанных многогранниках. Если G — группа подобий, то будем говорить о подобно-вписанных и подобно-описанных многогранниках.

Глава 2 посвящена в основном вписанным и описанным многоугольникам.

Известная теорема Шнирельмана [1944] утверждает, что во всякую регулярную жорданову кривую класса С2 на плоскости можно вписать квадрат. Кажется ничто не противоречит утверждению [Макеев, 1995], что во всякую регулярную жорданову плоскую кривую можно вписать некоторый подобный образ любого наперед заданного вписанного в окружность четырехугольника.

Теорема 2.1.1[Макеев, 1995]. Любые четыре точки окружности можно с помощью подобия поместить на любой плоской С2-гладкой звездной жордановой кривой j, которую нельзя пересечь окружностью более чем в четырех точках.

По теореме Бляшке условию теоремы удовлетворяют звездные овалы с четырьмя вершинами — стационарными значениями кривизны.

Теорема. [Макеев, 1995]. На любой С2-гладкой звездной жордановой кривой на плоскости лежат некоторые четыре вершины правильного р-угольпика для простого р > 5.

Теорема 2.3.1[Макеев, 1997]. Пусть сумма любых двух соседних углов выпуклого пятиугольника А1А2А3А4А5 больше ж, a Aq — фиксированная точка границы дК выпуклой фигуры К С М2. Тогда существует аффинный образ пятиугольника, вписанный в К так, что вершина, А лежит в точке Aq.

Теорема 2.3.3. Во всякую выпуклую фигуру К с R2 вписан аффинный зеркально симметричный образ правильного пятиугольника.

Хорошо известна теорема Безиковича [1942], впоследствии неоднократно передоказываемая другими авторами, о возможности вписать (соответственно описать вокруг) во всякую выпуклую фигуру аффинный образ правильного шестиугольника. Эта теорема оказалась очень полезной для решения ряда экстремальных задач из выпуклой двумерной геометрии.

Нижеследующая теорема обобщает теорему Безиковича [1942].

Теорема 2.4.1 (см. Макеев, 1996]) Во всякую выпуклую фигуру на плоскости аффинно вписан и вокруг нее аффинно описан произвольный наперед, заданный центрально симметричный шестиугольник А.

Теорема 2.5.1. [МАкеев, 1994]. Если простое 2 < р < 2п, то для любого ограниченного К С Мп вокруг ортогональной проекции К на некоторую двумерную плоскость, можно описать правильный р-угольник.

Глава 3 посвящена поиску подобно вписанных и описанных многогранников в основном в трехмерном пространстве.

Теорема 3.2.1. [Макеев, 2000] Всякая правильная пятиугольная пирамида П в R3 подобно описана. Кроме того, всякая такая пирамида подобно вписана во всякий выпуклый компакт К в R3 с гладкой границей.

Теорема 3.2.2. Макеев, 2001] Пусть a, b е (0,1). Пусть Аь А2, А3 — вершины правильного треугольника, лежащие на окружности {z = а} стандартной единичной сферы.

S2 = {(x, y, z) 6R3| x2 + y2 + z2 = l}, а А, А$, Aq — вершины правильного треугольника, лежащие на окружности {z = —6} той же сферы. Тогда во всякое гладкое трехмерное выпуклое тело К можно вписать подобный образ шестивершинника А. Aq.

Следствие. В любое гладкое выпуклое тело вписан правильный октаэдр.

Тем самым (в случае тела с гладкой границей) дается ответ на неоднократно ставившийся вопрос [Klee, 1991].

Ромбододекаэдром называется двенадцатигранник, ограниченный плоскостями, которые проходят через ребра некоторого куба и составляют равные углы с гранями куба.

Теорема [Макеев, 1997/98]. (см.§- 3, гл. З) Вокруг тела постоянной ширины 1 в трехмерном пространстве описан ромбододекаэдр с единичным расстоянием между противоположными сторонами.

Это утверждение также доказано в [Hausel, 1997, Kuperberg, 1999]. Купер-берг построил однопараметрическое семейство многогранников с указанным свойством.

Теорема 3.3.1. Пусть S С S2 — следующее двенадцатиточечное подмножество единичной сферы в М3:

5 = {(±1,0,0), (0, ±1,0), (±-а, 0, ±-у/1 -а2), (0, ±-а, ±y/l-a*)}, где 0 < а < 1 и знаки ± сочетаются всевозможными способами. Тогда двенадцатигранник M (S), ограниченный опорными плоскостями, проведенными к сфере в точках множества S, подобно описан вокруг произвольного тела постоянной ширины в R3.

Теорема 3.5.2. [Макеев, 2001] Пусть AqBqCqDq — правильная треугольная пирамида с вершиной Dq. Во всякое С2-гладкое выпуклое тело К С К3 вписан подобный образ ABCD пирамиды AqBqCqDq такой, что касательная плоскость в точке D параллельна основанию ЛВС, а то главное направление в точке D, в котором достигается максимальное значение нормальной кривизны границы д К, составляет наперед заданный угол а0 с ребром АВ.

Теорема 3.6.1. Пусть К — центрально-симметричный трехмерный выпуклый компакт в К3. Тогда на границе компакта К лежат середины ребер некоторого прямоугольного параллелепипеда, или же некоторое центральное сечение компакта К является прямоугольником.

Глава 4 диссертации посвящена аффинно-вписанным и описанным многогранникам в основном для трехмерного выпуклого тела.

Кубооктаэдром называется выпуклая оболочка середин ребер некоторого куба. Нижеследующая теорема дает положительный ответ в размерности 3 для большинства выпуклых тел на поставленный Грюнбаумом вопрос о возможности вписать в выпуклое тело в Rn разностное множество п-мерного симплекса. Отметим, что это утверждение является пространственным обобщением вышеупомянутой теоремы Безиковича о вписанном аффинно правильном шестиугольнике.

Теорема 4.1.1. Макеев, 1995] Во всякое выпуклое тело в R3, кроме описанных ниже, аффинно вписан кубооктаэдр. Возможные исключения представляют собой тела, содержащие некоторый параллелограмм Р и содержащиеся в цилиндре с направляющим множеством Р).

Теорема 4.3.1. [Макеев, 2001] Пусть К С К31 — центрально-симметричное тело с центром О 6 I3. Тогда в К можно вписать аффинно-правильный икосаэдр А. А (т.е. аффинный образ правильного икосаэдра) так, чтобы (по нашему выбору) было выполнено любое из следующих условий 1−3:

1) OAi = ОА2 = ОА3 и АгА2 = А2А3 < ЛхЛ3 (или, по выбору, > AiA3), где АА2А3 — треугольная грань икосаэдра;

2) AiA2 = А2А3 = А1А3 и О Ах = ОА2 < ОА3 (или, по выбору, > ОА3), где АА2А3 — треугольная грань икосаэдра;

3) ОА = ОА2 = ОА3 = ОА4 < ОЛ5 (соответственно > О, А 5), где Ai,., As — вершины икосаэдра, образующие аффинно-правильный пятиугольник (или, что-то же, лежащие в одной плоскости).

Следующая часть главы 5 посвящена возможным обобщениям понятия правильного многогранника на нормированном пространстве.

Назовем симплекс в пространстве с нормой || || правильным (|| ||-правильным), если все его ребра имеют одинаковую длину. Неизвестно, имеется ли в п-мерном нормированном пространстве правильный n-мерный симплекс при п> 3.

В трехмерном нормированном пространстве имеется много правильных тетраэдров [Petty, 1991]. Нижеследующая теорема [Макеев 2000, 2001] содержит новые результаты в этом направлении.

Теорема 4.4.1. [Макеев, 2000] Пусть в трехмерном векторном пространстве Е заданы две нормы: || • ||i и || ¦ ||2. Тогда в Е найдется такой || • ||i-равносторонний тетраэдр ABCD, что.

АВ\2 = ||С£>||2> \ACh = ||ВЯ||2 и \AD\2 = \ВС\2.

В Е также найдется такой || • ||i-равносторонний тетраэдр ABCD, что.

ACh = \ADh = ||БС||2 = ||BD||2.

Теорема 4.4.2. Пусть в пространстве R3 заданы две нормы: || • ||i и || • ||2. Тогда в М3 найдется || • \-правильный тетраэдр ABCD с.

АВ\2 = \АС\2 = \ADh,.

ВС\2 = \BD\2 > \CDh соответственно < ||C.D||2>). В R3 также найдется || ¦ ||i-правильный тетраэдр ABCD с.

BC\2 = \BD\2 = \CD\2l \АВ\2 = ||ЛС||2 > \ADh соответственно < ||Л1)||2/.

Назовем кубом параллелепипед с попарно равными диагоналями и попарно равными ребрами.

Теорема 4.5.1. Пусть Е — двумерное нормированное пространство. Тогда.

1) В Е имеется квадрат с диагональю (или стороной), параллельной наперед заданной прямой.

2) Во всякую регулярную жорданову кривую в Е можно вписать квадрат.

Таким образом, теорема Шнирельмана [1944] верна и на нормированной плоскости.

Теорема 4.5.2. Пусть Е — трехмерное нормированное пространство. Тогда.

1) В пространстве Е существует куб.

2) Во всякий шар, гладко и центрально-симметрично вложенный в Е, можно вписать куб с тем же центром симметрии.

Таким образом, теорема [Hausel, 1999] о вписанном кубе также переносится в нормированное пространство.

Назовем правильным октаэдром в нормированном пространстве выпуклую оболочку п отрезков с общей серединой и равной длины таких, что все расстояния между концами (разных) отрезков попарно равны.

Теорема 4.5.3. Пусть || • ||i и || • ||г — две нормы в трехмерном пространстве Е. Тогда найдется || • ||i-правильный октаэдр АВСА’В’С' с диагоналями АА', ВВ', СО такой, что.

АА'\2 = \ВВ'\2 > \СС\2 или, по нашему выбору, ЦАА’Цг = ЦБВ’Цг < ЦСС’Цг^.

Автору неизвестно, имеются ли правильные октаэдры в произвольном нормированном пространстве размерности > 4.

Назовем подмножество К С Мп^{-сферическим,} если оно содержит некоторый шар и содержится в гомотетичном щаре с тем же центром и коэффициентом гомотетии 1 + е.

Дворецкий [(I960)] доказал, что для фиксированного натурального к и е > 0 при п > N (k, s) = exp (215?-2fc2 In к) через центр центрально симметричного тела в R" проходит^{-сферическое} fc-мерное сечение. В дальнейшем оценка N (k, е) улучшалась различными авторами, а условие центральной симметричности было снято.

Определим две функции e (n, к) = inf{?| любое ограниченное центрально симметричное выпуклое тело в W1 обладает е-сферическим /с-мерным центральным сечением} и Е (п, к) = inf{?:| через любую внутреннюю точку О.

11— выпуклого тела в Мп проходит /с-мерное сечение, содержащее некоторый к-мерный шар с центром в О и содержащееся в шаре с тем же центром и коэффициентом гомотетии 1 + ?}. Обозначим через р (п) наибольшее простое число, меньшее п. Теорема 5.1.1. При п > 3.

1— -1<�е (п, 2).< 1.

COStttHT ' ' ' COS' 7 Г.

2п—2 р (2п—2) U.

К— I < ?i{n, 2) <—-1. cos n^T C0SRfe).

Кажется правдоподобным [(Макеев, 1989)], что верхние оценки в сформулированной теореме являются точными.

2 2 Из теоремы непосредственно следует, что e (n, 2) ~ ^ и £(п, 2) ~.

Более слабые оценки имеются в [Макеев, 1984, Milman, 1988].

Теорема 5.1.2. Если п — 1 — простое нечетное число, то е (п, 2) = sec 2^-1 и ei (n, 2) = sec ^ - 1.

Заметим, что эта теорема вычисляет е (4,2) и? i (4, 2). Всюду в дальнейшем под нормированным пространством понимаем вещественное нормированное пространство, Rn обозначает n-мерное вещественное пространство со стандартной евклидовой нормой.

Пусть Ei и Е2 — два нормированных пространства одинаковой размерности. Расстоянием Банаха-Мазура между ними называется число d (EuE2).= inf{ln (||A|| • ||Л1||)}, А где инфимум берется по всем линейным изоморфизмам, А: Ei —> Е2.

— 12.

Теорема 5.2.1 [Макеев, 2002]. Во всяком трехмерном нормированном пространстве найдется двумерное подпространство Е2 с d (E2, R2) <

Данная оценка неулучшаема.

Рассмотрим еще одно обобщение теоремы Дворецкого.

Определим на классах изоморфных векторных расслоений над топологическими пространствами неотрицательный скалярный вариант.

Пусть 7: Е В — вещественное векторное расслоение с базой В. Обозначим через множество финслеровых метрик на 7. Символом Ех будем обозначать слой 7−1(:г) над точкой х. Соответственно, Е^ обозначает этот же слой, снабженный нормой из финслеровой метрики /? Положим т (7)= sup inf di (E^/Rn), где п = dim 7.

6^(7)хеВ.

Обозначим через Gfc (Rn) многообразие Грассмана неориентированных к-плоскостей в R", проходящих через нуль. Пусть 7^: Ек (Rn) —> G^(Rn) -каноническое расслоение, в котором слоем над /с-плоскостыо из Gk{R") является она же, рассматриваемая как линейное пространство. Нижеследующая гипотеза обобщает известную теорему Дворецкого [I960].

Гипотеза. Для всякого натурального к имеем lim m (7j?) = 0. п—"оо.

Случай к = 1 тривиален. При к = 2 гипотеза следует из того, что т (7^) ~ j^y [Макеев, 2002]. При к > 3 гипотеза не доказана (и не опровергнута).

Инвариант 771(7) геометрический и трудно вычислим. В [Макеев, 2002], например, вычислены 771(7!) = Мп (4/3), 771(73) = In 4/3,771(77) = 1п/7.

Глава 5 диссертации содержит решение еще нескольких экстремальных задач о плоских сечениях трех и четырехмерного, а также многомерного выпуклого тела § 4,5.

Глава 6 диссертации посвящена задаче о делении непрерывно распределенной в евклидовом пространстве, на сфере или проективной плоскости конечной массы некоторым набором плоскостей или прямых. Наиболее известный из литературы результат такого сорта — теорема о разрезании сандвича утверждает, что п конечных масс непрерывно распределенных в Мп можно одновременно рассечь гиперплоскостью на равные части. Недавно Дольников (1992), Живалевич (1990) и Вречица обобщили это утверждение. Следует отметить также хорошо известное утверждение о возможности разделить непрерывно распределенную на плоскости массу парой перпендикулярных прямых на четыре равные части, а также [Buck, 1948/49] тройкой проходящих через одну точку прямых на шнесть равных частей. Для последних двух утверждений в работе найдены аналоги на сфере, проективной плоскости и в трехмерном пространстве. Приведем несколько из доказанных в гл. б теорем.

Теорема 6.1.1. [Макеев, 1996] Для любой непрерывно распределенной на плоскости конечной массы найдутся пять лучей с общим началом, разделяющие плоскость на 5 таких конгруэнтных секторов Ei,., что т{Ех) = т (Е2) = т{Е3) = т (Е4) > т (Е5).

Теорема 6.1.2. 1) Во всякую выпуклую фигуру К С R2 вписан аффинный зеркально симметричный образ правильного пятиугольника.

2) Для всякой конечной непрерывно распределенной на плоскости массы m найдется такой аффинный зеркально симметричный образ правильного пятиугольника, что лучи, исходящие из его центра в вершины, делят m на 5 равных частей.

Три попарно перпендикулярные плоскости разбивают трехмерное пространство Мп на восемь равных октантов. Повернем одновременно четыре из этих октантов, имеющие общий луч, на некоторый угол вокруг этого луча. Полученную конфигурацию октантов будем называть скрученной.

Теорема 6.3.2. Макеев, 1998] Для всякого непрерывного распределения массы в R3 найдется скрученная система октантов, разбивающая массу на восемь равных частей.

Полным ориентированным флагом в Rn будем называть вложенную последовательность ориентированных подпространств возрастающей размерности:

О С Li С Ь2 С • • • С Ln = Rn, где ориентация внешнего пространства фиксирована.

Теорема 6.3.4. [Макеев, 2001] Пусть L — полный ориентированный флаг в R3, a Ki,., К2 ~ конусы над гранями правильного додекаэдра или ромбододекаэдра с общей вершиной в его центре О. Для любой конечной массы m в R3, распределенной непрерывно и симметрично относительно точки О, найдется такое сохраняющее ориентацию линейное преобразование а, что m {а{К{)) = т (а (К2)) = • • • = m (а (К12)), а флаг a (L) — любой наперед заданный.

Найдется также такой ромбододекаэдр D с центром в точке О и такое линейное преобразование, сводящееся к сжатиям в направлении двух осей D с некоторыми коэффициентами, что m (a (Ki)) = • • • = т (а (К 12)).

Теорема 6.4.2. Пусть на проективной плоскости RР2 непрерывно распределены массы mum'.

1) Найдутся 3 прямые, делящие каждую из масс ш и ш' на 4 равные части.

2) Найдутся 3 взаимно-перпендикулярные прямые, делящие массу m на 4 равные части.

3) Найдутся 4 прямые, три из которых пересекаются в одной точке и перпендикулярны четвертой, делящие массу m на 6 равных частей.

1. Floyd E. Real-valued mappings of spheres. Proc. Am. Math. Soc. 1955. V.6. N6. P.957−959.

2. D. Gale, On inscribing n-dimensional sets in a regular n-simplex, 222−225, 1953,4, Proc. Amer. Math. Soc.

3. Griffiths H. The topology of square pegs in round holes. Proc. London Math.

5. Grunbaum В., Affine-regular polygons inscribed in plane convex sets, Hiveon1. matematika 13 (1959), 20−24.

6. Grunbaum B. Partitions of mass-distributions and of convex bodies by hyperplans//Pacii.

8. Grunbaum B. Measures of symmetry for convex sets. Proc.Simpos.Pure.Math.

9. V.7 (Convexity). Providence (USA), 1963, 233−270.

10. Громов M. Л. 0 симплексах, вписанных в гиперповерхности. Мат. заметки, 5 (1969) № 1, 81−89.

11. F. John. An inequality for convex bodies. Univ. Kentucky Research Club. Bull.6, 1940, 26.

12. H. Hadwiger. Simultane Verteilung zweier Korper// Arch. Math. 17, 1966, 274 278.

13. Hausel Т., Makai E, Sziics A. Each symmetric convex body in E.^ admits aninscribed cube. Mathematika (в печати).

14. Hinrichs A. Richter C. New counterexamples to Knaster’s conjecture. (2003)preprint — 1531.

Литература

.

15. Hopf H. Uber Zusammenhange Zwischen Topologie und Metrik in Rahmen derelementaren Geometric. Math. Phys., 1953, terber 3, 16−29.

16. Kakutani S. A. A proof, that there exists a circumscribing cube around anybounded closed set in Ml Ann. Math. 1942. V.43. P.285−303.

17. Касселс Дж.

Введение

в геометрию чисел. Мир, М. 1965.

18. Kashin B.S. Szarek S.J. The Knaster problem and the geometry of high dimensionalcubes. C.R.Acad.Sci Paris Ser. l 336(2003), 931−936.

19. Klee v. Wagon S. Old and new unsolved problems in plane geometry andnumber theory. Dolciani Math. Exp., vol. 11, Math. Assoc. Am. Washington, DC, 1991.

20. Knaster B. Un continu irreductible a decomposition continue en tranches. Fund. Math/1935. V.25. R568−577.

21. Knaster B. Problem P 4. Colloq.Math. 1947. V.l. P.30−31.

22. Kuperberg G. Circumscribing constant-width bodies with polytopes. New York.

23. J.Math. 5(1999), 91−100- Preprint arXiv: math. MG/98 091 651.vesay G.R. On a theorem of F.J.Dyson//Ann.Math. 1954. V.59. P.227−229.

24. Milman V. D. A few observations on the connections between local theory andsome other fields. Lecture Notes Math. 1988, v.1317, p.283−289.

25. J. Pal, Uber ein elementares Variationsproblem. Danske Videnskab selskab.

26. Math. Fys. Meddel, 3(1920), JV^ 2, 35 p.

27. Petty C. Equilateral sets in Minkowski spaces. Proc. Amer. Math. Soc. 29,1971,369−374.

28. R. Rattray. An antipodal point, orthogonal point theorem. Ann. Math. 60,1954,502−512.

29. Стинрод H. Эпстейн Д. Когомологические операции. М.: Наука, 1983.

30. Шнирельман Л. Г. О некоторых геометрических свойствах замкнутых кривых. Успехи мат. наук, вып. 10 (19 $^), 34−44.

31. R. Т. ZivaleviC, S. Т. Vrecica. An extension of the ham sandwich theorem.

32. Bull. London Math. Soc. 22, 1990, 183−186- 1 5 4 1. Литератера.

33. И. Яглом, В. Болтянский. Выпуклые фигуры. Гостехиздат, М. 1951.

34. Работы автора по теме диссертации.

35. Макеев В. В. Универсальные покрышки. I / / Укр. геом., сб. 1981. Вып.24.1. 70−79.

36. Макеев В. В. Универсальные покрышки. I I / / Укр. геом. сб. 1982. Вып.25.1. 82−86.

37. Макеев В. В. Пространственные обобш-ения некоторых теорем о выпуклыхфигурах. Мат. заметки. 1984. Т.36, Вьш.З. 405−415.

38. Макеев В. В^ Оценки асферичности сечений вьшуклых тел. Украинскийгеом. сб. вып. 28, 1985, 76−79.

39. Макеев В. В. О некоторых свойствах непрерывных отображений сфер и задачах комбинаторной геометрии. Геометрические вопросы теории функций и множеств (Межвуз. мат. сб.) Калинин, 1986. 75−85.

40. Макеев В. В. Шестидольные разбиения трехмерного пространства. Вестник1. ЛГУ, № 2, 1988, 31−34.

41. Макеев В. В. Задача Кнастера и почти сферические сечения. Мат. сб. 180(1989), Ш 3, с.424−431.

42. Макеев В. В. Вписанные и описанные многогранники выпуклого тела и связанные с ними задачи. Мат. заметки, т.51, в.5(1992), 67−71.

43. Макеев В. В. Решение задачи Кнастера для многочленов второй степени надвумерной сфере. Мат. заметки, т.53, в.4(1993), 86−88.

44. Макеев В. В. Вписанные и описанные многогранники выпуклого тела. 2,.

45. Мат. Заметки, 55(1994), 128−130.

46. V. Makeev, Polygons inscribed in a convex body. Abstracts. Convex and discretegeometry. Institut Mathematyki i Fizyki ATR Budgoszcz, Poland, June 27-July 2, 1994 — 1 5 5 1.

Литература

.

47. Макеев В. Б. О четырехугольниках, вписанных в замкнутую кривую. Мат. заметки, 57 (1995), N 1, 129−132.

48. Макеев В. В. Аффинно-вписанные и аффинно-описанные многоугольникии многогранники. Зап. науч. семин. ПОМИ, т.231. 1995. 286−298.

49. V. Makeev, Applications of topology to some problems in combinatorial geometry.

50. Mathematics in St. Petersburg, Amer.Math.Soc.Transl.(2), vol.174. Amer.Math.Soc,.

52. Макеев В. В. О пятиугольниках, вписанньгх в замкнутую выпуклую кривую. Зап. науч. семин. ПОМИ, т.24б, 1997, с.184−190.

53. Макеев В. В. Об аппроксимации плоских сечений выпуклого тела. Зап.науч. семин. ПОМИ, 246, 1997, 174−183.

54. Макеев В. В. Об аффинных образах ромбододекаэдра, описанных вокругтрехмерного выпуклого тела. Зап.науч.семинаров ПОМИ, 246, 1997, 191−195.

55. Макеев В. В. Некоторые специальные конфигурации плоскостей, связанныес выпуклыми компактами. Зап. научн. семин. ПОМИ, 252, 1998, 165−174.

56. Макеев В. В. О геометрии двумерных и трехмерных пространств Минковского. Зап. науч. семин. ПОМИ, 267, 2000, 146−151.

57. Макеев В. В. Трехмерные многогранники, вписанные и описанные вокругвыпуклых компактов. Алгебра и анализ 12(2000) № 4, 1−15.

58. Макеев В. В. Деление на равные части непрерывно распределенной массына сфере и в пространстве. Зап.науч.семинаров ПОМИ, т.279 (2001), 187−196.

59. Макеев В. В. Трехмерные многогранники, вписанные и описанные вокругвыпуклых компактов. II, Алгебра и анализ 13 (2001), JN'^ 5, 110−133.

60. Макеев В. В. Плоские сечения выпуклых тел и универсальные расслоения.

61. Зап. науч. семин. ПОМИ, т.280, 2002, с.219−233.

62. Макеев В. В. О двух нерешенных геометрических задачах. Зап.науч.семинаров.

63. ПОМИ. т.280, 2002, с.234−238- 1 5 6.