О поверхностях с параллельными нормальными векторными полями

Особенно пристальное внимание поверхностям с параллельным нормальным векторным полем, в частности, параллельным полем вектора средней кривизны, уделяется в конце 60-х и в 70-х годах нашего столетия, а также в настоящее время. Акцент был сделан на изучении таких поверхностей в евклидовом пространстве, причем нормальное векторное поле требовалось параллельным вдоль всей поверхности.

В предлагаемой диссертации рассматриваются вопросы геометрии поверхностей евклидова пространства с нормальным векторным полем /полем вектора средней кривизны/ параллельным в нормальной связности вдоль некоторых направлений. Такая постановка задачи позволяет рассматривать некоторые конструкции, невозможные при параллельности вдоль всей поверхности, кроме того, носит более общий характер, поэтому некоторые известные результаты можно получить как частные случаи.

Цель работы состоит в том, чтобы исследовать: -строение поверхностей с с произвольным нормальным векторным полем и полем вектора средней кривизны, параллельными в нормальной связности вдоль некоторого распределения на поверхности Мр ;

— геометрию распределений на поверхности Ур с ?, вдоль которых параллельно нормальное векторное поле /поле вектора средней кривизны/;

— свойства некоторых объектов /поверхности V, тензора С* «вектора М /, возникающих при параллельности нормального векторного поля /поля вектора средней кривизны/ вдоль некоторого распределения.

Общие методы исследования. Работа выполнена методом подвижного репера и внешних форм [48], с использованием теоретико — группового метода, разработанного Г.§-. Лаптевым [20]. Все построения носят локальный характер, а используемые функции предполагаются необходимое число раз дифференцируемыми.

Научная новизна. В диссертации впервые рассмотрена геометрия поверхности в евклидовом пространстве с нормальным векторным полем /полем вектора средней кривизны/ параллельным в нормальной связности вдоль некоторых распределений. Рассмотрены свойства распределения Лг, вдоль которого векторное поле параллельно, а также свойства ортогонально — дополнительного распределения Дя-г* Получены результаты обобщающие некоторые ранее найденные другими авторами свойства поверхностей с параллельным нормальным векторным полем.

Л-'.

Рассмотрены некоторые новые объекты /поверхность V, тензор С^у, вектор N, отображение 5С /.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Её результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях по геометрии погруженных многообразий и в теории сетей на многообразиях, в изучении нормальной связности подмногообразия, а также могут быть использованы как материалы для спецкурсов в ВУЗах, где ведутся работы по близкой тематике.

Апробация диссертации. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались и обусждались на заседаниях научно-исследовательского семинара при кафедре геометрии МГПИ им. В. И. Ленина — а также были доложены на семинаре по классической дифференциальной геометрии при МГУ /руководительдоктор физико-математических наук, профессор — А.М.Васильев/.

Публикации. Основные результаты, сформулированные в диссертации, опубликованы в 5-ти работах автора [23]-|27j.

Выделим основные источники, которые использовались в нашем исследовании и которые тесно связаны с рассматриваемой темой. Как уже отмечалось, в ?29], [3l], [59] Лумисте Ю. Г., Чакмазян A.B., Чен дают обзоры работ по тематике нормальной связности за различные периоды времени. Из геометров, которые занимались вопросами произвольного параллельного нормального векторного поля, необходимо отметить Акивиса М. А., Лумисте Ю. Г., Чакмазяна A.B. В работе ?30] рассматриваются подмногообразия Ут Пмерного риманова пространства пос.

— б тоянной кривизны, допускающие параллельное нормальное векторное поле. Указано строение таких подмногообразий. Аффинное обобщение метрических результатов дается в статье [4]. Подмногообразия проективного пространства с параллельными подрасслоениями нормального расслоения рассмотрены в работах [54] - [5б], а в статьях [51] - [53] решается тот же вопрос для подмногообразий риманова пространства постоянной кривизны. В [5] рассматриваются поверхности евклидова пространства с плоской нормальной связностью. Такими поверхностями в некоторых случаях являются поверхности с параллельным нормальным векторным полем.

Вопросами частично параллельных поверхностей в евклидовом пространстве занимается А. С. Лазарев [15]-|ш].

В.А.Мирзоян [32] изучает подмногообразия с параллельной второй фундаментальной формой /такие подмногообразия имеют параллельное поле вектора средней кривизны/ и подмногообразия [ЗЗ] с параллельными фундаментальными формами высшего порядка.

Одним из необходимых условий параллельности поля вектора средней кривизны является постоянство средней кривизны. Поверхностями постоянной средней кривизны в евклидовом пространстве занимается П. Н. Михайлов [35]-[37].

Из многочисленных исследований, посвященных параллельности поля вектора средней кривизны /см. [29], [31], [59] / мы выделим следующие. Поверхности риманова пространства постоянной кривизны, в частности, евклидова пространства, с параллельным полем вектора средней кривизны М изучаются в работах Акиба [57], Чена Б. [58], [бО} Яно и Исихара [65],.

Яо [бб], [67]. Двумерным поверхностям евклидова пространства с постоянной гауссовой кривизной и параллельным вектором И посвящены исследования Чена и Ладдена [62]. Разделение понятий параллельного поля вектора средней кривизны и параллельного поля направления вектора средней кривизны имеется в работе Чена [61]. Компактную поверхность У^ с Е&bdquoс параллельным полем вектора М рассматривают Яно [64], Яно и Чен [63] .

В предлагаемой диссертации использованы некоторые работы Акивиса М. А. [1]-[з], Базылева В. Т. [б]- [12], Рыжкова В. В. [41]- [42], Савельева С. И. [43], Трушина Г. И. [45]-&7]. по теории поверхностей и теории сетей.

Вкратце изложим содержание диссертации. Работа состоит из двух глав. В первой главе содержится семь параграфов, во второй — четыре. Параграфы имеют общую нумерацию.

В первой главе исследуются поверхности с произвольным нормальным векторным полем, параллельным в нормальной связности вдоль некоторого распределения.

В первом параграфе даются основные определения и понятия, которые используются в дальнейшем. Указывается репер первого порядка /?, — {х,, ], где х е Ц>, е7 принадлежат касательному пространству Тх, образуют орто-нормированный базис ортогонального дополнения Д/^. к пространству Тх. Напоминаются определения сети, голономной сети, сопряженной сети, сети линий кривизны относительно нормали, асимптотической линии, геодезической линии. В каждом случае указываются условия на второй фундаментальный тензор поверхности Ур или на инварианты сети ОЬ^. Показано, что если векторное поле параллельно в нормальной связности, то СОр^ =О. Вводится тензор и тензор. Направления (сок}, вдоль которых векторное поле ер&bdquoпараллельно, являются решениями системы Лк СлРк~0. Строится инвариантная плоскость П в нормальной плоскости 1[пр (х). В конце параграфа дается понятие нормального векторного поля, параллельного в объемлющем пространстве вдоль некоторого распределения.

Во-втором параграфе формулируются условия интегрируемости распределения Дг, вдоль которого векторное поле параллельно. Если выбирать векторы^, а векторы Ф, А %, то необходимым и достаточным условием интегрируемости распределения Аг является ограничение.

0 «яь тензор кривизны нормальной связности.

Путем привлечения векторов Родрига, строятся векторы вынужденных кривизн Ки показывается, что величины являются координатами векторов ~ К/у (?> •.

На основе выше указанного доказывается, что если хотя бы для одной пары единичных векторных полей^ ?,, ? Лъ им соответствующие поля векторов Родрига Ь,, не ортогональны, то распределение Лг интегрируемо тогда и только тогда, когда коллинеарны векторы (Ь, Ьх), К/^ I,) при любом выборе векторных полей.

I, А7. Если всегда X Х1г, то распределение Д ъ — интегрируемо и поверхность Уг лежит в пространстве, ортогонально дополнительном к вектору ер+,.

В третьем параграфе рассматриваются поверхности у которых % семейств линий кривизны относительно нормали лежат в распределении Дг. При помощи двумерных линейчатых поверхностей, образованных прямыми Г я, &-Р+/1 «дается признак принадлежности линии кривизны относительно нормали распределению Лг. Доказывается, что если распределение Ар с, натянутое на $ линий кривизны относительно нормали интегрируемо, то поверхность Уд расслаивается на ортогонально-сопряженную на поверхности Ур

V/а // систему поверхностей и линий (X) ^ - каждая поверхность лежит на гиперсфере с центром Со. 7 Со. и радиусом 11/ ¿-'а I — касательное подпространство Та (соответствующее смещению точки х вдоль направления Лг (х)) поверхности Уа (описанной центром са) в точке са ортогонально п-р-1 — мерному подпространству, ортогонально дополнительному к вектору в пространстве ¡-1Х. Полученные результаты согласуются с ранее известными. Уточняется, что поля касательных направлений Т () и поля касательных направлений к семействам линий Ой ^ образуют ортогонально сопряженную систему ([3], [41]) и на самой поверхности — а понятия сильной голономности [3] и сильной сопряженности [3] для системы е¿-^ на поверхности эквивалентны.

Далее выделены случаи, когда $=ъ и Ф ^н*, Тогда линии кривизны относительно нормали, лежащие в распределении йъ, образуют чебышевсную сеть первого рода. Если 2= г и поверхность Ур является омбилической относительно нормали, то возникает поверхность центров У • Касательная плоскость Тс (V) к этой поверхности в точке с ^ лежит в пространстве [ с7 ё А: е.] ж плоскости п, тсМ параллельны тогда и только тогда, когда вектор вынужденной.

— 10 кривизны хотя бы одной линии кривизны относительно нормали ерн из распределения, А г ортогонален плоскости П. При помощи вспомогательной поверхности, описанной точкой у, у = х + и векторов^, порождающих касательную плоскость к этой поверхности в точке и, показано, что р-Н ОР+1. приЬ&bdquoФ юИ линия кривизны оо является геодезической на поверхности Ур тогда и только тогда, когда вектор е^ ортогонален всем векторам у7 — линия СО' является геодезической на распределении Лг тогда и только тогда, когда вектор ерн ортогонален векторам $, (I ф 1),.

Доказано, что если квадратичная форма Ф/>+/параллельна на поверхности Ур, то любая линия 00ь является геодезической на поверхности У р и, при условии, что все раз-лишш, сеть линий кривизны относительно нормали яшшется чебышевской первого рода тогда и только тогда, когда векторы^, (з* 7) ортогональны плоскости П.

В четвертом параграфе рассматриваются поверхности, несущие сопряженную сеть, 1 семейств линий которой лежат в распределении лг .В крайних случаях мы получаем, что1. направления е} попарно ортогональны, 2. векторы параллельны (индекс об, соответствует векторам нормальной плоскости, ортогональным к плоскости П) .В общем случае некоторые пары линий сети переходят в ортогональные линии взаимной сети, а для тех линий сети 2р, которые не удовлетворяют этому свойству, имеем: проекции векторов^у на плоскость П, ортогонально дополнительную к плоскости П, параллельны. При наличии указанной сопряженной сети 2р признак интегрируемости распределения Лг имеет вид:

— II если %, то распределение & г интегрируемо тогда и только тогда, когда некоторые пары линий сети 1- р, лежащих в распределении, переходят в ортогональные линии взаимной сети, а для тех линий, которые этому свойству не удовлетворяют, векторы вынужденных кривизн параллельны.

Рассмотрена сопряженность сети относительно форм 00хСХ)^. Такая сопряженность названа X — сопряженностью. Показано, что если € и сеть 2Р является Л — сопряженной, то сети и (полученная из семейств линий со *) являются сетями линий кривизны на поверхностях и 4 соответственно. Геометрическим смыслом сопряженности линий (а!)3 и относительно форм Н ' является совпадение векторов.

В пятом параграфе определяется отображение Т* по закону: направлению / ё^ е Таг ставится в соответствие направление.

Заметим, что всегда г 1111. Найдено условие, при котором линии кривизны относительно нормали Жр+/ являются линиями кривизны относительно направления / вида (V). Исследованы случаи единственности такого /.

В плоскости &р-г (х), ортогональной к плоскости Лг (х) в Т9 найдется г ортогональных направлений е^,, каждое из которых при рассматриваемом отображении переходит в соответствующее направление ё? п-р+с, в плоскости П, причем векторы попарно ортогональны. Векторы е^, дополняют векторы eLi, ~erip+ii до ортонормированного репера. Доказано, что векторное поле параллельно в нормальной связности вдоль линии тогда и только тогда, когда где У-Х = at — ail > Mi! = аЬ Cjjl > r at03'' • В случае омбиличности поверхности Vp относительно нормали ер+/ ш приходим к свойству: распределение Лр-г интегрируемо тогда и только тогда, когда векторные поля параллельны вдоль распределения Az • Для поверхности центров л/ ^.

V доказаны свойства: направлениям соответствуют ор

X/ тогональные направления на поверхности V тогда и только тогда, когда на распределении имеется направление асимптотическое относительно любых р-г-/ из форм Ф" Р+1' ;

V. ^ если плоскости It (V) и П параллельны, то jiJl. P+i, 0ji — О (COi-p-n, = или векторы eif при рассматриваемом отображении переходят в векторы равной длины.

В заключении параграфа показано, что условие интегрируемости распределения Аг тесно связано с наличием таких направлений на распределении Арг, которые при нашем отображении переходят в направления, параллельные главной норма-ле Nf поверхности Vp. Как частный случай является вывод: если то распределение Аг интегрируемо. В шестом параграфе изучается параллельность векторного поля &euro-р+, в объемлющем пространстве вдоль распределения Л у. К такой параллельности может привести случай, когда вектор tP+, ортогонален плоскости А/^. Доказано, что распределение всегда интегрируемо и поверхность М3 лежит в пространстве, ортогональном к вектору. Найдена связь между квадратичными формами поверхностей Vp и Vy .

В седьмом параграфе выделен случай г — i. Найдены условия, при которых линия W является линией кривизны относительно направления еР+, и условия, когда линия кривизны со' является геодезической. Эти условия аналогичны тем, которые рассмотрены в § 3. Даны два признака принадлежности линии со' гиперсфере £(с,) с центром с, , — х и радиусом I ///'" I: I. линия СО' лежит на гиперсфере S (с,) тогда и только тогда, когда линия W — линия кривизны относительно нормали ~сР+, и конус Ctf^Ou^CA?^ = О проходит через прямую ix^e,'}, 2. если линия W' - линия кривизны относительно направления и найдется еще одна линия кривизны ш относительно такая, что ¦= 4п, то линия М' лежит на гиперсфере £(с,) тогда и только тогда, когда векторы -¿-, 3о, Лъ ёд ортогональны. Указаны признаки Лсопряженности линий СО ', СО^ при наличии сопряженности направления е, и ортогонального дополнения (х).

Во второй главе исследуются поверхности с параллельным полем вектора средней кривизны М.

В параграфе восемь даны условия параллельности поля вектора средней кривизны вдоль распределения Аг. выделены условия параллельности направления средней нормали и постоянства средней кривизны. Доказана теорема существования поверхности У2с. Ev коразмерности 2 с параллельным полем направления средней нормали. Такие поверхности существуют с произволом 4 функции одного аргумента. Показано, что для псевдоомбилической поверхности постоянной средней кривизны имеет место свойство: касательная плоскость с (V) к поверхности центров V параллельна плоскости П. При г-р-1 доказано, что поверхность является минимальным подмногообразием гиперсферы тогда и только тогда, когда вектор вынужденной кривизны линии СОр (ортогональной к поверхности /р-,) коллинеарен средней нормале М, и гармоническим полюсом точки х относительно псевдофокусов Тр является у" бесконечно удаленная точка прямой Г х, щ.

В девятом параграфе для каждого направления А, (х) с направляющим вектором { определен тензор — '¿-^ус Рассмотрены признаки совпадения главных направлений тензоров.

9 (произвольное нормальное векторное поле фиксировано). Исследована пропорциональность С^ •.

Такая пропорциональность приводит к тому, что направление средней нормали параллельно вдоль распределения А,, а коэффициент Л удовлетворяет равенству А1 — средняя кривизна поверхности I! Р — если к тому, же линия ОУ' является линией кривизны относительно средней нормали, то она геодезическая. При указанной пропорциональности и условии, что линия СО' - асимптотическая получаем, что если гошу\ \-P-i, то I. линия Са9 ' - прямая, 2. все псевдофокусы прямой совпадают в точке ¿-Г, & - X + Zco'ë-,¡-/с/, (?п/А), з. гиперраспределение, ортогональное к распределению А, э е,, интегрируемо.

Если существует несколько распределений Д/,. А?, для которых соответствующие тензоры пропорциональны тензору, и хотя бы вдоль одного из этих распределений.

— 15 например, А э ~е,, поле вектора М параллельно, то и вдоль остальных распределений поле вектора М параллельно, либо касательная плоскость к поверхности VР вдоль линии о?' постоянна.

Показано, что необходимым и достаточным условием сопряженности направлений COs, СС* относительно тензора является совпадение векторов ^.

П <к Kn (Z2J rf 1<кЫъА) + Ъ Кт (?> О).

PN* ds > № >'.

Здесь: Jj — дифференцирование вдоль интегральной линии 6 распределения А, по длине дуги этой линии, б/у — дифференцирование вдоль линии со3. При сопряженности сети от/" ct носительно L^ и vu одновременно получаем, что главная нормаль одномерна, либо все формы СО^ вдоль распределения А, нулевые. Если выделена гиперплоскость ^?u=Jb нормальной плоскости то можно рассмотреть тензор С^-С^Ы^ Доказано, что при dim 1С]} c^lдля любого одномерного.

Г*-* f Jf х распределения й, Ф Л,, порождаемого векторным полем t имеется, по крайней мере, п-[>-<£' - мерный пучок гиперплос.

I ^ костей в г1"-р (эс) для каждой из которых Л, имеет главное направление относительно тензора, а А, имеет главг* 7н ное направление относительно тензора — v3gjc f U^,.

При помощи отображения t: ТХ ~ N.

В десятом параграфе рассматриваются некоторые конусы специального типа. Доказано, что если распределение Л, принадлежит распределению лг, то для любой нормали ?20 конус хРОУ* - О проходит через прямые Сх>К ], где йГ -2. е^ и ^ - единичные векторы главных направлений тензора С*/. Из тензора выделяется тензор «соответствующий средней нормали и исследуется конус СсРСй^Сё*- О.

Доказано: если конус брн распадается на гиперплоскость П, и конус второго порядка, то плоскости П,, Г совпадают тогда и только тогда, когда плоскость П, и ортогональное к ней направление сопряжены относительно конуса 6Р*' - если конус (г'*'распадается на гиперплоскости ?7, Гг, П3, то пересечение П, /I Пг лежит в плоскости Г тогда и только тогда, когда плоскости Р1, П ортогональны, или все плоскости П, Пэ принадлежат одному пучку с р-1 мерной вершиной. В одиннадцатом параграфе исследуются поверхности, несущие основное направление. Направление г называется основным [бз], если для любого нормального вектора 7 ортогонального к вектору М выполняется условие /.

— 17.

Пусть на поверхности Ур существует единственное основное направление^. Вдоль основного направления параллельно поле направлений вектораМ тогда и только тогда, когда линия СО1 лежит в пространстве? ¿-с, Т*г, И ]" Доказано, что если направление ОЭ' не асимптотическое и размерность главной нормали меньше р, то на поверхности УР существует ненулевое распределение Аг, вдоль которого направление средней нормали параллельно. Это распределение сопряжено с основным нал-равлением относительно конусов ой3СО =О. Если линия оО'~ геодезическая, но не асимптотическая, то на поверхности Ц? существует гиперраспределение вдоль которого направление вектора М параллельно. Распределение не содержит основное направление и оно сопряжено с основным направлением относительно конуса.

Показано, что если основное направление является направлением кривизны относительно средней нормали, то вдоль гиперраспределения Ар~, ортогонального к основному направлению, параллельно направле-—? ние вектора М тогда и только тогда, когда линия СО' -геодезическая.

Пусть поверхность Ур несет М — мерное основное направление Ат (х). Доказано, что если форма Ф Р+' содержит хотя бы одно произведение форм) возможно, то на распределении Ат имеется гиперраспределение Ам-^вдоль которого направление вектора М параллельно. Показано, что распределение Лт интегрируемо тогда и только тогда, когда направления Атч С*) (ж) (где&Р-т (х) ортогонально к Ат (*)) сопряжены относительно конуса О,.

1. Акивис М. А., Фокальные образы поверхности ранга % Изв. высш. учебн. завед. Математика, 1957, № 1, с.9−19.

2. Акивис М. А., 0 строении поверхностей, несущих сеть сопряженных линий. В кн.: «Вопросы дифференциальной и неевклидовой геометрии», М., 1963, с.31−47.

3. Акивис М. А., 0 строении сопряженных систем на многомерных поверхностях. Изв. высш. учебн. завед. Математика, 1970, № 10, с.3-II.

4. Акивис М. А., Чакмазян A.B., Об оснащенных подмногообразиях аффинного пространства, допускающих параллельное нормальное векторное поле. Докл. АН АрмССР, 1975, т.60, № 3, с.137−143.

5. Акивис М. А., Чакмазян A.B., О подмногообразиях евклидова пространства с плоской нормальной связностью. Докл. АН АрмССР, 1976, т.62, № 2, с.75−81.

6. Базылев В. Т., О многомерных сетях и их преобразованиях. В кн.: «Геометрия. 1963 /Итоги науки. ВИНИТИ АН СССР/», М., 1965, с.138−164.

7. Базылев В. Т., Об одном аддитивном представлении тензора Риччи рповерхности евклидова пространства. Сиб.мат.ж., 1966, 7, № 3, с.499−511.

8. Базылев В. Т., 0 многомерных сетях в евклидовом пространстве. Лит.мат.сб., 1966, 6, № 4, с.475−491.

9. Базылев В. Т., О полях сопряженных направлений на многомерных поверхностях полного ранга. Уч.зап.МГПИ им. В. И. Ленина, М., 1967, № 271, с.7−33.

10. Базылев В. Т., Сети на многообразиях. В кн.: «Труды геометрического семинара. /ВИНИТИ АН СССР/», М., 1974, 6, с.189−205. 121.

11. Базылев В. Т., О Vсопряженных сетях в пространствах аффинной связности. Изв.высш.учебн.завед. Математика, 1974, № 5, с.25−30.

12. Базылев В. Т., Кузьмин М. К., Столяров A.B., Сети на многообразиях. В кн.: «Проблемы геометрии. Т.12 /Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР/», М., 1975, с.105−116.

13. Бишоп Р., Критенден Р., Геометрия многообразий, М., изд-во «Мир», 1967, 336с.

14. Евтушик Л. Е., Лумисте Ю. Г., Остиану Н. М., Широков А. П., Дифференциально геометрические структуры на многообразиях. В кн.: «Проблемы геометрии. Т.9 /Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР/», М., 1974, с.5−246.

15. Лазарев A.C., К геометрии двумерных поверхностей в Е^. В кн.: «Геометрия погруженных многообразий',' М., 1978, с. 55−61.

16. Лазарев A.C., 0 частично параллельных поверхностях. В кн.: «Дифференциальная геометрия многообразий фигур», Калининград, t979j, вып. 10, с.48−53.

17. Лазарев A.C., Об одном классе поверхностей, допускающих частично параллельные поверхности. В кн.: «Геометрия погруженных многообразий», М., 1980, с.48−53.

18. Лазарев A.C., О геометрии поверхностей, допускающих частично параллельные поверхности. В кн.: «Дифференциальная геометрия многообразий фигур», Калининград, 1981, вып.12, с.40−43.

19. Ланкастр П., Теория матриц., М., изд-во «Наука',' 1978, 280с.

20. Лаптев Г. Ф., Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. В кн.: «Труды московского математического общества», М., 1953, 2, с.275−382. 122.

21. Лаптев Г. Ф., Дифференциальная геометрия многомерных поверхностей. В кн.: «Геометрия. 1963 /Итоги науки. ВИНИТИ АН СССР/», М., 1965, с.5−64.

22. Лаптев Г. Ф., Распределения касательных элементов. В кн.: «Труды геометрического семинара. Т. З /ВИНИТИ АН СССР/», М., 1971, с29−48.

23. Локотков H.H., О специальных семействах линий на поверхности Vj с Е^. В кн.: «Геометрия погруженных многообразий», М., 1981, с.63−67.

24. Локотков H.H., К геометрии поверхностей с параллельным полем вектора средней кривизны. МГПИ им. В. И. Ленина, М., 1982, 19с. /Рукопись деп. в ВИНИТИ АН СССР 1июня 1982 г. Р2765−82 Деп./.

25. Локотков H.H., О специальном расслоении рповерхности в евклидовом Г) -пространстве. В кн.: «Дифференциальная геометрия многообразий фигур», Калининград, 1982, вып.13, с.54−59.

26. Локотков H.H., О специальном отображении Т: ТХ «NxВ кн.: «Дифференциальная геометрия многообразий фигур», Калининград, 1983, вып.14, с.49−53.

27. Локотков H.H., О поверхностях, несущих основное направление. В кн.: «Вопросы повышения эффективности обучения дисциплинам физико-математического цикла», Минск, 1983, с.36−41.

28. Лумисте Ю. Г., Многомерные линейчатые поверхности евклидова пространства. Математ.сб., 1961, 55, № 4, с.411−420.

29. Лумисте Ю. Г., Дифференциальная геометрия подмногообразий. В кн.: «Алгебра. Топология. Геометрия. T. I3 /Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР/», М., 1975, с.273−340. 123.

30. Лумисте Ю. Г., Чакмазян A.B., Подмногообразия с параллельным нормальным векторным полем. Изв.высш.учебн.завед. Математика, 1974, № 5, с.148−157.

31. Лумисте Ю. Г., Чакмазян A.B., Нормальная связность и подмногообразия с параллельными нормальными полями в пространстве постоянной кривизны. В кн.: «Проблемы геометрии.Т.12 /Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР/У 1981, с.3−30.

32. Мирзоян В. А., О подмногообразиях с параллельной второй фундаментальной формой в пространствах постоянной кривизны. Уч.зап. Тартуск. у-та, 1978, вып.464, с.59−74.

33. Мирзоян В. А., Подмногообразия с параллельной фундаментальной формой высшего порядка. Тартуск. ун-т, Тарту, 1978, 47с. /Рукопись деп. в ВИНИТИ 20 июня 1978 г. № 2074;78 деп./.

34. Мирзоян В. А., Подмногообразия с коммутирующим нормальным векторным полем. В кн.: «Проблемы геометрии. /Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР/», 1983, т.14, с.73−100.

35. Михайлов П. Н., К геометрии поверхностей постоянной средней кривизны. В кн.: «Геометрия погруженных многообразий», M., 1980, с.62−66.

36. Михайлов П. Н., К геометрии многомерной поверхности, несущей сеть линий кривизны. В кн.: «Геометрия погруженных многообразий», M., 1981, с.73−77.

37. Михайлов П. Н., 0 поверхностях постоянной средней кривизны. В кн.: «Дифференциальная геометрия многообразий фигур», Калининград, 1982, вып.13, с.65−70.

38. Норден А. П., Пространства аффинной связности. М., изд-во «Наука», 1976, 432с.- 124.

39. Перепелкин Д. И., О параллельных подмногообразиях в евклидовом /или римановом/ пространстве. Докл. АН СССР, 1935, I, с.593−598.

40. Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ. М., изд-во «Наука», 1967, 664с.

41. Рыжков В. В., Сопряженные системы на многомерных поверхностях. Труды моек. мат. о-ва, 1958, 7, с.179−226.

42. Рыжков В. В., О тангенциально вырожденных поверхностях. Докл. АН СССР, i960, 135, I, с.20−22.

43. Савельев С. И., Поверхности с плоскими образующими, вдоль которых касательная плоскость постоянна. Изв.высш.учебн. завед. Математика, i960, № 2, с.154−167.

44. Схоутен И., Стройк Д., Введение в новые методы дифференциальной геометрии. Т.2, М., изд-во «Иностранная литература», 1948, 348с.

45. Трушин Г. И., Сопряженные системы третьего порядка. Вестник МГУ, i960, с.26−34.

46. Трушин Г. И., Голономные сопряженные системы третьего порядка. Вестник МГУ, 1961, № 1, с.9−16.

47. Трушин Г. И., Сопряженные системы третьего порядка из полуасимптотических линий. Вестник МГУ, 1962, № 2, с.16−23.

48. Фиников С. П*, Метод внешних форм Картана. М-Л, ОГИЗ, 1948, 432с.

49. Чакмазян A.B., Двойственная нормализация. Докл. АН СССР, 1959, 28, № 4, с.151−157.

50. Чакмазян A.B., К теории двойственно нормализуемых тмерных поверхностей Ут в Еп. Докл. АН СССР, 1971, 196, РЗ, с.538−540. 125.

51. Чакмазян A.B., Подмногообразия с параллельным рмерным подрасслоением нормального расслоения. Изв.высш. учебн.завед. Математика, 1976, № 8, с.107−110.

52. Чакмазян A.B., Подмногообразия пространства постоянной кривизны с параллельным подрасслоением нормального расслоения. Укр.геометр.сб., 1977, вып.20, с.132−140.

53. Чакмазян A.B., Об одном классе подмногообразий в Усп с параллельным р-мерным подрасслоением нормального расслоения. Мат. заметки, 1977, 22, Р4, с.477−483.

54. Чакмазян A.B., Нормализованное по Нордену подмногообразиеVm в Рп с параллельным нормальным подрасслоением. Мат. заметки, 1977, 22, № 5, с.649−662.

55. Чакмазян A.B., 0 подмногообразиях пространства постоянной кривизны с параллельными полями нормальных рнаправлений. УЗ'.зап. Тартуск. ун-та, 1978, вып.464, с. 137−145.

56. Чакмазян A.B., Нормализованное по Нордену подмногообразиес параллельным полем нормальных направлений в Рп. Изв.выс. учебн.завед. Математика, 1980, PI, с.57−63.

57. OUu/a ЖЛтгскфМ uri/? /пла* tr? duste zrtoi&z. Л-ti. ?fiztU/icW-, 19 Н, Лес. I, р. 3/- ?f.

58. Cfie/r ?r У., ^dcdmam/e&fe ¿-ш//? pt&tttM/ те&к ireefotвссЖ. deciedy, ?г.р. №-?/#.

59. Cke/7 В.-У., ¿-хеямл^^ (Ршя ?z ?/WJ?>.7 W°22), Пею-fytA, 3) Мел7 /923 / Ш/>.

60. Скел В. У., О/? ¿-шл/ttce гм/tf ралггШ/ t7iaxs? ссог-wda/ce isect? z. Л/рскеска ffltzffl. ^шлягс/.^ Ш?3, 17.22, Jff, р. fSS-Ш.61. (Уш в. беот&^и^ -лаё/пат/рЛ^ сипУ? fec? t??№ 4. Ли. /92/, Ж, 9£р.

61. CJttt? В.-У., -Jwz/?z, c?4 гыМ тесся ¿-¿-vzwzжсУяг piz^tz/fe/ с/9 //?? Acn?/?e.WedA Л, /9?Л7 гг. р.

62. СЛен в.-У, 1/ctKuJC.j Шп/та/ M? Jm?tn?/Mu ?yfa A^Aw d? m?U74??>/?a/ /9?/, к p. 369- J?3.

63. У Ar? о? sdu/nr/tne/tiufa /?^?M pa/uz^/ ?пг?о? жс/яъz euoudet? ??/uzee e-t & ЖнУхр ffiezta.Jem. Л/, p №-/&.ои-тяУте peoecz, Лагш?. л/У, p- 9S-J/866' Vau ArJ- ^йкУм/и/^Уа с&гоУа/гУ meas? ш/twz-taxe I. Яюаишл /9?Л, v9?9 лГЛ^.З'/б-Ш.

64. Уссиai?? r?7ein?/e3ai lutta СбжУ&к? ffz&j? cuwaЬсШ Ж, JW qfMtti., /9?У} я № Л/, р. К-М.