Симплектические многообразия с контактными особенностями

Актуальность темы

диссертации.

Также как и риманова. симплектическая геометрия исходит из предположения о невырожденности тензора структуры [4, 58], что генетически связано с уравнениями У. Р. Гамильтона в их исходном виде [67]. Широко известны глубокие приложения симплектической геометрии в небесной механике и динамике твердого тела [2, 36], где фазовые пространства интегрируемых гамильтоновых систем являются симплектическими многообразиями — кокасательными расслоениями или орбитами коприсоединенных представлений. Однако структурный тензор (замкнутая 2-форма), вообще говоря, вырождается при ограничении на подмногообразие. Последнее может представлять интерес, будучи инвариантным для гамильтоновой системы. Такие подмногообразия действительно встречаются в физически-содержательных ситуациях. Разумно предположить, что, по мере возрастания размерностей задач, новые интегрируемые случаи будут чате встречаться на инвариантных многообразиях (в целом неинтегрируемых систем). Первый из таких случаев в динамике твердого тела, найденный О. И. Богоявленским в [о] и топологически изученный в [95], стал оправной точкой для этой диссертационной работы.

С другой стороны, с точки зрения математики естественно допустить, что матрица замкнутой 2-формы является невырожденной почти всюду, но вырождается в точках, составляющих подмножество меры ноль. Тогда симплектическая геометрия имеет особенности, о которых почти ничего не известно в случае, когда ранг формы падает на 2 к > 2. Известная статья Ж. Мартине [76] содержит первое и, возможно, единственное общее исследование подобных структур. Однако, в этой глубокой работе собственно симплектическая геометрия ограничена простейшим, хотя и наиболее важным случаем к = 1. Другие исследования, как правило, вращаются около результатов Мартине и относятся к вырождениям с двумерным ядром [50, 51. 62, 70, 83. 84, 87]. Во многом это связано с объективной сложностью задачи, т.к., согласно замечанию В. И. Арнольда: отсутствие условия невырожденности в определении симплектической структуры делает локальную классификацию таких структур необозримой [4]. Напротив, вырожденные особенности пуассоновских структур легко поддаются изучению, т.к. они не мешают гамильтоновым полям быть всюду корректно определенными, ключая точки вырождения структурного тензора [23, 30, 90, 92,.

93]. Поэтому несмотря на то, что в невырожденном случае симплектические и пуассоновские многообразия сосуществуют «сопряженными» парами, вырождения соответствующих структур имеют принципиально разные последствия. Ключевым является вопрос о корректной определенности гамильтоновых полей, которому было уделено большое внимание в работах С. Пневматикоса [82, 83, 84, 85], где на вырождения замкнутых 2-форм накладывается естественное условие депеггдиез. Но за исключением явно заданных в координатах 2-форм нужного вида, в случае вырождений коранга 2к > 2 отсутствует способ проверки этого условия. Таким образом, сегодня не существует сколько-нибудь общей теории многообразий с вырожденными особенностями симплектической структуры.

В диссертационной работе развита теория симплектических многообразий с особенностями, которые удовлетворяют некоторому условию контактности. Оно является свойством общего положения для замкнутых 2-форм, каждая из которых вырождается в точках гиперповерхности, будучи невырожденной всюду вне ее. Класс несущих на себе такие структуры многообразий, в определенном смысле, включает в себя симплектизации контактных многообразий и аналогичные конструкции для локальных алгебр Ли [4, 20]. В связи с этим некоторые результаты данной работы, которая не имеет генетических связей с контактной геометрией, попадают в область исследований ее «вложений» в симплектическую [52, 54, 56, 65, 75, 78]. Для симплектических многообразий с контактными особенностями оказалось возможным изучить предельное поведение гамильтоновых полей, в контексте задачи непрерывного продолжения с множества {с1е!ш ф 0}. На этой основе построена теория, которая следует ключевым понятиям и фактам симплектической геометрии, включая аналоги теорем Дарбу и Лиувилля. Применительно к контактной геометрии, отсюда возникает понятие интегрируемости по Лиувиллю контактных динамических систем, и имеет место аналогичная теорема. В случае к = 2, который не встречается в классической механике, источником физически-содержательных примеров оказалась теория электромагнитного поля в вакууме. Понятие нулевой гиперповерхности, введенное в диссертационной работе, подразумевает постановку новой задачи — об устройстве поля вблизи пространственно-временной границы. Полученные на этом пути, первые результаты имеют ясный физический смысл.

Цели диссертационной работы.

1. Обосновать применимость теории инвариантов Фоменко-Цишанга к интегрируемым системам, которые возникают на многообразиях с особенностями симплектической структуры.

2. Исследовать вопрос о существовании интегралов гамильтоновых систем, связанных с вырождениями симплектической структуры.

3. Изучить предельное поведение гамильтоновых полей в точках вырождения симплектической структуры.

4. Ввести разумные ограничения на способ вырождения симплектической структуры, позволяющие сформулировать условия корректной определенности гамильтоновых полей.

5. Доказать аналоги теорем Дарбу н Лиувилля в ситуации симплектичсских особенностей, удовлетворяющих введенным ограничениям.

6. Найти физически-содержательные примеры симплектических особенностей, связанные с теорией электромагнитного поля.

Научная новизна.

Все результаты диссертационной работы, за исключением справочного материала §§ 1.1, 2.1, 4.1. являются новыми и полученными самостоятельно.

1. Доказано сущестовование замкнутой, почти всюду невырожденной 2-формы на любом четно-мерном многообразии (теорема 3 § 1.2).

2. На многообразиях с симплектической или почти симплектической структурой, имеющей особенности общего положения, описано типичное предельное поведение гамильтоновых потоков в точках вырождения с двумерным ядром (теорема 4, следствие 1, предложение 2 § 1.2).

3. Найден критерий существования частного интеграла гамильтоповой системы, связанного с вырождением симплектической структуры на инвариантном подмногообразии (теорема 5, предложение 5 § 1.3).

4. Обоснована применимость теории инвариантов Фоменко-Цишанга к интегрируемым системам общего положения, заданным на многообразиях с особенностями симплектической структуры (теорема 3 § 2.2).

5. В интегрируемом случае О. И. Богоявленского уточнены значения е — меток в инвариантах Фоменко-Цишанга (рис. 4), доказана контактность всех точек вырождения симплектической структуры, описано предельное поведение потоков интегралов на особой гиперповерхности и установлен ее топологический тип (п. 2.3.2, предложение 7 § 2.3).

6. Введено условие контактности особых точек симплектической структуры, которое обобщает типичные вырождения с двумерным ядром и является свойством общего положения для замкнутых 2-форм, вырождающихся в точках гиперповерхности (определение 1 § 3.1).

7. Найдено условие контактности точек вырождения симплектической структуры, индуцированной на четно-мерной поверхности в симплсктическом многообразии (предложение 2 § 3.1).

8. Найден критерий корректной определенности гамильтоновых полей в контактных точках вырождения симплектической структуры (теорема 1, предложение 3 § 3.1).

9. Доказана гамильтоновость фазовых потоков, сохраняющих симплектическую форму с контактными особенностями (предложения 6. 7 § 3.2).

10. Доказан аналог теоремы Дарбу и найден канонический вид замкнутой 2-формы в окрестности контактной точки (теорема 3 § 3.1).

11. Описаны канонические структуры Ли и (или) контактные структуры на гиперповерхностях, состоящих из контактных точек вырождения симплектической структуры (теорема 5, следствия 4,5,6 § 3.2, предложение 10 § 3.3).

12. Доказана реализуемость контактных многообразий гиперповерхностями, состоящими из контактных точек вырождения некоторых симплектичсских структур (конструкция 5 — симплектизации). Аналогичный локальный результат получен для нечетно-мерных многообразий Ли с нечетно-мерными слоями (определение 4, предложение 9 § 3.2), предложение 8 § 3.2).

13. Найдена конструкция контактно-связной суммы симплектичсских многообразий, которая определяет на связной сумме симплектическую структуру с контактными вырождениями (определение 5 § 3.2).

14. Доказана теорема Мозера о нетривиальности 2-мерных когомологий де-Рама (теорема 4 § 3.1).

15. Изучено типичное предельное поведение гамильтоновых полей в контактных точках (теорема 6 § 3.3).

16. Доказаны аналоги теоремы Лиувилля для интегрируемых систем, заданных на симплектических многообразиях с контактными особенностями (теоремы 7.8, предложения 15, 16 § 3.3).

17. Доказан аналог теоремы Лиувилля для интегрируемых контактных систем на точных контактных многообразиях (теорема 9 § 3.4).

18. Найдены примеры контактных вырождений тензора электромагного поля пример 3 § 4.2, примеры 4, 5 § 4.3).

19. Изучена геометрия электромагнитного поля вблизи контактной точки нулевой гиперповерхности (теорема 1 § 4.2).

20. Изучена каноническая контактная структура нулевой гиперповерхности электромагнитного поля (следствие 1 § 4.2, предложение 4 § 4.3).

21. Для электромагнитных полей со сферическим фронтом введены калибровочные условия на потенциалы, обеспечивающие обнуление зарядов на нулевой гиперповерхности (предложение 3 § 4.3, предложение 6 § 4.4).

22. Получены дифференциальные уравнения I порядка для потенциалов поля в бесконечно тонком пространственно-временном слое, прилегающем к световому конусу (предложение 5 § 4.3).

Результаты диссертации, выносимые на защиту.

Все результаты диссертационной работы, за исключением справочного материала §§ 1.1, 2.1, 4.1, являются новыми и полученными самостоятельно.

1. В предметную область теории инвариантов Фоменко-Цишанга включены интегрируемые системы общего положения, заданные на 4-мерных симплектических многообразиях с типичными особенностями (теорема 3 § 2.2).

2. Найдены условия вырождения симплектических структур, обеспечивающие корректную определенность гамильтоновых полей при некотором естественном, известном ограничении (определение 1 п. 3.1.2, теорема 1 п. 3.1.3).

3. Найден канонический вид симплектической структуры в окрестности контактной точки (теорема 3 п. 3.1.4).

4 Описано типичное предельное поведение гамильтоновых полей в контактных точках (теорема 6 п. 3.3.1).

5. Для интегрируемых систем, заданных на многообразиях с контактными особенностями, доказан аналог теоремы Лиувилля (теорема 7 п. 3.3.2).

6. Изучена геометрия электромагнитного поля вблизи контактной точки нулевой гиперповерхности (теорема 1 § 4.2).

Апробация работы.

На всем протяжении работы (1999 — 2010) ее промежуточные итоги регулярно докладывались на научном семинаре АТ Фоменко «Современные геометрические методы» Результаты диссертации также представлялись на семинарах кафедры дифференциальной геометрии и приложений МГУ, Института математики СО.

РАН (2011). кафедры общей физики и термоядерного синтеза МЭИ (2008) и конференциях:

1. 8 международная конференция «Устойчивость, управление и динамика твердого тела», ИПММ НАН Украины, г. Донецк, 2002 г.,.

2. Международная юбилейная конференция «Классические задачи динамики твердого тела», ИПММ НАН Украины, г. Донецк, 2004 г.,.

3. Международная топологическая конференция «Александровские чтения», г. Москва, МГУ, 2006 г.

Публикации по теме диссертации.

1. Zotev D.B. Fomenko-Zicschang Invariant in thc Bogoyavlenskyi Integrable Case. Regular & chaotic clynamics, 5 (2000), Л’е 4, 437−458.

2. Зотьев Д. Б. О симплектинеской геометрии многообразий с почти всюду невырожденной замкнутой 2-формой. Математические заметки, 76 (2004), вып. 1, 66−77.

3. Зотьев Д. Б. Фазовая топология волчка Ковалевской в 50(2) — симметричном двойном силовом поле. Механика твердого тела, 34(2004), 66−71.

4. Зотьев Д. Б. Фазовая топология I класса Аппельрота волчка Ковалевской в магнитном поле. Фундаментальная и прикладная математика, 12 (2006), № 1, 95 128.

5. Зотьев Д. Б. Об одгюм частном интеграле, который можно извлечь из матрицы Пуассона. Нелинейная динамика. 3 (2007) № 1, 75−80.

6. Зотьев Д. Б. Контактные вырождения замкнутых 2-форм. Математический сборник, 198 (2007), Л* 4, 47−78.

7. Zotev D.B. Оп a partial integral which can be derived from Poisson Matriz. Regular & chaotic dynamics, 12 (2007), № 1, 81−85.

8. Зотьев Д. Б. Контактные вырождения тензора электромагнитного поля. Вестник МЭИ, (2011), № 2, 134−138.

9. Zotev D.B. Topology of integrable systems: The Fomenko theory. Reviews in Math-ernatics and Mathcmatical Physics (2011).

10. Зотьев Д. Б. Инварианты Фоменко-Цишанга интегрируемых систем с симплектическими особенностями. Известия ВУЗов (в печати).

Структура диссертации.

Объем диссертационной работы составляет 218 страниц формата LaTEX. Она состоит из общей характеристики работы, четырех глав основного текста на 185 страницах, списка литературы и 14 рисунков. Определения, теоремы, следствия, предложения, леммы, замечания и примеры имеют независимую нумерацию в каждой главе. В составном номере каждой формулы указан номер текущей главы. При ссылках за пределы текущей главы всегда указывается глава, параграф или подпункт.

Автор глубоко признателен профессору A.B. Болсинову за регулярные обсуждения и важные критические замечания на всем протяжении работы, и академику А. Т. Фоменко за неоценимую организационную и моральную поддержку.

1. Аппсльрот Г. Г. Не вполне симметричные тяжелые гороскопы. Движение твердого тела вокруг неподвижной точки. В Сборнике, посвященном C.B. Ковалевской. М.- Л.: Изд-во АН СССР, 1940, 61−155. М., 1940.

2. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.: «Наука», 1979.

3. Арнольд В. И. Особенности каустик и волновых фронтов. М.: «Фазис», 1996.

4. Арнольд В. И., Гивепталь A.B. Симплектическая геометрия. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 4 (1985), 7−139.

5. Богоявленский О. И. Интегрируемые уравнения Эйлера на алгебрах Ли. возникающие в задачах математической физики. Изв. АН СССР, серия мат. 48 (1984), № 5. 883−938.

6. Болсинов A.B. Матвеев C.B., Фоменко А. Т. Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Успехи мат. наук. 45 (1990), jY" 2, 49−77.

7. Болсинов A.B., Фоменко А. Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Топология. Геометрия. Классификация. Ижевск: «Удмуртский университет», 1999.

8. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: «Наука», 1988, 217.

9. Гийемин В. Стернберг С. Геометрические асимптотики. М.: «Мир», 1981.

10. Дирак П.A.M. Принципы квантовой механики. М.: «Физматгиз». 1960.

11. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. М.: «Наука», 1979.

12. Зотьев Д. Б. О симплектической геометрии многообразий с почти всюду невырожденной замкнутой 2-формой. Мат. заметки. 76 (2004), № 1, 66−77.

13. Зотьев Д. Б. Фазовая типология волчка Ковалевской в 50(2) симметричном двойном силовом поле. Механика твердого тела. ИПММ HAH Украины. 34 (2004), 66−71.

14. Зотьев Д. Б. Фазовая топология I класса Аппслърота волчка Ковалевской в магнитном поле. Фундаментальная и прикладная математика. 12 (2006), Ш 1, 95−128.

15. Зотьев Д. Б. Об одном частном интеграле, который можно извлечь из матрицы Пуассона. Нелинейная динамика. 3 (2007). Л* 1. 75−80.

16. Зотьев Д. Б. Контактные вырождения замкнутых 2-форм. Математический сборник. 198 (2007), Л* 4, 47−78.

17. Зотьев Д. Б. Харламов М.П. Изоэнергетические многообразия и области возможности движется твердого тела в двойном поле сил. Нелинейная динамика. 1 (2005), № 1, 23−31.

18. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: «Наука», 1976, 511 (пп. 6.165).

19. Картан Э. Интегральные инварианты. М.-Л.: «Гостехиздат», 1940, 137.

20. Кириллов Л. А. Локальные алгебры Ли. Успехи мат. наук. 31 (1976), Л*8 4, 57−76.

21. Ковалевская C.B. Задача о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки. В книге «Научные работы». М.: «Наука», 1948, 153−220.

22. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. М.: «Физматгиз», 1962.

23. Новиков С. П. Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса. Успехи мат. наук. 37 (1982), jY" 5. 3−49.

24. Ошемков A.A. Топология изоэнергетических поверхностей и бифуркационные диаграммы интегрируемых случаев динамики твердого тела на SO (4) — Успехи мат. наук. 42 (1990), № 2, 199 200.

25. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Избр. труды, 1 т. М.: «Наука», 1971.

26. Топалов П. Й. Включение бутылок Клейна в т. еорию топологической, классификации гамильтоновых систем. Успехи мат. наук. 49 (1994), № 1, 227 228.

27. Фоменко А. Т. Теория Морса интегрируемых гамильтоновых систем. ДАН СССР. 287 (1986), № 5, 1071−1072.

28. Фоменко А. Т. Топология поверхностей постоянной энергии интегрируемых гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости. Изв. АН СССР, серия матем. 50 (1986), № 6, 1276−1307.

29. Фоменко А. Т. Топологические инварианты гамильтоновых систем, интегрируемых по Лиувиллю. Функциональный анализ и его приложения. 22 (1988), № 4, 38−51.

30. Фоменко А. Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения. М.: «МГУ», 1988.

31. Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Гомотопическая типология. М.: «Наука», 1989.

32. Фоменко А. Т., Цишаиг X. Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Изв. АН СССР, серия матем. 54 (1990), X" 3, 546−572.

33. Харламов М. П. Топологический анализ классических интегрируемых случаев в динамике твердого тела. ДАН СССР. 273 (1983), Д* 6, 1322−1325.

34. Харламов М. П. Бифуркации совмест. пых уровней первых интегралов в случае Ковалевской. Прикладная математика и механика. 47 (1983). Л" 8 6, 922−930.

35. Abdullaev S.S. The Hamilton-Jacobi method and Hamiltonian maps. J. Phys. A: Math. Gen. 35 (2002), 2811−2832.

36. Abraham R. Marsden J.E. Foundations of mechanics. Bcnjamin/Cummings Publishing Company, London, Amsterdam, 1978.

37. Arnold V.I., Gusein-Zade S.M., Varchenko A. N. Singularities of Differentiable Maps I, Monogr. Math. 82. Birkhauser, Boston, 1985.

38. Balescu R., Vlad M., Spineanu F. Tokamap: A Hamiltonian twist map for magnetic field lines in toroidal geometry. Phys. Rev., E 58. 951 (1998).

39. Bhag Singh Guru. Electromagnetic Field Theory Fundamentals. Cambridge University Press, 2004.

40. Bobenko A.I., Reyman A.G., Semenov-Tian-Shansky M.A. The Kowalewski top 99 years later: a Lax pair, generalizations and explicit solutions. Comm. Math. Phys. 122 (1989). № 2. 321−354.

41. Bolsinov A.V. Methods of calculation of the Fomenko-Zieschang invariant. Advances in Soviet Mathematics. AMS. 6 (1991), 147−183.

42. Bolsinov A.V., Fomenko A.T. Integrable Hamiltonian Systems: Geometry, Topology, Classification. Chapman & Hall/CRC. A CRC Press Company, Boca Raton, London, New York, Washington, D.C. USA, 2004.

43. Bolsinov A.V., Richter P.H., Fomenko A.T. The method of loop molecules and the topology of the Kovalevskaya top. Sbornik: Mathematics. 191:2 (2000), 3−42.

44. Boothby W.M. and Wang H.C. On contact manifolds. Annals of Math. (2). 68 (1958), 721−734.

45. Bott R. N on-degenerate critical manifolds. Ann. of Math., Ser. 2. 60 (1954), jS’s 2, 248−261.

46. Gary J.R. Lie transform perturbation theory for Hamiltonian systems. Phys. Rep. 129 (1981).

47. Darboux G. Lecons sur la theorie generale des surfaces et les applications geometriques du calcul infenitesimal. Paris, Gautier, Villar, 1891.

48. De Groot S., Suttorp L. Foundations of Electrodynamics. Amsterdam, 1972.

49. Domitrz W., Janeczko S., Pasternak-Winiarski Z. Geometry and representations of the singular symplectic forms. Geometry and topology of caustics CAUSTICS 02. Banach Center Publ, 62 (2004), 57−71.

50. Domitrz W., Janeczko S. Normal forms of symplectic structures on the stratified spaces. Colloq. Math. 68 (1995), 101−119.

51. Eliasliberg Y. A few remarks about symplectic filling. Geom. Topology. 8 (2004), 277−293.

52. Eliashberg Y. Contact 3-mamfolds twenty years since J. Martinet’s work. Ann. Inst. Fourier. 42 (1992), № 1−2, 165−192.

53. Eliashberg Y. On symplectic manifolds with some contact properties. J. Differential Geometry. 33 (1991), № 1, 233−238.

54. Eliashberg Y. The wave fronts structure theorem and its applications to symplectic topology. Funct. Anal. Appl. 3 (1987), 65−72.

55. Etnyre J. On symplectic fillings. Algebr. & Geom. Topology. 4 (2004), 73−80.

56. Etnyre J. Honda K. Tight contact structures with no symplectic fillings. Invent. Math. 148 (2002), № 3, 609−626.

57. Fomenko A.T. Symplectic Geometry. (Second edition). Gordon and Breach, 1995.

58. Geiges H. Constructions of contact manifolds. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 121 (1997), 455−464.

59. Giggini P. Strongly fillable contact 3-mamfolds without Stein fillings. Geometry & Topology, 9 (2005). 1677−1687.

60. Golubitsky M., Tischler D. An example of moduli for singular symplectic forms. Invent, math. 38 (1977), № 3, 219−225.

61. Gompf R. A new construction of symplectic manifolds. Annals of Mathematics. 142 1995, 527−595.

62. Guillemin V., Sternberg S. Symplectic technique in physics. Cambridge University Press, 1984.

63. Gray J.W. Some global properties of contact structures. Ann. of Math. 2 (1959), № 69, 421−450.

64. Gromov M. Pscudo-holomorphic curves in almost complex manifolds. Invent. Math. 82:2 (1985), 307−347.

65. Hehl F.W., Obukhov Y.N. Foundations of Classical Electrodynamics. Birkhauscr. Boston, 2001.

66. Hermann R. Lie algebras and quantum mechanics. W.A. Benjamin, 1970.

67. Janeczko S., Kowalczyk A. On singularities in the degenerated symplectic geometry. Hokkaido Math. J. 19 (1990), 103−123.

68. Kharlamov M.P. Bifurcation diagrams of the Kowalevski top in two constant fields. Regular & chaotic dynamics. 10 (2005), № 4, 381−398.

69. Kharlamov M.P., Zotev D.B. Non-degenerate energy surfaces of rigid body in two constant fields. Regular chaotic dynamics. 10 (2005), № 1, 15−20.

70. Kovalev A.M. Invariant and integral manifolds of dynamical systems and the problem of integration of the Euler-Poisson equations. Regular &- chaotic dynamics. 9 (2004), JVs 1, 59−72.

71. Liouville J. Note sur l’integration des equations differentielles de la dinamique, presentee au bureau des longitudes le 29 juin 185. Journal de Mathematiques pures et appliquees. 20 (1855), 137−138.

72. Lisca P. On symplectic fillings of 3-manifolds. Tr. J. Mathematics. 23 (1999), 151 159.

73. Martinet J. Sur les singularities des formes differentielles. Ann. Inst. Fourier. 20 (1970), № 1, 95−178.

74. Martinet J. Formes de contact sur les variretres de dimension 3. in: Proc. Liverpool Singularities Sympos. II, Lecture Notes in Math., 209. Springer, Berlin, 1971, 142−163.

75. Mc Duff D. Symplectic manifolds with contact type boundaries. Invent. Math. 103 (1991), Jfli 3, 651−671.

76. Moser J. On the volume elements on manifolds. Trans. Amer. Math. Soc. 120 (1965), JS" fi 2, 280−296.

77. Nono T., Mimura F. Poisson bracket under mappings. Hokkaido Math. Journal. (1972), jYs 1, 232−241.

78. Oshemkov A.A. Fomenko invariants for the mam integrable cases of the rigid body motion equations. Advances in Soviet Math. AMS. 6 (1991). 67−146. pp. 67−146.

79. Pnevmatikos S. Structures hamiltoniennes en presence de contraintes. C. R. Acad. Sei. Paris, Scr. A-B 289. (1979), № 16, A799-A802.

80. Pnevmatikos S. Singularites en geometrie symplectique. Symplectic geometry (Toulouse, 1981). Res. Notes in Math., 80, Pitman, Boston, Mass., London, 1983.

81. Pnevmatikos S. Structures symplectiques singulieres generiques. Ann. Inst. Fourier. 34 (1984), № 3, 201−218.

82. Pnevmatikos S., Pliakis D. Gauge fields with generic singularities. Math. Phys. Anal. Geom. 3 (2000), № 4. 305−321.

83. Poisson S.D. Traite de mecanique. Paris, 1833.

84. Roussaric R. Modeles locaux de champs et de formes. Asterisque. 30 (1975), 99.

85. Thurston W.P., Winkelnkcmper H.E. On the existence of contact forms. Proc. Amer. Math. Soc. 52 (1975). 345−347.

86. Tien Zung Nguen. Decomposition of nondegenerate singularities of integrable Hamil-tonian systems. Letters in Mathematical Physics. 33 (1995), 187−193.

87. Vaisman I. Lectures on the Geometry of Poisson Manifolds. Progress in Math., v. 118. Basel: Birkhausen 1994.

88. Warnic K.F., Selfridge R., Arnold D.V. Teaching electromagnetic field theory using differential forms. 2005.

89. Weinstein A. Lectures on symplectic manifolds, in C.B.M.S. Conf. Series., Am. Math. Soc., Providence, R.I. (1977), № 29.

90. Weinstein A. The local structure of Poisson manifolds. J. Diff. Geom. 18 (1983), 523−557.

91. Weinstein A. Contact surgery and symplectic ha, ndlebodies. Hokkaido Math. Journal. 20 (1991), № 2, 241−251.

92. Zotev D.B. Fomenko-Zieschang Invariant in the Bogoyavlenskyi Integrable Case. Regular & chaotic dynamics. 5 (2000), № 4, 437−458.