Классификация замкнутых односвязных шестимерных многообразий

ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР И КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ СОДЕРЖАНИЯ).

Мощные средства топологии многообразий, появившиеся в конце 50-х — начале 60-х годов, такие как теоремы об /г-кобордизме и «-кобордизме, методы вычисления групп бордизмов и хирургия, сделали возможным решение многих классификационных задач для многообразий тех или других типов. Среди этих последних можно выделить как принципиальные, сыгравшие большую роль в дальнейшем развитии теории как, например, классификация гомотопических сфер (Кервер-Милнор) или гомотопических торов (Кассон-Сян-Шейнсон-Уолл), так и более частные, однако тем не менее представляющие интерес как примеры применения общих методов и как «экспериментальный материал». К этому разряду можно отнести и задачу классификации всех односвязных замкнутых многообразий в «стабильных» (т. е. начиная с 5) размерностях. С ростом размерности эта задача очень быстро усложняется, так что рассчитывать на сколько-нибудь окончательные результаты можно, видимо, лишь в размерностях 5 и 6. Следует заметить, что попытки применения подхода, основанного на классификации «гладких структур на заданном гомотопическом типе» (теория Браудера-Новикова), для получения такого рода результатов вызывают весьма труднопреодолимые проблемы (см. по этому поводу ниже, в частности § 3.3).

Первый результат, относящийся к указанной задаче и дающий частичное решение для размерности 5, был получен Смейлом в статье [47], появившейся сразу вслед за его работами [48, 49] о разложениях на ручки и об /г-кобордизме и представляющей собой приложение результатов этих работ. В [47] приводится классификация замкнутых односвязных 5-мерных гладких многообразий М, удовлетворяющих дополнительному условию Ш2{М) = О (иначе говоря, спинорных). Инвариантом, определяющим дифференциально-топологический тип многообразия, оказывается его двумерная группа гомологии, рассматриваемая с точностью до изоморфизма. Для каждого к 2 в работе Смейла явно указывается некоторое многообразие Мк с Н2{Мк) 5А 2А © Ък] основная теорема (теорема А) утверждает, что произвольное многообразие рассматриваемого типа диффеоморфно связной сумме вида.

3'фм, ф.#м, лф3-'х3'#.#3лх3л, (1) где каждое к{ делит УГ+х (и где слагаемые каждого из видов могут отсутствовать). Из существования разложения (1) очевидным образом следует не только единственность многообразия М с заданной группой (М), но и описание «множества значений» инварианта Н2{М) (а именно, это может быть любая конечно порожденная абелева группа с периодической частью вида Т © Т). Доказательство теоремы основано на представлении многообразия М как края «тела с ручками» — многообразия ИА, получаемого приклеиванием к шару набора ручек индекса 3 вдоль некоторого 2-мерного зацепления в сфере 5А (здесь Смейл ссылается на результаты своей работы [48]). Дальнейшие рассуждения опираются на работу Хе-флигера [21], из результатов которой следует, что изотопический класс 2-мерного зацепления в 5А (и, тем самым, дифференциально-топологический тип многообразий W и М) определяется коэффициентами зацеплений его компонент, совпадающими с индексами пересечений соответствующих образующих группы Нз (1¥-). Дело завершает ссылка на известную теорему о каноническом виде кососимметрической формы над 2 и еще одна ссылка на 48' относительно перегруппировки ручек одного индекса. Заметим, что, вследствие этих результатов, хорошо известный мультипликативный инвариант многообразия М — форма зацеплений.

1м: Тог8Я2(М) О Тог8Я2(М) а (а/2 (2) приводится к стандартному виду и, следовательно, не несет дополнительной информацр1Р1. Конечно, наличие формы (2) налагает очевидное условие на изоморфизмы Я2(М) Я2(М'), которые индуцируются диффеоморфизмами М М'- этот вопрос, однако, в работе [47] не рассматривается (см. по этому поводу ниже).

Классификация Смейла была завершена Барденом [13], снявшим условие спинорности ги2{М) = 0. В работе [13] строится серия «простейших» многообразий Xj с ненулевым классом гУ2, где индекс ] пробегает все натуральные значения 1, 2, ., а также —1 и оо. Многообразие Х-х имеет двумерную группу гомологии 22 и совпадает с известным «многообразием Ву» — многообразие Хоо имеет двумерную группу гомологии 2 и представляет собой «косое произведение» сферы 5А на сферу 5А. Остальные Xj имеют двумерную группу гомологии 22л © 22А и строятся с использованием результатов Уолла [56] о диффеоморфизмах 4-мерных многообразий. Барден доказывает [13, теорема 2.3], что односвязное замкнутое 5-мерное гладкое многообразие М диффеоморфно связной сумме вида где, как и в разложении (1), каждое /ТЛ делит ^+1 и слагаемые каждого из видов могут отсутствовать) — это, очевидно, является прямым обобщением теоремы, А работы [47], о которой шла речь выше. Из существования разложения (3) непосредственным образом следует, что дифференциально-гомотопический тип многообразия М определяется двумя инвариантами — группой С = Н2{М) и элементом г = г (М) множества {О, 1, сю}, характеризующим класс Ш2{М) «с точностью до изоморфизма» и задаваемым правилом: если Ш2{М) = О, то и г = 0- если же гю2{М) ф О, то г — наибольший элемент множества {1, 2, ., оо}, для которого найдется класс когомологий и Е Н’Л (М] Ъ2з) с /)2(Л) = W2{M где р2 обозначает приведение по модулю 2 (таким образом, инвариант г — это «степень целочисленности» класса УС12{МУ). Отсюда же получается и описание «множества значений» пары (С, г), а именно: группа TorsG должна иметь вид Т © Т, или же Т ф Т © Z2, причем в последнем случае обязательно г =1. Эти результаты являются непосредственным обобщением результатов работы [47]. В то же время следует заметить, что метод Бар-дена существенно отличается от метода Смейла. Если представление (1) получается в результате более или менее прямого «хирургического» рассуждения, то его обобщение (3) оказывается следствием некоторой «промежуточной» классификационной теоремы [13, теорема 2.2], представляющей не меньший интерес, чем «окончательная» теорема 2.3. Эта теорема 2.2 утверждает, что изоморфизм Н2(М) -> Н2{М') тогда и только тогда индуцируется некоторым диффеоморфизмом М —)• М' степени +1, когда он сохраняет форму (2) и класс. Тем самым доказательство существования представления (3) сводится к построению требуемого изоморфизма, т. е. в конечном счете к некоторой довольно элементарной алгебре. Доказательство самой теоремы 2.2 также заслуживает внимания. Ключевой момент этого доказательства (лемма 4.4) — перестройка некоторого ко-бордизма в /г-кобордизм. При этом, в отличие от [27^ [37 и 58 не предполагается существования отображения, индуцирующего гомотопическую эквивалентность на каждой из компонент края — вместо этого делается гораздо более слабое предположение. Это рассуждение Бардена может расматриваться как первый пример некоторого варианта (не сформулированного явно) стандартной хирургии, который был затем (уже в более или менее явном виде) успешно применен к размерности шесть в работах [1]-[5] и к другим размерностям [19, 31] (см. ниже).

Результаты Смейла и Бардена решают, таким образом, задачу классификации 5-мерных многообразий максимально удовлетворительным образом: имеется не только явное и вполне конструктивное описание всех возможных дифференциально-топологических типов, но и для каждого типа (или, иначе, для каждого допустимого набора инвариантов) предъявлено конкретное «модельное» многообразие. Заметим также, что, ввиду гомотопической природы инвариантов Н2{М) и г (М), классификация Смей-ла-Бардена совпадает со всеми другими возможными классификациями — комбинаторной, топологической и гомотопической. В связи с этим уместно добавить, что вследствие 7-связности канонического отображения БО —) BPL (и в силу теории сглаживания PL-многообразий [25]) всякое PL-многообразие размерности, А б обладает единственной (с точностью до изотопии) гладкой структурой, так что задачи классификации многообразий в категориях DIFF и PL в этих размерностях заведомо совпадают. В частности, классификация Смейла-Бардена является одновременно и классификацией PL-многообразий, что и отмечено в работе Бардена [13, следствия 2.3.1 и 2.3.2]. Далее, полученные позднее результаты о PL-структурах на топологических многообразиях [52, 28] позволяют утверждать, что всякое односвязное замкнутое 5-мерное многообразие М обладает PL-структурой (ввиду НЛ (МЪл) ~ Н{М) — 0), так что классификация Смейла-Бардена переносится в том же виде и на топологические многообразия (другой способ убедиться в этом — просто перенести в категорию Тор все рассуждения из [47, 13], используя топологический вариант хирургии [28, Essay Ш]). Наконец, заметим, что совпадение в ситуации Смейла-Бардена гладкой классификации с топологической следует также из общей теоремы о Hauptvermutung для односвязных многообразий ([52, 28], см. также [42]) — ввиду Тог8Яз (М) «TorsFi (M) = 0.

Переходя к размерности б, следует начать опять-таки со Смейла: как следствие его 5-мерной классификации получается утверждение [47, теорема В] о том, что замкнутое 2-связное б-мерное гладкое многообразе гомеоморфно связной сумме.

5Ах5А #.#5Ах5А (4).

Впрочем, этот результат легко получается и непосредственно из следующего элементарно доказываемого утверждения: любое замкнутое односвяз-ное 6-мерное гладкое многообразие М диффеоморфно связной сумме.

Мо# 5Ах5а # .#5Ах5а (5) с Ь2,{М) = о (см. [57, теорема 1], а также п. 1.2.4 основного текста диссертации). Если многообразие М при этом 2-связно, то Мо оказывается гомотопической сферойсогласно [48], Мо в этом случае гомеоморфно сфере 5А, а, следовательно, М — связной сумме (4) (в действительности, здесь, конечно, имеет место диффеоморфизм, ввиду Эе = О [27]).

Следующий шаг — это работа Уолла [57], в которой дается классификация односвязных замкнутых б-мерных гладких многообразий М, удовлетворяющих двум дополнительным условиям Ш2{М) = О и То18Н2{М) = 0. Уолл показал [57, теорема 5], что удовлетворяющее этим условиям и снабженное ориентацией многообразие М определяется, с точностью до сохраняющего ориентацию диффеоморфизма, следующим набором инвариантов:

1) неотрицательное целое число г = |бз (М);

2) конечно порожденная свободная абелева группа Н = Н’Л[М).

3) кубическая форма ц: Н 11{х) = {хл, [-ЛА]);

4) линейная форма р: Н р{х) = {рхлМ) • х, [М]}- иначе говоря, многообразие М определяется своим кольцом когомологий Н*{М) и своим 4-мерным классом Понтрягина р1{М)). Заметим, что кубической форме р соответствует ее «поляризация» — симметрическая 3-линейная функция /2: НхНхН 2, связанная с когомологическим умножением в М формулой.

11{х, у, г) = {хуг,[М]) собственно говоря, Уолл берет в качестве инварианта и обозначает через ?1 именно эту поляризацию, что, конечно, не меняет дела). Таким образом, тройка инвариантов (г, Н, р) содержит всю информацию о кольце Н*(М). Точный смысл теоремы 5 работы [57] состоит в том, что если наборы инвариантов (г, Н, р, р) и (r', Я', АL?', У) соответствуют описанным выше образом многообразиям Ми М', то изоморфизм (р: Н л Н' в том и только том случае индуцируется некоторым сохраняющим ориентацию диффеоморфизмом /: М' М, если выполняются условия г = г, (6).

1 о (р — ц (7) И р о (р = р. (8).

Эта же теорема содержит и описание «множества значений» инвариантов: набор {г, Н,11,р) изоморфен набору инвариантов некоторого многообразия в том и только том случае, если выполнено условие р — Ар {m.od24).

А) что может быть записано и как pi (M), х) = (4:гл [М]>, VxeHAiMZ24) •.

В частности, здесь содержится утверждение о том, что класс Понтрягина Pi{M) определяется по модулю 24 кольцом когомологий многообразия М и, следовательно, гомотопически инвариантен по модулю 24. По этому поводу можно заметить, что «в два раза более грубое» сравнение рг (М), х) = {4х [М]), Vx е НМZ12) (10) имеет место для любых замкнутых 6-мерных гладких многообразий М с W2 (М) = О И является простейп1им случаем «формул By mod 3» [59] и «формул By mod 4» [60]- вообще же из этих формул By следует гомотопическая инвариантность по модулю 12 всех классов Понтрягина на любых замкнутых гладких многообразиях (см. [60]).

Теорема 5 работы [57] решает задачу классификации односвязных замкнутых 6-мерных гладких многообразий в том смысле, что сводит ее к алгебраической задаче классификации наборов вида {r, H, ii, p) (представляющей собой нечто близкое к задаче классификации целочисленных кубических форм). Мы вряд ли можем рассчитывать на решение последней задачи в самом общем случае (см., впрочем, [43]). Таким образом, 6-мерная классификация Уолла (как и ее обобщения, о которых будет идти речь ниже) имеет — по необходимости — менее «завершенный» характер, чем 5-мерная классификация Смейла-Бардена. Доказательство теоремы 5 основано на том простом наблюдении, что всякое односвязное замкнутое 6-мерное гладкое многообразие М с W2{M) = О, Тог8Я2(М) = О и Нз{М) = О может быть получено как результат перестройки сферы вдоль некоторого 3-мерного оснащенного зацепления [57, теорема 2]- это зацепление задает базис группы Н2{М) и, обратно, однозначно определяется таким базисом. Таким образом, для получения гладкой классификации достаточно воспользоваться результатами Хефлигера [22, 23, 24] и установить связь между инвариантами зацепления и инвариантами соответствующего многообразия. Получение на этом пути гомотопической классификации ставит довольно трудные проблемы, разрешить которые в работе [57] не вполне удалось (см. об этом ниже).

Из результатов Уолла, вместе с теоремой о топологической инвариантности рациональных классов Понтрягина, следует, что его топологическая классификация совпадает с дифференциальной (это утверждение, точно так же, как и соответствующее утверждение для размерности 5, можно рассматривать как специальный случай теоремы Салливэна о Hauptvermutung). Для гомотопической классификации это уже не так. В самом деле, согласно описанным выше результатам [57], для любого целого к существует многообразие Мк с г, Я, Ах, р) = (0,2,1,4-Ь24А-) т. е. с НЛ (М) = О, Я2(М) = 2, /х (1) = 1 и р (1) = 4 + Щ. Очевидно, что многообразия М/. попарно недиффеоморфныв то же время нетрудно убедиться (сравнивая значения инвариантов), что многообразие Мо — не что иное как СР (3) и, следовательно, для любого к существует отображение -> Мо, индуцирующее изоморфизм ЯА (Мо) — 1ГА (Мк): А значит (ввиду совпадения умножений) и изоморфизм Я*(Мо) Н*(Мк) (заметим, что подобные примеры — гомотопически эквивалентных б-мерных многообразий, различающихся своими классами Понтрягина, в частности многообразий гомотопического типа 5А х 5'* — были известны ранее, см. [39, 41] и п. 3.3.4 ниже). В работе [57] имеется формулировка гомотопической классификационной теоремы (теорема 7). Эта формулировка, однако, ошибочна: утверждается, что изоморфизм (р: Н Н' (обозначения те же, что и при обсуждении теоремы 5 выше) в том и только том случае индуцируется сохраняющей ориентацию гомотопической эквивалентностью /: М' -> М, если выполняются условия (6) и (7), а вместо условия (8) выполняется более слабое р' о (р^р (mod48). (11).

В частности, здесь утверждается (необходимость условия (И)), что класс Р1(М) гомотопически инвариантен по модулю 48, что опровергается вышеприведенным примером с многообразиями Мк (по поводу ошибки в доказательстве Уолла см. [3, 5]). В действительности, в работе [57] корректно доказана лишь достаточность условия (11) и (о чем уже упоминалось на стр. 9) необходимость более слабого условия р' оср =р (шod 24). (12).

Таким образом, правильный вариант формулировки гомотопической классификационной теоремы должен содержать нечто промежуточное между достаточным условием (11) и необходимым (12). Таким необходимым и достаточным условием оказывается: р' о (р (х) = р (х) + 24р (х, у, у) (mod48) (13) для некоторого у ЕН и для всех ж 6Я (это, как мы увидим, специальный случай гомотопической классификационной теоремы из [3]).

Описанные выше результаты Уолла были обобщены, примерно в одно и то же время, в двух направлениях: в работе [26] было снято условие А2 = О, а также, благодаря развитой к этому времени «топологической хирургии», и условие гладкостив работах [2, 3] было снято условие свободности группы НА (М) = О (при сохранении условий на гладкость и на класс адг).

Работа [26] является прямым продолжением работы [57 как в смысле формулировок, так и в смысле применяемых методов (а также и в смысле допущенных ошибок, о чем см. ниже). Основная теорема 1 этой работы утверждает, что односвязное замкнутое 6-мерное ориентированное многообразие М с Тот8Н2{М) = о определяется, с точностью до сохраняющего ориентацию гомеоморфизма, набором инвариантов г, Я,//, р, ад, А), (14) который получается добавлением к четырем инвариантам Уолла еще двух:

1) элемента и) = Ш2{М) группы Н л2,2].

2) линейной формы, А: Я -> Жз, А (ж) = (А (М) • ж, [М]) где А (М) — класс Кирби-Зибенмана многообразия М, т. е. препятствие к РЬ-редукции касательного ТоР-расслоения). Теорема 1 работы [26] утверждает также, что набор вида (14) изоморфен набору инвариантов некоторого многообразия в том и только том случае, если выполнено условие: р (ш) = р (со) -Ь 24А (а-) (тоа48) (15) для всех и ЕН с р2(о-) = ги (через р2 опять обозначается приведение по модулю 2). Из доказательства в [26] этой теоремы (или, если угодно, из теоремы о Hauptvermutung, как ив случае Уолла) следует, что первые пять инвариантов набора (14) (т. е. все кроме А) дают классификацию гладких многообразий рассматриваемого типа с точностью до диффеоморфизма (что доказывает гипотезу, высказанную в [57]). Заметим, что при, А = О и ад = О (т. е. в случае Уолла) соотношение (15) равносильно соотношению (9) — достаточно взять (1 = 0ии = 2хс произвольным ж 6 Я (и разделить все на 2).

Доказательство соотношения (15) в работе [26] содержит пробел: оно опирается (при, А 7А 0) на то же самое ошибочное рассуждение, посредством которого в [57] «доказывается» соотношение (11) (по аналогичной причине ошибочной является и гомотопическая классификационная теорема 26, теорема 2]). Тем не менее, соотношение (15) действительно имеет место (см. п. 3.1.6 основного текста).

В работах [2, 3] рассматривается следующий набор инвариантов одно-связных замкнутых ориентированных 6-мерных гладких многообразий М сад2(М) = 0:

1) неотрицательное целое число г = |Ьз (М);

2) конечно порожденная абелева группа G = Н2{М);

3) класс гомологии, А О Не2) — образ фундаментального класса при каноническом гомоморфизме HQ{M) HQ{G, 2);

4) элемент 7 группы Н’Л{М) = Н2{М) = G (о котором см. ниже).

Очевидно, что всякий класс гомологии AEHQ (G, 2) определяет кубическую форму на группе Н = Нот (О, 7) = ^(О, 2). Это позволяет в случае То^О = О отождествить класс ?1 с одноименной формой из [57, 26. Наибольший интерес представляет последний из перечисленных выше инвариантов 7 (в [3] этот инвариант обозначался через р). Заметим, что из сравнения (10) следует делимость класса р^М) на 4 для любых многообразий рассматриваемого типа, так что всегда найдется такой 7 О ЯЛ (М) = С, для которого выполнено соотношение.

В том случае, если группа G не имеет элементов порядка 2, элемент 7 определен соотношением (16) (и не содержит, следовательно, никакой новой информации, по отношению к известным инвариантам). Оказывается, что можно в обпдем случае так определить инвариант 7(М), что будет выполняться следуюп]-ее условие «инвариантности относительно кобордизма» :

Пусть W — компактное ориентированное 1-мерное гладкое многообразие, удовлетворяющее условию W2{W) = О и осуществляющее кобор-дизм между односвязными многообразиями М1 и М2 {соответствующим образом ориентированными). Тогда имеет место равенство где ik: H2{Mk) —> H2{W) — гомоморфизмы, индуцированные включениями.

Это свойство инварианта 7 (не сформулированное в [3] явно, но прямо вытекаюш-ее из содержап]-ихся там определений), вместе с равенством (16), как нетрудно видеть, однозначно его определяет (в самом деле, равенство (17), плюс простейшая хирургия, сводят дело к случаю Tors Н2{М) — О и, тем самым, к соотношению (16)). Можно показать, тем не менее (см. 3.1.8, 3.3.8), что для конкретного М инвариант 7(М), вообш-е говоря, не определяется не только классом (М), но даже и нормальным (или тангенциальным) гомотопическим типом.

Теорема 1 работы [3] утверждает, что набор инвариантов (г, G, fi, 7) является полным (в том же смысле, что и выше), а «множество значений» .

47 = Pi (M).

16) ii7(Mi) — Z27(M2) ,.

17) описывается условием х, 7> = {х fi), Ухе HG, 2- Ze). (18).

Эта теорема непосредственно обобщает обсуждавшуюся выше теорему 5 работы [57]- в частности соотношение (18) дает (после умножения его на 4) как раз условие Уолла (9). В работах [2, 3] ничего не говорится о соотношении гладкой и топологической классификаций (которые в действительности продолжают совпадать — см. ниже). Гомотопическая классификационная теорема [3, теорема 2] утверждает, что для многообразий М и с инвариантами, соответственно, [rAGAji, A) и р’А') изоморфизм ip: G' -> G индуцируется сохраняющей ориентацию гомотопической эквивалентностью М' М в том и только том случае, если, наряду с очевидными необходимыми условиями на г и на выполняется еще следующее условие:

Р4Ш)-1) ei2 (prASqAHG, 2- Z2)), (19) где через р4: G G/AG обозначается приведение по модулю 4, а через ?2: H2{G, 2- Z2) = G/2G — G/4G — стандартное вложение («умножение на 2»). В случае Уолла (т. е. когда TorsG = 0) условие (19) может быть записано в виде: p{j') =А + 211Глул (mod 4) (20) для некоторого уЕН = Hom (G, Z) = H’a (G, 2). Учитывая, что из (18) (или, если угодно, из (16), плюс гомотопическая инвариантность класса Понтрягина по модулю 12) следует равенство а (У) = 7 (mod3), условие (20) можно также записать в виде ф') = a + брглуА (mod 12), что после умножения на 4 дает — с учетом (16) — указанный выше «исправленный» вариант гомотопической классификационной теоремы Уолла (равенство (13)).

Метод доказательства классификационных теорем в работах [2, 3] существенно отличается от метода [57]. Он основан на следующем «предварительном» варианте классификационной теоремы. Пусть G — конечно порожденная абелева группа, и пусть M{G) обозначает множество классов ориентированно диффеоморфных пар {М,(р), где М — односвязное замкнутое ориентированное 6-мерное гладкое многообразие с W2{M) = О, а (р: Я2(М) С — некоторый изоморфизм. Пусть Жг{р) — подмножество множества М^), выделенное условием Ьз (М) = 2 г. Имеется очевидное отображение.

Л:М (Л)Л11ЛРЛ" (С, 2), (21) где 0? лл'л^, 2) обозначает группу г-мерных спинорных бордизмов пространства Эйленберга-Маклейна К^, 2), и справедлива следующая.

Теорема, А [3, теорема 3]. Сужение отображения в на ЗУСо© биективно для любой (конечно порожденной абелевой) группы С.

Из этой теоремы немедленно следует, что (для многообразий рассматриваемого типа) разложение (5) единственно (в том смысле, что Мо однозначно определено, с точностью до диффеоморфизма, многообразием М) — в самом деле, очевидно, что образы многообразий М и Мо в группе Пзллл [С, 2) совпадают (конечно, эта единственность разложения (5) следует, для многообразий соответствующих классов, и из результатов [57 и [26]). Таким образом, многообразие М определяется двумя независимыми инвариантами 9{М) и г (М), и проблема классификации редуцируется к гомотопической — к вычислению групп ОзЛЛ" (С, 2). В действительности, теорема о единственности разложения (5) имеет место для любых одно-связных замкнутых 6-мерных многообразий, что было впервые доказано (в гладком случае) в работе [1] тем же методом, что и теорема А. Центральный момент обоих доказательств — следующее утверждение:

Теорема В [1, теорема 2]. Пусть W — односвязный гладкий кобор-дизм между односвязными многообразиями Мх и М 2. Если включения Мг —) }? индуцируют изоморфизмы Н2{М{) -> Я2(ИЛ) — и если 63(Л1) = = 63 (М2) = О, то ]У можно превратить в Н-кобордизм между Мх и М2 последовательностью перестроек индекса 4.

Теорема В доказывается в [1] посредством некоторой модификации рассуждения из [27, § 6] (доказательство тривиальности группы ЬР2к+1 для нечетных к). Из теоремы В следует на самом деле несколько более сильное утверждение, чем вышеупомянутая теорема единственности, а именно:

Теорема С. Пусть даны разложения М = Мо # 5Л х 5Л #. # 5Л х 5Л и М' = МЛ #53 X 5Л #.#5ЛХ5Л с Ьз (Мо) = Ьз (МЛ) = 0. Для любого диффеоморфизма /: М —М' найдется такой диффеоморфизм /о: Мо Мочто / ^ /о индуцируют один и тот же гомоморфизм Я2(Мо) — Я2(МЛ) и имеют одну и ту же степень.

Теорема С была позднее обобщена (совсем другим способом) на другие размерности в работе [36] (приведенная там формулировка не содержит гомологического условия на диффеоморфизм /оиз доказательства, однако, нетрудно усмотреть, что это условие выполняется). Обратно, из теоремы С почти немедленно следует теорема, А (так что, по существу, это одна и та же теорема, если «забыть» об условии спинорности в формулировке теоремы А). Имеется, таким образом, альтернативное (как представляется, более «прозрачное») доказательство обеих теорем. Отметим, что теорема С (по крайней мере, в «слабом» варианте, т. е. без гомологического условия) может быть получена и из результатов работы [19] (см. также препринт [31], теорема 3.1 и предложение 3.2]). Оказывается, что, следуя доказательству теоремы 3.1 из [31], можно получить совсем элементарное доказательство теорем, А и С (детали см. ниже в разделе введения, посвященном содержанию диссертации, и в § 1.2).

Отметим, что отображение (21) ассоциируется с отображением ${Х) -> ЩХ) множества «гомотопических сглаживаний» в множество «нормальных бор-дизмов» — основным инструментом и объектом изучения в теории Брау-дера-Новикова. Как об этом уже говорилось, применение результатов теории Браудера-Новикова к задаче классификации односвязных многообразий заданной размерности связано с нетривиальными проблемами, среди которых, помимо вычисления множеств Х (Х) и препятствий к перестройкам, в первую очередь можно назвать проблему перечисления всех возможных гомотопических типов X, а также проблему «депараметризации» — вычисления фактормножеств >1″ (Х)/Ли1(Х). В этом смысле теорему, А можно рассматривать как некоторую «деформацию» теории Браудера-Новикова, в которой информация о гомотопическом типе многообразия М «редуцируется» к Н2{М) = О и Ьз (М) = 2 г (иначе говоря, к аддитивной структуре гомологии). При этом множество §-(Х) превращается в М (А), а 3 Г (Х) — в А7дААО (0,2) — нетривиальная проблема перечисления гомотопических типов заменяется вполне тривиальной задачей перечисления пар {г, С), а препятствие к перестройке отсутствует (последнее как раз и составляет содержание теоремы А). Что касается «депараметризации», то есть факторизации 1А3А'°(с, 2) по Ли1(0), то, хотя эта проблема остается нетривиальной, но, во всяком случае, она становится чисто алгебраической. Формулировка теоремы, А подсказана леммой 4.4 работы [13], которую нетрудно переформулировать подобным же образом — как утверждение о биективности некоторого отображения, аналогичного отображению (21). Барден не использует такой вариант формулировки, и вообще в его работе нет упоминания о бордизмах (за исключением бордизмов точки) — интересно, однако, что такая интерпретация леммы 4.4 цитированной работы Бардена дает возможность получить главные результаты этой работы в качестве «побочного продукта» — как моментальное следствие «легкой части» вычислений, требующихся для нашей б-мерной классификации (см. [12]).

Наконец, заметим, что описанная выше «деформация» теории Брауде-ра-Новикова была впоследствии обобщена (независимо от [3]) в работах 19] и [31] на другие размерности и успешно применена к решению некоторых классификационных задач. Вышеупомянутая «деформация» состоит, коротко говоря, в том, что, определяя множество нормальных бордиз-мов 3 Г (Х), мы уже не требуем, чтобы X было многообразием, или даже комплексом Пуанкаре (соответственно, отпадает и условие, чтобы отображение М X, представляющее нормальный бордизм, имело степеньЬ1) — аналогично, определяя «множество гладких структур» §-(Х), мы не требуем, чтобы отображение М, А X, представляющее «гладкую структуру», было гомотопической эквивалентностью — это условие заменяется более слабым условием Ге-связности отображения с к |ё1шМ (детали см. в [19, 31]). * *.

Настоящая диссертация содержит полное решение задачи классификации — как дифференциальной и топологической, так и гомотопической — для односвязных замкнутых ориентированных 6-мерных многообразий. Результаты работ [1]-[3], о которых говорилось выше (и составившие содержание предыдущей диссертации — кандидатской) распространяются здесь на неспинорные многообразия и на топологическую категорию. Построенный там инвариант у обобщается здесь на все многообразия указанного типа в виде пары инвариантов (М) и 7А (М), зависящих от выбора некоторого класса когомологий и№Н'А (М Z2m), удовлетворяющего условию р2(оо) = Ж2(М), и принимающих значения соответственно в группах Z2m-i и 1ГА{МZ2m-i). При замене класса ш другим классом, удовлетворяющим аналогичным условиям, а также при приведении его по модулю 2А с < т, значения инвариантов ГсА (М) и 7ш (М) изменяются «предсказуемым» образом, так что достаточно знать эти значения для какого-то одного Ш с наибольшим возможным т, допуская и случай т = оо (это наибольшее т можно назвать «степенью целочисленности» класса Ж2(М) — в случае Ж2(М) ф О это то же, что инвариант % из работы [13]). Если Ж2(М) = О, ТО мы имеем канонический выбор т = оо и со = О, при этом инвариант Гаа (М) оказывается нулем, а инвариант 7и-(М) превращается в 7(М) из [3]. Основная классификационная теорема — теорема 3.1.3 — утверждает, что набор инвариантов.

1) г = |бз (М).

2) G = H2{M).

3) w = W2{M) е НЛ{МZ2) = Honi (G, Z2).

4) IJLEHQ (G, 2) (фундаментальный класс многообразия М) ь) p = pi{M)eH'^{M) = G.

6) А G Я4(МZ2) = G/2G (класс Кирби-Зибенмана).

7) r, GZ2m.

8) 7ЛGЯ4(MZ2m) = G/2″ AG является полным, т. е. определяет М с точностью до сохраняющего ориентацию гомеоморфизма (диффеоморфизма при, А = 0), и что указанный (в п. 3.1.2) набор соотношений между инвариантами также является полным, в том смысле, что «абстрактный» набор (r, G, ад,/2,р, А, ГЛ, 7(Л), удовлетворяющий этим соотношениям, соответствует некоторому многообразию.

Из этой формулировки, очевидно, следует, что гомеоморфные гладкие многообразия являются диффеоморфными, т. е. что для замкнутых одно-связных 6-мерных многообразий имеет место Hauptvermutung (в действительности, дело обстоит несколько по-другому: доказательство Hauptvermutung предшествует доказательству теоремы 3.1.3, см. главу 2). Интересно, что описанные выше «экзотические» инварианты ТЛ (М) и 7w (M) становятся существенными (т. е. не сводятся к известным инвариантам) в точности тогда же, когда перестает действовать теорема Салливэна о Hauptvermutung, т. е. при наличии 2-кручений в группе Я*(М). Заметим еще по этому поводу, что «область истинности» Hauptvermutung в таком ее варианте (т. е. в смысле «гомеоморфизм влечет диффеоморфизм») в некотором смысле исчерпывается (в стабильных размерностях) как раз обсуждавшимися выше случаями — односвязными многообразиями размерности 5 и 6. В самом деле, начиная с размерности 7 роль контрпримеров играют «сферы Милнора» [27], а в неодносвязном случае — многообразия, гомеоморфные (но не PL-изоморфные) многообразиям 5Л хТ" л, п л 2 [28, Essay IV, Appendix В] (конечно, можно задать вопрос и об истинности «гладкой Hauptvermutung» для индивидуального многообразия, и здесь ситуация оказывается несколько другой, см. [29]). С другой стороны, более естественно спросить, какова «область истинности» Hauptvermutung в ее первоначальном смысле «гомеоморфизм влечет PL-изоморфизм» что в размерностях 5 и 6 означает то же самое), и в этом случае о наличии односБЯЗных контрпримеров в размерности 7 автору не известно (хотя имеются контрпримеры в более высоких размерностях [34]).

Методы диссертации представляют собой, в основном, дальнейшее развитие методов работ [1, 2, 3] — это «неспинорный» вариант теоремы, А и изучение «неспинорных» аналогов групп 0ЛЛЛЛ (С, 2) (представляюш-ее значительно большие проблемы, чем спинорный случай). Изложим теперь содержание диссертации более подробно.

Первая глава диссертации — «геометрическая». Она посвяп]-ена упомянутой выше редукции классификационных проблем к гомотопическим. В § 1.1 вводится понятие спинорного отображения ориентированного гладкого многообразия М в пространство Эйленберга-Маклейна К{Х2,2) — при этом само многообразие М не предполагается спинорным. В случае, когда М односвязно, спинорное отображение можно определить просто как отображение /: М -> К{Ж2,2), удовлетворяюш-ее условию = ги2(М), где к, — универсальный (22, 2)-класс (для формулировок достаточен этот простейший случай, однако в вычислениях главы 2 понадобится общее определение.) Далее в § 1.1 вводятся группы гладких бордизмов ПААА" (X- /) как гомологический функтор на категории отображений /: X -> К{Ъ2,2) — в случае, когда X односвязно и г, а 4, можно считать «аргументом» функтора пару (А, ад€Я2(Х- 22)) и писать 0АрАА (А: — ад) вместо 0АрА" (Х-/). Важную роль в дальнейшем играет случай, когда X — это пространство Эйленберга-Маклейна К{С, 2) — в этом случае мы пишем ГА^'А (с, 2- ад). Эти определения переносятся затем на топологические многообразия и вводятся группы топологических бордизмов шаа'" (х- /) и т. д. Наконец, в § 1.1 указывается связь групп ЛУ, ЛЛ{Х /) с «(Я,/)-бордизмами», как они определены в книге Стонга [51, глава 2 .

В § 1.2 вводятся множества М (0,ад) классов ориентированно диффео-морфных односвязных замкнутых 6-мерных гладких многообразий М с «заданными» Н2(М) = С и АД2(М) = ад и их аналоги 1Ж{0,м) в категории топологических многообразий, а также подмножества этих множеств Жг{С, ги) и Шг (С, ад), определенные условием Ьз{М) = 2 г. Мы имеем естественные отображения.

М (а, ад) А0АрА°(о, 2- ад) и ад, которые обозначаются в обоих случаях, как и отображение (21) выше, через О, и теорема 1.2.3 (обобщение теоремы А) утверждает, что сужения этих отображений на Мг (0,'ш) (соответственно, на tЖr{G, w)) являются биекциями. Теорему 1.2.3 можно интерпретировать как утверждение о полноте набора инвариантов {г, 0,'ш, в) (соответственно, для гладких или топологических многообразий), то есть как некоторую предварительную форму классификацииотметим, что в этот момент епде ничего не утверждается о соотношении гладкой и топологической классификаций. Доказательство теоремы 1.2.3 основано на совсем простой лемме 1.2.7, утверждающей, что для многообразия М вида 5А х 5А #. .#5А х /5А всякий автоморфизм Нз{М) Яз (М), сохраняющий форму пересечений, индуцируется диффеоморфизмом М М (доказательство этой леммы по существу совпадает с доказательством существования разложения (5)). Из этой леммы сразу же следует (посредством рассуждения, аналогичного использованному в [36] и в [31]) теорема С (в основном тексте это лемма 1.2.5) — в свою очередь, из теоремы С без труда получается доказательство «предварительной» классификационной теоремы 1.2.3. Заметим теперь, что для всякого М? 1Ж{С, гп) имеется естественный гомоморфизм.

ШАрА" (Мт2{М)) ШАрАА (с, 2- ад) .

Обозначим через 0(М) образ при этом гомоморфизме подмножества группы ШдАА’А (Мад2(М)), составленного из отображений М' —)• М степени -(-1. Вторая «предварительная» классификационная теорема, доказываемая в главе 1 — теорема 1.2.26 — утверждает, что многообразия М1, М2 е 1Жг (С, ад) тогда и только тогда допускают ориентированную гомотопическую эквивалентность, согласованную с заданными изоморфизмами Н2{Мг) «G, когда е (М1) = 0(М2).

Вторая глава диссертации — наиболее объемная — посвящена вычислению групп аааа" а (а, 2- ад) и шараа (а, 2- ад) для любых Сити для г <6. Это вычисление подготавливает доказательство «окончательных» классификационных теорем в главе 3. Отметим, что уже первые этапы этого вычисления приводят к содержательному результату — утверждению о совпадении гладкой и топологической классификации для гладких многообразий рассматриваемого типа (т. е. Hauptvermutung для односвязных 6-мерных многообразий).

В § 2.1 приводятся, в удобной для дальнейшего форме, необходимые (по существу, конечно, хорошо известные) результаты о гомологиях пространств Эйленберга-Маклейна типа (а, 2).

В § 2.2 для любого СИА-комплекса X и его отображения / в пространство К{Ж2,2) строится «спектральная последовательность Атьи-Хирце-бруха» 1 Л = Щ (ХОАр-) ^(Х- /), (22) а также аналогичная спектральная последовательность для категории топологических многообразий (таким образом, члены £А этих спектральных последовательностей не зависят от / и устроены так же, как для обычных спинорных бордизмов). Метод построения состоит, как обычно, в использовании стандартной фильтрации пространства X остовамиспецифика ситуации (впрочем, не особенно серьезная) состоит в некоторой нестандартности категории, на которой определены функторы иааа" (х- /) и шааа’а (х- /) (не имеющей, например, факторобъектов). Дифференциал сР спектральной последовательности (22) удается вычислить «по модулю 2″ (что в действительности дает точный ответ для интересующих нас размерностей) — оказывается, что гомоморфизм 1(1(22) •• Яр (Х- 0ара°) о 22 Яр2(ХПАр») О 22 представляет собой некоторую комбинацию гомологической операции.

Яр (Х- 22) -> Яр2(Х- 22), алгебраически двойственной к т: ЯР-2(Х- 22) А нл (Х] 22), где ад € Н’А (ХЪА) — гомотопический класс отображения /, и умножения, а: оара° -л на образующую ос группы г2аа" = 22- Это теорема 2.2.6 — основной результат этого параграфа.

В § 2.3 эта информация о дифференциале сАА, вместе с изложенными в § 2.1 сведениями о гомологиях пространств К (С, 2), используется для вычисления члена £А спектральной последовательности (22) для X /<'(0, 2) в размерностях, не превосходящих б, и доказательства ключевого для последующих вычислений свойства аддитивности (в некотором уточняемом там смысле) ядра гомоморфизма ГУревича.

2:ОАрА" (С, 2-ад)АЯб (А, 2) теорема 2.3.17). Эта аддитивность позволяет свести проблему вычисления групп ОеА''А (С, 2- ад) к рассмотрению некоторого набора специальных случаев, чему посвящены следующие параграфы этой главы. Что касается § 2.3, то уже имеющейся здесь частичной информации о спектральной последовательности (22) оказывается достаточно для доказательства инъ-ективности естественного «забываюп]-его» гомоморфизма.

ОлрА" (а, 2-и-)->ЮАрл'А (о, 2-«-) п. 2.3.21), что ввиду теоремы 1.2.3 дает совпадение дифференциальной и топологической классификаций (Наир^егтиШ^) для многообразий рассматриваемого типа (теорема 2.3.22).

Дальнейшее вычисление групп UQЛЛЛ{G, 2- Щ) И tQ. QAAA{G, 2] упирается, в частности, в проблему вычисления образов дифференциалов dA, d’A и dA на диагонали {р-|- g = 6} спектральной последовательности (22). Как показывает несложный анализ, эта проблема является преимуп]-ественно 2-примарной: «вне двойки» имеется (в интересующих нас размерностях) только один легко вычисляемый дифференциал.

4, , £?, о = HJIG, 2) * Zs = G * Zs, почти совпадающий" с операцией Тома — одной из введенных в его работе [54] (см. п. 2.3.25). Кроме того, как нетрудно показать, достаточно решить эту проблему для гладкого случая (группы с q = 0,1,2, на которых определены интересующие нас дифференциалы, в топологическом случае те же, что и в гладком), а ввиду аддитивности, о которой говорилось выше, достаточно при этом ограничиться случаями, когда G — циклическая группа или прямая сумма двух циклических групп (подробности см. в п. 2.3.18). Следующие пять параграфов посвящены вычислению групп гigPЛ" (G, 2- w) для G = Ълт и О = Ф Z2″. Это (довольно трудоемкое) вычисление основано на построении разложения Постникова (до размерности 6) для соответствующих спектров Тома (§§ 2.4, 2.5 содержат необходимую «когомологическую подготовку», а само вычисление изложено в §§ 2.6−2.8). В частности, это вычисление дает нам группы.

NQ{G, Щ = Кег[/г: и1А>ААЮ, 2- w) Ив^, 2)] для G = Z2m и О = Z2m Ф Z2″, а следовательно, с учетом сказанного выше, и для любых G. В § 2.9, пользуясь результатами этих вычислений, мы в состоянии получить, наконец, окончательный ответ: для любой группы G построить некоторый мономорфизм.

О, 2- w) -> Яб (С, 2) ф О ф G/2G ф ф G/2,ЛG и описать образ этого мономорфизма (теорема 2.9.24).

Глава 3 содержит главные классификационные теоремы: топологическую 3.1.3 и гомотопическую 3.2.5. § 3.1 начинается с описания полного набора инвариантов (в том числе «экзотических» инвариантов ГАА (М) и 7и,(М')) и перечисления соотношений между ними. Доказательство теоремы 3.1.3 следует из приведенных выше результатов — теоремы редукции 1.2.3 и вычисления групп tQ, QAЛЛ (G, 2] т) — более или менее непосредственноосновная же часть § 3.1 представляет собой обсуждение ее (нужно сказать, весьма громоздкой) формулировки — соотношений между инвариантами, различных частных случаев теоремы и т. д. Доказательство гомотопической классификационной теоремы в § 3.2 требует некоторой дополнительной работы по вычислению описанных выше множеств в (М)сОАрА" (А, 2-ад), которое и занимает большую часть этого параграфа. Главу завершает § 3.3, в котором полученные результаты применяются к изучению ряда примеров (в частности, демонстрируюш-их «непучковый» характер инварианта 7А (М)).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [4]-[11], докладывались на семинарах в Москве (МГУ, МИАН), С.-Петербурге (СПО-МИ), Новосибирске (Институт математики СО РАН), на Международной топологической конференции в Баку (1987 г.), на 3-й Сибирской школе «Алгебра и анализ» (1989 г.), на семинарах в Стэнфордеком университете (1993 и 1999 г.), на «Летней школе по геометрической теории групп» (Варшава, 1997 г.), на Конференции по алгебраической топологии (Гданьск, 2001 г.).

1. Жубр A.В., Теорема о разложении для односвязных шестимерных многообразий. — Зап. научн. сем. ЛОМИ 36 (1973), 40−49.

2. Жубр A.B., Классификация односвязных шестимерных спинорных многообразий. — Зап. научн. сем. ЛОМИ 45 (1974), 71−74.

3. Жубр A.B., Классификация односвязных шестимерных спинорных многообразий. — Изв. АН СССР (сер.мат.) 39 (1975), 839−859.

4. Жубр A.B., Классификация односвязных 6-мерных многообразий.Докл. АН СССР 255 (1980), 1312−1315.

5. Zhubr A.v. Classification of simply-connected topological 6-manifolds.1.cture Notes in Math. 1346 (1988), 325−339.

6. Жубр A.В., Вычисление групп спинорных бордизмов некоторых пространств Эйленберга-Маклейна. — Вестник Сыктывкарского ун-та, серия 1, вып.1 (1995), 24−46.

7. Жубр A.B., Вычисление групп спинорных бордизмов некоторых пространств Эйленберга-Маклейна, II. — Вестник Сыктывкарского ун-та, серия 1, вып.2 (1996), 13−42.

8. Zhubr A.v. On Hauptvermutung for simply-connected closed 6-manifolds. — Третий Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98), Тезисы докладов, часть 1, 111−112. Изд-во ИМ СО РАН, 1998.

9. Жубр A.B., Группы бордизмов спинорных отображений и их применение к задаче классификации шестимерных многообразий. — Вестник Сыктывкарского ун-та, серия 1, вьш. З (1998), 39−80.

10. Жубр A.B., Об одной работе Бардена. — Записки научных семинаров ПОМИ (геометрия и топология), т. 279 (2001), стр.70−88.

11. Barden D., Simply connected 5-manifolds. — Ann. Math. 82 (1965), 365−385.

12. Baues H.-J., The degree of maps between certain 6-manifolds. — Com-positio Math. 110 (1998), 51−64.

13. Browder W., Homotopy type of differential manifolds. — Coll. on algebraic topology, Aarhus, 1962, 42−46.

14. Браудер В., Перестройки односвязных многообразий. — M.: Наука, 1984.

15. Cerf J., Sur les difieomorphismes de la sphere de dimension trois (Г4 = 0). — Lecture Notes in Math. 53 (1968).

16. Дольд A., Лекции по алгебраической топологии. — M.: Мир, 1976.

17. Freedman М.Н., Uniqueness theorems for taut submanifolds. — Pacific J. Math. 62 (1976), 379−387.

18. Freedman M.H., The topology of four-dimensional manifolds. — J. Diff. Geom. 17 (1982), 357−453.

19. Haefliger A., Plongements differentiables de varietes dans varietes. — Comm. Math. Helv. 36 (1961), 47−82.

20. Haefliger A., Knotted ik 1-spheres in 6A—space. — Ann. Math. 75 (1962), 452−466.

21. Haefliger A., Difierentiable Hnks. — Topology 1 (1962), 241−244.

22. Haefliger A., Difierentiable embeddingsb of S" «in 5A+» for g >2. — Ann. Math. 83 (1966), 402−436.

23. Hirsch M.W., Mazur В., Obstruction theories for smoothings manifolds and maps. — Bull. AMS 69 (1963), 352−356.

24. Jupp P.E., Classification of certain 6-manifolds. — Proc. Cambr. Phil. Soc. 73 (1973), 293−300.

25. Kervaire M.A., Milnor J., Groups of homotopy spheres. — Ann. Math. 77 (1963), 504−537.

26. Kirby R.C., Siebenmann L.C., Foundational essays on topological manifolds, smoothings and triangulations. — Princeton university, Princeton, New Jersey, 1977.

27. Kreck M., Manifolds with unique differential structure. — Topology 23 (1984), 219−232.

28. Kreck M., Schafer J. A., Classification and stable classification of manifolds: some examples. — Comm. Math. Helv. 59 (1984), 12−38.

29. Kreck M., Surgery and Duality. — Ann. Math. 149 (1999), 1−48.

30. Маклейн С, Гомология. — М.: Мир, 1966.

31. Мэй Дж.П., Общий алгебраический подход к операциям Стинрода. В кн: Стинрод Н., Эпстейн Д. Когомологические операции.— М.: Мир, 1983.

32. Morita S., Smoothability of PL-manifolds is not topologically invariant. Manifolds, Tokyo, 1973, Univ. of Tokyo Press, 1975, 51−56.

33. Мошер P., Тангора M., Когомологические операции и их прилодения в теории гомотопий. — М.: Мир, 1970.

34. Нецветаев Н. Ю., Диффеоморфность и стабильная диффеоморф-ность односвязных многообразий. — Алгебра и анализ 2 (1990), 112 120.

35. Новиков СП., О диффеоморфизме односвязных многообразий. — Докл. АН СССР 143 (1962), 1046−1049.

36. Новиков СП., Гомотопически эквивалентные гладкие многообразия. I. — Изв. АН СССР сер. матем. 28 (1964), 365−474.

37. Новиков СП., О гомотопической и топологической инвариантности некоторых рациональных классов Понтрягина. — Докл. АН СССР 162 (1965), 1248−1251.

38. Quinn F., Ends of maps HI. — J. Diff. Geom. 17 (1982), 503−521.

39. Рохлин В. А., Класс Понтрягина-Хирцебруха коразмерности 2. — Изв. АН СССР (сер.мат.) 30 (1966), 705−718.

40. Рудяк Ю. Б., Кусочно-линейные структуры на топологических многообразиях. — Добавление к кн.: Мадсен И., Милгрэм Р., Классифицирующие пространства для перестроек и кобордизмов многообразий. — М.: Мир, 1984.

41. Schmitt А., On the classification of certain 6-manifolds and applications to algebraic geometry. — Topology 36 (1997), 1291−1315.

42. Cepp Ж.-П., Курс арифметики. — M.: Мир, 1972.

43. Serre J.-P., Groupes d’homotopie et classes de groupes abeliens. — Ann. Math. 58 (1953), 258−294.

44. Siebenmann L.C., Topological manifolds. — Actes Congres Intern. Math., 1970, t.2, 133−163.

45. Smale S., On the structure of 5-manifolds. — Ann. Math. 75 (1962), 38−46.

46. Smale S., Generalized Poincare’s conjecture in dimensions greater than four. — Ann. Math. 74 (1961), 391−406.

47. Smale S., On the structure of manifolds. — American J. Math. 84 (1962), 387−399.

48. Спеньер Э., Алгебраическая топология. — M.: Мир, 1971.

49. Стонг P., Заметки по теории кобордизмов. — М.: Мир, 1973.

50. Sullivan D.P., On the hauptvermutung for manifolds. — Bull. AMS 63 (1967), 598−600.

51. Свитцер P.M., Алгебраическая топология — гомотопии и гомологии. — M.: Наука, 1985.

52. Том Р., Некоторые свойства «в целом» дифференцируемых многообразий. — Сборник переводов «Расслоенные пространства». — М.: ИЛ, 1958.

53. Wall С.Т.С, Killing the middle homotopy group of odd dimensional manifolds. — Trans. AMS 103 (1962), 421−433 256.

54. Wall C.T.C., Diffeomorphisms of 4-mamfolds. — J. London Math.Soc. 103 (1964), 131−140.

55. Wall C.T.C., On certain 6-manifolds. — Inv. Math. 1 (1966), 355−374.

56. Wall C.T.C., An extension of results of Novikov and Browder. — Amer. J. Math. 88 (1966), 20−32.

57. Wu W.-T., On Pontrjagin classes IL — Acta Math. Sinica 4 (1954), 171−199.

58. Wu W.-T., On Pontrjagin classes TIL — Acta Math. Sinica 4 (1954), 323−347.

59. Yamaguchi K., On the homotopy type of CW-complexes with the form 52 U U — Kodai Math. J. 5 (1982), 303−312.