Геометрия тензора кручения-кривизны и нормализация оснащённых подмногообразий пространства проективной связности

ПРОЕКТИВНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ОБОБЩЁННЫХ.

ПРОСТРАНСТВ.

1. Родословное дерево дифференциальной геометрии не менее древне, чем родословное дерево анализа бесконечно малых [36], [165], [4]. Но впервые проективные и метрические свойства фигур были разделены в 1822 году французским математиком Ж. Понселе в его сочинении «Traite des proprietes des figures». Эта книга содержала начала проективной геометрии, основным методом решения задач в которой явился метод проективного преобразования фигур, реализуемый процедурой центрального проектирования. Ж. Понселе в своей книге сформулировал и применял принцип двойственности в проективной геометрии. Дальнейшее развитие проективной геометрии связано с именами Я. Штейнера (Steiner J., «Sistematishe Entwiklung der Abhangigkeit geomet-rischer Gestalten von einander», Berlin, 1832), который строил геометрию прямых и конических сечений исключительно синтетически, А. Мёбиуса (Mobius A. F., «Der barycentrische Calcul», Leipzig, 1827), который первым начал использовать проективную систему координат и, следовательно, аналитические методы в проективной геометрии, используя проективные преобразования фигур, он выделяет их свойства, сохраняющиеся при этих преобразованиях, что является ничем иным, как началом геометрической теории инвариантов. К. Штаудт ввёл (Staudt К. G. «Geometrie der Lage», Nurenberg, 1847) в аналитическую проективную геометрию однородные координаты и исследовал (с. 131−136) симметричный невырожденный поляритет посредством автополярного симплекса и присоединения пары соответствующих элементов. Ю. Плюккер предложил (Pliicker J., «Sistem der Geometrie des Raumes' 1846) рассматривать прямую как элемент пространства, взяв за координаты этого элемента 4 коэффициента в уравнениях прямой трёхмерного пространства, и разработал начала аналитической геометрии линейных комплексов и линейной конгруэнции, он же ввёл тангенциальные координаты прямой и плоскости в проективном пространстве. В 1859 г. А. Кэли вводит в [216] понятие «абсолюта» в однои двумерном проективном пространствах. С помощью абсолюта А. Кэли определяет «проективную метрику», аналитически показывая тем самым, что «. метрическая геометрия является. частью проективной геометрии, и проективная геометрия представляет всю геометрию» (см. [130], с. 245). Первой монографией по многомерной проективной геометрии является книга [205] итальянского геометра Э. Бертини (первое её издание вышло в Пизе в 1907 г.).

К. Жордан первым осознал и показал возможность применения групп преобразований, открытых Э. Галуа, к решению различных задач геометрии («Ме-moire sur les grouppes de mouvements», 1868−69). Создание Софусом Ли, Феликсом Клейном и др. теории групп непрерывных преобразований повлекло приложение этой теории в геометрии вообще и при классификации геометрических дисциплин в частности. Последнее было выполнено Ф. Клейном в его знаменитой «Эрлангенской программе» («Vergleichende Betrachtungen uber neuere geometrische Forschungen, Programm zum Eintrit in die philosophische Fakultat zu Erlangen, 1872», её второй русский перевод опубликован в [130] с. 399−434). Предмет и метод каждой геометрической науки Ф. Клейн определяет следующим образом: «Дано многообразие и в нём группа преобразованийизучить свойства фигур этого многообразия, инвариантные по отношению к преобразованиям группы» (цит. по [183], с. 9), или: «Дано многообразие и в нём группа преобразованийнужно исследовать те свойства образов, принадлежащих многообразию, которые не изменяются от преобразований группы» (цит. по [130], с. 422), или там же ещё короче: «Дано многообразие и в нём группа преобразований. Требуется развить теорию инвариантов этой группы.» (цит. по [130], с. 422]). В этом же сборнике [130] помещён на с. 253−303 перевод «О так называемой неевклидовой геометрии» написанной в 1871 г. статьи [225], в которой Ф. Клейн все «неевклидовы геометрии» выводит из проективной геометрии с помощью мероопределения Кэли (216]. Эту статью можно считать предвестнице! «Эрлангенской программы». В 1927 году ').ш Картан, оценивая предыдущие 70 лет исследований в геометрии писал (см. [213], или [130], с. 485 507): «В стороне от богатых результатов геометрических исследований, вызванных идеями Клейна, развивается между 1867 и 1914 годами совершенно отличная геометрическая теория, возникшая из знаменитой вступительной лекции Римана: „О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии“ (Вступительная лекция Римана была прочитана им 10 июня 1854 г., опубликована в [232], S. 251−269). Исходные точки зрения обоих великих геометров были совершенно различны.». Отмечая, что это различие базируется на выборе основных геометрических понятий (равенства и группы — у Клейна, меняющейся от области к области пространства метрики — у Римана), Картан заключает (см. [130], с. 487): «Очевидно, что риманова геометрия совершенно не укладывается в рамки Эрлангенской программы, так как риманово многообразие не допускает в общем случае никакого вида однородности» .

2. По общему признанию [36], [166, с. 198] первой монографией по дифференциальной геометрии является книга Гаспара Монжа «Analyse appliquee, а la geometrie.- Paris, 1850» (первое издание собранных в одно целое отдельных выпусков вышло в 1807 году). Эта книга переведена на русский язык [123] в 1936 году. П. Домбровский писал [217, S. 63], что днём рождения дифференциальной геометрии без преувеличения можно считать 8 октября 1827 г., когда К. Ф. Гаусс доложил Королевскому обществу наук в Гёттенгеме свою работу «Disqui-sitiones generales circa superficies curvas». Но только спустя полвека, в 70-х годах XIX столетия, Ж. Альфаном были получены [223] первые результаты в ироективно-дифференциальной геометрии плоских и пространственных кривых. Им же заложены начала проективной геометрии алгебраических кривых высших порядков. Наиболее полно проективно-дифференциальная теория кривых представлена спустя 80 лет в монографии [239] Су Бушина. В ней наряду с теорией плоских и пространственных кривых рассмотрены инварианты двух пересекающихся кривых трёхмерного пространства, общая проективная теория кривых чегырёхмерного пространства Р4 и начала проективной дифференциальной геометрии кривых /V-мерного пространства, здесь же содержится обширная библиография вопроса (102 назв.). Л. С. Атанасян вводит в [8] инвариантные связности на кривых /7-мерного проективного пространства. С помощью этих связностей им определяются проективные инварианты кривой и выделяются классы кривых в Рп.

Первые результаты по проективной дифференциальной геометрии поверхности трёхмерного пространства получены, начиная с 1901 года, в школе американских геометров Е. Вильчинским, К. Грином и др. (см. [249], где введён и сам термин «проективная дифференциальная геометрия»). Ими исследованы комплексы и конгруэнции прямых, связанных с поверхностью, и заложены начала проективной геометрии конгруэнции и пары сопряжённых относительно поверхности конгруэнций [222], [249], [250]. Основные их результаты собраны в книге Ланэ (Lane, «Projective differential geometry of curves and surfaces», Chicago, 1932). В 1926;1927 годах итальянский геометр Г. Фубини и его ученик чешский геометр Э. Чех издали двухтомную монографию [220], с приложениями Г. Цицейки, Э. Бомпиани и А. Террачини. В этой монографии авторы строят теорию поверхностей, отнесённых к произвольной паре координатных линий //hvc использованием квадратичной и кубической форм. Здесь же впервые исследованы отображения между подмножествами S и S' проективного пространства. Румынский математик Г. Цицейка, используя идею Клейна (1872 г.) — Сегре (1885 г.) (см. [185] и [183]) изображения касательных к поверхности точками гиперквадрики пятимерного пространства, исследовал сопряжённые системы на поверхностях независимо от результатов Е. Вильчин-ского и Г. Фубини (Gh. Tzitzeica, «Ge'ome'trie differentielle projective des re-seaux», Pari?-, 1923). Обзор всех результатов и методов решения задач в проективной дифференциальной геометрии кривых, поверхностей и конгруэнций и библиография (по состоянию на 30-е годы) содержатся в монографии С. П. Финикова [ 183], в которой все полученные ранее результаты изложены единым методом подвижного тетраэдра с использованием внешних квадратичных форм методом внешних форм Картана [184], [79], [82], [83]). Внутреннюю геометрию поверхностей тензорным [199] методом исследовал А. П. Норден [127], [128]. Обозначив через р минимальный порядок соприкасающейся плоскости Dp «-мерной поверхности jV-мерного проективного пространства, Dp^PN, Н.

М. Остиану методом Лаптева строит [132], [133] инвариантное оснащение поверхности для р=2, р=3 и более высоких порядков. По другой схеме инвариантное оснащение m-мерной поверхности /7-мерного проективного пространства при п<0,5 т (т + 3) найдено [19] Л. Я. Березиной. В работе [133] Н. М. Остиану доказала, что объект оснащения (v'a, v°a) многомерной поверхности проективного пространства можно охватить фундаментальным объектом поверхности не ниже четвёртого порядка. С другой стороны, А. В. Столяров, используя схему доказательства полноты фундаментального объекта гиперполосы #,<=/>", доказал [160], что при 2<�г<�ппорядок полного внутреннего фундаментального объекта поверхности Vr cz Рп не превосходит шести. Отдельные вопросы проективной дифференциальной геометрии многомерных поверхностей рассматривали Э. Картан [209], А. П. Норден [127], В. Бляшке [206], Г. Ф. Лаптев [96]-[98], А. И. Либер [103]-[107], В. Т. Базылев [11]-[14], М. А. Аки-вис[ 1]-[3], С. Е. Карапетян [78], В. Клингенберг[226], Е. Т. Ивлев [59], В. В. Гольдберг [42], [43], А. В. Столяров [160], [161], Ю. И. Шевченко [194] и др.

Среди монографий, содержащих проективную дифференциальную геометрию многообразий, в первую очередь после выше упомянутых следует назвать две книги С. П. Финикова [185], [186]. В первой из них собран весь материал по теории конгруэнции и теории комплексов, рассмотрены асимптотические преобразования поверхностей в^и конгруэнции W и теория сопряжённых сетей в Рп. Здесь же решена задача проективного изгибания конгруэнции и её обобщения. В [186] кроме теории пар конгруэнции, рассмотрены пары комплексов в пятимерном и многомерном проективных пространствах и заложены начала теории /^-параметрических семейств (у-1)-мерных плоскостей в Pjr. Г) ги две монографии являются также иллюстрацией (138, с. 6−7| эффективноеm метода Картана [184] дифференциально-геометрических исследований в однородных пространствах. Двухтомная проективно-дифференциальная геометрия Г. Бола [207], и дополненное (в переводе Ан. Добреску на румынский язык) переиздание [243] книги Г. Цицейки (цитир. выше), напротив, написаны без применения метода внешних форм, при исследовании в них используется тензорный аппарат и теория квадратичных форм. В монографии румынского геометра Т. Михайлеску [231], содержащей элементы неголономной геометрии (гл. VII), в качестве основного метода выбран метод внешних форм Картана [184]. Здесь же имеется и подробная библиография (141 назв.).

Вторая (большая) часть монографии [85] Кованцова Н. М. посвящена проективной теории комплексов трехмерного пространства. Проективной дифференциальной геометрии линейных конгруэнций и их фокальных поверхностей многомерного проективного пространства Рп (глава 1) и трёхмерного пространства (глава 3) посвящена монография А. Швеца [242], в которой собраны опубликованные после 1947 г. результаты чехословацких геометров. Во второй главе этой книге рассматриваются линейные конгруэнции и поверхности с проективной связностью как частные случаи обобщения Рг пространства Кёнига. Обзор линейчатой проективно-дифференциальной геометрия трёхмерного пространства составляет большую часть работы Щербакова Р. Н. [201]. Здесь отмечено, в частности, что только в период с 1953 по 1965 г. по линейчатой дифференциальной геометрии трёхмерных пространств опубликовано более 600 статей и несколько монографий (включая [185], [186], [85], но тем не менее «возможности дальнейшего углубления и расширения знаний в рассматриваемой области никогда не могут быть исчерпаны» [201, с. 265].

Многомерная проективно-дифференциальная геометрия комплексов прямых рассматривалась К. И. Гринцевичусом ([45]-[47] и др.), в [47] он, в частности, показал, что гиперкомплекс прямых в Р&bdquoне допускает изгибания в смысле Картана, то есть гиперкомплекс в Р&bdquoопределяется с точностью до проективного преобразования фундаментальным объектом первого порядка. В. 11. Ьлизникас, используя различные геометрические образы, строит внутренние оснащения (оснащение Нордена-Гринцевичуса, оснащение Картана, оснащение Бор-толотти) гиперкомплекса прямых Gr (1, п, 2/7−3) в Рп [21]. Р. М. Гейдельман показал [40], что проблема фокальных преобразований поверхности в PN тесно связана с теорией /w-параметрических семейств прямых /, то есть линейчатых поверхностей Vm+]. В этой работе в общем случае, когда все фокусы на образующей / различны и описываемые ими фокальные поверхности m-мерны, изучены поверхности Vm+l индекса г=п-т и типа к, где /7-размерность пространства образующей, а А:-размерность плоскости пересечения касательных плоскостей Тт+Хм) в неособых точках Mel. Пары конгруэнций и комплексов прямых в Р3 изучал Ивлев Е. Т. [54], [55], [57], где исследованы специальные классы пар конгруэнций и дана полная классификация пар конгруэнций [55] и комплексов [57], здесь же указан произвол существования самой общей пары комплексов.

Первым задачу оснащения ш-семейства m-мерных плоскостей в n-мерном пространстве, то есть многообразия Грассмана Gr (m, п, т), решал Э. Бортолот-ти [208], сопоставляя каждой /w-плоскости семейства Gr (m, п, т) дополнительную (я-т-1)-плоскость. Н. М. Остиану методом Лаптева находит [134] инвариантное оснащение семейства многомерных плоскостей проективного пространства. Дифференциальная геометрия ш-мерных плоскостей явилась предметом обзора [38] Р. М. Гейдельмана. В нём автор говорит (с. 323), что накопление материала по дифференциальной геометрии поверхностей и линейчатых многообразий и развитие новых методов исследований поставили естественную задачу: «создание теории^{-параметрических} семейств ш-мерных подпространств в различных /7-мерных однородных пространствах». Эта задача берёт начало с гиперполосы, введённой В. Бляшке, цитированной выше статьи Э. Бортолотти [208], работ В. В. Вагнера [28], [29]. Б. Л. Розеифельдом в [146], заложены начала дифференциальной геометрии многомерных плоскостей, а в [148] теория ///-пар плоскостей рассмотрена им как частный случай более общей теории образов симметрии в однородных пространствах. К истокам этого направления относятся и исследования С. П. Финиковым /^-параметрического семейства (р- 1)-мерных плоскостей в Р2р[ (см. [186]). Говоря более обще, дифференциальная геометрия грассмановых подмногообразий проективных пространств исследовалась в геометрических школах в Италии, в Чехослава-кии, но в большей мере советскими геометрами: [146], [148], [41], [38], [45]-[47], [21], [125], [126], [76], [110], [111], [134], [114], [88]-[93], [73], [200], [94], [153], [126], [192] и др. О. Ю. Лумисте решает в [109] для различных подмногообразий Gr (m, п, г) проблему оснащения, включая оснащения Бортоллоти [208] и Гальвани [221]. Для отдельных соотношений размерностей подмногообразий Gr{m, п, г) он находит инвариантное внутреннее оснащение. В. И. Близникас строит в Р&bdquoвнутренние оснащения для гиперкомплекса прямых Gr{ 1, п, 2и-3) [21]. Здесь же, используя принцип двойственности, он получает полную классификацию подмногообразий Gr (m, п, г). К В. Навицкис строит в [125] внутреннее оснащение Картана (по [21]) для распределения (га-1)-мерных плоскостей Пт+1и/т на грассмановом многообразии Gr (т, 2т+2) /и-плоскостей 1 т проективного пространства Р2т+2- Г. Б. Хасин применил [188] теорию пучков матриц ([37], [121], [190]) для исследования и полной классификации трёх-параметрических семейств двумерных плоскостей 4-х мерного проективного пространства Р4. Значительные результаты в исследованиях геометрии грассмановых подмногообразий проективных пространств, включая и классификацию, отличную от [21], получены в геометрической школе [156] Р. Н. Щербакова Л. 3. Кругляковым и его учениками: [88], [94], [200], [192], [153] и др. Библиографическую справку этих работ по состоянию на 1980 г. можно найти в [202]. Обобщая теорию и терминологию, в том числе, линейчатых многообразий трёхмерных пространств, Л. 3. Кругляков [88] разделил все многообразия Грассмана Gr{d, /?, а), то есть^{-параметрические} семейства Lj (a) с/-мерных плоскостей L = Ld проективного /7-мерного пространства, на три основных класса: регулюсы, при </7, конгруэнции, при с1+с/=п и комплексы, при В.

90] JI. 3. Кругляков в основу локальной классификации в PN а-параметрических семейств Ld{a) ^/-мерных плоскостей L = Ld положил разность р = п — d — а, где я-размерность касательного подпространства TL (a), назвав семейство Ld (a) фокальным класса N-n-1 при n.

Многообразия алгебраических фигур изучаются в школе В. С. Малаховского [117]-[119], [86], [120] и др. В [120] дан обзор результатов исследований калининградских геометров в области многообразий гиперквадрик проективного пространства. Отдельные области проективно-дифференциальной геометрии составляют исследования по теории ш-мерных гиперполос: [28], [29], [140], [141], [62], [162], [143] и др., а также пар и иных комбинаций фигур в однородных и обобщённых пространствах: [147], [186], [111], [39], [115], [116] и др. Родоначальником последнего направления является [238] Альфред Клебш, который в 1870−72 г. г. рассматривал в работе «Uber eine Fundamentalaufgabe der Invariantentheorie» геометрические конфигурации элементов, состоящих из точки и прямой (на плоскости) и точки и плоскости (в пространстве). Обзорный доклад работ этой тематики «Современное состояние теории коннексов» сделал в 1930 г. на Первом Всесоюзном съезде математиков Д. М. Синцов [154]. Дальнейшее развитие этой теории и связь её с теорией дифференциальных уравнений в частных производных можно найти в книге [155]. Без связи с теорией пар конгруэнций пару поверхностей в /7-мерном проективном пространстве, например, рассматривает в [115] А. А. Лучинпн, причём между точками поверхностей установлено биективное соответствие и касательные плоскости в соответствующих точках поверхностей пересекаю гея по некоторой рплоскости. В [18] для пары двумерных поверхностей строится в Р5 канонический репер и отмечаются частные классы такой пары.

В 1953 году С. П. Фиников, оценивая полувековой путь развития дифференциально-геометрических исследований, писал [187] об эволюции в дифференциальной геометрии классических задач эпохи Бианки и Дарбу: а) задачи изгибания и преобразования Лапласа поверхностей и конгруэнций и их обобщения и б) расслоения многообразий и многообразий пар элементов, включая многообразия пар плоских элементов: точка-плоскость. Как обобщение преобразований Лапласа и проблемы проективного изгибания многомерных поверхностей в смысле Картана [209] итальянскими и чехословацкими геометрами (а с 1957 г. и румынскими во главе с Г. Врэнчану) разрабатывалась теория общих соответствий между двумя я-мерными проективными пространствами. Полная библиография работ этого направления содержится в [241] и далее в обзорах [150], [151] В. В. Рыжкова. Дальнейшим расширением данной тематики являются исследования отображений Рт в Р&bdquo- [152], [51], соответствия между тройками пространств (см. в [152]), изучение соответствий между точечными проективными пространствами и пространствами пар фигур [5]. Так Б. А. Андреев исследует [6] распределение линейных элементов, возникающее в Рт при дифференцируемых отображениях f: Рт ->Рп (т>п), где Рпрасширенное аффинное пространство. В инвариантной аналитической форме дифференцируемые отображения пространств описаны Г. Ф. Лаптевым [100], где утверждается, что «фундаментальные объекты являются естественным инвариантным аппаратом при изучении точечных отображений однородных пространств друг на друга, а также точечных отображений их подмногообразий». Новым инструментом исследования «-параметрических семейств с/-мерных плоскостей проективного п-мерного пространства стало [192] обобщение точечных отображений пространств и их подмногообразий в виде АЧггображений, впервые исследованных Л. 3. Кругляковым [93]. С современной точки зрения [52], [84], [4] и др. проективная дифференциальная геометрия многомерной поверхности изложена в.

204], где содержатся результаты многолетних исследований авторов М. А. Акивиса и В. В. Гольдберга. Так, в гл. 3 речь идёт о поверхностях, несущих сеть сопряжённых линий, тангенциально вырожденные подмногообразия изучаются в гл. 4, гл. 6 содержит геометрию нормализованных подмногообразий. Особую в этой книге ценность представляет библиография (более 380 назв.) дифференциальной геометрии подмногообразий проективных пространств и методов их исследований.

3. В 1924 г. десятым томом серии «Die Grundlehren der mathematischen Wissenschafen» выходит монография [233] Яна Схоутена, которая является приложением тензорного анализа в дифференциальной геометрии многомерных пространств. В двадцатых годах, как уже отмечалось выше, появились первые работы по геометрии обобщённых пространств. Открывающей это направление является работа Леви-Чивита [229], в которой идея Б. Римана о переменной метрике на многообразии обобщена, следуя Г. Риччи (см. [230], S. V), на параллельное перенесение векторов в римановом пространстве. Первое обобщение римановой геометрии, как теории инвариантов квадратичной дифференциальной формы, сделал в своей диссертации [219] П. Финслер, который за квадрат элемента длины дуги кривой принял произвольную однородную функцию от дифференциалов локальных координат точки. Эти работы были-толчком к созданию абсолютного дифференциального исчисления [230]. Работы Леви-Чивита получили дальнейшие обобщения и нашли применения в геометрии и физике. Так понятие пространства аффинной связности введено Г. Вейлем для построения единой теории поля [248]. В 1920 году Р. Кёниг предложил [228] следующее обобщение понятия пространства: к каждой точке некоторой области арифметического пространства он присоединил линейное пространство и в полученном таким образом (по более поздней терминологии) пространстве Кёнига, составном многообразии, он вводит понятие линейной связности. В начале 20-х годов Эли Картам применил [209]-[212] независимо от Р. Кёнига конструктивную идею Леви-Чивита при формировании концепции пространств аффинной, проективной и конформной связности ([130], с. 489 498). В 1924 г. Схоутен устанавливает [234] связь между подходами к понятию связности у Картана и Кёнига. В опубликованной в 1926 г. работе [235] Схоутен возвращается к этой теме с более общих позиций возможности совместных реализаций Эрлангенской программы Ф. Клейна и развития теории перенесения. Э. Картан, признавая определённый антагонизм между этими теориями (см. [80], с. 117): «Общий принцип относительности перенёс в область физики и философии тот антагонизм, который существовал между двумя руководящими принципами геометрии — Римана и Клейна» .), в 1927 г. писал: «.Я поставил своей целью расширение глубокого принципа Клейна, согласно которому каждая геометрия является изучением свойств некоторой группы преобразований G.» (см. [80] или [212]). Пути такого расширения первым указал Г Вейль, как об этом сказал Э. Картан: «Обобщая понятие параллелизма Леви-Чивита и развивая до конца руководящую идею Римана путём введения относительности в понятии длины, Вейль пришёл к построению метрических пространств более общих, чем пространства Римана» [130, с. 489.]. В. Главатый в своём докладе [224] на Первой Международной конференции по тензорной дифференциальной геометрии и её приложениям отметил, что если теория пространства Кёнига ещё укладывается в общую схему исследований по «Эрлангенской программе» Ф. Клейна, то «приложение концепции Картана, а именно концепции установления соответствия. между локальными пространствами, делает из неё геометрический объект, выходящий за пределы упомянутой выше программы». Ещё более категорично оценивает всеобъемлющий характер Эрлангенской программы Клейна в [167, с.63−64] Дж. Стройк, где он пишет, что «Эрлангенская программа не могла. исчерпать всей геометрии в целом и даже области дифференциальной геометрии.. Концепция мерного множества» Римана была шире, и риманова геометрия может быть включена только в значительно более широкую, чем Эрлангенская программу, схем}". Такой схемой стала оформленная в виде работ [244], [214], ]81], [158], [108], [227], [157], [53], [15] и др. теория обобщённых пространств: расслоенных пространств и пространств со связностью. Это же, видимо, имел в виду Эли Картан, говоря на Первом Всесоюзном съезде математиков [182, с. 191], что «новейшие работы по дифференциальной геометрии позволили сделать синтез точек зрения Клейна и Римана, объединив два казалось бы совершенно различных направления обобщений Евклидовой геометрии в XIX веке». Подчёркивая значение работ Э. Картана, Ш. Кобояси называет [227] инфинитизи-мальные связности связностями Картана и говорит, что благодаря статьям Э. Картана, опубликованным в 1923;25 годах, стал возможным значительный прогресс в развитии дифференциальной геометрии. В пятой главе статьи [227] автор устанавливает связь между новым определением связностей Картана в терминах секущих поверхностей и определением Эресмана [218].

Заслугой Э. Картана является также введение и развитие нового метода исследований в геометрии-метода подвижного репера и внешних дифференциальных форм, основанного на идее подвижного трёхгранника Г. Дарбу исследования кривых и поверхностей трёхмерного евклидового пространства. С другой стороны, Э. Картана является родоначальником (см. [22], с. 210, 211) геометрии дифференциальных уравнений как отдельного направления в геометрии обобщённых пространств. Большинство работ Э. Картана этого цикла издано и в СССР в переводе С. П. Финикова ([79], [82], [83]), В. А. Яблокова [80], П. А. Широкова ([81]) и др. В 1998 году переведены М. А. Васильевой [213] на русский язык избранные труды Э. Картана, содержащие его работы о бесконечномерных непрерывных группах преобразований.

4. О. Веблен и Дж. Уайтхед в монографии [35] формулируют на языке «допустимых» координатных систем аксиоматику геометрического п-пространства и систему аксиом дифференциальной геометрии. В этой книге наряду с псевдогруппой одним из основных понятий является понятие геометрического объекта, введённого как обобщение понятий инварианта и тензора Схоутеном ранее в [236].

В. В. Вагнер обнаружил связь геометрических объектов с представлениями бесконечных групп и развивал [27], [29] теорию геометрических объектов как метод исследования составного многообразия. В 1943 г. он вводит [24] и исследует [25] связность в составном многообразии. Г. Ф. Лаптев показал эквивалентность геометрии подмногообразия и системы представлений стационарных подгрупп этого подмногообразия и разработал [97] на основе синтеза теории геометрических объектов и теории непрерывных групп преобразований метод инвариантного дифференциально-геометрического исследования в наиболее общем репере подмногообразий, погруженных в пространства Клейна. Дифференциальная геометрия многомерной поверхности, в том числе и проективного пространства, в обзоре [98] изложена новым инвариантным методом продолжений и охватов [97]. Здесь же автор этого метода Г. Ф. Лаптев даёт его краткую сравнительную характеристику с методом канонизации репера [184] и с методом дифференциальных инвариантов [103]-[106], опирающегося на теорию дифференциальных инвариантов групп Ли и теорию геометрических объектов В. В. Вагнера и применяемого для построения основ дифференциальной геометрии подмногообразий пространств Клейна. Продолжением работы Г. Ф. Лаптева [98] является обзор [114], в которой отмечено, в частности, что геометрия подмногообразий слишком обширна, чтобы охватить её в одном обзоре. Геометрическими методами теория инвариантов исследуется в [87].

5. Неголономная геометрия (геометрия неголономных многообразий) берёт своё начало с геометрической иллюстрации проблемы Пфаффа, то есть решения дифференциального уравнения Пфаффа Pdx + Qdy + Rdz = О [245]. Конфигурация, описываемая таким уравнением, названа (см. [155], с. 12) А. Фоссом Punkt-Ebene-Systeme (система точка-плоскость). Д. М. Синцов использует (см. [155], с. 212) и термин нуль-система (Nullsystem). Хотя термин неголономная заимствован из механики, но первые работы по неголономной геометрии, появившиеся на рубеже XIX и ХХ-го веков не связаны с механикой и содержат обобщение геометрии поверхности при геометрической иллюстрации решений не вполне интегрируемого дифференциального уравнения Пфаффа (см. [23], с. 198). Термин неголономное пространство ввёл [246] Г. Врэнча-ну в 1926 году.

Э. Картан в своей работе [212] термин «неголономное пространство» объясняет следующим образом. «Тот факт, что установление соответствия между двумя несмежными окрестностями точек, А и В осуществляется постепенно и зависит от пути перехода от, А к В, отмечают тем, что пространство Римана называют неголономным Евклидовым пространством» (цит. по [130], с. 490). Здесь же [130, с. 491] он фактически отождествляет термин «неголономное проективное пространство» с введённым ранее [211] «многообразием проективной связности» так: «Неголономное проективное пространство, например, получается, если каждой точке числового многообразия отнести in abstracto проективное пространство (касательное пространство) и задать закон, позволяющий объединить в одном и том же проективном пространстве два проективных пространства, относящихся к бесконечно близким точкам». Известны своими работами в неголономной геометрии Д. А Схоутен и Е. Р. ван Кампен ([236] и [237]), Т. Михайлеску ([231], Сар. 7] и др. В работе [236] введено понятие внутренней геометрии неголономного многообразия и получен, в частности, тензор четвёртой валентности, названный тензором кривизны неголономного многообразия как совпадающий в случае голономности с тензором кривизны. В. В. Вагнер сравнивает в [23] значение введённого Д. А Схоутеном понятия внутренней геометрии неголономного многообразия с переходом в голо-номном случае от геометрии Г. Монжа к геометрии К. Гаусса. Результаты исследований Д. М. Синцова по теории пфаффовых многообразий — дифференциальной геометрии системы интегральных кривых уравнения Пфаффа представлены в [155]. Как приложение этой теории он предлагает [155, с. 79] рассматривать при изучении инволютивного случая не одну интегральную поверхность F=0 уравнения Пфаффа, а их семейство F=const.

В. В. Вагнер расширяет [23] понятие внутренней геометрии неголономного многообразия и уточняет понятие введённого в [236] тензора кривизны неголономного многообразия таким образом, что обращение его в нуль является необходимым и достаточным условием существования в неголономном многообразии абсолютного параллелизма. Е. М. Горбатенко рассматривая [44] флаг SQ a Sl сz—-aSN =Т{М) неголономных расширений распределения S, бескоординатным методом излагает основное содержание работы [23] В. В. Вагнера. При этом он замечает, что «инвариантный подход позволил лучше понять прекрасные результаты» этой работы.

В трёхмерном случае проективная дифференциальная геометрия неголо-номной поверхности изучалась М. Р. Роговым [144] и А. Е. Шиллеровым [196] (в однородном пространстве) и В. И. Близникасом [20] (в пространстве проективной связности). Отдельно М. Р. Роговым [145] рассматривалось неголоном-ная гиперповерхность многомерного проективного пространства. Неголоном-ные поверхности других пространств изучались в [203], [32], [33], [34] и др.

Дифференциальная геометрия неголономной поверхности как теория распределений [73] линейных касательных элементов (плоских элементов [196]): изучалась в [101], [102], [136], [160], [74], [122], [163], [75] и др. О связи между теорией распределения линейных элементов (неголономной геометрии) и дифференциальной геометрией голономной m-мерной поверхности Sm в однородных пространствах и в пространстве проективной связности Рп п писали В. В.

Вагнер [23], Г. Ф. Лаптев и Н. М Остиану [102], Е. Т. Ивлев [56], В. В. Кайзер [73] - [75], П. К. Тадеев [181], Ю. И. Шевченко [195] и др.

Под внутренней геометрией подмногообразий в однородных пространствах, начиная с К. Гаусса [130] и Ф. Миндинга [130], понимается содержание и отдельные утверждения теории подмногообразий, не зависящие от структуры объемлющего пространства. Аналогично определяет (см. [23], с. 223) Схоутен внутреннюю геометрию неголономного многообразия V™ как те свойства V™, которые зависят только от его оснащения и метрики в нём. Расширяя понятие внутренней геометрии V"" ' посредством оснащения всех его продолжений [23, с. 223−224], В. В. Вагнер приходит к утверждению, что «задание внутренней геометрии V™ определяет инвариантным образом метрику во внешнем пространстве и, следовательно, все свойства V™, рассматриваемого как неголо-номное многообразие в этом римановом пространстве, будут также относиться к его внутренней геометрии». Е. Т. Ивлев в [63] к внешней геометрии расслоения Рт п относит геометрические образы, определяемые в слое Рт расслоения.

Рт п тензором кручения-кривизны {Rjap} этого расслоения. Во второй главе монографии [242] автор А. Швец рассматривает поверхности с проективной связностью и линейные конгруэнции как частные случаи обобщения Prp п пространства Кёнига. Очевидным достоинством этой концепции является отсутствие необходимости деления теории линейных конгруэнций и поверхности с проективной связностью на «внутреннюю геометрию» и на геометрию, не являющуюся таковой.

При исследовании погруженных многообразий методом Лаптева [97] к внутренней геометрии погруженного многообразия относятся все геометрические и аналитические конструкции, формулируемые в терминах геометрических объектов, охваченных компонентами внутреннего фундаментального геометрического объекта рассматриваемого погруженного многообразия: «.всякое поле локальных геометрических объектов погруженного многообразия, охваченное одним из полей его фундаментальных объектов, является полем, инвариантно присоединённым к этому многообразию» [97, с. 349].

6. С развитием новых методов исследований происходит расширение объектов исследований [201]. Появляется много работ в области оснащённых многообразий, когда на многообразии задаётся поле дифференциально-геометрического объекта. Идея задания на многообразии некоторой структуры восходит к Б. Риману (риманова метрика), Р. Клебшу (теория коннексов), Ю. Кёнигу (пространства Кёнига), В. В. Вагнеру (составное многообразие), Э. Картану, Томасу, Веблену, Уайтхеду и др. (пространства со связностью). По определению Ю. Г. Лумистс (см. [114], с. 275) «подмногообразие Гт аР&bdquo-, к точкам которого присоединены некоторые дополнительные образы (в основном, подпространства в Рп), так что возникают их гладкие поля, называется оснащённым». Более общей является (см. [48], с. 123, или [137]) следующая формулировка оснащённого многообразия: «Дифференциально-геометрической структурой на дифференцируемом многообразии Мп называется заданное на Мп поле геометрического объекта V, присоединённого к некоторой группе.

Ли G (в частности, к дифференциальной группе Dsn некоторого порядка s)". При этом объект V называют структурным объектом дифференциально-геометрической структуры. В смысле этого определения всякая G-структура является дифференциально-геометрической структурой. Современное положение теории оснащённых многообразий, включаемой в более общие теорию G-структур и теорию пространств со связностью таково, что, как говорит в своей диссертации [165] А. В. Столяров, геометрия оснащённых многообразий практически неисчерпаема.

Геометрия касательно оснащённой многомерной поверхности, то есть такой тповерхности Sm, касательная плоскость Lm которой в каждом слое Рп (А0(и)) содержит оснащающую^{-плоскость} L, изучалась Р. Ф. Домбров-ским в его работах [49], [50]. Геометрии многомерной поверхности Sm, оснащённой полем прямых/таких, чтоlnLm=:S, SeSmnLm, Lm=T (Sm), исседовала [139] в своей диссертации Э. Н. Подскребко. Т. Н. Балазюк разрабатывала теорию тмерных линейных элементов, оснащённых конусом [17]. Ж. Н. Багда-сарян [9], [10] строит в проективном пространстве дифференциальную геометрию гиперповерхности, оснащённой семейством конусов второго порядка.

Как отмечено выше, интенсивно разрабатывается теория w-мерных гиперполос, то есть m-поверхностей, оснащенных полем касательных гиперплоскостей Lnx, Lm (zLnx. Попов Ю. И. изучает гиперполосы с различными типами оснащений и пары гиперполос с общими нормалями первого и второго рода. Им же разработаны [142] основы теории трёхсоставных распределений в однородном проективном пространстве, в которых гиперполосы дополнительно оснащены полем^{-плоскостей} Lqтаким, что Lq<^LmczLn]. А. В. Столяровым создана двойственная теория оснащённых многообразий [163], [164]. Идея составного многообразия использована JI. С. Атанасяном [7] и др. при изучении геометрии многомерных поверхностей в однородных пространствах. А. К. Рыбников исследует [149] и-мерную поверхность Х&bdquoв однородном проективном пространстве Рп+р, как базу двух расслоений: базового B (L") и опорного V (Ln), слои Рп и Рр которых имеют одну общую точку М еЕ&bdquoи их размерности равны, соответственно, п и р. Задавая в базовом подпространстве Рп и опорном подпространстве Рр оснащающие гиперплоскости РпЛ и Рр., соответственно, не проходящие через точку М е£&bdquo-, он исследует получающиеся при этом связности. В наиболее общем виде такие конструкции изложены в работе «Теория композиций» А. П. Нордена (см. [134]). В статье [129] Э. Г. Нейфельд показал, что заданием дифференцируемого соответствия между^{-плоскостями} в Рп и (я-?-1)-плоскостями дополнительной размерности определяется в Рп аффинная связность. Изучая свойства такой связности, он доказал, в частности, что при к <пк- рассматриваемая связность будет проективно-евклидовой. А. В. Чакмазян обобщил [191] понятие параллельного перенесения нормального направления на случай подмногообразия Vm, нормализованного по Нордену в проективном пространстве Рп, и рассмотрел локальное строение подмногообразия Vmc-Р&bdquo-, допускающего параллельное поле нормальных направлений.

В статьях [61] и [62] в пространстве проективной связности Рп п Е. Т. Ивлевым построены поля нормалей первого и второго рода А. П. Нордена [128] w-поверхности Sm, в [62] - с заданным полем касательных гиперплоскостей.

Сети линий на многомерных поверхностях изучали М. А. Акивис и В. В. Гольдберг [1], [3], [42], [203, Сар. 3, 5], В. Т. Базылев [12]-[14] и др. Мы здесь почти не касаемся «текстильной геометрии» (по терминологии В. Бляшке [182, с. 167−178] и С. П. Финикова [187]), так как в нашей работе ни сети, ни ткани на поверхностях не исследуются.

В наших работах [69], [171] в однородном проективном пространстве Рп введено понятие (рк,^{-структуры,} 0 < р < т, 0 < q < пт, к, г = 0,1, на т-поверхности Sm, обобщающей оснащение w-поверхности Sm линейными подпространствами. Аналитически (рк,^{-структура} на ш-поверхности Sm в Рп задаётся полем геометрического объекта (К' КА°3, ьааз, ь:}, = ijv = {(1,1), (0,1), (1,0), (0,0)}, компоненты которого удовлетворяют соответствующим r) системам дифференциальных уравнений (см. [69], формулы (2.1.1)-(2.1.5) и (2.2.1)-(2.2.5)). Геометрически (рк, д,.)-структура определяет в каждой точке A 0eSm пару.

Lpk, Lq) линейных подпространств Lpk и Lq таких, что dimLpk=p-k=pk, mLq=q-r=qn Lpk^Lm, при этом A0tLpi, LponLqo = A0 = LqonLm и L пЬт=0. Так как нами предполагалось, что 0<р< т и 0 < q < п-т, то не тривиальными среди (рк, <7г)-структур являются следующие.

1) (р, 0) — структура на w-поверхности Sm прир=т определяет в касательной плоскости Lm (т-1)-плоскость Рп, А 0? Рп, называемую нормалью второго рода w-поверхности в смысле А. П. Нордена [128].

2) (ро, 0)-структура на w-поверхности Sm изучалась Р. Ф. Домбровским в.

49], [50]. Многомерная поверхность Sm с такой структурой названа им касательно /?-оснащённой.

3) (0, (^-структура на w-поверхности Sm при q=2 рассматривалась нами в.

180], где построены нормали первого рода Рх и второго рода Ри w-поверхности в смысле А. Г1. Нордена. ш-поверхности Sni с заданной на ней (0, q0)-структурой названа нами нормально ^/-оснащённой w-поверхностыо.

4) (0, g^{-структура} на w-поверхности Sm при q=n-m каждой точке A 0^Sm ставит в соответствие (п-т-1)-плоскость Lnm, не пересекающуюся с Lm и называемую оснащением поверхности в смысле Э. Картана.

5) При р=т, q=n-m (р, д^-структура определяет на w-поверхности Sm сильную нормализацию в смысле А. П. Нордена [128].

В этой работе, в частности, найдена нормаль первого рода в смысле А. П. Нордена для w-поверхности Sm с заданной (0,^{-структурой,} указана связь между различными (рк,^{-структурами} w-поверхности Sm и отмечена возможность ведения понятия (рк, «^-структуры на подмногообразиях, погружённых в пространства со связностью.

7. В данной диссертации поставлены и решены следующие задачи.

1) Исследована геометрия тензора кручения-кривизны пространства проективной связности — расслоения Рп п (гл. 1).

2) Решена проблема нормализации многомерной поверхности Sm расслоения Рп п для некоторых значений размерностей тип (гл. 2).

3) Исследовано строение касательных гиперконусов w-мерной поверхности Sm расслоения Рп п, их вырождение и связанная с этим нормализация химерной поверхности Sm при некоторых значениях тип (гл. 2).

4) Рассмотрена дифференциальная геометрия двумерной поверхности в шестимерном пространстве проективной связности (гл. 2).

5) Получены инвариантные подпространства в слое Рп{А 0) оснащённой поверхности Sm расслоения Рп п, определяющие, например, при п=0,5(т + т) для произвольной w-поверхности Sm внешнюю нормаль Картана (гл. 2).

6) Аналитически и геометрически построены нормали w-поверхности Sm расслоения Рп «с заданным полем двумерных плоскостей £:(гл. 3).

В п. 1.1 первой главы, имеющем реферативный характер, мы вводим пространство проективной связности Рп п по Э. Картану с базой Мп, с проективными слоями Рп (и), и бМл и тензором Rfи кручения-кривизны связности С. В п. 1.1.6 тензором Rfij определены в слое Рп (А0) точка-В (и) и гиперплоскость Г°пх{и), гиперквадрика 2 и гиперплоскость Г^х (и).

В п. 1.2 аналитически определены и геометрически охарактеризованы поля геометрических объектов, индуцируемых в расслоении Рп п парой дополнительных распределений А°т и А".т.,. Тензоры HcBij и определяют в слое.

Рп (А0) проективитеты H (v, w) и H (y, w) плоскостей Lm и Lnmx в себя для соответствующей пары направлений (v, w). Следы этих проективитетов одновременно равны нулю (Теорема 1.2.1). В п. 1.2.2, в частности, аналитически к геометрически описаны проективитеты П2 (1.2.15) и П2 (1.2.17) линейных элементов Lnmx и L°m, соответственно. В п. 1.2.3 получены гиперконус я1-г (Н) второго порядка с вершиной в точке А0(и) и линейный гиперкомплекс Knx (F). В п. 1.2.4 показано, что подпространства L°m и Lnmx индуцируют в подрасслоениях {M°n, L°m} и {M°n, Lnmx} две проективные перспективные w В связности С и Сг с тензорами кручения-кривизны, соответственно: RA и Тензоры RBXiJ, RBAij и R^j, R^j для каждого двумерного направления (v, w) определяют в слое РП (А0) проективитеты R, R и R, R подпространств L°m и Lnm, в себя, соответственно. В конце п. 1.2 доказаны (Теорема 1.2.2) два утверждения. а) Образы Z, Z и Z точки XeL°m при проективитетах П2, R и R (v, w) для каждого двумерного направления (v, w) в слое Р"(А0) лежат в т-плоскости L°m на соответствующей этой точке X и направлению (v, w) прямой A,(.V) и в общем случае {.V, А0(и) }nLl (A')=0. в) Образы W, W и W точки YeLQnm{ при проективитетах П2, R и R (v, w) для каждого двумерного направления (v, w) в слое Рп (Aq) лежат в (п-т-)-плоскости Lnmx на соответствующей этой точке Y и направлению (v, w) прямой LX (Y) и в общем случае {Y, Ao (u)}rLl (Y)=0.

В п. 1.3 для инвариантных гиперраспределения и Д*, с линейными элементами {А0(и), Г®х (и)} и (А0(и), Гп°х } доказаны две теоремы:

Теорема 1.3.1. Гипераспределения Д°ч и Д*ч являются нормализованными в смысле А. П. Нордена распределениями расслоения Рп п: нормалями РИ второго рода для гиперплоскостей и Г®х являются, соответственно, А п — 2) -плоскости Гп2 и Гп2, прямая Pj — (А0 Ап) служит общей нормалью первого рода этих распределений. Кроме того, точка Ап является общим нормальным полюсом-нормалью Картана распределений и Д*г.

Теорема 1.3.2. Точка В = Ап тогда и только тогда принадлежит в слое о.

Рп (А0) гиперплоскости Г®х, когда полюс D гиперплоскости Гпх относительно гиперквадрики 2 лежит в (п — 2) -плоскости Гп2.

В п. 1.4 отмечены 12 пар двойственных инвариантных подпространств слоя Рп (А0) и рассмотрены некоторые связности и проективитеты, ими определяемые. В п. 1.5 получено шесть инвариантных кривых на базе М° и выделено аналитически восемь частных классов расслоений Рп п. Геометрическую характеристику этим частным классам дают Теоремы 1.5.1−1.5.9.

В п. 1.6 мы полагаем тензор Rftj= 0, тогда расслоение Рпп является однородным проективным пространством Рп. В этом пространстве для неголономной гиперповерхности 5'" ., построены в адаптированном репере нормали Нордена и Картана способом, отличным от известных по [136] и [145]. Здесь же показано, что неголономная поверхность допускает классификацию по схеме п. 1.5, все получающиеся частные классы неголономных нормализованных гиперповерхностей существуют, поскольку дано безынтегральное представление (п. 1.6.3) многообразию класса VIII — самого частного из рассмотренных классов .

В п. 1.7 мы полагаем тензор кручения R^j равным нулю тождественно и такое расслоение Рпп обозначаем символом Р*п. В п. 1.7.2 и 1.7.3 показано, что для каждой точки А0еМ° расслоения Р*п в слое P&bdquo-(Aq)определяются, как и в п. 1.4, линейные подпространства типа (1.4.1). Поэтому все построения п.п. 1.2−1.6 можно проделать и для расслоения Рпп, которое является расслоением Рп п.

В случае неопределённости линейного гиперкомплекса (1.1.28) для точки X е Рп (и) в слое Рп (и) определяется подпространство L (X), названное в нашей работе [71, с. 76] нормальным подпространством точки X в слое Рп (А0). В п. 1.8 указаны пути получения частных классов расслоений Рпп с помощью нормальных подпространств в слое Рп{и).

Первый п. главы 2 имеет реферативный характер и содержит постановку задачи нормализации многомерной поверхности, включая дифференциальные уравнения w-поверхности Smn полей нормалей Нордена и Картана. В п. 2.2.1 построена внешняя РП-нормаль Нордена для Sm, как пересечение в слое.

Рп (А0) инвариантной гиперплоскости и касательной к /77-поверхности Sm т-плоскости Lm. Для гиперповерхности с касательной гиперплоскостью ГйпА (и) внешнейнормалью Нордена является (я-2)-мерная плоскость.

Гп2 = Г°пхпГ" х. Пути построения полей внешних нормалей Нордена и Картана указаны в п. 2.2.2. Здесь отмечено, что в общем случае, когда гиперплоскость Гппх (и) не проходит через точку А0(и), в каждой инвариантной Рг нормали Нордена га-поверхности Sm расслоения Рп п выделяется соответствующая ей внешняя нормаль Картана //0 (/" «]) = Р^Г» ^ .

В п. 2.2.3 мы принимаем за Р1 -нормали Нордена /и-поверхности Sm (п-т)-плоскость Lnm, полярно сопряжённую касательной к Sm га-плоскости Lm относительно гиперконуса 2 этой поверхности. С га-поверхностью Sm расслоения Рп п ассоциируется подрасслоение Р*п с га-мерной базой Sm и п-мерными проективными слоями Рп (и). Связность С расслоения Рп п индуцирует связность С* подрасслоения Р*т п.

В п. 2.4 рассмотрена индуцируемая нормалью Картана на га-поверхности т.

Sm связность Сю и нормализация Sm с такой связностью и доказана т ^.

Теорема 2.4.1. Связность Сю подрасслоения Ртп расслоения Рпп, индуцируемая на т-поверхности Sm полем нормалей Р10, при 2(п-т) >(га (га-1)) будет иметь нулевое расширенное кручение тогда и только тогда, когда в слое Рп нормальное подпространство L0, m точки А0 е Sm принадлежит соответствующей нормали Картана Р/0 в этом слое.

Здесь отмечено, что при 2(п-т)=(т (т-)) из условия L0 mczPI0 компоненты с°&-, геометрического объекта = с? }, задающего нормаль Картана, определяются единственным образом.

В п. 2.4.4 с помощью заданной Р10 -нормали Картана мы определяем в касательной к Sn в точке, А 0 га-плоскости Lm квадрику 2 и для произвольной плоскости LmA (zLm и точки Ae Lm — линейный комплекс K°mx{LmВ п.п. 2.4.5 и 2.4.6 доказаны, в частности, два утверждения, соответственно:

1) При п=2т+ существует, в общем случае, единственная нормаль Р, такая, что каждой Р10 — нормали Картана, PI0 cz Р{, соответствует неопределённая квадрика Qll2.

2) При 2п=т (т +1) существует, в общем случае, единственная Р1 -нормаль Нордена такая, что каждой Р10- нормали Картана, P^aPj, соответствует независимо от выбора в Lm (т-1)-плоскости Lmx и точки X неопределённый линейный комплекс К°тА (Lmx, X).

В [62] для поверхности Sm определены образуемые касательными гиперплоскостями Lnx гиперконусы «Тт класса т и типа s с m-мерной вершиной Lm.

Гиперконусы s" Тт огибают в Ln гиперконусы sn Qm порядка m. В п. 2.5 второй главы рассмотрено вырождение касательных гиперконусов m-мерной поверхности Sm расслоения Рпп. В п. 2.5.3 для гиперконуса Qr порядка г с вершиной.

Lm доказана Теорема 2.5.1:

Для того чтобы образующая Lk е Qr зависела на поверхности Qr от р параметров, необходимо выполнение равенства (2.5.15): p + N2 = TV, (b), Nx (b) 4 (П — k){k — m), где Лг,(^)-число коэффициентов bup в уравнениях (2.5.13) плоскости Lk, N2 =.

N2(r, t), t=k-mчисло уравнений системы (2.5.14).

Из этой теоремы получено, как следствие, Утверждение 2.5.1:

Если т-поверхность Sm в Рп п оснащена полем касательных (т+2)мерных плоскостей Ьт+2 э Lm, то каждый из соответствующих этому подпространству Ьт+2 гиперконусов m+Qm порядка т вырождается в общем случае в т (т+1)-мерных плоскостей saLm+, Z) Lm, I = 1, 3.

В п. 2.6 для двумерной поверхности в Рь 6 показано строение гиперконуса и вырождение гиперконусов: }ЬТ2 в трёхмерную плоскость = и J2 в гиперплоскость Ls. При этом L5 пересекает гиперконус 6'Q2 по четырехмерному конусу $Q2 второго порядка. Здесь доказана Теорема 2.6.1:

Каждое характеристическое направление Ah соприкасающейся плоскости L3(u) принадлежит двумерной плоскости L2 = (,), проходящей через характеристики и l*h плоскости L^iu), соответствующие двум другим характеристическим направлениям Л^ и .

В конце п. 2.6 построены четыре Р7 -нормали Нордена двумерной поверхности S2 пространства Р6 6.

В п. 2.7 инвариантный проективитет R слоя Рп применяется для нормализации w-поверхности Sm расслоения Рп п для некоторых значений т и п. В ча.

2 / стности показано, что при «=0.5(т + т) тензором кручениякривизны RJjk расслоения Рпп определяется инвариантная нормаль Картана Р/0 w-мерной поверхности Sm по её касательной плоскости Lm.

В заключительной третьей главе диссертации решена задача нормализации в пространстве проективной связности w-мерной поверхности Sm, оснащённой полем двумерных плоскостей Ь2. В п.п. 3.1, 3.2 при п=т+4 рассмотрен случай, когда оснащающая плоскость Ь2 пересекает в слое Рп касательную плоскость Lm в точке SeSm. В п. 3.1 аналитически (методом продолжений и охватов — методом Лаптева) найдены поля /^-нормалей Нордена оснащённой полем двумерных плоскостей Ь2 w-поверхности Sm пространства проективной связности? ия.Вп. 3.2. дана геометрическая интерпретация всем построенным в п. 3.1 охватам.

В п. 3.2.1 в касательной к w-поверхности Sm плоскости Lm определён конус второго порядка Ф, как совокупность направлений tczLm, для которых (I, dLx) aLm+1, A0 e LxcL2Lm соответствует в плоскости Lm конус K2(Lnl) второго порядка с вершиной в точке А0, в общем случае существует локально единственная гиперплоскость L}nxuLm+2 такая, что конусы Ф и K2{bx) аполярны [60]. Линейным полюсом гиперплоскости Ьхпх относительно гиперконуса snTm является (т+)-пл ос кость sLlm+ Пусть конус K2{bx) соответствует гиперплоскости Lx, тогда гиперплоскость Lnx геометрически характеризуется тем, что конус K{Lnx), соответствующий этой гиперплоскости, и конус K{Lxnx) аполярны. При этом исключается возможность вырождения конусов второго порядка Ф и К2(ЬХ) в конусы по крайней мере с прямолинейной вершиной. Далее, (т-Н)-плоскость sL2m+l определена как линейный полюс гиперплоскости Lnx относительно гиперконуса snTm и, в общем случае, sLlm+x* sL2m+x.

В п. 3.2.3 введена гиперплоскость sLnx = (sL], sL}m+l, sL2m+l), sLxczL2, которая определяет единственную прямую SLX условием, что конус К2 (sLn), соответствующий гиперплоскости sLnx и конус Ф аполярны. В 2.3.4 найден характеристический элемент SL] гиперплоскости sLn{ размерности Ъ=п-т-.

Линейная оболочка Р{ 2-плоскости L2 и прямых SZLX =(SL], SL) пересекается с касательной к /w-поверхности Sm в точке А0 m-плоскостью Lm в точке А0 и имеет размерность 4=п-т. Эту 4-плоскость Р/ мы принимаем за Р1 -нормаль Нордена w-мерной поверхности Sm в Рт+^т+4.

В последнем параграфе этой главы мы предполагаем, что в каждом слое Рп точки Se Sm оснащающая 2-плоскость 12 пересекает касательную к Sm т-плоскость А,"по прямой L ь проходящей через точку S /"-поверхности Sm. Так оснащённую поверхность Sm мы называем многообразием S (m, L2). В п. 3.3.2.

3.3.4 аналитически и геометрически найдены линейные подпространства и алгебраически многообразия, с помощью которых в п. 3.3.5 построена оснащающая (я-З)-плоскость L*3 многообразия S{m, L2). В п. 3.3.6 получены нормали Р, первого рода и Рп второго рода Нордена w-поверхности Sm с таким оснащением.

Содержание первой главы диссертации представлено в работах [71], [72], [173] и [174]. Материал второй главы опубликован в [70], [71], [171], [172], [175]-[178] и [240]. В третью главу включены результаты, полученные в [67], [68], [179] и [180]. Диссертант является единоличным автором в 13-ти из названных здесь публикаций ([167]-[178] и [240]).

СОГЛАШЕНИЕ ОБ ИНДЕКСАХ, ДЕЛЕНИИ ТЕКСТА НА ПУНКТЫ И НЕКОТОРЫХ СИМВОЛАХ.

Символ = означает «равно по определению». Линейную оболочку подпространств L, и Ь2 будем обозначать символом (L, Ь2). Равенство Т = S + [2], а также T=S понимаются как равенства с точностью до слагаемых линейных относительно дифференциалов параметров.

Весь текст разбит на главы и параграфы. Каждый параграф делится на пункты. Указания «см. п. P. Q. /?» или «см. п. P. Q «отсылают к тексту пункта с номером R в параграфе Q главы Р или, соответственно, к тексту в параграфе Q главы Р. Аналогично, в ссылке на формулу {п. p. q) «-означает номер главы, /т-номер параграфа, д-номер формулы в параграфе.

Множества значений индексов в данной работе определены по умолчанию следующими условиями: J, К, L = 0, п, i, j, k, l =, n, а,/?,/,. = 1, w, а, Д ?,. = m + l п, 3,/3,y,. = ~mT, n- 1, A, B, C, D = Q^, P, Q, R, S = 0, n-, р, q, г =2,/7−2, р, q, г, t, и = 1, п — 1, £,/"е{0, н}, ?,/7 6 {1,2}, л = КЗ.

1. Акивис М. А. О нормалях Фосса поверхности, несущей сеть сопряжённых линий // Мат. сб.- 1962, — Т. 59 (101), № 52, — С. 695−706.

2. Акивис М. А. Фокальные поверхности ранга т II Изв. вузов. Мат.- 1969.-№ 5. С. 3−48.

3. Акивис М. А. Об инвариантном оснащении поверхности, несущей сеть сопряжённых линий // Уч. записки Моск. гос. педагогич. ин-та им В. И. Ленина.- М.: МГПИ, 1970. Вып. 374, Т. 1. С. 7−17.

4. Алексеевский Д. В., Виноградов А. М., Лычагин В. В. Основные идеи и понятия дифференциальной геометрии // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления.-М.:ВИНИТИ, 1988. Т. 28, — С. 5−289 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР).

5. Андреев Б. А. Характеристические направления соответствия между точечным пространством и пространством пары {р, q) II Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. науч. тр. / Калинингр. ун-т,-Калининград, 1975.-Вып. 6.-С. 5−18.

6. Андреев Б. А. К геометрии дифференцируемого отображения /: Рт —" Рп (т>п) II Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. науч. тр. / Калинингр. ун-т.- Калининград, 1987.-Вып. 18, — С. 5−9.

7. Атанасян Л. С. К теории оснащённых поверхностей многомерного проективного пространства // Учён, записки Моск. гос. педагогич. ин-та им В. И. Ленина.- М.: МГПИ, 1957.-№ 108, Вып. 2. С. 3−44.

8. Атанасян Л. С.

Введение

инвариантных связностей на кривых проективного пространства // Учён, записки Моск. гос. педагогич. ин-та им В. И. Ленина.- М.: МГПИ, 1963. №. 208. С. 48−65.

9. Багдасарян Ж. Н. Об инвариантном оснащении гиперповерности, связанной с семейством конусов второго порядка в Р&bdquo- // Учён, записки Ереванск. унта, — 1975.-№ 3 (130).- С. 15−22.

10. Базылев В. Т. Квази-лапласовы преобразования многомерных поверхностей // Успехи мат. наук.- 1955. Т. 10. С. 214−215.

11. Базылев В. Т. О сетях на многомерных поверхностях проективного пространства // Изв. вузов. Мат.- № 2.-1966.-С. 9−19.

12. Базылев В. Т. Многомерные поверхности, сети и дифференцируемые отображения пространств //Учён, записки Моск. гос. педагогии, ин-та им В. И. Ленина.-Вып. 374, Т. 1. М.: МГПИ, 1970. С. 28−40.

13. Базылев В. Т. Сети на многообразиях // Тр. Геометрич. семинара. / ВИНИТИ АН СССР.-1974. Т. 6.-С. 189−208.

14. Базылев В. Т. Геометрия дифференцируемых многообразий.- М.: Высшая школа, 1989.-221 с.

15. Баймуратов X. А. О геометрии трёхмерной поверхности в пятимерном проективном пространстве // Сб. статей по дифференциальной геометрии / Калининский ун-т.- 1975. Вып. 2. С. 3−14.

16. Балазюк Т. Н. Дифференциальная геометрия /w-мерных линейных элементов, оснащённых конусом. I. / ВИНИТИ АН СССР.-М., 1978. 35 с.-Библиогр.: 13 назв.- Рус.- Деп в ВИНИТИ 24. 01.978, № 267−78 Деп.

17. Беломестных Л. А. О парах поверхностей в пятимерном проективном пространстве // Геометрич. сб. / Томск, гос. ун-т.- Томск, 1975,-Вып. 12. С. 2428.

18. Березина Л. Я. Инвариантное оснащение w-мерной поверхности в п-мерном проективном пространстве при «.

19. Близникас В. И. О неголономной поверхности трёхмерного пространства проективной связности // Тр. Геометрич. семинара / ВИНИТИ АН СССР.-1971. Т. З.-С. 115−124.

20. Близникас В. И. Некоторые вопросы гиперкомплекса прямых // Тр. Геометрия. семинара / ВИНИТИ АН СССР.-1974, — Т. 6.-С. 43−118.

21. Близникас В. И., Лупейкис 3. Ю. Геометрия дифференциальных уравнений // Алгебра. Топология. Геометрия. (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР).- М.: ВИНИТИ, 1974, — Т. 11. С. 209−259.

22. Вагнер В. В. Дифференциальная геометрия неголономных многообразий // VIII Международный конкурс на соискание премии им. Н. И. Лобачевского: Отчёт.- Казань: Изд-во КГУ, 1939.-С. 195−262. (Сер.монографий и исследований по неевклидовой геометрии, № 2).

23. Вагнер В. В. Абсолютная производная поля локального геометрического объекта в составном многообразии // Докл. АН СССР.-1943. 40, № 3. С. 99 103.

24. Вагнер В. В. Обобщение тождеств Риччи и Биянки для связности в составном многообразии // Докл. АН СССР.- 1945. 46, № 8. С. 335−338.

25. Вагнер В. В Теория геометрических объектов и теория конечных и бесконечных непрерывных групп преобразований // Докл. АН СССР.- 1945. 46, № 9,-С. 383−385.

26. Вагнер В. В. Теория поля локальных гиперполос // Тр. семинара по век-торн. и тензорн. анализу.- 1950, — Вып. 8. С. 97−372.

27. Вагнер В. В. Теория составного многообразия // Тр. семинара по век-торн. и тензорн. анализу.- 1950. Вып. 8. С. 11−72.

28. Варламов Г. Е. О двумерной поверхности в шестимерном проективном пространстве//Геометрич. сб./Томск, гос. ун-т.-Томск, 1972.-Вып. 8. С. 3−12.

29. Васенин В. В., Сухотин А. М. О неголономной поверхности в трёхмерном симплектическом пространстве // Тр. Иркутск, гос. ун-та.-Иркутск, 1970.Т. 74, Сер. мат., Вып. 6. С.270−286.

30. Васенин В. В., Сухотин А. М. Об нвариантных дифференциальных формах и основных инвариантах неголономной поверхности // Тр. Иркутск, гос. ун-та.- Иркутск, 1970. Т. 74, Сер. мат., Вып. 6.-С. 301−314.

31. Веблен О., Уайтхед Дж. Основания дифференциальной геометрии: Пер. с англ.- М.: ИЛ, 1949. С. 135−223.

32. Выгодский М. Я. Возникновение дифференциальной геометрии // Монж Г. Приложение анализа к геометрии: Пер с франц.- М.-Л.: ОНТИ, 1936.-С. 6−70.

33. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц.- 4-е изд., доп.- М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.-552 с.

34. Гейдельман Р. М. Дифференциальная геометрия семейств подпространств в многомерных однородных пространствах // Алгебра. Топология. Геометрия. 1965. (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР).- М.: ВИНИТИ, 1967.-С. 323−374.

35. Гейдельман Р. М. К проективной теории пар конгруэнций прямых // Изв. вузов. Мат.- 1971.-№ 2. С. 42−51.

36. Гейдельман Р. М. Проективная классификация линейчатых поверхностей и фокальные преобразования поверхностей // Изв. вузов. Мат.- 1974.-№ 12.-С. 51−53.

37. Гейдельман Р. М., Лумисте Ю. Г. Геометрия семейств m-мерных плоскостей в «-мерных пространствах // Тр. 4-го Всесоюзн. мат. Съезда, 1961.-Ленинград, 1964, — Т. 2. С. 201−206.

38. Гольдберг В. В. Об одной нормализации /^-сопряжённой системы п-мерного проективного пространства // Тр. Геометрич. семинара /ВИНИТИ АН СССР.-М.: ВИНИТИ, 1970, — Т. 1.-С.- 89−109.

39. Гольдберг В. В. Об инвариантном оснащении картановского многообразия// Изв. вузов. Мат.- 1970.-№ 12, — С. 11−21.

40. Горбатенко Е. М. Дифференциальная геометрия неголономных многообразий (по Вагнеру В. В.) // Геометрии, сб. / Томск, ун-т, — 1985. Вып.26- С. 31−43.

41. Гринцевичус К. И. О гиперкомплексах прямых в четырёхмерном проективном пространстве Р4II Успехи мат. наук.- Т. 10, № 4.-1955.

42. Гринцевичус К. И. Дифференциальная окрестность второго порядка луча комплекса в многомерном проективном пространстве // Мат. сб.- I960. 52.-№ 4.-С. 991−1020.

43. Гринцевичус К. И. О полном объекте комплекса прямых в многомерном проективном пространстве // Лит. мат. сб.- 1962. 2. № 1.-С. 49−54.

44. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях / Л. Е. Евтушик, Ю. Г. Лумисте, Н. М. Остиану, А. П. Широков.-М.: ВИНИТИ, 1979.247 с.-(Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР, Сер. Проблемы геометрииТ. 9).

45. Домбровский Р. Ф. К геометрии касательно оснащённых поверхностей в Рп //Тр. Геометрич. семинара / ВИНИТИ АН СССР.-1974. Т. 6.-С. 171−188.

46. Домбровский Р. Ф. Поля геометрических объектов на многомерных касательно оснащённых поверхностях в Рп II Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР.-1975. Т. 7. С. 153−171.

47. Драгнев М. В., Павлюченко Ю. В., Рыжков В. В. Избранные главы диф-френциальной геометрии точечных отображений.- М.: РУДН, 1994. 130 с.

48. Дубровин Б. А., Новиков С, П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения.- М.: Наука, Гл. ред. физ-мат. лит., 1979. 760 с.

49. Зуланке Р., Винтген П. Дифференциальная геометрия и расслоения: Пер. с немец.- М.: Мир, 1975. 348 с.

50. Ивлев Е. Т. Канонический репер пары конгруэнций в трёхмерном проективном пространстве // Геометрич. сб. / Томск, гос. ун-т.- 1962. Вып. 1. С. 15−24.

51. Ивлев Е. Т. Канонический репер параболической пары комплексов в Р3 II Геометрич. сб. / Томск, гос. ун-т.- Томск, 1962. Вып. 2. С. 42−53.

52. Ивлев Е. Т. О геометрической интерпретации инволютивности т-мер-ного распределения в Рп II Тр. научн. конф. по мат. и мех. / Томск, ун-т.-Томск, 1973.-Вып. 1.-С. 50.

53. Ивлев Е. Т. Канонический репер произвольной пары комплексов в />3 // Сибирск. мат. ж, — 1963. Т. 4, № 3.-С.562−581.

54. Ивлев Е. Т. О многообразии Е {L, Lm, Lam+x) в и-мерном проективном пространстве Рп (т>2) // Сибирск. мат. ж.- 1967. Т.8, № 6.-С. 1307−1320.

55. Ивлев Е. Т. О поверхности m-измерений в многомерном проективном пространстве//Геометрич. сб./ Томск, гос. ун-т.-Томск, 1968.-Вып. 7.-С. 35−54.

56. Ивлев Е. Т. К геометрической интерпретации свёртки некоторых тензоров // Материалы итог, научн. конф. по мат. и мех. за 1970 г.-Ч. 1. / Томск, унт.- Томск: Изд-во ТГУ, 1970, — С. 121−123.

57. Ивлев Е. Т. Об одной нормализации многомерной поверхности пространства проективной связности // Дифференц. геометрия многообр. фигур: Межвуз. сб. науч. тр. / Калинингр. ун-т.- 1974. Вып. 4.-С. 6−28.

58. Ивлев Е. Т. Об оснащении многомерной гиперполосы пространства проективной связности // Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. научн. тр. / Калинингр. ун-т.- 1974. Вып. 5.-С. 25−49.

59. Ивлев Е. Т. Внешняя нормализация расслоения Рт п / Томск, политехи. ин-т.-Томск, 1983.-36 е.- Библиогр.: 4 назв.-Рус. -Деп. в ВИНИТИ 3. 04. 1983, № 1440−83 Деп.

60. Ивлев Е. Т. О тангенциально-вырожденных расслоениях Рт п II Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. научн. тр. / Калинингр. ун-т.- Калининград, 1984. Вып. 15.-С. 32−37.

61. Ивлев Е. Т. Об одном аналоге тензора Риччи расслоения Рпп II Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. научн. тр. / Калинингр. ун-т.- Калининград, 1985. Вып. 16.-С. 23−26.

62. Ивлев Е. Т., Исабеков М. Б. К проективной геометрической интерпретации некоторых образов, определяемых двухвалентными тензорами // Тр. научн. конф. по мат. и мех. / Томск, ун-т.- Томск, 1973.-Вып, 1.-С. 50−52.

63. Ивлев Е. Т., Подскребко Э. Н., Сухотин А. М. О нормализации оснащённой многомерной поверхности пространства проективной связности / Томск, политехи. ин-т.-Томск, 1976.-48 е.- Библиогр.: 11 назв.- Рус.- Деп. в ВИНИТИ 9.06.76, № 2052;76 Деп.

64. Ивлев Е. Т., Сухотин А. М. О (pk, qr)-структурах многомерной поверхности проективного пространства/ Томск, политехи. ин-т.-Томск, 1979. 51 с.-Библиогр.: 12 назв.- Рус.- Деп. в ВИНИТИ 17. 05. 1979, № 2621−79 Деп.

65. Ивлев Е. Т., Сухотин А. М. О расслоении Рпп с проективной связностью / Томск, политехи. ин-т.-Томск, 1986. 24 е.- Библиогр.: 11 назв.-Рус. -Деп. в ВИНИТИ 29. 05. 1986, № 4102 В-86 Деп.

66. Ивлев Е. Т., Сухотин А. М. О пространстве проективной связности и его подпространствах // Изв. вузов. Мат.- 1987. № 2.-С. 75−78.

67. Ивлев Е. Т., Сухотин А. М. Некоторые приложения тензора кручения-кривизны пространства проективной связности / Томск, политехи. ин-т.-Томск, 1989. 72 е.- Библиогр. 22 назв.-Рук. деп. в ВИНИТИ 27.01.1989, № 3514-В89.

68. Кайзер В. В. О двумерных распределениях в четырёхмерном проективном пространстве // Геометр, сб. / Томск, ун-т.- 1975. Вып. 15. С. 82−106.

69. Кайзер В. В. Характеристические подраспределения и сужения распределений // Геометрич. сб. / Томск, ун-т.- 1976. Вып. 17. С. 28−46.

70. Кайзер В. В. Неголономная линейчатая геометрия как теория распределений на грассмановом многообразии // Изв. вузов. Мат.- 1983. № 6.-С. 56−58.

71. Карапетян С. Е. Проективно дифференциальная геометрия семейства многомерных плоскостей // Изв. АН Арм. ССР, сер. физ.-мат.- (I) 1963. Т. 16,3. С. 3−22- (II).- 1963. Т. 16, № 5, — С. 3−22- (III).- 1964. Т. 17, № 1. С. 3−21.

72. Карапетян С. Е. Матричные алгебраические многообразия // Сб. научн. тр. Арм. ЗПИ, — 1964.-№ 4.-С. 147−158.

73. Карапетян С. Е. К многомерной проективно-дифференциальной геометрии // Изв. Мат. Ин-та Бълг. Акад. наук.-1970.-Т. 12.-С. 65−85.

74. Картан Э. Метод подвижного репера, теория непрерывных групп и обобщённые пространства: Конспект лекций, Пер. с франц. и обраб. С. П. Фи-никова.- М.-Л.: ОНТИ, 1933.-176 с.

75. Картан Э. Пространства аффинной, проективной и конформной связности: Пер с франц. А. П. Широкова и др.- Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1962.-210 с.

76. Картан Э. Внешние дифференциальные системы и их геометричские приложения: Пер. с франц. С. П. Финикова.- М.: Изд-во МГУ, 1962. 237 с.

77. Картан Э. Теория конечных непрерывных групп и дифференциальная геометрия, изложенная методом подвижного репера: Пер. с франц. С. П. Финикова.- М.: Изд-во МГУ, 1963.-367 с.

78. Кобояси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии.- В 2-х т.: Пер. с англ.- М: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1981.-Т. 1. 344 е.- Т. 2. 416 с.

79. Кованцов Н. И. Теория комплексов, — Киев: Изд-во Киевск. ун-та, 1963.292 с.

80. Корсакова Л. Г. Расслояемые пары коник, касающихся друг друга // Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. научн. тр. / Калинингр. ун-т.- 1994.-Вып. 25. С.55−59.

81. Крафт X. Геометрические методы в теории инвариантов: Пер. с немец.М.: Мир, 1987.-312 с.

82. Кругляков Л. 3. К вопросу о проективной классификации семейств многомерных плоскостей // Геометрии, сб. / Томск, ун-т.- 1975. Вып. 15. С. 50−56.

83. Кругляков Л. 3. К дифференциальной геометрии семейств подпространств в проективном пространстве // Геометрии, сб. / Томск, ун-т.- 1975.-Вып. 16. С. 42−57.

84. Кругляков Л. 3. К дифференциальной геометрии семейств многомерных плоскостей в проективном пространстве. I // Сибирск. мат. ж.- 1976.-17, № 6.-С. 1295−1307.

85. Кругляков Л. 3. Основы теории комплексов «^-плоскостей в проективном пространстве // Геометрии, сб. / Томск. ун-т.-1979. Вып. 19. С. 3−15.

86. Кругляков Л. 3. Основы проективно-дифференциальной геометрии семейств многомерных плоскостей.- Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1980. 111 с.

87. Кругляков Л. 3. Отображения в семействе многомерных плоскостей проективного пространства// Сибирск. мат. ж.- 1982.-22, № 3, — С. 101−109.

88. Кругляков Л. 3., Мизин А. Г. Классификация и строение гиперкомплексов многомерных плоскостей // Геометрии, сборник / Томск, ун-т.-1982. Вып. 23,-С. 39−42.

89. Лаптев Г. Ф. Инвариантное построение проективно-дифференциальной геометрия поверхности //Докл. АН СССР, — 1949, — Т. 65, № 2 .- С. 121−124.

90. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометринеских исследований // Тр. Моск. мат. об-ва.-М., 1953.-Т. 2. С. 275−382.

91. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия многомерных поверхностей // Геометрия. 1963. (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР).- М., 1965. С. 564.

92. Лаптев Г. Ф. Распределение касательных элементов. // Тр. Геометрич. семинара / ВИНИТИ АН СССР.-1971; Т. З.-С. 29−48.

93. Лаптев Г. Ф. К инвариантной аналитической теории дифференцируемых отображений // Тр. Геометрич. семинара / ВИНИТИ АН СССР-1974 Т. 6 — С. 37−42.

94. Лаптев Г. Ф., Остиану Н. М. О распределениях w-мерных элементов в «-мерном проективном пространстве.-М.: ВИНИТИ АН СССР, 1971. Библи-огр.: 4 назв.- 16 е.- Деп. в ВИНИТИ, № 3683−71 Деп.

95. Либер А. И. К теории поверхностей в геометрическом «-пространстве с заданной фундаментальной группой // Тр. семинара по векторн. и тензорн. анализу,-1956. Вып. 10. С. 193−226.

96. Либер А. И. Геометрия поверхностей в пространствах с заданной фундаментальной группой: Автореф. дисс.. докт. физ.- мат. наук.-.- Саратов, 1957, — 45 с.

97. Либер А. И. К теории двумерных поверхностей в аффинных и проективных «-пространствах // Докл. 3-й Сибирск. конф. по мат. и мех.-Томск, 1964.-С. 194−195.

98. Лихнерович А. Теория связностей в целом и группы голономий: Пер. с франц. С. П. Финикова.- М.: Изд-во ИЛ, I960. 216 с.

99. Лумисте Ю. Г. Индуцированные связности в погруженных проективных и аффинных расслоениях // Учён, записки Тартуск. ун-та,-1966.-Вып. 177.-С. 6.

100. Лумисте Ю. Г. Однородные расслоения со связностью и их погружения // Тр. Геометрич. семинара / ВИНИТИ АН СССР.-1966.-Т. 1.-С. 191−237.

101. Лумисте Ю. Г. Расслояемые семейства 1-пар четырёхмерного проективного пространства // Учён, записки Тартуск. ун-та.- 1967. Вып. 206. С. 10−21.

102. Лумисте Ю. Г. Теория связностей в расслоенных пространствах // Алгебра. Топология. Геометрия. 1969 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР).-М.: 1971. С. 123−168.

103. Лумисте Ю. Г. Канонические расслоения над пространствами орбит и внутренние связности // Тр. Геометрич. семинара / ВИНИТИ АН СССР.-1973.-Т. 4.-С. 285−307.

104. Лумисте Ю. Г. Дифференциальная геометрия подмногообразий // Алгебра. Топология. Геометрия. (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР).- М.: 1975, Т. 13. С. 273−340.

105. Лучинин А. А. О парах /"-поверхностей в «-мерном проективном пространстве // Геометрич. сб. / Томск, гос. ун-т.- 1975. Вып. 9. С. 21−28.

106. Лучинин А. А. О поверхностях размерностей «и т в (п+т+1)-мерном проективном пространстве // Прикладная мат. и кибернетика / Томск. ун-т.-Томск, 1976,-Вып 1,-С. 129−138.

107. Малаховский В. С. Многообразия алгебраических элементов в «-мерном проективном пространстве // Геометрич. сб. / Томск, гос. ун-т.- Томск, 1963.-Вып. З.-С.-28−42.

108. Малаховский В. С. О многообразиях алгебраических фигур // Геометрич. сб. / Томск, гос. ун-т.-Томск, 1965.-Вып. 5.-С.-5−14.

109. Малаховский В. С. Дифференциальная геометрия многообразий фигур и пар фигур в однородном пространстве // Тр. Геометрич. семинара / ВИНИТИ АН СССР, — 1969.-Т. 2.-С. 179−206.

110. Малаховский В. С. Некоторые проблемы дифференциальной геометрии многообразий квадрик // Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. научи, тр. / Калинингр. ун-т, — 1994, — Вып. 25. С.64−70.

111. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств: Пер. с англ.- М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат лит., 1972. 232 с.

112. Масленков А. Е. Двумерные распределения в пятимерном проективном пространстве / Томск, политехи, ин-т.- Томск, 1979. 20 с.-Библиогр.: 10 назв,-Рус, — Деп. в ВИНИТИ 9.12.79, № 2231−79 Деп.

113. Монж Г. Приложение анализа к геометрии: Пер с франц.- M.-JL: ОНТИ, 1936.-699 с.

114. Нейфельд Э. Г. Аффинные связности на нормализованном многообразии плоскостей проективного пространства // Изв. вузов. Мат.-1976. № 11. С. 48−55.

115. Навицкис К. В. О полунеголономном гиперкомплексе SNGr (m, 2т+2, (m+l)(m+2)-l) // Лит. мат. сб.- 1978. XVIII, № З.-С. 117−127.

116. Навицкис К. В. О внутренних оснащениях полунеголономных комплексов SNGr (m, п, (iтЩп-т)-р)) // Лит. мат. сб.- 1988, — XXVIII, № 2.-С. 299−304.

117. Норден А. П. О внутренних геометриях поверхностей проективного пространства // Тр. семинара по векторн. и тензорн. анализу.-1948.-Вып.6.-С. 125−224- 1949. Вып. 7. С. 31−64.

118. Норден А. П. Пространства аффинной связности- 2-е изд.- М.: Наука, Гл. ред. физ-мат., 1976. 432 с.

119. Норден А. П. Теория композиций // Проблемы геометрии / ВИНИТИ.1978.-Т. 10.-С. 117−145.

120. Об основаниях геометрии: Сборник классических работ по геометрии и развитию её идей.- М.: ГИТ-ТЛ, 1956, — 525 с.

121. Остиану Н. М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия // Revue de mathematiques pures et appliquees.- Bucuresti, 1962, — T. VII, № 2. C. 232−240.

122. Остиану H. M. Об инвариантном оснащении многомерной поверхности проективного пространства / ВИНИТИ АН СССР.-М.: ВИНИТИ АН СССР, 1966, — 28 с.

123. Остиану Н. М. Дифференциальная геометрия многомерной поверхности проективного пространства / ВИНИТИ АН СССР.- М.: ВИНИТИ АН СССР, 1971.-25 с.

124. Остиану Н. М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространстве // Тр. Геометрич. семинара / ВИНИТИ АН СССР.- 1973. Т. 4,-С. 71−120.

125. Остиану Н. М. Поляков Н. Д. Подмногообразия в дифференцируемых многообразиях, наделённых дифференциально-геометрическими структурам.1. // Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР, — 1980. Т. 11. С. 3−63.

126. Памяти Сергея Павловича Финикова // Геометрич. сб. / Томск, гос. ун-т.-Томск, 1975. Вып. 12.-С.-3−9.

127. Подскребко Э. Н. Дифференциальная геометрия оснащённой многомерной поверхности пространства проективной связности: Автореферат дисс. .канд. физ, — мат. наук.- Казань, 1982. 13 с.

128. Попов Ю. И. К теории оснащённой гиперполосы в многомерном проективном пространстве // Учён, записки Моск. гос. педагогич. ин-та им В. И. Ленина.- 1970, — Вып. 374, Т. 1. С. 102−117.

129. Попов Ю. И. Гиперполосы многомерного проективного пространства с общим основанием // Учён, записки Моск. гос. педагогич. ин-та им В. И. Ленина.- 1970. Вып. 374, Т. 1. С. 118−129.

130. Попов Ю. И. Основы теории трёхсоставных распределений проективного пространства / Калининграде^ ун-т.- Спб.: Изд-во Спб. ун-та, 1992.-172 с.

131. Попов Ю. И., Столяров А. В. Специальные классы регуляных гиперполос: Учеб. пособие / Калининградск. ун-т.- Калининград, 1992. 80 с.

132. Роговой М. Р. К проективно-дифференциальной геометрии неголоном-ных поверхностей в трёхмерном пространстве // Укр. мат. ж.-1950. Т. И, № 2,-С. 102−116.

133. Роговой М. Р. К проективно-дифференциальной геометрии неголоно-мной гиперповерхности // Укр. Геометр. сб.-Харьков.-1970.-В. 8.-С. 112−119.

134. Розенфельд Б. А. Дифференциальная геометрия семейств многомерных плоскостей // Известия АН СССР.- 1947. Т. 11, № 3. С. 283−308.

135. Розенфельд Б. А. Проективно-дифференциальная геометрия семейств пар Pm+Pn.m+i в Рп II Мат. сб.- 1949. Т. 24 (66).-С. 405−428.

136. Розенфельд Б. А. Геометрия семейств плоскостей проективного пространства как точечная проективная геометрия // Тр. семинара по векторн. и тензорн. анализу.-1952. Вып. 9. С. 213−222.

137. Рыбников А. К. Аффинные связности, индуцируемые на многомерных поверхностях аффинного пространства // Тр. Геометрич. семинара / ВИНИТИ АН СССР.- 1974,-Т. 6,-С. 135−155.

138. Рыжков В. В. Дифференциальная геометрия точечных соответствий между двумя пространствами // Алгебра. Топологи. Геометрия. 1965. (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР).- М., 1967. С. 65−107.

139. Рыжков В. В. Дифференциальная геометрия точечных соответствий между пространствами // Алгебра. Топологи. Геометрия. 1970. (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР).-М., 1971. С. 153−174.

140. Рыжков В. В. Характеристические направления точечного отображения Рт в Рп // Тр. Геометрич. семинара / ВИНИТИ АН СССР.- 1971. Т. 3. С. 135−242.

141. Середа А. В. Преобразования Лапласа поверхности типа, а // Геометрич. сб. / Томск, гос. ун-т.- Томск, 1982. Вып. 23. С. 68−73.

142. Синцов Д. М. Современное состояние теории коннексов // Труды Первого всесоюзного съезда математиков, 1930 г., г. Харьков.- М.-Л.:ОНТИ, 1936,-С. 309−317.

143. Синцов Д. М. Работы по неголономнои геометрии.- Киев: Выща школа, 1972,-296 с.

144. Слухаев В. В. Чупахин Н. П. Геометрическая школа Р. Н. Щербакова // Геометрич. сб. / Томск, гос. ун-т, — Томск, 1989. Вып. 30. С.-3−16.

145. Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии: Пер. с англ.- М.: Мир, 1970.-412 с.

146. Стинрод Н. Топология косых произведений: Пер. с англ.- М.: ИЛ, 1953.-275 с.

147. Столяров А. В. Проективно-дифференциальная геометрия гиперполосного распределения га-мерных линейных элементов // Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР.- 1975,-Т. 7,-С. 117−151.

148. Столяров А. В. Приложение теории регулярных гиперполос к изучению геометрии многомерных поверхностей проективного // Изв. вузов. Мат.- 1976.-№ 2, — С. 111−113.

149. Столяров А. В. О внутренней геометрии поверхности Картана // Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. научн. тр. / Калинингр. ун-т.- 1976.-Вып. 7. С. 111−118.

150. Столяров А. В. Двойственная теория регулярного распределения гиперплоских элементов в пространстве проективной связности. I // Изв. вузов. Мат.-1980. № 1.-С. 79−82- (II) 1980. № З.-С. 84−87.

151. Столяров А. В. Дифференциальная геометрия полос // Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР.- 1978. Т. 10. С. 25−54.

152. Столяров А. В. Двойственная теория оснащённых многообразий.- Чебоксары, 1992. 290 с.

153. Столяров А. В. Двойственная теория оснащённых многообразий: Авто-реф. дисс.. докт. физ.- мат. наук.- Казань, 1995.-31 с.

154. Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики: Пер. с немец.- 4-е изд.-М.-Наука, 1984.-284 с.

155. Сухотин A.M. К нормализации оснащённой многомерной поверхности пространства проективной связности // Пятая Прибалт, геом. конф. Друски-нинкай, 24−25 Мая 1978 г.: Тез. докл.- Друскининкай, 1978.-С. 85.

156. Сухотин A.M. 0 нормализации многомерной поверхности, оснащёной полем плоскостей, в пространстве проективной связности // Программа 1У отчет. научн. конф. Омск, гос, ун-та .- Омск: Омгу, 1978. С. 24−25.

157. Сухотин A.M. О структурах на многомерной поверхности пространства проективной связности. // Аннотир. программа Омск. обл. мат. конф. Омск, обл мат. конф: Программа и тез. Омск: ОмГУ, 1979.-С. 26.

158. Сухотин A.M. К дифференциальной геометрии 2-поверхности в шестимерном пространстве проективной связности // 3-я Омск. обл. мат. конф.: Тезисы докл.-Рук. деп. в ВИНИТИ 24 02.1982, N 018−82 Деп.

159. Сухотин А. М. К дифференциальной геометрии 2-поверхности в шестимерном пространстве проективной связности // Тр. III Омской области, матем. конф.- Омск, 1982.-C.88−90.-Pyc. Деп. в ВИНИТИ, № 1018−83 Деп.

160. Сухотин A.M. О нормальных подпространствах в слое пространства проективной связности // Пятая Сибирская школа по алгебре и анализу, г. Иркутск, 21−27 авг.1991 г.: Тез. док.- Иркутск: Изд-во ИГУ, 1993. С. 45−46.

161. Сухотин А. М. 0 тензоре кручения-кривизны и гиперконусах многомерной поверхности пространства проективной связности//Вторая Сибир. Геометр, конф. Томск, 14−16 ноября 1996 г.: Тез. докл.- Томск: ТГПУ, 1996.-С. 79−81.

162. Сухотин А. М. 0 вырождении гиперконусов класса т многомерной поверхности пространства проективной связности / Ред. ж. «Изв. вузов. Мат.» .-Казань, 1996, — 10 е.- Библиогр. 10 назв.- Рус, — Деп. в ВИНИТИ 07.02.97, № 361В-97.

163. Сухотин А. М. К геометрии подмногообразий пространства проективной связности // Международ. Геометрич. Семинар им Лобачевского «Современная геометрия и теория физических полей». Казань, 4−6- февр. 1997 г.: Тез. докл.- Казань, 1997.-С. 118.

164. Сухотин А. М., Ивлев Е. Т. Об оснащении многообразия двумерных плоскостей пространства проективной связности / Томск, политехи, ин-т.-Томск, 1977.-25 с.-Деп. в ВИНИТИ, № 936−77 Деп.

165. Сухотин А. М., Ивлев Е. Т. Об одной нормализации многомерной оснащённой поверхности пространства проективной связности / Томск, политехи. ин-т.-Томск, 1978. 34 с.-Библиогр.: 10 назв.-Рус.-Деп. в ВИНИТИ 29. 05. 76, № 1741−78 Деп.

166. Тадеев П. К. Геометрия гиперраспределений и распределений на гиперповерхностях в пространствах со связностью: Автореф. дисс.. канд. физ.-мат. наук.-Казань, 1989.-17 с.

167. Труды Первого Всесоюзного съезда математиков (Харьков, 1930 г.).-М.-Л.: ОНТИ, 1936. 376 с.

168. Фиников С. П. Проективно дифференциальная геометрия.- М.-Л.: ОНТИ, 1937. 263 с.

169. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии.- М.-Л.: ГИТ-ТЛ, 1948.-432 с.

170. Фиников С. П. Теория конгруэнций.- М.-Л.: ГИТ-ТЛ, 1950. 528 с.

171. Фиников С. П. Теория пар конгруэнций.- М.-Л.: ГИТ-ТЛ, 1956. 443 с.

172. Фиников С. П. Две проблемы современной дифференциальной геометрии // Вестн. МГУ, Сер. физ.-мат. и естест. н.- 1953. Вып. 4, №. 6, — С.3−14.

173. Хасин Г. Б. Трёхпараметрические семейства двумерных плоскостей в четырёхмерном проективном пространстве // Изв. вузов. Мат.- 1974. № 6, С. 80−90.

174. Ходж В., Пидо Д. Методы алгебраической геометрии: В 2 т. Пер. с англ.- М.: Изд-во ИЛ, 1954. Т. 1.-461 с.

175. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ: Пер. с англ.-М.: Мир, 1989.-655 с.

176. Чакмазян А. В. Нормализованное по Нордену подмногообразие с параллельным полем нормальных направлений в Рп II Докл. АН СССР.-1977. Т. 236, № 4.-С. 816−819.

177. Чупахин Н. П. /^-отображения на псевдоконгруэнции плоскостей в Рв // Геометрич. сб. / Томск, гос. ун-т.- Томск, 1989. Вып. 30. С.-61−75.

178. Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии.- М.: Наука, 1972.567 с.

179. Шевченко Ю. И. Об оснащении Картана // Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат.сб. научн. тр. / Калинингр. ун-т.-1994.-Вып. 14. С. 107−110.

180. Шевченко Ю. И. Связности голономных и неголономных многообразий // Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат.сб. научн. тр. / Калинингр. ун-т.- 1994.-Вып. 25. С. 110−121.

181. Шиллеров А. Е. К теории неголономных поверхностей в трёхмерном проективном пространстве // Геометрич. сб. / Томск, гос. ун-т.-Томск, 1968.-Вып. 7.-С.-102−113.

182. Широков А. П. Структуры на дифференцируемых многообразиях // Алгебра. Топология. Геометрия. 1967 (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР).- М.: ВИНИТИ, 1969. С. 127−188.

183. Широков А. П. Структуры на дифференцируемых многообразиях // Алгебра. Топология. Геометрия. (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР).-М.: ВИНИТИ, 1974, — 'Г. 11. С. 153−207.

184. Широков П. А. Тензорное исчисление: Алгебра тензоров.-2-е изд. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1961.-447 с.

185. Щербаков Н. Р. Об одном 1-псевдофокальном 3-семействе 2-плос-костей в проективном пространстве // Геометрич. сб. / Томск, гос. ун-т.-Томск, 1976.-Вып. 17.-С.-47−58.

186. Щербаков Р. Н. Линейчатая дифференциальная геометрия трёхмерных пространств // Алгебра. Топологи. Геометрия. 1965. (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР).- М., 1967. С. 265−321.

187. Щербаков Р. Н. Двадцать «Геометрических сборников» (библиографическая справка) // Геометрич. сб. / Томск, гос. ун-т.-Томск, 1980.-Вып. 21.-С.-79−90.

188. Щербаков Р. Н., Рахула М. О. К эквиаффинной теории неголономного многообразия // Геометрич. сб. / Томск, гос. ун-т.-Томск, 1962. Вып. 1.-С.-82−89.

189. Akivis М. A., Goldberg V. V. Projective differential geometry of submani-folds.- Amsterdam ets.: N.-Holl., 1993. XII+362 p.

190. Bertini E. Einfurung in die projektive Geometrie mehrdimengionaler Raume.- Wien: Seidel, 1924.

191. Blaschke W. Sulla geometria proietivo differenziale delle Supperficie S2 nello spazio S4 //Ann. di Mat., Ser. IV, T. 28, 1949, P. 205−209.

192. Bol G. Projective Differentialgeometrie.-I. Teil.-GOtingen, 1950.-VII+365- II. Teil.-GOtingen, 1954.-V+372 S.

193. Bortolotti E. Connessioni nelle varietaluogo di spaziapplicazione alia geometria metrica delle congruenze di rette. // Rend. Semin. Fac. Sci. Univ.Cagliari.-1933, — 3.-S. 81−89.

194. Cartan E. Sur la deformaion projective des surfaces // Ann. de TEcole Nor-male Sup., Ser. 3.-1920. Т. 37.-P. 259−356.

195. Cartan E. Sur les varietes a connecxon affine de la relativite generalisee // Ann. de l’Ecole Normale Sup., Ser. 3.-1923. T. 40, — P. 325−412- 1924. T. 41. P. 125- 1925.-T. 42. P. 17−88.

196. Cartan E. Sur les varietes a' connecxon projective // Bull. Soc. math. France, Т. 52, 1924, — P. 205−241.

197. Cartan E. La Шёопе des groupes et la geometrie // L’Enseignement mathe-matique.- 1927.-P. 200−225.

198. Картан Эли. Избранные труды: Пер. с франц. М. А. ВасильевойПод ред. А. Б. Сосинского.- М.: МЦНМО, 1998. 391 с.

199. Cartan Е. Les espaces a' connecxon projective // Тр. семинара по векторн. и тензорн. анализу.-1937.-Вып.4.-С. 147−159.

200. Casanova. La notion de pole harmonique // Rev. math. spec.-1955.-T. 65, № 6. P. 437−440.

201. Cayly A. A sixth memoir upon quantics // Phil. Trans. Roy. Soc.- London, 1859.-T. 149.-P. 61−70.

202. Dombrowski P. Differentialgeometrie -150 Jahre nach den «Disquisitiones generates circa superficies curvas» von Carl Friedrich Gaus // Abh. Braunschweig. Wiss. Ges.-1977. № 27. S. 63−102.

203. Ehresman C. Les connexions infinitesimales dans un espace fibre differenti-able // Colloque deTopologie.-Bruxelles.-1950. P. 29−55.

204. Finsler P. Uber Kurven und Flachen in allgemeinen Raumen.- Gottingen, 1918. (Diss.).

205. Fubini G., Cech E. Geometria Proiettiva Differenziale.-En 2 vol.-Bologna: Zarichelli, 1926 et 1927.-794 p.

206. Galvani O. La realisation des connexsions pounctuelles affmeset la geometrie des groupes de Lie // J. math. Pures et appl.- 1946. T. 25, — P. 209−239.

207. Green C. Memoir on the general theory of surfaces and rectilinear congruences//Transact. of Amer. Math. Soc., 1919, T. 20, P. 79−153.

208. Halphen G. H. a) Sur les invariants differentiells. These.-Paris, 1878. Oeuvres II.- P. 197 57- b) Sur les invariants differentiells des courbes//Jornal de l’Ecole Polytech.-1880.-T. 28. Oeuvres II.-P. 353−441.

209. Hlavaty V. Espaces de Konig // Тр. семинара по векторн. и тензорн. анализу.-1937.-Вып.1У.-С. 112−118. (Первая Международная конф. по тензорной дифференциальной геометрии и её приложениям, М., 17.52 305.1939, — М.-Л.: ОНТИ, 1937).

210. Klein F. Uber die sogennante nicht-euklidische Geometrie // Math. An-nalen,.- Leipzig.-1873, — T. 6. S. 112−145.

211. Klingenberg W. Uber Eisspanungsproblem in der projective und affinen Dif-ferentialgeometrie // Math. Z.-1952. T. 55, № 1. S. 321−345.

212. Kobayashi Sh. Theory of Connections //Ann. mat. pura ed appl.-1957.-T. 43.-P. 119−194.

213. Konig R. Beitrage zu einer allgemeiner Mannigfaltigkeitslehre // Jaresb. d. Deutsch. Math. Ver.-1920. T. 28. S. 213−228.

214. Levi-Civita T. Nozioni di parallelizmo in una varieta qualunque e consequete specificazione geometrica della curvature Riemanniana // Rend. circ. matem.-Palermo, 1917. T. 42. S. 173−205.

215. Levi-Civita T. Der absolute Differentialkalkul und siene Anwendungen in Geometrie und Phisik.- Berlin: Springerverlag, 1928.-XI+310 S.

216. MihaiIescu T. Geometrie differenziala proiectiva.-Bucuresti, 1958.-494 p.

217. Riman B. Gesammelte Mathematische Werke.- Leipzig, 1872.-233.Schouten J. A. Der Ricci-Kalkul: Eine Einfuhrung in die neueren Methodenund Probleme der mehrdimensionalen Differentialgeometrie.- Berlin: Springer, 1924. -X+311 S.

218. Schouten J. A. Sur les connexions conformes et projectives de M. Carten et la connexion lineaire de merale de M. Konig // C. R. Acad. Sci.- 1924. T. 178. P. 2044;2046.

219. Schouten J. A. Erlanger Programm und Ubertragungslehre. Neue Gesi-chtspunkt zur Grundlegung der Geometrie // Rend, del Circ. Mat. Palermo.-1926.-T. 50.-S. 142.

220. Schouten J. A. Uber nicht-holonome Ubertragungen in einer Ln II Math. Zeitschrift- 1929.-Bd. 30. S. 149−172.

221. Schouten J. A., van Kampen E. R. Zur Einbettungsund Krummungstheorie nichtholonomer Gebilde // Math. Ann.-1930, — 103. S. 752−793.

222. Shafarevitch 1. R. Zum 150 Geburctag von Alfred Klebsch // Math. Ann.1983,-Bd. 266, H. 2, — S. 135−140.

223. Su Buchin. The general projective theory of curves.- Peking, 1958. 242 p.

224. Svec A. Sur les correcpodances entere deux espaces. Bibliographie // Comment. Math. Univ. Carolinae.- 1960.-T. 1, № 2. P. 23−37.

225. Svec A. Projective differential geometry of line congruences.- Prague, 1965.208 p.

226. Titeica Gh. Geometrie differenziala proiectiva a retelelor.-Bucuresti, 1956.285 p.

227. Thomas T. Y. Differential invariants of generalized spaces.- Cambridge, 1934.-X+241 p.

228. Vranceanu G. Les espaces non holonomes // Comptes rendus.-1926, november.

229. Vranceanu G. Raume mit projectivem Zusammenhang // Vranceanu G. Vor-lesungen uber Oifferentialgeometrie. Teil I., Kapitel VI.- Berlin, Akademie Verlag, 1961. S. 310−346.

230. Weyl H. Raum, Zeit, Materie: Vorlesungen tiber allgemeine Relativitattheo-rie.- 3. umgearb. Aufl.- Berlin: Verlag von Springer, 1919.-272 S.

231. Wilczynski E. I. Proejective differential geometry of curves and ruled surfaces.- Leipzig, 1906. VI11+298 p.

232. Wilczynski E. I. The general theory of congruences // Transact, of Amer. Math. Soc.- 1915,-T. 18, — P. 311−327.