Математическая модель продажи одиночного товара нетерпеливым продавцом

Актуальность работы.

Проблема продажи дорогостоящих товаров длительного пользования (объекты недвижимости, транспортные средства и др.) всегда существует в современном обществе. Однако зачастую владелец этого товара не может заранее определить ту цену, которую он может выручить за свой товар, даже несмотря на рекомендации экспертов. Кроме того, часто бывает, что продавец товара ограничен во времени (например, он куда-то уезжает) или ему срочно нужны денежные средства, которые он рассчитывает выручить от продажи товара. В такой ситуации ему приходится постепенно снижать цену на свой товар, чтобы продать его с наименьшими для него потерями. Возникает проблема «нетерпеливого продавца», который стоит перед противоречием: с одной стороны, продать свой товар побыстрее, а с другой — выручить за него как можно больше денег.

Подобные ситуации относятся к так называемой теории микроструктуры рынка, в которой рассматриваются процессы изменения цены с учетом нетерпеливости как продавцов, так и покупателей. Однако эта теория разработана в настоящее время для фондовых рынков, где ведется продажа акций и других финансовых активов. Поэтому разработка и исследование математических моделей процесса изменения цены при продаже нетерпеливым продавцом одиночного товара становятся интересными и актуальными.

Состояние проблемы.

Наиболее близкими к тематике данного исследования являются работы по управлению запасами и по так называемой микроструктуре рынка, которая начала интенсивно развиваться в последнее десятилетие.

Теория управления запасами [3, 31−40] является в настоящее время подробно разработанным разделом экономико-математических моделей. В ней рассмотрены подходы к оптимизации работы складов, которые являются атрибутом очень большого числа экономических объектов. Исследованы самые разнообразные модели, отличающиеся по виду запасов, структуре системы хранения, способу контроля уровня запасов, структуре запасов. Разнообразны также и математические модели управления запасами: статические и динамические, детерминированные и стохастические, стационарные и нестационарные, замкнутые и разомкнутые по спросу, со случайными поставками и временем поставок и т. д.

Однако в данных работах основным является учет потерь на хранение запасов на складах, а также учет потерь от переполнения и опустошения склада. К процессу торговли это не имеет непосредственного отношения, так как в торговле совершенно другие критерии оптимальности — получение максимальной выгоды в единицу времени, возможность регулировать спрос, изменяя розничную цену, ограничения на время продажи партии товара (скоропортящиеся товары должны быть проданы в строго определенный промежуток времени), ухудшение потребительских свойств товара с течением времени и т. д.

Основная идея работ по микроструктуре рынка [46−61] состоит в следующем. Имеется классическая теория ценообразования, которая излагается во всех учебниках по микроэкономике и которая построена на основании соотношений спрос-цена и производство-цена. Эти зависимости определяют так называемую равновесную цену, то есть ту цену, по которой продается товар в состоянии равновесия рынка.

Однако этой равновесной цены еще надо достичь. Поэтому имеется целый ряд моделей [25, 41−45] (паутинообразная модель, модель с прогнозированием цены, модель с учетом складов), в которых описывается процесс достижения равновесной цены. Но эти модели не имеют практического применения.

Процесс установления цены, не имеющий большого значения для товарных рынков, играет существенную роль для фондовых рынков, которым свойственно быстрое изменение цен и спекулятивный характер использования этих изменений. Именно для этих рынков и предлагаются различные модели изменения цены со временем, которые могут быть использованы на практике для краткосрочного прогноза цен финансовых активов. В этих моделях учитываются такие факторы, как:

— стремление продавца поскорее продать свои активы, а покупателя — купить нужный ему актив;

— наличие активных и неактивных участников рынка;

— различие в информации, которой обладают участники рынка, в частности наличие инсайдерской информации;

— возможность обучения участников торгов в процессе функционирования фондового рынка.

По-видимому, данную работу также можно отнести к теории микроструктуры рынка, только не фондового, а товарного, так как процесс торговли, изменения цены товара в зависимости от времени и количества товара, имеющегося в наличии, есть также микроструктура рынка.

Таким образом, данная работа имеет следующие особенности, отличающие ее от работ по управлению запасами и работ по микроструктуре рынка:

1. Покупатель продает одиночный товар большой стоимости. Он не является профессиональным торговцем, поэтому не имеет или почти не имеет опыта продажи подобного рода товаров.

2. Рассматривается не фондовый, а товарный рынок. В отличие от фондового рынка, где совершается очень много сделок и где, как правило, игроки достаточно хорошо знают друг друга, на товарном рынке, где продаются одиночные товары большой стоимости (недвижимость, транспорт и т. д.), продавец и покупатель практически ничего друг о друге не знают и об инсайдерской информации не идет и речи.

Цель работы.

При выполнении данной работы ставилась цель разработать математическую модель постепенного снижения цены на продаваемый одиночный товар нетерпеливым покупателем и рассчитать основные характеристики этой модели, а также построить математическую модель рынка нетерпеливых продавцов и найти ее основные характеристики.

Методика исследования.

При решении поставленных задач использовались методы теории вероятностей и теории случайных процессов. При построении и исследовании модели рынка нетерпеливых продавцов использовались методы теории массового обслуживания.

Положения, выносимые на защиту. Автор выносит на защиту следующие научные результаты:

1. Четыре математические модели снижения цены нетерпеливым продавцом при продаже одиночного товара, а именно: а) модель с непрерывным изменением ценыб) модель со ступенчатым изменением цены, когда длительность фазы (периода времени, в течение которого цена остается постоянной) фиксированав) модель со ступенчатым изменением цены, когда длительность фазы определяется числом покупателей, отказавшихся от покупкиг) комбинированная модель.

2. Основные характеристики всех указанных выше моделей, а именно:

— распределение вероятностей номера фазы, на которой товар будет продан;

— плотность вероятностей цены, по которой товар будет продан (продажной цены);

— среднее время, проходящее между выставлением товара на продажу и моментом его покупки;

— плотность вероятностей времени, проходящего между выставлением товара на продажу и моментом его покупки;

— распределение вероятностей длительности фазы, на которой не было покупки и на которой покупка была совершена;

— оптимизационная задача на определение цены, по которой товар продается на каждой фазе, и численный алгоритм ее решения.

3. Модель рынка нетерпеливых продавцов в виде бесконечно линейной бесконечно фазной системы массового обслуживания, в которой каждая линия соответствует продавцу, а каждая фаза — цене, по которой продается товар. Поеле прохождения фазы продавец или покидает систему (товар продан), или переходит на следующую фазу (товар не продан, цена на него снижена).

Доказательство того факта, что распределение вероятностей числа продавцов, находящихся на какой-то фазе, является распределением Пуассона, и эти распределения независимы для разных фаз. Явный вид параметра распределения Пуассона и в ряде случаев, необходимые или достаточные условия существования стационарного режима в рассматриваемой системе.

Научная новизна работы.

К новым научным результатам автор относит следующее:

1. Предложенные математические модели изменения цены нетерпеливым продавцом.

2. Формулы, выражающие основные вероятностные характеристики рассматриваемых моделей.

3. Математическая модель рынка нетерпеливых продавцов и доказательство того факта, что распределение вероятностей числа продавцов, находящихся на каждой фазе, является распределением Пуассона и эти распределения независимы.

Теоретическое значение работы заключается в том, что предложенные в ней математические модели могут быть обобщены на случай нетерпеливых покупателей. На основании этих моделей может быть создана обобщенная модель рынка, на котором присутствуют и нетерпеливые покупатели, и нетерпеливые продавцы, взаимодействующие друг с другом.

Практическое значение работы заключается в том, что полученные в ней результаты могут быть полезны при эконометрическом исследовании рынка недвижимости, рынка транспортных средств и т. д.

Краткое изложение содержания работы.

Первая глава посвящена математической модели продажи товара нетерпеливым продавцом при непрерывном изменении цены. Эта модель имеет следующий вид: продавец меняет цену на свой товар непрерывно со временем. Через S (t) будем обозначать ту цену, за которую продавец готов продать свой товар в момент времени t. Будем предполагать, что S (t) строго монотонно убывает со временем от некоторой цены S0 = 5(0), так что уравнение S (t) = S можно однозначно разрешить относительно аргумента t, то есть получить соотношение t = t (S).

Что касается покупателей, то будем считать, что потенциальные покупатели образуют пуассоновский поток постоянной интенсивности X. Вступая в контакт с продавцом после ознакомления со свойствами продаваемого товара, покупатель приобретает его с вероятностью R (S), разумеется, зависящей от той цены, которую запрашивает продавец, и с вероятностью 1 — R (S) отказывается от покупки. Будем считать далее, что R (S) есть монотонно убывающая функция, так что с уменьшением запрашиваемой цены вероятность покупки возрастает. Кроме этого, будем считать, что существует некоторая минимальная цена Sm, так что R (Sm) = 1, то есть по этой цене товар покупается всегда. Соответственно этому будем считать, что Пт5(0 = Sm.

-" 00.

Будем называть цену, по которой товар будет продан, продажной ценой товара и обозначать ее как Se. Разумеется, что в рамках предлагаемой модели эта цена будет случайной величиной.

В п. 1.3 получены основные характеристики продажной цены. В частности, показано, что математическое ожидание продажной цены имеет вид т is S0 .So f S’n.

50) = 5w-exp| - J’g (x)dx + jVgMexp — Jg (x)c/x Sin.

V у dy,.

JO где g (S) = XR (S)/a (S) и a (S) =-dt t=t (S).

Второй начальный момент продажной цены имеет вид So. ^ So (So m2s (S0) = Slexp / а плотность вероятностей продажной цены — вид о о J0 '41.

— J, g (x)dx + jVgOOexp — g (x)dx.

V У dy, ps (Se) = 8(Se-Sm)exp.

So.

Jg (x)dx.

Л (So g (Se)ex p s," g{x)dx .

V л',.

В п. 1.4 рассмотрены характеристики длительности продажи товара. Показано, что:

— математическое ожидание длительности продажи товара имеет вид So) So 1 f s° ^ jg (x)dx + J—-exp — dy.

V Su J sma^y> у J.

N 1.

W/0So) = —exp.

— плотность вероятностей длительности продажи товара имеет вид f So ^.

Ж> =.

-^(ЭД)ехр g (x)dx 5(х) f So.

•ехр

— g{x)dx.

S'{ т), 0<т t (Sm). s",.

В п. 1.5 рассмотрена оптимизационная задача. Предполагается, что если товар будет продан в момент времени т, то продавец товара потерпит убыток, равный К{т). Так как продажная цена Se =5(т), то общий доход продавца от продажи товара равен.

Q = |(5(х) — Дт) ЯД (?(т))ехр — ]lR (S (t))dt dx.

О V о) и задача принимает вид О => max.

Эта задача решается методами вариационного исчисления. Показывается, что ее решение сводится к решению дифференциального уравнения первого порядка 2.

R (S (x))RS (x)) (Д'(5(т)))2 .

Sx)-XR2{S{X))-Кх) = О, — Д'(ЗД) в котором неизвестная постоянная интегрирования находится из условия.

В п. 1.6 рассмотрен иллюстративный пример на выведенные выше формулы, когда зависимость цены от времени имеет вид.

S (t) = S = Sm+(S0-Smyal, a R (S) равно так что R (Su) = 0 и R (Sm) =. Величина SKI имеет смысл той максимальной цены, по которой предлагаемый товар никто не покупает. Приведены результаты численных расчетов.

Во второй главе рассмотрена продажа товара нетерпеливым продавцом при ступенчатом изменении цены, когда длительность фазы фиксирована. Изучаемая математическая модель выглядит следующим образом: в момент начала продажи устанавливается цена, которую продавец держит в течение времени 7]. Если за это время товар не будет продан, то устанавливается цена S2, которая держится в течение времени Т2. Если за это время товар не будет продан, то устанавливается цена которая держится в течение времени Т2, и т. д.

Каждый такой период будем называть фазой. Итак, п-я фаза имеет длительность Тп и на ней устанавливается цена S". Поток покупателей считается пуассоновским потоком постоянной интенсивности X. На п-й фазе покупатель купит товар с вероятностью Rn = R{Sn), где R (S) — некоторая функция от цены S.

В п. 2.2 рассматривается распределение номера продажной фазы. Обозначим через Pj безусловную вероятность того, что при нахождении на 1-й фазе товар не будет куплен. Тогда показано, что Р, = e~y:i'R'. Пусть Qn есть вероятность того, что товар будет куплен на п-й фазе. Это означает, что он не будет куплен на фазах с номерами 1, 2, 3,., п-. Поэтому.

Qn = PAP,.PU-Pn) = f[Pri}-Pn), 1 где считается, что = 1. 1.

Теорема. Если = +оо, то с вероятностью 1 товар будет продан. i.

Если товар будет продан на п-й фазе, то продажная цена будет равна S". Поэтому продажная цена Se есть дискретная случайная величина, принимающая значения Sn с вероятностями Qn:

P{Se=Sn} = Qn, п = ^>. В п. 2.4 найдено среднее время до продажи товара. Показано, что оно имеет вид.

00 п-1 п=1 (=1 где ц1(х) = (-е~х)/х.

В п. 2.5 найдена плотность вероятностей длительности т продажи товара. Показано, что для участка.

Ti+T2+. + T^.

V /=I).

В п. 2.6 рассмотрен иллюстративный пример, когда R (S) имеет вид.

R (S) =.

Si — s S< — s", hi °m все Tj одинаковы и равны T, а закон изменения цены — вид что является обобщением экспоненциального убывания цены со временем. Полученные формулы иллюстрированы графиками.

В п. 2.7 рассмотрен случай, когда фазы имеют случайную длительность, так что длительность 7] /-й фазы есть случайная величина с функцией распределения В^Т). Безусловная вероятность Pt отсутствия покупки на /-й фазе равна в этом случае.

00 = e-XR'TdB,{T). о.

Вероятность Qn того, что товар будет куплен на п-й фазе, равна, как и выше, 1 что и определяет распределение вероятностей цены покупки.

P{Se=S"} = Q", и = 1Я В п. 2.8 найдено распределение вероятностей длительности пребывания на фазе при условии, что покупка произошла. Показано, что безусловная плотность вероятностей величины т в этом случае имеет вид ггМ Л Р &bdquo—ш °f dB (T) p (x) = XRe J XRTx 1 e.

В п. 2.9 найдена средняя длительность времени продажи товара. Она имеет вид.

СО /7−1.

1 /=1 где.

СО i|/,(АЛя)= е-}я" ЧВп{Т) + о.

В п. 2.10 найдено преобразование Лапласа от плотности вероятностей длительности времени продажи товара. Оно имеет вид да п-1.

G{q) = YX[№,{q)Y (}-P")-GM),.

7=1 /=1 где.

IP «1 -(Ч+Щ,)Т <*>

Сх (д) = -^-—ш^Вя (Т), Gj (q)= e~qT dBt{T). q + XR"i 1-е «.

XRT T, } еы" г -1 I J J о.

К сожалению, найти обратное преобразование Лапласа в общем виде без конкретизации функций Gt{q) не представляется возможным.

В п. 2Л1 рассмотрена задача на оптимизацию постановки цены на каждой фазе. Пусть Кп есть потери продавца, если товар будет продан на п-й фазе. Доход продавца — это цена, по которой продан товар. Поэтому математическое ожидание общего дохода продавца равно со п-1.

П= 1 /=1 и задача оптимизации имеет вид Ф шах. В работе показано, что последова.

S") тельность цен {Sn} удовлетворяет рекуррентному соотношению.

R (Sm)Tm j jхя (5'т+1)7'm+i Km + л Dr/C лт, ~~ ~ ^м+l л D//C '.

A K (bm)I" лК{Ьт+1)1т+1 которое может быть решено численно.

В третьей главе рассматривается случай ступенчатого изменения цены, но длительность фазы зависит от числа пришедших покупателей.

Пусть в момент начала продажи устанавливается цена. Продавец ждет, пока за товаром не обратится тх потенциальный покупатель. Если товар будет продан — процесс закончен. Если из пришедших т{ никто товар не купил, то устанавливается цена S2, которая держится на т2 потенциальных покупателях. Если товар будет продан — процесс закончен, если нет — устанавливается цена .Sj, которая держится на т3 потенциальных покупателях, и т. д.

Как и ранее, поток потенциальных покупателей считается пуассоновским потоком постоянной интенсивности X. На п-й фазе покупатель купит товар с вероятностью Rn = R (Sn), где R (S) — некоторая функция от цены S.

В п. 3.2 рассматривается распределение номера продажной фазы. Обозначим через Pj безусловную вероятность того, что при нахождении на 1-й фазе товар не будет куплен. Так как покупатели независимы, то Pt = (l — R^)m'.

Пусть Qn есть вероятность того, что товар будет куплен на п-й фазе. Это означает, что он не будет куплен на фазах с номерами 1, 2, 3,., п-1. Поэтому а=рхрг* ./>, о — р"у= По ¦- • о — о —) • 1.

Если товар будет продан на п-й фазе, то продажная цена будет равна S". Поэтому продажная цена Se есть дискретная случайная величина, принимающая значения S" с вероятностями Q":

P{Se=Sn} = Q", л = 1Я В п. 3.4 найдено среднее время до продажи товара. Оно определяется из формулы со я-1 я=1 /=I где \i (R, m) = (-(-R)m)/R.

В п. 3.5 находится плотность вероятностей длительности т продажи товара. Показывается, что она имеет вид я=1 0-^я) я где s=M". 1 1.

В п. 3.6 в качестве иллюстративного примера рассмотрен случай, когда R (S) имеет вид S, n, а закон изменения цены — вид = S", + (SMSm)z', 0.

В п. 3.7 рассмотрен случай, когда возможное число покупателей на фазе устанавливается случайным образом. Обозначим через р^т) вероятность того, что /-я фаза закончится, если покупку не совершит т покупателей. Тогда безусловная вероятность отсутствия покупки на /-й фазе равна.

3 = -*,)" >,(«). т=1.

Если на фазе не совершено покупки, то плотность вероятностей b (t) длительности фазы t равна оо.

О-1)!

Плотность вероятностей времени т от момента начала фазы до момента покупки при условии, что покупка имеет место, равна ьсо=-т—, n, I•.

В п. 3.9 находится средняя длительность времени продажи товара. Показывается, что она имеет вид.

7=1 где от=1.

1 — /?")" + = - (1 — R"rlim +)R"(- /?")" ] m"R" p{m).

В п. 3.10, как и в предыдущей главе, рассматривается задача на максимизацию функционала и-1 и=1 /= I и показывается, что оптимальная последовательность цен определяется следующим рекуррентным соотношением:

Л/~Л/ + 7J77777-, &bdquo-/пи", -о/+1-Л/+1+'.

В четвертой главе рассмотрен комбинированный вариант. Он состоит в том, что для фазы выбираются два параметраТит. Фаза заканчивается, если.

1) пришло w покупателей и все они отказались от покупки или.

2) истекло время Т и покупка не состоялась. ке-хт к.

Разумеется, каждая фаза характеризуется ценой S и вероятностью покупки R. В дальнейшем индекс у всех этих величин обозначает номер фазы.

В п. 4.2 рассмотрено распределение вероятностей номера продажной фазы и продажной цены. Показано, что вероятность того, что товар не будет куплен на какой-то фазе, равна.

7−1 р ,/Л W.

Р = (1 — R) m +? [(1 — R) k — (1 — R)" к=О.

Дальнейшее аналогично предыдущему. Вероятность Qn того, что товар будет куплен на п-й фазе, равна.

Qn=f[Pri}-Pn), 1 что и определяет распределение вероятностей продажной цены Se в случае, ко.

00 гда = 0: 1.

P{Se=S"} = QH, п = !Я В п. 4.3 найдены плотность вероятностей b (t) длительности фазы без покупки.

И^/И-I от-1 Тк m-1)! U kl.

О.

Xt =ф0 (XT, m) = m in хт) к m-1.

XTexr ?

ХТУ a=O k м> k.

В п. 4.4 найдены условная плотность вероятностей длительности интервала времени до покупки товара на фазе при условии, что покупка была совершена, г> от Уктк~].

1 1-PU (к-1)! еК 0 < т < Г, и условное среднее время, проходящее между началом фазы и покупкой товара при условии, что покупка была совершена, ф x (rkT, R, m) =.

Xx (-P) = %(XT, R, m),.

-(l-R)m^-(m +)R (-R)n R i? (xm (1 R) S (1 R) m+]+j (1 {m+]Щ].

R J=0 j!

В п. 4.5 найдено математическое ожидание т времени, проходящего от момента выставления товара на продажу до самой продажи:

00 II-1.

Хх = ?i|/(X7-,/?/f, w#l)]" [/?,.

7=1 /=1 i (XTn, Rn, mn) = (p0(XTn, mn) Pn+^(kTn, Rn, mn).

В п. 4.6 рассмотрена оптимизационная задача вида оо Я-1.

7 — 1 /=1 и показано, что в общем случае ее решение дается следующей рекуррентной формулой:

1 — Р Р (-Р о у 1 1 т г< is ¦'w+lV1 ¦'ffl+1/ p, /77+1 a//7 + 1 p, m 1.

Пятая глава посвящена математической модели рынка нетерпеливых продавцов, которые приходят на него со своим товаром и уходят с него после его продажи. Такие модели можно строить на базе теории массового обслуживания. По нашему мнению, такой моделью может служить бесконечно линейная система массового обслуживания (СМО), каждая линия которой содержит бесконечное число фаз, соответствующих той цене, которую продавец просит за товар на этой фазе.

Итак, в систему поступает пуассоновский поток заявок интенсивности Л, где под каждой заявкой понимается продавец. Сама система состоит из бесконечного числа линий, так что поступившая заявка занимает любую свободную линию. С другой стороны, каждая линия представляет собой бесконечно фазную однолинейную СМО.

В п. 5.2 эта система исследована в случае экспоненциального времени обслуживания, когда на к-й фазе обслуживание экспоненциальное {к = 1, оо) с параметром ik, так что среднее время пребывания на к-й фазе равно 1 /1к. После окончания обслуживания на к-й фазе заявка с вероятностью Рк переходит на следующую фазу и с вероятностью 1 — Рк покидает систему.

Пусть ik (t) есть число заявок, находящихся на к-й фазе обслуживания в момент времени t. Введем для краткости записи вектор / = {/i,/2,/3,.} и через R (I) = P{i (t) = i, i2{t)= h>h (*) = h>—} обозначим вероятность того, что в момент времени t на к-й фазе находится ik заявок (& = 1, оо). Для стационарного распределения R (I) не зависит от времени /. В работе показано, что многомерное распределение /?(/) факторизуется, то есть является произведением одномерных распределений.

00 вд=Падл)>

7=1 где каждый сомножитель R"(i") — распределение Пуассона с параметром р&bdquo-, где.

Л. п = 1,.

Hi л пА.

Мп А-1.

Рп.

Теорема. Если для системы с бесконечным числом фаз ряд оо 1 А-1 и-т к=2 т=1 сходится, то в рассматриваемой СМО существует стационарный режим.

В п. 5.3 рассматривается бесконечно линейная бесконечно фазная СМО с управляемым переходом на другую фазу. На вход системы поступает стационарный пуассоновский поток заявок интенсивности Л. Поступившая заявка занимает одну из свободных линий, начиная обслуживаться на 1-й фазе.

Будем считать, что во время обслуживания на к-й фазе на нее поступают два пуассоновских потока событий — поток с интенсивностью (поток 0) и поток с интенсивностью ik[ (поток 1). Если наступит событие первого потока, то заявка переходит на (к+1)-ю фазу, если же наступит событие из потока 0, то заявка покидает систему. Таким образом, поступающие потоки 0 и 1 управляют пребыванием заявки на фазе. Под потоком 0 можно понимать, например, поток тех покупателей, которые купят товар, а под потоком 1 — поток тех моментов времени, когда нетерпеливый продавец изменяет цену на свой товар.

Теорема. Многомерное стационарное распределение R (I) имеет мультипликативный вид.

R (I) = YlWn), где одномерные распределения Rn (in) являются распределениями Пуассона с параметрами р&bdquo-, определяемыми соотношениями.

ИлО к= Ц*0 +.

Обозначим через Т математическое ожидание времени пребывания заявки в системе. Тогда в работе показано, что со 1 П;

T = t—-—П^п=1 цяо + а-1 м-лго + м-л1 и стационарный режим в рассматриваемой системе существует при выполне.

00 нии условия сходимости ряда ^р*. к=.

В п. 5.4 рассмотрен случай, когда на к-й фазе время обслуживания является случайной величиной с функцией распределения Вк (х), зависящей от номера фазы, но одинаковой для всех линий. Для исследования этой системы был использован метод просеянного потока, предложенный А. А. Назаровым. Показано, что со со д к = к = к-20 где hbv при к = 1,.

Л4 = к;

АЬкЦРу, при к>2.

V=1 и ^ =^xdBk (х) = J (1 -Bk (x))dx. о о.

Этот результат легко переносится и на следующий случай: пусть заявка перешла на к-ю фазу. Тогда могут произойти следующие два события: а) спустя случайное время тк0 с функцией распределения Вк0(х) придет покупатель, который купит товар, и продавец покинет системуб) спустя время с функцией распределения Ви (х) у нетерпеливого продавца «сдадут нервы», и он снизит цену и перейдет на следующую фазу. Реализуется то событие, которое наступит раньше, то есть время пребывания заявки на к-й фазе т^ = т1п (хА.0,Тл).

В этом случае верны предыдущие формулы со следующими значениями параметров:

00 X СО 00.

Рк=Р{1кх<�хк0}= dBk,(x)dBkX{y)= dBk,{y)dBk 0(х),.

0 0 0 у.

00 00 сс со.

Ьк =М{тт (тк0,ти)}= jxdBk0(x)jdBkl (y)+ jydBkl (y) jdBk0(x).

O x 0 у.

В заключении к диссертации приведены основные результаты работы. Публикации по работе.

Результаты работы опубликованы в следующих статьях и материалах научных конференций:

1. Галажинская О. Н. Математическая модель продажи товара нетерпеливым продавцом при непрерывном изменении цены // Вестник Томского государственного университета. Приложение. 2006. Март. № 16. С. 202−208.

2. Галажинская О. Н. Продажа товара нетерпеливым продавцом при ступенчатом изменении цены // Пятая Всероссийская конференция по финансовоактуарной математике и смежным вопросам: Тезисы докладов. Красноярск, 2006. С. 22−23.

3. Галажинская О. Н. Бесконечно линейная бесконечно фазная система массового обслуживания с произвольным распределением времени обслуживания на каждой фазе // Научное творчество молодежи: Материалы X Всероссийской научно-практической конференции (21−22 апреля 2006 г., г. Анжеро-Судженск). Томск: Изд-во Том. ун-та, 2006. Ч. 1. С. 131−134.

4. Галажинская О. Н. Математическая модель продажи одиночного товара нетерпеливым продавцом // Вестник Томского государственного университета. Бюллетень оперативной научной информации. 2006. Февраль. № 58.-91 с.

5. Галажинская О. Н. Бесконечно линейная бесконечно фазная система массового обслуживания со случайным прерыванием обслуживания // Вестник Томского государственного университета. Приложение. 2006. Август. № 18. С.261−266.

6. Галажинская О. Н. Продажа товара нетерпеливым продавцом при ступенчатом изменении цены // PCI 2006. The international conference «Problems of cybernetics and informatics». Baku, 2006. Vol. 1. P. 186−189.

7. Галажинская О. Н. Продажа товара нетерпеливым продавцом при ступенчатом изменении цены // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2006): Материалы V Международной научно-практической конференции (10−11 ноября 2006 г., Анжеро-Судженск.). Томск: Изд-во Том. ун-та, 2006. Ч. 2. С. 103−106.

8. Галажинская О. Н. Продажа товара нетерпеливым продавцом при ступенчатом изменении цены // Вестник Томского государственного университета, 2006. № 293. С.

Апробация работы.

Работа докладывалась и обсуждалась на следующих научных конференциях:

1. Четвертая Всероссийская научно-практическая конференция «Информационные технологии и математическое моделирование». Анжеро-Судженск, 2005 г.

2. Пятая Всероссийская конференция «Финансово-актуарная математика и смежные вопросы». Красноярск, 2006 г.

3. Десятая Всероссийская научно-практическая конференция «Научное творчество молодежи». Анжеро-Судженск, 2006 г.

4. Шестая Всероссийская конференция «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур». Шушенское, 2006 г.

5. Международная научная конференция «Проблемы кибернетики и информатики». Баку, 2006 г.

6. Пятая Международная научно-практическая конференция «Информационные технологии и математическое моделирование». Анжеро-Судженск, 2006 г.

7. Девятая Белорусская школа-семинар по теории массового обслуживания (BWWQT-2007). Гродно, 2007 г.

Заключение

.

Итак, в данной работе рассмотрены две математические модели.

Первая модель — это математическая модель нетерпеливого продавца, который выставляет на продажу некоторый дорогостоящий товар (например, объект недвижимости) и по мере того, как потенциальные покупатели не покупают его, постепенно снижает на него цену. Рассмотрены два варианта: непрерывное изменение цены и ступенчатое изменение цены, причем во втором случае рассмотрены три разных варианта прекращения фазы, когда цена держится на постоянном уровне — истекает некоторое время после начала фазытовар не покупает некоторое количество пришедших потенциальных покупателейкомбинированный вариант.

Во всех этих случаях найдены основные характеристики модели, а именно:

— распределение вероятностей номера фазы, на которой товар будет продан;

— плотность вероятностей цены, по которой товар будет продан (продажной цены);

— среднее время, проходящее между выставлением товара на продажу и моментом его покупки;

— плотность вероятностей времени, проходящего между выставлением товара на продажу и моментом его покупки;

— распределение вероятностей длительности фазы, на которой не было покупки и на которой покупка была совершена;

— рассмотрена оптимизационная задача на определение цены, по которой товар продается на каждой фазе, и предложен численный алгоритм ее решения.

Во всех случаях полученные результаты иллюстрируются примерами.

Вторая модель, изученная в работе, это модель рынка нетерпеливых продавцов. В качестве такой модели выбрана модель бесконечно линейной бесконечно фазной системы массового обслуживания, на которую поступает пуассо-новский поток продавцов. Каждому значению цены соответствует своя фаза, и после прохождения фазы продавец или покидает систему (товар продан), или переходит на следующую фазу (товар не продан, цена на него снижена). Основной результат исследования этой модели заключается в том, что доказано, что распределение вероятностей числа продавцов, находящихся на какой-то фазе, является распределением Пуассона и эти распределения независимы для разных фаз. Найден явный вид параметра распределения Пуассона, и в ряде случаев получены необходимые или достаточные условия существования стационарного режима в рассматриваемой системе.