Краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типов с нелокальными условиями сопряжения

В современной теории дифференциальных уравнений с частными производными важное место занимают исследования вырождающихся гиперболических уравнений, а так же уравнений смешанного типа. Интерес к этому классу уравнений объясняется как теоретической значимостью полученных результатов, так и их многочисленными приложениями в газовой и гидродинамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхности, в различных разделах механики сплошных сред и других областях знаний.

Основы этой теории заложены в известных работах Ф. Трикоми [69, 70], С. Геллерстедта [83], К. И. Бабенко [2,3], Ф. И. Франкля [79,80], М. А. Лаврентьева [39], A.B. Бицадзе [8,9]. Уравнения смешанного типа систематически стали изучаться с конца 40-х годов XX века, после того, как Ф. И. Франкль указал их приложения к проблемам околозвуковой и сверхзвуковой газовой динамики. Позже были найдены приложения этих уравнений в других разделах физики и механики. И. Н. Векуа указал приложения в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей безмоментной теории оболочек.

Теоретические основополагающие результаты принадлежат Ф. Трикоми, который поставил и решил первую граничную задачу для уравнения и С. Геллерстедту, который провел исследования для уравнения.

X + и* = «etf.

М.А. Лаврентьев, с целью упрощения исследований краевых задач для уравнений смешанного типа, предложил новую модель уравнений.

Uxx + S§ n У.

Исследования задачи Трикоми и ее обобщений для этого уравнения принадлежат A.B. Бицадзе. Теперь оно называется уравнением Лаврентьева-Бицадзе. A.B. Бицадзе впервые сформулировал принцип экстремума для задачи Трикоми. Позднее он был доказан и для других краевых задач для различных уравнений смешанного типа [58].

Одно из направлений современной теории дифференциальных уравнений с частными производными — постановка новых задач, как по краевым условиям, так и по условиям сопряжения, и поиск методов решения поставленных задач. В этом направлении во второй половине XX века появляются новые работы, среди которых можно отметить работы A.B. Бицадзе, A.A. Самарского [61], М. М. Смирнова [65,66], Ю. М. Крикунова [36], В.Ф. Волкода-вова [11], С. П. Пулькина [51,52], Е. И. Моисеева [41,42], К. Б. Сабитова [5760], А. И. Кожанова [33], В. И. Жегалова [27,28], A.M. Нахушева [43,44], P.C. Хайруллина [81,82], A.M. Ежова [26], O.A. Репина [54], J1.C. Пулькиной [53] и других.

В последних работах В. Ф. Волкодавова впервые исследуются краевые задачи для уравнений эллиптико-гиперболического типа, отличающихся от ранее рассматриваемых тем, что линия изменения типа является его характеристикой. В постановках задач условие сопряжения на линии изменения типа состоит в склеивании производной по нормали из области эллиптичности с производной дробного порядка или интегралом дробного порядка из области гиперболичности. Первые результаты в этом направлении опубликованы в статье В. Ф. Волкодавова и О. Ю. Наумова [18], где рассматривается краевая задача для уравнения.

0К + и&bdquo-. У>Ь.

Ы, У<0.

Уравнения такого типа встречаются в работах его учеников — O.K. Бы-стровой [14], И. А. Кузнецовой [37], И. Н. Родионовой, С. В. Бушкова [55] и других. Краевые задачи с подобными условиями сопряжения изучены в работе Ю. А. Плотниковой [47] для частных случаев уравнения гиперболического типа иv + а (х, у) их + Ъ{х, у) иу + с (х, у) и = О и уравнения смешанного типа.

0 = и +иЛи, v>0, X = const,.

XX УУ 7 * 7 7 и +Яи, у < 0.

H.A. Куликовой [38] изучены краевые задачи, условия сопряжения которых содержат производные дробного порядка, для уравнения ос.

Lu = urv ±и= 0, aeR, a⁰. Х + .У.

В работах В. Ф. Волкодавова, Е. А. Баровой [4,13] доказаны существование и единственность решений краевых задач для уравнения где так же на линии у = 0 сопрягаются производная по нормали с дробной производной.

Настоящая диссертационная работа, состоящая из трех глав, посвящена исследованию ряда краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типов, в постановке которых условие сопряжения содержит производные по нормали, интегралы и производные дробного порядка от искомой функции. Приведем краткое содержание каждой главы.

Первая глава посвящена решению краевых задач для уравнения.

Lu = < х.

—^-(их+иу) = 0, у <0,.

0).

0 <�",/?< ½, 0<1, рассматриваемого на множестве G = GJG+, ' где G = <-x

В § 1.1 для уравнения (1) в областях (? и С/+ в явном виде построены решения задач Коши-Гурса и Дарбу.

§ 1.2 содержит решение краевой задачи с граничными условиями второго рода для уравнения (1) в следующей постановке.

Задача N. Найти функцию и (х, у) со следующими свойствами:

1) еС (С);

2) и (х, у) — классическое решение уравнения (1) в областях б. и.

3) и (х, у) удовлетворяет краевым условиям Нт о (и, + и уу + х) а+/1 = у (х), х е (- /г, 0)? иуухТ*Р = (*)" хе (0, к), (2) где у (х), у+ (х) — заданные достаточно гладкие функции;

4) и (х, у) подчиняется условию сопряжения у) = ЬН+{у), у е (0,/г), (3) щеЬеЛ, Ьф О, у.

— X м,(х, у) — решение задачи Коши-Гурса для уравнения (1) в области с данными: щ{0,у)=<�р{у), уе[0,к], Уто (у + х) а+р (ии+и1}/)=0, хе (-И, 0), и2(х, у) — решение задачи Коши-Гурса для уравнения (1) в области с данными: и2(0,у)=0, у<=[0,Ь], т (у + х) а+13(и2х+и2у)=у (х), хе (-И, 0), у+х-нО У дг—>0+0.

У, ,.

И+(у)= 11 т [ [у2-/2) [М.М+ИЗЫ]^'2)' 0<Я<1, (4) у) — решение задачи Коши-Гурса для уравнения (1) в области с данными: у)=<�р{ууь[О"А], ш^(у-х)а+13{иии,&bdquo-)=0, хе (0,/г), а и2(х, у)~ решение задачи Коши-Гурса для уравнения (1) в области с данными: уе[0,И Пто (у-х)а'р{и2х-и2у)=у+(х), хе (0,к).

Задача N исследована следующим образом. Используя решения вспомогательных задач Коши-Гурса в областях 0 и найдены выражения для функций Ь (у) и к+(у). Принимая во внимание условие сопряжения (3), получаем:

1) в случае р = Я выражение для (р{у) в явном виде;

2) в случае рФ Я вопрос существования решения сводится к вопросу разрешимости уравнения Вольтерра второго рода относительно функции ц/{х): X у/(х) — к0 у/{8)К{х, = Р (х) 5 где у/{х) = х2р рх) +—(р{х) х.

Теорема 1. Функция К (х, я) непрерывна на множестве 0 < ^ < д: < Ъ), кроме линии б = х, где для нее справедлива оценка =>0•.

Теорема 2. Если функции у (х)еС-к, 0), кДх) еС'(0,/*) и абсолютно ь н сходятся интегралы? у'(-г)(к-г)'в'^г, ?у'+(г)(к-гуа~Дс1г, то о о.

Р (х) е С[0,Щ.

Единственность решения задачи N следует из однозначного характера построения решения в каждом из случаев. Справедливо следующее утверждение.

Теорема 3. Если функции удовлетворяют условиям теоремы 2, то существует единственное решение задачи N.

В §§ 1.3 — 1.4 для уравнения (1) решаются краевые задачи с граничными условиями первого рода и со смешанными граничными условиями в следующих постановках.

Задача й. Найти функцию и (х, у) со следующими свойствами:

1) и (х, у) е.

2) и (х, у) — классическое решение уравнения (1) в областях и С+;

3) и (х, у) удовлетворяет краевым условиям и (х,-х) = т (х), хе[-/г, 0], (5) и (х, х) = т+(х), хе[0,/г], где т{х), т+{х) — заданные достаточно гладкие функции, г (0) = г+(0);

4) и (х, у) подчиняется условию сопряжения (3), где у.

К (у)=ш [у1 0</7<1, (6).

— X их (х, у) — решение задачи Дарбу для уравнения (1) в области С с данными:

Щ (О, У) = (р{у), У е [О, И], щ (х,-х) = 0, ХЕ [—/2,0], а и2(х, у)~ решение задачи Дарбу для уравнения (1) в области о с данными: и2 (°> У) = У е Щ, и2 (х-х) = г (х), х е [—/2,0]- щ (х>У)~ решение задачи Дарбу для уравнения (1) в области (?+ с данными:

Щ У) = <�Р (У), У е [0, И, их О, х) = 0, х е [0, И, а и2{х, у)~ решение задачи Дарбу для уравнения (1) в области с данными: Щ (0^) = У е [0, А], Щ (х, х) = т+ (х), х е [0, А].

2) и{х, у) — классическое решение уравнения (1) в областях и.

3) и (х, у) удовлетворяет краевым условиям (2) и (5) — мул ой (6), а (у) — формулой (4).

Исследования задач И и DN проводятся аналогично решению задачи N, но в случае задачи В используются решения вспомогательных задач Дарбу в областях ав случае задачи /Ж — решение задачи Дарбу в области С и решение задачи Коши-Гурса в области С+.

Для обеих поставленных краевых задач доказаны теоремы существования и единственности решения. Приведем, например, теорему существования и единственности решения задачи ?>.

Теорема 4. Если г+(х)е С[0,/г]пС'(0,/г), г (0) = г+(0) = 0 и сходятся абсолютно |г'(-г)(/2 -г)1″ ^1^, г' (г)(И — с1г, то существует единственное решение задачи Б.

Во второй главе рассматриваются две краевые задачи для уравнения смешанного типа.

4) и (х, у) подчиняется условию сопряжения (3), где к (у) задана форихх+иуу+'их+—=°> .У>0>

2 р

Ьи = • У.

7).

0<2р<1, 0<2#<1, на множестве D = D U D+, D = {(x, у) | -1 < -x < у < О}, D+ - область, ограниченная гладкой кривой Г, лежащей в первой четверти, с концами в точках Л (1,0) и 5(0,l), и отрезками О, А и OB, 0(0,0).

В § 2.1 приводятся постановка задачи Vx и доказательство единственности ее решения.

Задача Vv Найти функцию и (х, у), удовлетворяющую следующим условиям:

1) и (х, у) е С (р) П С1 (D) п С2 (Д.), uxy е С (D);

2) u{x, y) — классическое решение уравнения (7) в областях D и D+;

3) u{x, y) удовлетворяет граничным условиям: и|г = (p{s), se[u, i], (8) t — длина кривой Г, s — длина дуги кривой Г, отсчитываемая отточки А,.

Й^Ч^оМ*^е (ОД), (9) u (x,-x) = w (x), X? [0,1], p{s), w (x), v0 (у) — заданные достаточно гладкие функции,.

4) и{х, у) подчиняется условию сопряжения v+(x)=^(x), xe (0,l), (10) где у+(х)=Ыу24 иу, (11).

V (x)=-^] (х2 -i2)" ^,(i, 0)42)+)(х2-t2)-(x-t)d{t2), 0<Я<1, ах о о и (^.у) ~ решение задачи Дарбу для уравнения (7) в области D с данными и, (х, 0) = г (х), х е [0,1], (х,-х) = 0, х е [0,1], и2{х, у) — решение задачи Дарбу для уравнения (7) в области D с данными и2 (х, 0) = 0, х е [0,1], и2 (х,—х) = w (x), х е [0,1].

Установлен характеристический принцип локального экстремума для уравнения (7) в области Д. в следующей постановке.

Лемма 1. Пусть функция и (х, у) е С (/)) и является решением уравнения (7) в области ?) — и{х-х) = 0. Тогда, если и (х, 0) = т (х)на сегменте [0,1] достигает наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения в точке (х0,0), 0 < х0 < 1, то.

К (х0)>0(<0).

Теорема 5. Если существует решение задачи Ух, то оно единственно.

Справедливость данного утверждения устанавливается с помощью рассмотренного принципа локального экстремума и леммы Бабенко.

В § 2.2 доказывается существование решения поставленной задачи в случае, когда А,. ограничена кривой Го: х2 + у2 = 1 и р = д .В области А, используется решение краевой задачи с данными (8), (9) и (11), полученное в работе [11]. С учетом условия сопряжения (10), вопрос существования решения задачи У1 эквивалентно редуцируется к вопросу разрешимости интегрального уравнения Фредгольма второго рода 1 т'(х) = |г'ОЖО, ¿-)ск + <2(х 0 < X < 1. (12) о.

Теорема 6. Если Я + 2р <, то функция К (х, я) является непрерывной в квадрате [0,1- 0,1], кроме линий б = х, х = 1, где для нее справедлива оценка:

С, С.

1-*)2'(1-«)4 где С-здесь и в дальнейшем положительные постоянные.

Теорема 7. Если м{дг)бС[0,1]пС'(0,1), х2Нч>'(х)е ЦОД, у0(у)еС[0,1)п![0,1] и имеет представление У0{у) = уг>Уо{у), где.

Уо (у) е С[0,1) п ф, 1], г]> + 2рср{х) е С[0,1] и (р{х) имеет представление р (х) = (l-х)'2%(х), где <�р0(х)е С[ОД], г2> ½/ Л + 2р < 1, то Q (x) g С[0Д) п ЦОД].

В силу теоремы единственности решения задачи V] и альтернативы Фредгольма, интегральное уравнение (12) разрешимо в классе функций С[0Д) п ЦОД] и притом единственным образом. Доказана следующая теорема существования и единственности решения задачи V^.

Теорема 8. Если Г = Г0: у = V 1-х2,хg[ОД], p = q, Х + 2р<, функции w (x), vQ{y), (р0{х) удовлетворяют условиям теоремы 7, то существует единственное решение задачи У.

В §§ 2.3 — 2.5 аналогичным образом исследуется задача V2 в следующей постановке.

Задача V2. Найти функцию и{х, у) со следующими свойствами:

1) и (х, у) е С (5)П С" (Д.) п C2(D+), иху е C (D);

2) м (х,.у) — классическое решение уравнения (7) в областях D и D+;

3) и (х, у) удовлетворяет краевым условиям (8), (9) и где ^(s), f (y), и0(у) — заданные достаточно гладкие функции, <р (0) = /(0);

4) и (х, у) подчиняется условию сопряжения (10), где функция v+(x) задана формулой (11), а у (х) =—} 0) fifr + J (t-x)'xu2(x,-t)dt, 0<Я<1, dx* * и,(х,.у) — решение задачи Гурса для уравнения (7) в области d с данными и,(х, 0) = г (х), х е [ОД], щ (1,у) = 0, уе[-1,0], а и2 {х, у)~ решение задачи Гурса для уравнения (7) в области d с данными и2(х, 0) = 0, х е[ОД], иг{, у) = Ду), уе[-1,0].

Единственность решения задачи V2 доказывается с применением принципа локального экстремума.

Доказательство существования проводится при следующих условиях: f[y) = 0, Г=Г0: х2 + у2 = 1, х, у> 0 и р = q. Вопрос существования решения задачи эквивалентно редуцируется к вопросу однозначной разрешимости интегрального уравнения вида (12) с интегрируемым ядром и непрерывным свободным членом. Разрешимость полученного уравнения следует из теоремы единственности поставленной задачи. Имеет место следующее утверждение.

Теорема 9. Если Г = Г0: у = у1-х2, хе[о,], p = q, f (y)= О, vo (y)eC[0,l)nZ,[0,l] и v0(j) имеет представление у0(у)=уг'уо (у), где Vo (у) е С[0,1) nl[o, l], г, > 1 + 2рср (х) е С[0,1] и (р{х) имеет представление (р{х) = (l-х)'2(рй (х), где ср0(х)еС[0,1], r2 > 1 /2- Л + 2р<, то существует единственное решение задачи V2.

Отметим, что интересные результаты по исследованию задач для уравнения (7) при p = q = 0 были получены в работах В. Ф. Волкодавова, O.K. Бы-стровой [14], Е. И. Томиной [68], JI.A. Игнаткиной [29].

Третья глава посвящена решению краевой задачи для уравнения смешанного типа.

Lu =.

2я uxx+u+—ux+~u=u, у> О, х у иху±и =0,у<0, X.

13).

0<2р<, 0<2q<, на множестве D = D и D+, где D = D~ u D?, Df — область, ограниченная прямыми x + >> = 0, j> = 0, JC = l/2- - область, ограниченная прямыми х-у = 1, у = 0, х = ½- Д. — область, введенная выше.

Задача БЫ. Найти функцию и{х, у) со следующими свойствами:

1) и{х, у)?Сф)ПСхф)слС2(В+), иху еС (0У,.

2) и (х, у) — классическое решение уравнения (13) на ?);

3) и{х, у) удовлетворяет краевым условиям (8), (9) и хе [0,½], (14) м (х, х-1) = я (^), хе[½, 1], (15) где и{х), g (x) — заданные достаточно гладкие функции, к (½)=я (½), 8()=т;

4) и (х, у) подчиняется условию сопряжения хе (½, 1), где функция 1/+(х) задана формулой (11), а.

У-(х) =) (х-()~ли (х, ч) Ж, 0 < Я < 1, о.

V-(х) = - х)~х и (х, I —, X и (х, у) — решения задач Дарбу для уравнения (13) в областях Ц" ий2″ с данными (14), н (х, 0)= г,(х), хе[0,½] и (15), и (х, 0) = т2(х), хе[½, 1] соответственно.

Исходя из представлений функций У^ (х)^ (х) доказаны следующие принципы локального экстремума.

Лемма 2. Пусть функция и{х, у) е. с[р) и является решением уравнения (13) в области и (х,-х) = 0. Тогда, если ¿-¿-(х, 0) = г, (х) на [0/½] достигает наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения в точке (х0,О), 0 < х0 < ½, то.

КГ (х0)> 0(<0).

Лемма 3. Пусть функция м (х,^)ес (1)2″) и является решением уравнения (13) в области ?>2~- и (х, л:-1)=0. Тогда, если и (х, 0) = т2(х) на [½, 1] достигает наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения в точке (я:0,0), /2<х0<, то.

У2-(х0)>0(<0).

На основании лемм 2 и 3 установлен принцип экстремума для уравнения (13) в области Д.

Лемма 4. Пусть и (х, у) е С (Д) п С2 (Д), Ьи = 0 в ?)+, и (х, х-) = и (х,-х) = 0. Тогда, если тзхи (х, у) = и (О)>0 (тти (х, у) = и ((?)<()), то максимум (минимум) достигается на кривой Г.

Теорема 10. Если существует решение задачи йЫ, то оно единственно.

Существование решения задачи /Ж рассматривается в случае, когда Г = Г0: х2 + у2 = 1, х > 0,.у > 0, (р{й) = 0, и оно эквивалентно сводится к вопросу разрешимости интегрального уравнения Фредгольма второго рода.

½ г,(*)=/г,($)?(*,*)Ж+ б (*), 0<х<½. (16) о.

Теорема 11. Если, А + 2р<1, Д + 2д<1, р + д<½, то функция непрерывна в квадрате [0,½- 0,½], кроме линий 5 = х и х = ½, где для нее справедлива оценка.

I К (х, 5)1 <-&—+.

1 ^ {l2-xfil2-sY Ьс-/?

Теорема 12. Если уоО-)еС (0,1), у-1рУй{у)еЬ[0,1], С (0,½),.

Мх)(12-хУгч еЦОД/2], я (х)еС (½, 1), я (х)(х-½)-2? е ?[½, 1],.

½ 1/2 Л + < 1, то еС[0,½]. о о.

В силу теоремы единственности решения задачи /Ж и альтернативы Фредгольма, интегральное уравнение (16) разрешимо и притом единственным образом в классе функций С[0,½].

Теорема 13. Если Г = Г0: х2 + у2 = 1, х > 0, у > 0, = 0, функции у0(у), g (x), м>(х), удовлетворяют условиям теоремы 12, А + 2р < 1, Л. + < 1, р + д< ½, то существует единственное решение задачи ОЫ.

Таким образом, автором на защиту выносятся следующие основные результаты.

1. Доказательство характеристических принципов локального экстремума для уравнений гиперболического типа.

2. Доказательство теоремы существования и единственности решения краевых задач для гиперболического уравнения с сингулярными коэффициентами с граничными условиями I, II рода, а так же со смешанными граничными условиями.

3. Доказательство теорем существования и единственности решения краевых задач для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом и характеристической линией изменения типа.

4. Доказательство теоремы существования и единственности решения краевой задачи для уравнения смешанного типа с характеристической линией изменения типа и со смешанными краевыми условиями на всей границе области.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [22],[23], [71] - [77]. В работах [22], [23] соавтору Волкодавову В. Ф. принадлежат постановки задач.

Результаты диссертационной работы докладывались автором и обсуждались:

1) на областном семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством доктора физико-математических наук, профессора Волкодавова В. Ф. (г. Самара, СамГПУ, 2001 — 2005гг.);

2) на 56-ой, 57-ой научных конференциях СамГПУ (г. Самара, 2002, 2003 гг.);

3) на международной научной конференции «Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы» (г. Стерлитамак, 24 — 28 июня 2003г);

4) на международной научной конференции «Дифференциальные и интегральные уравнения с сингулярными коэффициентами» (г. Душанбе, 25 -28 октября 2003 г.);

5) на Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 1 — 3 июня 2005г);

6) на научно-технической конференции сотрудников СамГАСУ, но итогам НИР (г. Самара, 2006,2007 гг.);

7) на научных семинарах кафедры математического анализа (научные руководители: д.ф.-м.н., профессор К. Б. Сабитов и д.ф.-м.н., профессор И. А. Калиев, март 2007 г.) и кафедры теоретической физики (научный руководитель: д.т.н., профессор А. И. Филиппов, апрель 2007 г.) Стерлитамакской государственной педагогической академии;

8) на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Башкирского государственного университета (научный руководитель: д.ф.-м.н., профессор Я. Т. Султанаев, апрель 2007 г.).

1. Андреев, A.A. О двух краевых задачах для одного гиперболического уравнения / A.A. Андреев, В. Ф. Волкодавов // Волжский математический сборник. — 1973. — Вып. 23. — С. 102 — 111.

2. Бабенко, К.И. К теории уравнений смешанного типа / К. И. Бабенко // Успехи математических наук. 1953. — Т. 8. — № 2. — С. 160.

3. Бабенко, К.И. О принципе максимума для уравнения Эйлера Дарбу / К. И. Бабенко // Докл. АН СССР. — 1985. — Т. 285. — № 4. — С. 777 — 782.

4. Барова, Е. А. Задача V. для уравнения смешанного типа, вырождающегося в области гиперболичности в одной точке / Е. А. Барова // Вестник СГТУ. Серия «Физико-математические науки». Самара, 2003. — Вып. 22.-С. 223−224.

5. Барова, Е. А. Краевые задачи для уравнений смешанного типа со специальными условиями сопряжения. Автореф. дисс.. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Е. А. Барова. -Казань: КГУ, 2007. 16 с.

6. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функция Лежандра. / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. М.: Наука, 1965.-296 с.

7. Берс, Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. / JI. Берс. -М.: ИЛ, 1961. 208 с.

8. Бицадзе, A.B. К проблеме уравнений смешанного типа. Дисс.. д-ра физ.-мат. наук: 01.01.02 / А. В. Бицадзе. М., 1951. — 204 с.

9. Бицадзе, A.B. Уравнения смешанного типа. / A.B. Бицадзе. -М.: Изд-во АН СССР, 1959.-164 с.

10. Волкодавов, В. Ф. Метод Римана-Адамара для уравнения Эйлера Дарбу и его применение. / В. Ф. Волкодавов, В. Е. Жуков. — Самара: СГПУ, 2002.-32 с.

11. Волкодавов, В. Ф. Таблицы функций Римана и Римана-Адамара для некоторых дифференциальных уравнений в n-мерных евклидовых пространствах. / В. Ф. Волкодавов, В. Н. Захаров. Самара: СГПУ, 1994. -32 с.

12. Волкодавов, В. Ф. Единственность решения задачи Т для одного уравнения смешанного типа / В. Ф. Волкодавов, Ю. А. Илюшина // Труды международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения». Самара: Изд-во СГАСА, 2002. — С. 152 — 155.

13. Волкодавов, В. Ф. Для уравнения смешанного типа единственность решения задачи Т с сопряжением производной по нормали с дробнойпроизводной / В. Ф. Волкодавов, Ю. А. Илюшина // Известия вузов. Математика. 2003. — № 9. — С. 6 — 9.

14. Волкодавов, В. Ф. Для уравнения смешанного типа задача Т с сопряжением специального вида / В. Ф. Волкодавов, О. Ю. Наумов // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: Изд-во Института математики СО РАН, 2002. — С. 41 — 49.

15. Волкодавов, В. Ф. Краевые задачи для уравнения Эйлера ПуассонаДарбу. / В. Ф. Волкодавов, Н. Я. Николаев. — Куйбышев: КГПИ, 1984. -80 с.

16. Гордеев, A.M. Некоторые краевые задачи для обобщенного уравнения Эйлера Пуассона — Дарбу / A.M. Гордеев // Волжский математический сборник. — 1968. — Вып. 6. — С. 56 — 61.

17. Жегалов, В.И. О случаях разрешимости гиперболических уравнений в квадратурах / В. И. Жегалов // Известия вузов. Математика. 2004. -№ 7. — С. 47−52.

18. Игнаткина, JI.A. Единственность решения задачи Т для уравнения смешанного типа / JI.A. Игнаткина // Труды международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения». Самара: Изд-во СГАСА, 2002. — С. 271 — 274.

19. Кожанов, А. И. Параболические уравнения с неизвестным коэффициентом, зависящим от времени / А. И. Кожанов // Журнал вычислительнойматематики и математической физики. 2005. — Т. 45. — № 12 — С. 2168 -2184.

20. Кошляков, Н. С. Основные дифференциальные уравнения математической физики. / Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов. М.: ГИФ-МЛ, 1962.-768 с.

21. Краснов, M.JI. Интегральные уравнения. / M. J1. Краснов. М.: Наука. -1975.-304с.

22. Крикунов, Ю. М. Краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа. / Ю. М. Крикунов. Казань: Издательство Казанского государственного университета, 1968. — 148 с.

23. Кузнецова, H.A. Постановка задачи К2 и единственность ее решения / И. А. Кузнецова // Труды 2-й всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи».- Самара: Изд-во СГТУ, 2005.-С. 146−148.

24. Куликова, H.A. Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнений гиперболического типа с вырождением в одной точке. Автореф. дисс.. канд. физ.-мат. наук:01.01.02 / H.A. Куликова. Стерлитамак: СГПА, 2006. — 14 с.

25. Лаврентьев, М.А. К проблеме уравнений смешанного типа / М. А. Лаврентьев, A.B. Бицадзе // ДАН СССР. 1950. — Т. 70. — № з. с. 373 -376.

26. Петровский, КГ. Лекции об уравнениях с частными производными. / И. Г. Петровский. М.: Физматгиз, 1961. — 400 с.

27. Плотникова, Ю. А. Краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типов со специальными условиями сопряжения: Автореф. дисс.. канд. физ.-мат. наук:01.01.02 /Ю.А. Плотникова. Стерлита-мак: СГПА, 2005.-14 с.

28. Полянин, А. Д. Справочник по интегральным уравнениям. / А. Д. Полянин, A.B. Манжиров. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 608 с.

29. Привалов, И. И. Интегральные уравнения. / И. И. Привалов. М.: Гос-техиздат, 1937. — 248 с.

30. Прудников, А. П. Интегралы и ряды. Специальные функции. / А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев. -М.: Наука, 1983. 752 с.

31. Родионова, И. Н. Задача Дирихле для обобщенного уравнения Трикоми / И. Н. Родионова, C.B. Бушков // Труды 2-й всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». -Самара: Изд-во СГТУ, 2005. С. 195 — 198.

32. Сабитов, К.Б. О принципе максимума для уравнений смешанного типа / К. Б. Сабитов // Дифференциальные уравнения. -1988. Т. 24. — № 11. -С. 1967;1976.

33. Сабитов, К.Б. К теории уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения / К. Б. Сабитов, A.A. Карамова, Г. Г. Шарафутдинова // Известия вузов. Математика. 1999. — № 11. — С. 70 — 80.

34. Смирнов, В. И. Курс высшей математики. / В. И. Смирнов. М-Л.:ГИТТЛ, 1950. — Т. IV. — 312 с.

35. Смирное, М. М. Уравнения смешанного типа. / М. М. Смирнов. М.: Высшая школа, 1985. — 304 с.

36. Смирное, М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. / М. М. Смирнов. М.: Наука, 1970. — 295 с.

37. Трикоми, Ф. О линейных уравнениях в частных производных смешанного типа. /Ф. Трикоми. М.: ИЛ, 1947. — 192 с.

38. Трикоми, Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. / Ф.Трикоми. М.: ИЛ, 1957. — 192 с.

39. А. Фадеева, О. В. Для уравнения гиперболического типа задача Е с сопряжением интегралов дробного порядка / О. В. Фадеева // Вестник СГТУ. Серия «Физико-математические науки». Самара, 2003. — Выпуск 22. С. 225−227.

40. Фихтенголъц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. / Г. М. Фихтенгольц. В 3-х т. — 8-е изд. — М.:ФИЗМАТЛИТ, 2001.

41. Хайруллин Р. С. Задача Трикоми в классе функций, неограниченных на характеристике / P.C. Хайруллин, Г. Н. Аглямзянова // Известия вузов. Математика. 2004. — № 4. — С. 3 — 7.

42. Gellersiedt, S. Sur un probleme aux limites pour une equation lineare aux derivees partielles du second order de type mixte. These pour le doktorat. / S. Gellerstedt.- Uppsala, 1935. 92 p.

.