Основы гармонического анализа на гиперболическом пространстве были заложены в основополагающей работе А. Сельберга [28]. Мотивом для его создания послужили задачи аналитической теории чисел и, в первую очередь, гипотеза Римана. Хотя гипотеза Римана с привлечением новых идей работы [28] так и не была доказана, однако эта работа послужила толчком как в развитии теории, очерченной самим Сельбергом, так и в разработке далеко идущих обобщений этой теории (Л.Д.Фаддеев [12], В. Рельке [26] И. М. Гельфанд, М. И. Граев, И.И.Пятецкий-Шапиро [5], Р. П. Ленглендс [21], Хариш-Чандра [17]).
Аналогом оператора Лапласа в Д", в гиперболическом пространстве Нп служит оператор Лапласа-Бельтрами. Аналогом периодических функций в Rn служат Г-автоморфные функции в гиперболическом пространстве Нп, где Г разрывная группа сохраняющих ориентацию изометрий гиперболического пространства.
Далее, ввиду обширности темы, мы ограничим себя изложением результатов для двумерного гиперболического пространства Н2. В пространстве Н2 группа изометрий (движений), сохраняющих ориентацию, представляет собой группу дробно-линейных преобразований с коэффициентами из группы SL2 ®.
ЛД.Фаддеев [12] и В. Рельке [26] независимо др}ч? от друга и существенно разными методами доказали теорему о разложении гильбертова пространства Г-автоморфных функций в прямую сумму подпространств, натянутых на собственные функции дискретного и непрерывного спектра оператора Лапласа-Бельтрами для дискретных подгрупп Г группы SL2 (-R), объем фундаментальной области которых конечен.
Асимптотика функции распределения собственных значений оператора Лапласа-Бельтрами для групп с фундаментальной областью конечного объема изучалась рядом авторов. Асимптотика для коком-пактных групп (группы с компактной фундаментальной областью) была получена в работе Д. Хейхала [18]. Для групп с некомпактной фундаментальной областью (некокомпакные группы) асимптотика получена для модулярной группы, SX2(Z) в работе Н. В. Кузнецова [10], для конгруэнц-подгрупп модулярной группы асимптотика опубликована в монографии А. Б. Венкова [4]. Получение асимптотики для произвольной некокомпактной группы наталкивается на серьезные трудности, связанные с наличием в этом случае непрерывного спектра у оператора Лапласа-Бельтрами. Все полученные асимптотики вейлевского типа, однако в работе Р. С. Филипса и П. Сарнака [24] показано, что деформации арифметических групп при выполнении определенных условий приводят к исчезновению параболических форм. Таким образом, вопрос об асимптотике фзгнкции распределения оказался сложнее, чем думали ранее.
Исследование асимптотического поведения спектральной функции в (х, х-Т) самосопряженных эллиптических операторов началось с работы Т. Карлемана, который выделил главный член для уравнений второго порядка (см. Труды 8-го Математического Конгресса, Стокгольм). Результат Т. Карлемана для общего случая был получен Л.Гардингом. В работе Б. М. Левитана [11] для оператора Лапласа была получена оценка остаточного члена R (x, xТ) = 0(л/Т). Л. Хермандер[19] обобщил результат работы[11] на случай произвольных самосопряженных положительно определенных эллиптических операторов и псевдо-дифференциальных операторов, заданных на компактном многообразии с тем же остаточным членом.
Практически не исследовано асимптотическое поведение спектральной функции В,(х, х']Т). Имеется одна публикация В. М. Бабича и Б. М. Левитана [1] в которой получена асимптотика спектральной функции оператора Лапласа-Бельтрами R (z, z'-T) для задачи Дирихле на компактной римановой поверхности с бесконечно гладкой границей, на которой выполняется условие положительности геодезической кривизны.
Целью настоящей работы является исследование асимптотического поведения спектральной функции оператора Лапласа-Бельтрами на замкнутой римановой поверхности с конечным числом точек ветвления и дырок. Хорошо известно, что такие поверхности уни-формизуются дискретными подгруппами 6X2 (i?), фундаментальные области которых имеют конечный объем. В приложениях к теории чисел часто возникают автоморфные формы с характером, поэтому мы расширили класс рассматриваемых пространств введением характера, тем более, что это не вызывает дополнительных. трудностей.
Первая глава (§§ 1−4) является основной, хотя формально в ней не получено ни одного результата, представляющего самостоятельный интерес. Дело в том, что в параграфе 4 получено асимптотическое представление преобразования Хариш-Чандры весовой функции в спектральном разложении автоморфного ядра. Это представление во второй главе используется при суммировании по группе в правой части спектрального тождества.
В первом параграфе вводится модель Пуанкаре гиперболического пространства Н2. излагаются основные свойства фундаментальной области F фуксовых групп первого рода, определяется пространство L2(F, x, dfi (z)) — гильбертово пространство Г-автоморфных форм с квадратичным характером квадратично интегрируемых на фундаментальной области F по инвариантной мере fi (z) = dxdy/y2. то есть где 7 Е Г и Гфуксова группа 1-го рода.
Далее в модели Пуанкаре на подпространстве бесконечно гладких Г-автоморфных форм задается инвариантный оператор Лапласа-Бельтрами L: замыкание которого задает нам оператор на всем L2(F./ х-, dii (z)).
Второй параграф посвящен изложению основных фактов спектральной теории оператора Лапласа-Бельтрами. В общем случае фуксовой группы 1-го рода спектр состоит из дискретной и непрерывной части. Дискретный спектр {Aj}j?j неотрицательный, конечной кратности и не имеет точек сгущения кроме, быть может, бесконечности. Непрерывный спектр заполняет полуось [¼, оо). Функции непрерывного спектра представляют собой аналитическое продолжение рядов Эйзенштейна Ei (z, s) на прямую Res = ½. Ряд Эйзенштейна Ei (z, s) при Res > 1 задается абсолютно сходящимся и регулярным по переменной s рядом.
76ГДГ где Гг- = {y!f, к? Z] - стационарная параболическая подгруппа сингулярной (x (ji) — 1) параболической вершины к{ многоугольника F. Элемент сгG SL2® такой, что a^jiCfi = Too, Too: ^ —> ^ + 1. Из этих условий элемент сг?- определяется однозначно. Кратность непрерывного спектра равна числу неэквивалентных сингулярных параболических вершин. Пространство L2(F, XidfJ.(z)) разлагается в прямую сумму инвариантных ортогональных подпространств, порожденных собственными функциями дискретного и непрерывного спектров.
В параграфе 3 вводится в оборот спектральное разложение авто-морфного ядра, которое будет служить основным инструментом для получения асимптотики спектральной функции. Поэтому приведем его во всей полноте. Спектральное разложение автоморфного ядра впервые получено Сельбергом, обобщение на ядра с характером получено А. Б. Венковым и имеет вид ^ / f°°.
Фз{*)Фз (г'/ ½ + it) h (t)dt =.
1) где {i/jj (z)} есть ортонормированная система собственных функций дискретного спектра и = — ¼.
Функция h® четная, регулярная в полосе 1тг < ½ + в, в > 0 и такая, что h® < C (r| + с <5 > 2. u (z.z') — инвариант пары точек, u{z, z') = zz'2/(yy').
Ядро к (и) есть преобразование Хариш-Чандры функции /i®, определяемое следующим образом:
1 Г dQ (u) и) = — '.
7 Г Ju л/oj — u Q (eL + е~г — 2) = g (t), g (t) = - / e~irth{r)dr.
Берется двухпараметрическое семейство функций а) следующего вида: hT (r, a) = ^ J e~air-ti2dp.
Функции hx{r, a) при Т > 0, а > 0 удовлетворяют требованиям, наложенным на функцию h®. Кроме того, при, а —оо функция Нт{г, а) сходится к ступенчатой функции, равной 1 на интервале [-Т.Т] и 0 вне его и, следовательно, левая часть тождества при, а —>¦ оо сходится к спектральной функции.
Простые вычисления дают следующее выражение для преобразования Хариш-Чандры кт (и, а) функции Нт (г, а). dfsjsM kT (u а) = — / V J тг2 Jp (u) у/2{сЫ — chр{и)) где dip (u) = и/2 + 1 и p (u (z.z')) есть гиперболическое расстояние между точками z ж z'.
В параграфе 4 изучается асимптотическое поведение функции exp (-fi) л/2(сЫ — chр) при Т —^ со. Раскрывая дифференциал и переходя в интеграле к пределам интегрирования от 0 до оо, приходим к стандартному интегралу. Осциллирующий по Т член в подынтегральном выражении имеет вид exp (iTt), поэтому применимо интегрирование по частям. Поскольку подынтегральное выражение имеет особенность t~1!2 в окрестности t — 0, то в подынтегральном выражении выделяется подходящая сингулярная часть, чтобы обеспечить интегрирование по частям. Поскольку функция кт (р:а) зависит от двух свободных параметров р и а, принимающих значения на всей положительной полуоси, то это создает дополнительные трудности. Приводим окончательный результат.
Лемма 1. (2) LJJ±?1 + 0{tV если р <1 т½ T^ht") mm (/9, a)(ch.p)L'z J.
2тг р
Во второй главе диссертации (§§ 1−4) проводится суммирование по группе в правой части спектрального тождества. Суммирование проводится по модулю. Используется оценка (2) и теорема Лакса-Филипса о числе точек решетки в гиперболическом пространстве.
В параграфе 1 получена оценка вклада элементов 7 группы Г с условием p (z, jz!) > 1 для компактной подобласти фундаментальной области F.
Лемма 2. Пусть К С F и компактно. Тогда для z, z'? К справедливо.
Е ШЧр^ТЛ^т1^/4/^- (3) p (z, jz')>l.
В параграфе 2 рассматриваются чисто гиперболические подгруппы. Используя некоторые результаты геометрии дискретных групп, показано, что для всех 7? Г с условием p (z, 7z') < 1, кроме, быть может, одного p (z.jz') отделена от нуля константой, зависящей лишь от Г. Это, с учетом (3), дает следующий результат:
Предложение 1. Пусть Г чисто гиперболическая группа. Тогда.
MTpiz.^z' p (z, 7 *z' О (т1'2еа 4 где 7* 6 Г элемент, на котором достигается минимум p (z, jzr), а главный член когда z = z' понимается как предел и равен Т2/47Г.
В параграфе 3 рассматриваются группы, содержащие только гиперболические и эллиптические элементы. Показано, что для всех 7 с условием p (z,^z') < 1, кроме, быть может, 7 6 Г2., где Гг. стационарная подгруппа эллиптической вершины ги р (г, Zj) достигает минимума на Zi, когда Zj пробегает все эллиптические вершины фундаментальной области F, p{z)^*z') отделена от нуля константой, зависящей только от Г. С учетом (3) получается следующий результат:
Предложение 2. Пусть группа Г содержит только гиперболические и эллиптические элементы. Тогда.
2тг V / где л— эллиптическая вершина, на которой реализуется минимум p (z. Zj), когда Zj пробегает все эллиптические вершины области F.
В параграфе 4 рассматриваются группы, содержащие параболические элементы. В этом случае фундаментальная область группы некомпактна, а асимптотика числа точек решетки в круге гиперболической плоскости работает неэффективно, так как порядок роста остаточного члена по 2 и z', когда они стремятся к параболическим вершинам, не установлен. Ввиду возникшей необходимости установлен порядок роста остаточного члена по г и г'. Поскольку этот результат имеет и самостоятельный интерес, то мы его формулируем как теорему.
Теорема. Пусть Г фуксова группа первого рода. Тогда Nr (z, zf, t) = ж вЧхАГ V Г^еМ2+*')16-(г)б17) (с Ог (у/уШ5/6е2ф), где y (z) = max Im{a~lz), Xj = y/¼ — Xj, {(/)j{z), 1/6 < x7 < ½} l'.
Р.Филипс и 3. Рудник вычислили среднее значение нормированного остаточного члена асимптотики при z = z'. Этот предел оказался равным Et (z,½)2 «c0y (z). Следовательно, оценка остаточного члена асимптотики (6) по z и z' не может быть улучшена.
Используя асимптотику (6), получена следующая оценка.
Лемма 3. p{z,-yz')>l.
Т½ max (^(y (z)y (z'))½а1/3еа/36. .
Далее показывается, что p[z, jz') может быть сколь угодно мало, только если z ж z' лежат обе в одной некомпактной компоненте Fi 1 -Г-1 области F, образ которой ai F{ представляет полуполосу, и при этом 7 принадлежит стационарной подгруппе параболической вершины ki. Ввиду этого и леммы 3 получается следующий результат. Для краткости обозначим через z'> Т, со) левзчо часть тождества (!)•.
Предложение 3. Пусть группа Г некокомпактна. Тогда:
1. если z, z'eF0 и группа Г содержит эллиптические элементы, то где ztэллиптическая вершипа, на которой реализуется минимум p (z, Zj), когда Zj пробегает все эллиптические вершины области F.
2. если z, z' G F0 и группа Г не содержит эллиптические элементы, то y{z, z, T, a) = —х 7 -т-ГТ-— + ° Т е V" >
Z7T P{Z, J*Z') V /.
•3. ее, ли ^ G Fq и z' G Fi, то.
Y^/ / m ч T—J^Tpjz^^z')).
L (z>z>T>a) = nix (T) ^.
2тг ' p (z:j*z О [г1'2 max (ea/A/^fa, Jy[zr)e or/361/3.
4. если z G Fi и z' G Fj, i ф j, то.
T, a) — О (Г½ max (ea/4/y^, v/y (z)y (z')ea^6a1/3.
5. если z, z'? Fj, то.
Vv?] О (t½ max [ea'A/^ v/y (z)y (z')e^36a1^) .
В третьей главе (§§ 1−3) оценивается погрешность, вносимая весовой функцией кт (г, а) в спектральную функцию и выбирается оптимальный параметр а. В заключительном параграфе для кокомпакт-ных подгрупп получена оценка сверху для собственных функций и дана количественная мера степени осцилляции собственных функций.
В первом параграфе получена оценка погрешности для случая ко-компактных подгрупп. Вначале выбирается оптимальный шаг дискретизации 8=1/а/су, затем оцениваются суммы Е.
Для получения оценки этих сумм используются асимптотические форм}>лы (4) и (5). Остаточный член в (4) и (5) имеет экспоненциальный рост по су, поэтому полагаем, а = 1пТ и в результате получаем.
Лемма 4. Справедлива оценка.
ХА —.
Используя эту оценку, получаем оценку погрешности, которая оказывается равной 0(Т//пТ).
Во втором параграфе получена оценка погрешности в случае не-кокомпактных подгрупп. Левая часть формально записывается в виде интеграла от обобщенной функции. Этот трюк сводит данный случай к предыдущему и оценка погрешности проводится по той же схеме. Оценка погрешности оказывается равной 0(л/уу'Т//1пТ). Далее, в полученном выражении спектральной функции, переходим от спектрального параметра я к спектру, А по соотношению.
Л = х2 + ¼. В правой части выделенные члены могут быть меньше остаточного члена. Выделенные члены заведомо будут по порядку роста не более остаточного, если выполняется неравенство |Ji{/Tр)/р < 1/л/1пТ. Используя асимптотику функции Бесселя при большом аргументе, решаем неравенство и получаем р > (In2Т/Т)1/6. С учетом вышесказаного, получается окончательный результат.
Чтобы формулировки результатов были самодостаточными, соберем в одном месте разбросанные по тексту обозначения. z, • ¦ •, Z[ - эллиптические вершины фундаментального многоугольника F.
TZl, • • •, TZI — соответствующие им стационарные подгруппы. ki, ¦ ¦ •, кт — параболические вершины фундаментального многоугольника F.
7ь ''' 51 т образующие стационарных подгрупп параболических вершин.)°то — элементы группы SL2(-R), которые отображают посредством сопряжения стационарные подгруппы параболических вершин в подгруппу сдвигов модулярной группы. Это требование определяет элементы а. ¦ ¦ ¦, <�тт однозначно.
A-i < А2 < • • • < Xj <. — точки дискретного спектра с учетом кратности. i/jj (z)}j?j — система соответствующих ортонормированных собственных функций дискретного спектра.
Ei (z}s) — ряд Эйзенштейна, ассоциированный с параболической вершиной ki. xij) — характер на группе Г. p (z, z') — гиперболическое расстояние между точками z и z'. Далее предполагается, что z? Т, что не умаляет общности. y (z) — max I-mia'1 z).
1 < г < m.
7* - элемент группы Г на котором достигается минимум p (z.jz').
6{z, z', T) — спектральная функция.
Для кокомпактных групп.
6(г, г', Т)=? О.
Для некокомпактных групп.
6(z, zT) = I, fVT Vj (z)vj (z') + 7 ½ + it) Ei (z ½ + it) dt, xj.
Теорема 1. Пусть Г чисто гиперболическая груша. Тогда 1. если p (z, j*z') < (In2 Т/Т)1/6, то wn-fm'^^+o1 1 Т.
2тт p{z, i*z') V 1пТ.
2. в противном случае.
0(z, zT) = O^.
Т 1пТ.
Теорема 2. Пусть группа Г кокомпактна и содержит эллиптические элементы. Тогда 1. если p (z, i*z') < (In2 Т/Т)1/6, то а) если p (zuz) < (In2 Т/Т)1/6 hp (z1}1*z') < (In2 Т/Т)1/6,™ z', T) = ^? ЩГ^Р^')) + 0.
VT.
2тг тег, p[z, jj*z'.
Т In Т.
Ь) в противном случае.
0(z, z, Т) = —Xl)-7-—-+ О.
2тг p (z, j*z'.
1 Т In Т.
2. в противном случае.
6(z, z', T) = oU Т ыт.
Теорема 3. Пусть группа Г некокомпактна. Тогда если p{Zll*z') < (In2Т/Т)1/6, то а) еслир{гиг) < (In2 Т/Т)1/6 и р{ги-у*г') < (In2 Т/Т)1/6 то,.
Ь) в противном случае.
0(z z' Т) V ^ТЫ^тр^у-Ч^ + Ь)) ' ' j «2тг ^ m ] p{(j~lz.i о-+ к) Q,. lTy{z)y{z'.
In Т где M (z, z'. Т) = ® /y (z)y (z') и & таково, что y (z) = Im (a 1 .
2. в противном случае e (z^zT) = o^iTy{z)y{z'.
In Т.
В третьем параграфе для кокомпактных подгрупп получена оценка в норме Too ортонормированной в Т2 системы {i/jj (z)}'*Ll собственных функций оператора Лапласа-Бельтрами. Определим меру на N следующим образом: lim #{k:kes, k.
Теорема 4. Для почти всех ijjj (z) справедлива оценка.
Ф3{г) ||оо<�Сln (Aj).
Возьмем ортонормированную систему {^(z)}^! вещественно-значной и пусть Rj (z) есть радиус максимального круга в гиперболической метрике с центром в точке 2, в котором функция i/jj (z) знакопостоянна. Справедлива.
Теорема 5. Существует подпоследовательность {'iJ)jk (z)}c?L1 такая, что.
В заключение перечислим основные результаты диссертационной работы.
1. Получена асимптотическая формула спектральной функции оператора Лапласа-Бельтрами для фуксовых групп первого рода.
2. Получена оценка сверху в норме Ь^ ортонормированных собственных функций оператора Лапласа-Бельтрами для групп с компактной фундаментальной областью.
3. Получена оценка сверху диаметра области знакопостоянства подпоследовательности ортонормированных собственных функций оператора Лапласа-Бельтрами для групп с компактной фундаментальной областью.
По теме диссертации опубликовано 4 работы [5]-[8].
Основные результаты диссертационной работы докладывались на Дальневосточной математической школе-семинаре имени академика Е. В. Золотова (Владивосток, 2004г) — на научных семинарах Хабаровского отделения ИПМ ДВО РАН (рук. чл.кор. РАН Н.В. Кузнецов) — на научном семинаре Хабаровского технического университета (рук. проф. А.Г. Зарубин).
Заключение
.
Вкратце коснемся вопроса об остаточном члене асимптотики. Суммирование в правой части тождества проводилось по модулю, что дало по параметру, а оценку ехр (су/4) равномерную по парамеру Т. В действительности, сумма по элементам группы 7 с условием p (z, jz') > 1 ограничена по парамеру а. поскольку левая часть тождества и слагаемые с p (z, jz') < 1 в правой части при, а —> со стремятся к конечному пределу. Это говорит о том, что оценка по модулю далека от наилучшей. Поскольку оцениваемая сумма зависит и от Т и осциллирует по нему, то можно ожидать, что нетривиальное суммирование даст оценку остаточного члена порядка Т¼ вместо полученной л/Т/ In Т.
В заключение приношу искреннюю благодарность руководителю Н. В. Кузнецову за постановку задачи и постоянное внимание к работе, что позволило в значительной степени сделать текст более прозрачным и читаемым.