Задача 2. В тетраэдре ABCD, все ребра которого равны 1, найти расстояние от точки A до прямой, проходящей через точку B и середину E ребра CD. Рисунок 2.
4.Решение. Так как все ребра ABCD равные правильные треугольники, то медианы BE и AE треугольников BDC и ADC равны и. Рассмотрим равнобедренный треугольник BEA и его высоты EM и AH. Выражая площадь треугольника двумя способами, получаем получаем равенство AH BE EM AB. Так как-то получаем.
Ответ: Рисунок 2.
5.Задача 3. Найдите ребро тетраэдра, вписанного в куб с ребром х. Решение. Так как у тетраэдра ребро есть диагональ грани куба, а грань куба — это квадрат, то диагональ будет гипотенузой прямоугольного треугольника внутри квадрата. По теореме Пифагора:.Ответ: Задача 4. Найти отрезок, равный ребру тетраэдра, если берется квадрат из бумаги формата А4, т. е. сторона квадрата равна 21 см. Решение. Заметим, что ребро тетраэдра, вписанного в куб с данным размером, совпадает с длиной, равной половине длины куба. Следовательно, отрезок, равный ребру тетраэдра, составляет: 21:2=10,5(см).Ответ: 10,5 см. Рисунок 2.
6.Задача 5. Два ребра правильного октаэдра имеют общую вершину, но не принадлежат одной грани. Найти Найдите угол между этими ребрами.Решение.Найдем угол между ав и ad. Так как ав = вс = cd = ad, то abcd — ромб. Но так как в пирамиде mabcd боковые ребра равны, то основание высоты падает в центр описанной вокруг основания abcd окружности. А раз вокруг ромба можно описать окружность. то этот ромб — квадрат. таким образом, ∠ bad=90. Ответ: 90°.Задача 6.
Докажите, что центры граней правильного октаэдра являются вершинами куба.Решение. Если соединить центр грани октаэдра с центрами смежных граней (т.е. имеющих общее ребро с данной гранью), то получится многогранник у которого каждая грань очевидно квадрат и в каждой вершине сходится по 3 ребра. Таким образом, это куб. Что и требовалось доказать. Рисунок 2.
7.Задача7.Если всеребраоктаэдраувеличить в 6 раз, во сколько раз увеличится площадь его поверхности? Решение. При изменении всех ребер в 6 раз площадь каждой грани увеличится в 36 раз, поэтому и сумма площадей всех граней (площадь поверхности) увеличенного октаэдра будет в 36 раз больше площади поверхности исходного октаэдра. Ответ: в 36 раз. Задача8. Объем тетраэдра равен 1,5. Найти объем многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра. Рисунок 2.
8.Рисунок 2.
9.Решение.Если вершины многогранника являются серединами сторон тетраэдра, то его объем равен разности объемов исходного тетраэдра и объемов 4 тетраэдров. Объем каждого из которых составляет 1/8 объема исходного тетраэдра (так как объемы подобных тел относятся друг к другу как куб коэффициента подобия).Таким образом, Ответ: 0,75. Задача 9. В одну и ту сферу вписаны икосаэдр и додекаэдр. Докажите, что тогда они описаны вокруг одной и той же сферы.Решение. Достаточно доказать, что отношения радиусов описанной и вписанной сфер для додекаэдра и икосаэдра совпадают.
Пусть A — вершина додекаэдра, B, C, D — центры прилежащих к ней граней, O — центр описанной сферы. Тогда OA — радиус описанной, а OB — радиус вписанной сферы додекаэдра. В силу двойственности додекаэдра и икосаэдра центры граней додекаэдра являются вершинами икосаэдра. У этого икосаэдра OB — радиус описанной сферы, а радиус вписанной сферы соединяет O с центром E его грани BCD. Вследствие симметрии отрезок OA перпендикулярен грани BCD и пересекает её в её центре. Поэтому E является основанием высоты, опущенной из вершины B прямоугольного треугольника OBA на гипотенузу OA.
В силу известного свойства прямоугольного треугольника OA: OB = OB: OE. Задача 10. В кубе ABCDA1B1C1D1из вершины D1 проведены диагонали граней D1A, D1C и D1B1и концы их соединены отрезками, Докажите, что многогранник D1AB1C — правильный тетраэдр. Найдите отношение площадей поверхностей куба и тетраэдра. Рисунок 2.
10.Решение. Ребра тетраэдра dab1с являются диагоналями граней куба, поэтому все ребра тетраэдра равны между собой, но это означает, что все грани тетраэдра равны между собой. таким образом тетраэдр правильный. Пусть ребро куба равно а, тогда. Ответ:. Задача 11. Найдите двугранные углы правильного тетраэдра. Рисунок 2.
11.Решение.Пусть искомый угол (все шесть углов при ребрах правильного тетраэдра равны), из медианного сечения тетраэдра получается формула:
Ответ: .Задача 12. Доказать, что центры граней куба являются вершинами октаэдра. Найдите отношение площадей их поверхностей. Рисунок 2.
12.Решение. Все отрезки, соединяющие центры двух соседних граней являются гипотенузами прямоугольных треугольников с катетами, где, а — ребро куба (на рисунке показан один такой треугольник — КМН), поэтому они равны и ограничивают восемь правильных треугольников. В каждом центре сходится по четыре таких треугольников и оба условия «правильности» выполнены S куба = 6 ребро октаэдра.
Ответ: .Задача 13. Додекаэдр вписан в икосаэдр. Вычислить длину ребра икосаэдра а20, описанного около додекаэдра. Решение: Эти многогранники двойственны, поэтому r₂₀=R₁₂, т. е.а₁₂= З см, тогдаи, следовательно Ответ: 5,4 см. Задача 14. Найдите двугранный угол правильного додекаэдра. Решение. Пусть a — ребро, — высота грани, 2α - двугранный угол. Рассмотрим четверть сечения, содержащего два противоположных ребра и четыре высоты грани, образующие два линейных угла, равных двугранным., Ответ: Задача 15. Найти расстояние между непересекающимися диагоналями двух смежных граней куба, длина ребра которого равна a. Рисунок 2.
13.Решение. Найдем расстояние между диагоналями A1C1 и AD1 куба ABCDA1B1C1D1. Пусть отрезок PQ есть общий перпендикуляр скрещивающихся прямых A1C1 и AD1, а PN и KQ его ортогональные проекции на плоскости A1B1C1 и AA1D1 соответственно (PK A1D1 и QN A1D1). На основании теоремы о трех перпендикулярах PN A1C1 и KQ AD1. Треугольники A1PN и KQD1 прямоугольные и равнобедренные, поэтому A1K KN ND1a/3. Аналогично, NQND1A1KKPa/3 и A1PPN. Тогда из прямоугольного треугольника PNQ получим расстояние между A1C1 и AD1: Ответ: Заключение.
В процессе работы были изучены и обработаны материалы 21 литературного источника, среди которых учебная, справочная, научная литература, периодические издания и Интернет-сайты.Работасостоит из двух глав, 5 параграфов, в которых дано описание многоугольников и многогранников, приведены и систематизированы их свойства, теоремы, решены задачи, иллюстрирующие знание материала. Все поставленные задачи успешно выполнены:
проанализирован материал о правильных многоугольниках и многогранниках, каскадах многогранников, даны определения, систематизированы свойства;
решены различные задачи, иллюстрирующие полученные знания о правильных многоугольниках, многогранниках, каскадах многогранников.
Список литературы
Александров А. Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. Стереометрия. Геометрия в пространстве. / Александров А.
Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. — Висагинас, Аlfa, 2012. — 576с. Бобровская А. В. Наглядная стереометрия в теории, задачах, чертежах / Бобровская А. В.
— Ростов н/Д.: Феникс, 2013. — 167 с. Бортаковский А. С., Пантелеев А. В. Аналитическая геометрия в примерах и задачах / Бортаковский А. С. Пантелеев А.В. — М.: «Высшая школа»,
— 2005.
Габович И. Г. Алгоритмический подход к решению геометрических задач: Кн. для учащихся. / Габович И. Г. — М.: Просвещение: АО «Учеб. лит.», 2011.—192 с. Геометрия: Учеб.
для общеобразоват. организаций. Базовый и профильный уровень / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. — М.: Просвещение, 2014.
Готман Э. Г. Стереометрические задачи и методы их решения - М.: МЦНМО, 2016. — 160 с. Ершова А. П. Самостоятельные и контрольные работы по геометрии для 10 класса./ Ершова А. П., Голобородько В. В. (2013, 208с.) 6-е изд., испр. ;
М. &# 171;Илекса": 2013. — 208 с. Зеленяк О. П. Решение задач по планиметрии.
Технология алгоритмического подхода на основе задач-теорем. Моделирование в среде TurboPascal /О. П. Зеленяк. — Киев, Москва: Диа.
СофтЮП, ДМК Пресс, 2016. — 336 с. Зив Б. Г. Задачи к урокам геометрии. 7−11 классы. /Зив Б.Г. 10-е изд. ;
СПб.: «Просвещение» — 2016. — 608с. Коксетер Г. С.М., Грейтцер С. Новые встречи с геометрией. — М., Наука, 1978.
— 224 с. — Серия Библиотека математического кружка, выпуск 14Лурье M.B. Геометрия. Техника решения задач. 4-е изд., стер./ Лурье M.B. — М.: Издательство УНЦ ДО, 2004. — 240 с. Нагорнов О. В., Баскаков А. В. и др. Пособие по геометрии.
Часть II. Стереометрия. / Нагорнов О. В., Баскаков А. В., Баскакова О. Б., Серебрякова Н. В. — М.: НИЯУ МИФИ, 2009. — 108 с. Прасолов В. В.
Задачи по стереометрии: Учебное пособие. — М.: МЦНМО, 2013. — 352 с. Роганин А. Н. Геометрия в схемах, терминах, таблицах. / Роганин А. Н. — М.: Феникс
— 2015. — 96 с. Правильные многогранники [Электронный ресурс], — Режим доступа:
http://pravmn.narod.ru/index.htm 20.
03.17 — статья в интернете. (Дата обращения: 21.
03.2017).Интернет портал PROШколу.ru[Электронный ресурс], — Режим доступа:
http://www.proshkolu.ru/club/maths/file2/322 771/(Дата обращения: 21.
03.2017).Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов [Электронный ресурс], — Режим доступа:
http://school-collection.edu.ru/ (Дата обращения: 22.
03.2017).Педагогическая мастерская, уроки в Интернет и многое другое. [Электронный ресурс], — Режим доступа:
http://teacher.fio.ru (Дата обращения: 21.
03.2017).Новые технологии в образовании: [Электронный ресурс], — Режим доступа:
http://edu.secna.ru/main/(Дата обращения: 22.
03.2017).Образовательный портал для подготовки к экзаменам. [Электронный ресурс], — Режим доступа:
http://sdamgia.ru (Дата обращения: 21.
03.2017).Изучение математики онлайн. [Электронный ресурс], — Режим доступа:
http://ru.onlinemschool.com/math/formula/regular_polygon/#h10 (Дата обращения: 21.
03.2017).
