Структурные теоремы в теории самоподобных фракталов

1. Общая характеристика работы.

Диссертация посвящена ключевым аспектам в структурной теории самонодоб-ных множеств.

1.1°. Актуальность проблемы. Бурное развитие в последние десятилетия фрактальной геометрии и фрактального анализа, выявившее роль этих разделов математики как одного из главных факторов ее роста на рубеже 20 и 21 веков, продиктовано логикой развития математики и имеет целый ряд причин, которые уместно перечислить.

С одной стороны, среди стимулов развития этой области математики мы видим глубинные течения философской и эстетической мысли. С другой — это развитие было вызвано новыми требованиями к математическому инструментарию, возникшими в разных сферах приложения математики. Наконец, важнейшим фактором развития фрактальной геометрии и анализа является то, что их возникновение и рост проистекали из естественных закономерностей развития математического анализа и его непосредственных нужд.

Идея внутреннего подобия объектов прослеживается в истории научной и философской мысли человечества с древнейших времен, восходя к античным и древнеегипетским источникам. Принцип подобия мы находим в герметических формулах: «Микрокосм подобен макрокосму» и «Как наверху, так и внизу» , — выражающих представление о подобии разных уровней и масштабов Вселенной.

Канон гармонических пропорций основывается на золотом сечении, при котором целое представляется как сумма двух частей, соотношение между которыми равно отношению между целым и большей из этих двух частей. Создатели лучших творений классического искусства — живописи, скульптуры и архитектуры.

— опирались на этот принцип.

В многочисленных произведениях мировой литературы — художественных и научных, мы встречаем мысли о подобии малых атомов — планетным и звездным системам, микроскопических существ с их жизнью — окружающим нас существам, уподобления больших периодов времени для планеты — малым промежуткам времени в человеческой жизни.

Таким образом, изучение самоподобных объектов, помимо интеллектуальных стимулов, имеет также мощные эмоциональные и эстетические составляющие, влиянием которых на развитие этой области нельзя пренебрегать.

При всей распространенности идей самоподобия в мировой культуре, математическое ее воплощение до 19 столетия сводилось лишь к однородным объектам.

Первые предпосылки изучения самоподобных объектов были заложены в 17 веке основателем математического анализа Г. В. Ф. Лейбницем (1646 — 1716). При построении основ математического анализа Лейбниц исходил из развиваемых им фундаментальных философских принципов. В работе «О первичной материи «(1670) Лейбниц писал о бесконечной делимости и бесконечной вложенности материи. В своей «Монадологии» (1714) Лейбниц представлял мир состоящим из монад, каждая из которых, в свою очередь, отражает весь мир. Будучи неотличимы по своей сути, монады различаются своим положением и, тем самым, теми отражениями мира, которые они несут в себе. Лейбницу также приписывается идея рекурсивного самоподобия. В течение своей жизни Лейбниц разрабатывал принципы устройств для механических вычислений и средств проверки математических рассуждений, создав прототип арифмометра и впервые прибегнув к двоичной системе счисления.

Но анализу предстояло двухвековое развитие, прежде чем эти предпосылки реализовались в виде первых нетривиальных конструкций.

Более века те задачи и методы, которые рассматривались математическим анализом, исходили из предположения о гладкости и непрерывности рассматриваемых объектов. Аппарат и основные конструкции анализа разрабатывались в рамках представлений о гладкости и континуальности, а изолированные нарушения последних хотя и допускались, но воспринимались как помехи, вносящие дополнительные технические трудности. С течением времени вопрос о включении в рассмотрение и исследовании объектов, не являющихся гладкими и непрерывными стал все чаще возникать в разных разделах анализасначала это были отдельные примеры, затем на повестку дня встал вопрос об исследовании некоторых классов таких нестандартных объектоввпоследствии обозначилось, что как правило, граница области применимости существующих методов анализа пролегает в области объектов, обладающих некоторой общностью свойств, и эти же свойства адекватно отвечают запросам приложенийпока, наконец, не стало ясно, что область применения методов анализа может и должна быть распространена на более широкий диапазон объектов, не являющихся гладкими, но обладающих некоторой регулярной структурой, более общей, чем гладкая.

В 1829 году Дирихле, рассматривая сходимость тригонометрических рядов, строит пример всюду разрывной функции. В 1831 — 34 годах первые попытки построить нигде не дифференцируемые непрерывные функции делает Б. Больцано (1781 — 1848). В 1854 году Б. Риман (1826 — 1866) начинает систематический поиск таких патологических примеров, как интегрируемая функция со всюду плотным множеством скачков. Однако, пример Больцано не был снабжен удовлетворительным доказательством, а примеры Римана и Целерье (1860) давали только функции, недифференцируемые на некотором счетном всюду плотном подмножестве. Первый полностью обоснованный пример нигде не дифференцируемой функции был построен в 1872 г. Вейерштрассом (1815 — 1897), и опубликован в 1875 его учеником дю Буа-Реймоном (1831 — 1889). Этот пример считается первой конструкцией нетривиальной фрактальной кривой в истории математики. Вейер-штрасс доказал, что для нечетного натурального, а > 0 и постоянной 0 < b < 1 оо такой, что ab достаточно велико, функция /(.т) = Y1 Ьп соа{а71хтт) непрерывна, но п=О нигде не дифференцируема. Харди (1916) уточнил условие на ab до ab > 1.

В 1884 году в своем письме в журнал Acta Mathematica Георг Кантор строит совершенное нигде не плотное подмножество прямой, равномощное отрезку и предлагает конструкцию монотонной непрерывной непостоянной функции на отрезке [0,1], производная которой почти всюду равна нулю. Отметим, что канто-рово множество в различных построениях, преимущественно как элемент контрпримеров в теории интегрирования, ранее появлялось в работах Г. Смита [112] (1875), П. дю Буа-Реймона (1880) и В. Вольтерра (1881).

Другим важным с точки зрения развития фрактальной геометрии событием этого периода является создание в 1880 — 84 гг. Пуанкаре, Клейном, Фуксом и Кёбе теории клейновых групп, предельные множества которых являются мебиусово самоподобиыми множествами. Для Пуанкаре основным побудительным мотивом к созданию теории были задачи из теории дифференциальных уравнений.

В мартовском выпуске Mathematische Annalen 1890 года Дж. Пеано (1858 -1932) публикует статью Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane с примером кривой, заполняющей всю плоскость [ЮЗ] .

В 1904 году в своей работе «Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction geometrique elementaire» [75] Хельге фон Кох строит непрерывную кривую, не имеющую касательной ни в одной из своих точек. Эта конструкция, в отличие от функции Вейерштрасса, носит чисто геометрический характер. В 1905 году Чезаро [37] указывает на ее самоподобие.

В феврале 1915 года В. Серпинский представляет в Les Comptes rendus de l’Academie des sciences свою заметку «Sur une courbe dont tout point est un point de ramification» [110] о кривой, каждая из точек которой есть ее точка ветвления. В ней впервые появляется один из важнейших объектов фрактальной геометрии — треугольник Серпинского. В статье приведен способ построения этого множества, как предела последовательности ломаных, каждая из которых получается из предыдущей заменой каждого ее звена на умерьшенную копию первой ломаной в последовательности.

В 1914 году К. Каратеодори вводит понятие внешней меры и на основе своей конструкции определяет /г-мерную меру подмножества в пмерном пространстве. Основываясь на работе К. Каратеодори, в 1918 году Ф. Хаусдорф [69] определяет меру с нецелым показателем и дробную размерность и доказывает, что хаусдор-фова размерность канторова множества равна log32.

IIa эти же годы (1918 — 1922) приходится создание в работах Г. Жюлиа [71], П. Фату [52, 53, 54] и — независимо от них— Ритта [107[ теории итераций аналитических преобразований, тесно переплетающейся с фрактальной геометрией. В этих работах, в частности были введены понятия аттрактора и репеллерапостроены и описаны множества Жюлиа и Мандельброта, сыгравшие важную роль в становлении фрактальной геометрии. Возможность детально изучить структуру этих множеств представилась лишь через полвека, с появлением компьютеров. Теория итераций аналитических преобразований прошла 50-летнюю полосу застоя и затем пережила бурное возрождение в начале 1980;х годов.

Крупнейший вклад в исследование множеств, имеющих дробную размерность, был сделан А. С. Безиковичем. В его серии [17] — [30] работ 1926 — 1939 гг. им был построен тонкий и нетривиальный аппарат для исследования геометрических свойств множеств дробной хаусдорфовой размерности и иррегулярных множеств целой размерности. Им были изучены мера и размерность ряда исключительных множеств, возникающих в классических задачах анализаполучены оценки, связывающие гельдерову константу непрерывной вещественной функции и хаусдор-фову размерность ее графикахаусдорфова мера была применена к определению s—производной вещественной функциибыли детально исследованы свойства линейно измеримых множеств. A.C. Безикович постоянно возвращался к этим вопросам вплоть до 1968 года.

В 1938 году Поль Леви публикует исследование свойства самоподобия кривых [94]. Он показывает, что построение кривой Коха может быть обобщено и рассматривает кривые, состоящие из р подобных частейво второй части своей работы он строит примеры симметричных кривых на плоскости, имеющих размерность 2 и являющихся первыми примерами тайлов, т. е. самоподобных множеств, которыми можно замостить всю плоскость. В третьей части он распространяет свои результаты на самоподобные поверхности.

В 1935 году Хасслер Уитни [119] строит пример неспрямляемой кривой 7, множество особых точек которой есть канторово множество на плоскости, и вещественной функции f (x, y) класса С1, непостоянной на 7 и такой, что все ее частные производные обращаются в нуль на 7. Замечательно, что кривая 7, как будет показано в гл. 2, является аттрактором граф-ориентированнной системы, которую мы назовем мультиципнером. Но еще более знаменательно, что исследование примеров таких функций привело к выявлению в 1986 г. А. Нортоном в работе [101] взаимосвязи между хаусдорфовой размерностью критического множества 7 функции / в Я" и гельдеровым классом т + а гладкости этой функции, гарантирующей постоянство функции / на множестве 7.

Осознание того, что изучение фрактальных объектов является цельной областью математических исследований, имеющих широкий спектр приложений, пришло на заре эпохи компьютерных вычислений, с появлением, начиная с 1967 года, работ Б. Мандельброта [95, 96, 97].

Четкая математическая канва для построения и исследования самоподобных множеств была задана основополагающей работой Дж. Хатчинсона [70] «Фракталы и самоподобие» (1981), за которой последовал ряд работ, в которых формулировались ключевые методы и конструкции теории. В 1988 году Маулдин и Уильяме [98] ввели понятие граф-ориентированнной системы, существенно расширив подход, предложенный Хатчинсоном.

Одним из важнейших вопросов теории самоподобных множеств, служащим побудительным стимулом многих работ и по сей день, является вопрос о вычислении хаусдорфовой размерности самоподобного множества. Основой для таких вычислений служило сформулированное Хатчинсоном условие открытого множества, обеспечивающее выполнение формулы Морана. В работе К. Бандта [9] это условие заменялось алгебраическим условием, требующим, чтобы замыкание ассоциированного семейства подобий 3″ = 0~1 ¦ С не содержало 1(1. В дальнейшем это привело к полученному Мартином Цернером [122] слабому условию отделимости И ф. С-1 • С {Ы}, являющемуся основным критерием положительности хаусдорфовой меры и вычислимости хаусдорфовой размерности.

Потребности приложений продиктовали развитие таких направлений исследований, как исследование случайных процессов на фракталах [51],[10], анализ на фракталах, разрабатываемый Дж. Кигами [74], исследование дифференциальных операторов и дифференциальных уравнений на фракталах (Р. Стричартц)[113], изучение топологических пространств, моделируемых фракталами — фрактафол-дов (А. Теиляев), построение геометрической теории интегрирования, позволяющая доказывать основные формулы интегрирования для широкого класса объектов, включающего фракталы (Дж. Харрисон)[62|—[67]. М. В. Коробков построил [77] пример всюду дифференцируемо!-! (негладкой) функции /: [0,1] —М2, множество значений производной которой является вполне несвязным самоподобным фрактальным множеством. В работах [78]-[81] были исследованы вещественные С^{гладкие} функции / двух переменных, множество значений градиента которых не содержит внутренних точек. Оказалось, что для таких функций выполнено утверждение классической теоремы Морса-Сарда о равенстве нулю меры образа критических точекв частности, для таких функций невозможно построить кривые типа Уитни (см. выше). С другой стороны, в указанном случае множество значений градиента функции / может иметь фрактальную природу: оно может являться вполне неспрямляемой дугой (см. [80]), хотя его двумерная мера Лебега всегда равна нулю (см. [81]). В цикле работ С. Пономарева [104, 105] исследовались интегралы типа Коши на семействе кривых Коха, имеющие приложение к краевым задачам математической физики. Р. Григорчуком [59] разработана теория самоподобных групп. Важной областью исследований является теория самоаффинных замощений — тайлов и мультитайлов, отраженная в многочисленных работах Баидта. Вонга, Кеньона, Ли и др.

1.2°. Цель работы. Получение топологических аналогов самоподобных структур, как инвариантных множеств полугрупп действующих на компактах или полных метрических пространствах. Получение структурных теорем и теорем жесткости для самоподобных жордановых континуумов. Получение оценок хаусдор-фовой меры и размерности множества крайних точек самоподобного множества и доказательство теорем конечности для выпуклых оболочек самоподобных множеств.

Методы исследования. В диссертации используются топологические и геометрические методы, обычно применяемые в теории самоподобных множеств. При построении топологических аналогов самоподобных структур используются методы общей топологии и теории гиперпространств. Исследование самоподобных жордановых дуг опирается на методы, впервые примененные К. Бандтом и основанные на анализе свойств ассоциированного семейства полугруппы сжимающих подобий. Исследование выпуклых оболочек самоподобных множеств опирается на методы выпуклого анализа и дискретных динамических систем.

1.3°. Научная новизна.

Работа содержит ряд новых результатов, которые либо не имеют аналогов в мировой литературе, либо существенно расширяют существующие результаты.

Первая группа результатов относится к определению самоподобных структур на компактных топологических пространствах, описанию морфизмов этих структур и основным теоремам о свойствах топологических самоподобных структур.

Напомним, что классическое определение самоподобных фракталов формулируется в терминах сжимающих отображений для полных метрических пространств, а основная теорема существования — теорема Хатчинсона — справедлива для полных метрических пространств.

В диссертации, для общего случая хаусдорфовых топологических пространств, введен новый класс действующих на этих пространствах полугрупп непрерывных ипъективных отображений или полугрупп, удовлетворяющих условию (Р). Эти полугруппы являются топологическим аналогом полугрупп сжимающих отображений в метрических пространствах.

С помощью этого класса полугрупп определяется понятие самоподобной структуры на компактном топологическом пространстве. Такое определение близко к определению Дж. Кигами [74], но, как показано в первой главе диссертации, имеет ио сравнению с последним ряд преимуществ.

Для систем отображений из указанных полугрупп, удовлетворяющих условию (Р), доказан аналог теоремы Хатчинсона, справедливый для произвольных хау-сдорфовых топологических пространств.

Изучено действие операторов Хатчинсона в гиперпространстве и доказана теорема о полугруппах, порожденных операторами Хатчинсона, описывающая многообразия случайных фракталов, или фрактальные расслоения, как аттракторы таких полугрупп.

Вторая группа результатов связана с построением и исследованием конструкций циппера и мультициииера. Получены условия представимости самоподобного континуума в виде аттрактора циппера и мультициппера. Получены’критерии жордановости аттрактора циппера и ограниченности искривления аттрактора жорданова циппера. Доказана теорема о существовании линейной параметризации и о гельдеровости такой параметризации. Описано пространство деформаций самоподобных ципперов.

Третья группа результатов относится к исследованию самоиодобных жорда-новых континуумов. Доказана теорема о жесткости самоподобных жордановых дуг. Согласно этой теореме, всякая отличная от прямолинейного отрезка жорданова самоподобная дуга является компонентой аттрактора самоподобпого мультициппера. Из этой теоремы следует, что если такая дуга имеет ограниченное искривление, то она удовлетворяет сильному условию открытого множества, что дает алгоритм вычисления хаусдорфовой размерности самоподобной жордановой дуги. Доказана теорема о жесткости самоподобных одномерных структур, не удовлетворяющих слабому условию отделимости.

Четвертая группа результатов относится к исследованию выпуклых оболочек самоподобных множеств. Получено описание динамики действия шифт-онератора на границе выпуклой оболочки самоподобного множества. Доказана теорема о равенстве нулю хаусдофовой размерности множества крайних точек выпуклой оболочки самоподобных множеств на плоскости, удовлетворяющих условию открытого выпуклого множества. Доказана теорема конечности для выпуклых оболочек самоподобных множеств в банаховых пространствах, указывающая условия, при которых такая оболочка является конечным полиэдром. Доказана теорема о том, что лебегова одномерная мера множества крайних точек выпуклой оболочки самоподобного множества на плоскости равна нулю.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные результаты имеют теоретическое значение и могут быть использованы для дальнейшего развития как фрактальной геометрии, так и взаимодействующих с ней обласхей математики: теории квазиконформных отображений, теории динамических систем, теории дифференциальных уравнений и в естественнонаучных приложениях, опирающихся на модели фрактального анализа.

Публикации и апробация работы. Основные результаты диссертации опубликованы в 15 работах автора. Вклад авторов в совместных работах является равным.

Материалы диссертации неоднократно докладывались на международных и российских конференциях:

Математические проблемы в механике сплошных сред" (г. Новосибирск 1999, 2000).

6-th Russian-Korean International Symposium on Science and Technology, KORUS-2002 (June 24 — 30, 2002), Novosibirsk.

Школа-конференция по геометрии и анализу, посвященная памяти А. Д. Александрова, Новосибирск, Академгородок, 9−20 сентября 2002 г.

Международная конференция «Геометрическая топология, дискретная геометрия и теория множеств», посвященная 100-летию JI.B. Келдыш, (24 — 28 августа 2004 г.), Москва.

Международная конференция «Геометрия и топология трехмерных многообразий», Новосибирск, 23 — 28 августа 2005 г.

Всероссийская научная конференция «Математика. Механика. Информатика.» Челябинский государственный университет. Математический факультет. 19 — 22 сентября 2006 г.

Конференция, посвященная 50-летию Института математики СО РАН им.

С.Л.Соболева, 17−23 сентября 2007 г., Новосибирск.

Международная конференция «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений,» посвященная 100-летию со дня рождения С. Л. Соболева, 5−12 октября 2008, Новосибирск.

Международная конференция «Современные проблемы анализа и геометрии,» 14 — 20 сентября 2009, Новосибирск.

Международный математический конгресс ICM-2010, Хайдерабад, Индия.

Результаты диссертации доложены также на семинарах :

Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН «Математические проблемы механики сплошных сред» под руководством академика Монахова В. Н., чл.-корр. РАН Плотникова П. И. (2004, 2005),.

Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН, лаборатории теории функции под руководством д.ф.-м.н. профессора Асеева В. В. и д.ф.-м.н. профессора Сычева A.B. (2006).

Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН, отдела математического анализа под руководством акад. Ю. Г. Регаетняка (2006).

Семинар кафедры дифференциальной геометрии и МГУ под рук-вом акад. А. Т. Фоменко (2006).

Семинар по дифференциальной геометрии ИМ СО РАН под рук-вом И. А. Тайма-нова (2009).

Семинар, но фрактальной геометрии в Институте математики и информатики Грейфсвальдского Университета (Германия) под рук-вом проф. К. Бандта (2009).

Семинар по фрактальной геометрии и стохастике Иенского Университета (Германия) под рук-вом М. Залле и В. С. Матвеева (2009).

Семинар по топологии в Варвикском университете (Великобритания) под рук-вом К. Сериес (2010).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы и списка литературы. Нумерация теорем и формул в каждом параграфе своя.

1. М. Arbeiter, М. Patzschke. Random self-similar multifractals.// Math. Nachr, 1996, V. 181, p. 5−42.

2. F. G. Arenas, M. A. Sanchez-Granero: S1 is a self-similar symbolic space.// Topology Atlas Preprint No. 283, 1997, http://at.yorku.ca/.

3. Aseev V.V.: On the regularity of self-similar zippers-Materials of the 6-th Russian-Korean Int. Symp. on Science and Technology, KORUS-2002 (June 24−30, 2002. Novosibirsk State Techn. Univ., Russia Part 3, (Abstracts), p. 167.

4. Асеев В. В. Критерий регулярности аттрактора системы сжимающих подобий в полном метрическом пространстве. //" Математические проблемы механики сплошных сред" (Динамика сплошной среды, вып. 120), Ин-т гидродинамики СО РАН, 2002, с.3−7.

5. Astala К.: Self-similar zippers. // Holomorph.funct. and Moduli: Proc. Workshop, March 13−19, 1986, Vol.1- New York, 1988, pp. 61−73.

6. Ch. Bandt, Self-similar sets 1. Markov shifts and mixed self-similar sets.// Math. Nachr., 1989, V. 142, pp. 107−123.

7. Ch. Bandt. Self-similar sets 5: Integer matrices and tilings of Rd.// Proc. Amer. Math. Soc., 1991, V. 112, pp. 549−562.

8. Ch. Bandt and T. Retta, Topological spaces admitting a unique fractal structure. //Fund. Math., 1992, V. 141, pp. 257−268.

9. Ch. Bandt, S. Graf. Self-similar sets 7. A characterization of self-similar fractals with positive Hausdorff measure. // Proc. Amer. Math. Soc., 1992, V. 114, No. 4, pp. 995−1001.

10. Ch. Bandt, S. Graf, M. Zahle, Fractal Geometry and Stochastics. Birkhauser, 1995.

11. Ch. Bandt, G. Gelbrich, Classification of self-afime lattice tilings. //J. London Math. Soc., 1994,(2), 50, P. 581 -593.

12. Ch. Bandt, Disk-Like Self-Affine Tiles in R2.// Discrete Comput. Geom., 2001, V. 26, P. 591−601.

13. M. F. Barnsley, Fractals Everywhere, Academic Press, 1988.

14. M. F. Barnsley, Superfractals, Cambridge University Press, 2006.

15. T. Bedford, Holder Exponents and Box Dimension for Self-Affine Fractal Functions.// Constructive Approximation, 1989.

16. T. Bedford, The Box dimension of self-affine graphs and repellers // Nonlinearity, No. 2, 1989. P. 53−71.

17. A. S. Besicovitch. Sur les proprietes geometriques fondamentales des ensembles plans de points lineairement mesurables.// C.R. Acad. Sci. Paris, 1926, 183, p. 553−556.

18. A. S. Besicovitch, Fundamental geometric properties of linearly measurable plane sets of points.// Bull. Amer. Math. Soc. 1927, 33, p.652.

19. A. S. Besicovitch, On the fundamental geometrical properties of linearly measurable plane sets of points.// Math. Ann., 1928, 98, p.422—464.

20. A. S. Besicovitch, On linear sets of points of fractional dimension. Math. Ann. 1929, 101, p.161−193.

21. A. S. Besicovitch, Walker G., On the density of irregular linearly measurable sets of points. Proc. Lond. Math. Soc. (2), 1931, 32, p. 142−153.

22. A. S. Besicovitch, Concentrated and rarified sets of points. Acta Math. 1933, 62, p.289−300.

23. A. S. Besicovitch, On tangents to general sets of points. Fund. Math., 1934, 22, p. 49−53.

24. W. J. Charatonik, A. Dilks Dye and J. Reed, Self-homeomorphic star figures, Continuum Theory and Dynamical Systems, Thelma West (editor), Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, V. 149, Dekker, 1993, p. 283−290.

25. M. Das, S. M. Ngai. Graph-directed iterated function systems with overlaps // Indiana Univ. Math. J. 2004, V. 59, P. 109−134.

26. И. Б. Давыдкин, Пример выпуклой оболочки самоподобного множества на плоскости, имеющей бесконечное число сторон.// Динамика сплошной среды, Сб. науч. тр. Сиб. отд. РАН, Ин-т гидродинамики. 2002. Вып. 120. с. 22−25.

27. F. М. Dekking, Recurrent sets// Adv. Math., 1982, V. 44, p. 78−104.

28. T. Driscoll, L. Trefethen, Schwarz-Christoffel Mapping. Cambridge University Press, 2002. (.

29. P. Duvall, J. Keesling, A. Vince. The Hausdorff dimension of the boundary of a self-similar tile // J. London Math. Soc. 2000, V. 61, P. 649−760.

30. G. A. Edgar, Measure, Topology, and Fractal Geometry, Springer-Verlag, 1990.

31. G. A. Edgar, M. Das. Separation properties for graph-directed self-similar fractals// Top. appl., 2005, V.152, p.138−156.

32. G. A. Edgar, J. Golds. A fractal dimension estimate for a graph-directed IFS of non-similarities.// Indiana Univ. Math. J., 1999, V. 48, pp. 429−448.

33. G. A. Edgar, R. D. Mauldin. Multifractal decompositions of digraph recursive fractals.// Proc. London Math. Soc. 1992, V. 65. p. 604−628.

34. K. J. Falconer. The geometry of fractal sets. Cambridge Cambridgeshire]- New York: Cambridge University, 1985.

35. K. J. Falconer. Fractal geometry: mathematical foundations and applications. -J. Wiley and Sons, New York, 1990.

36. P. Fatou. Sur les equations fonctionnelles// Bui. Soc. Math.Prance. 1919, T. 47. P. 161—271.

37. P. Fatou. Sur les equations fonctionnelles//Bul. Soc. Math. France. 1920. T. 48, P. 33—94.

38. P. Fatou. Sur les equations fonctionnelles//Bul. Soc. Math. France. 1920. T. 48. P. 208—314.

39. H. Federer. Geometric Measure Theory. Springer-Verlag, New York, 1996.

40. H. Fernau Infinite Iterated Function Systems // Math. Nachr. 1994, V. 170, P. 7991.

41. О. Форстер. Римановы поверхности. M., Мир, 1980, 248 с.

42. Graham, Groetschel, Lovasz (eds.). Vol. 1. Handbook of combinatorics (Elsevier, 1995) (ISBN 444 823 468).

43. Bartholdi, L. and Grigorchuk, R. I. and Nekrashevych, V. V., From fractal groups to fractal sets, Arxiv.org preprint math. GR/202 001,2002.

44. P. M. Gruber, The space of compact subsets of Ed //Geom. Dedicata. 1980. V. 9. P. 87−90.

45. P. M. Gruber, G. Letti, Isometries of the space of compact subsets of Ed //Studia Sci. Math. Hungarica. 1979. V. 14. P. 169−181.

46. Harrison, Jenny, Stokes theorem on nonsmooth chains,// Bulletin AMS, October 1993.

47. Harrison, Jenny, Continuity of the Integral as a Function of the Domain,// Journal of Geometric Analysis, 1998, V. 8, no. 5, p. 769—795.

48. Harrison, Jenny, Isomorphisms differential forms and cochains,// Journal of Geometric Analysis, 1998, V. 8, no. 5, p. 797−807.

49. Harrison, Jenny, Lectures on chainlet geometry new topological methods in geometric measure theory — http://arxiv.org/abs/math-ph/505 063.

50. Harrison, Jenny and Norton, Alec, Geometric integration on fractal curves in the plane,// Indiana Univ. Math. J., 1991, V. 40, p. 567−594.

51. Harrison, Jenny and Norton, Alec, The Gauss-Green theorem for fractal boundaries// Duke Journal of Mathematics, 1992, V. 67, p. 575−588.

52. M. Ilata, On the structure of Self-Similar Sets// Japan J. Appl. Math., 1985, V. 2, p. 381−414.

53. F. Hausdorff, Dimension und au? eres Ma?// Math. Ann., 1918, V. 79, pp. 157 179.

54. J. Hutchinson. Fractals and self-similarity. // Indiana Univ. Math. J., 1981, V. 30, No. 5, pp. 713−747.

55. G. Julia. Memoire sur l’iteration des fonctions rationnelles // J.- Math. Pure Appl, 1918. T. 8. p. 47—245.

56. A. Kameyama, Self-Similar Sets from the Topological Point of View // Japan J. Indust. Appl. Math., 1993, V. 10, pp. 85−95.

57. J. Kigami. Harmonic calculus on p.c.f, self-similar sets. //Trans. Am. Math. Soc. 1993, V. 335, No. 2, pp. 721−755.

58. J. Kigami, Analysis on fractals. Cambridge Tracts in Mathematics 143, Cambridge University Press, 2001.

59. H. von Koch, Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction geometrique element aire.// Archiv for Matemat., Astron. och Fys., 1904, V. 1, p. 681−702.

60. Koch, H. von. Une methode geometrique elementaire pour l’etude de certaines questions de la theorie des courbes planes.// Acta Math., 1906, V. 30, p. 145−174.

61. M. В. Коробков. Об одном обобщении теоремы Дарбу на многомерный случай // Сиб. мат. журн. 2000. Т. 41, № 1. С. 118−133.

62. М. В. Коробков, Е. Ю. Панов. О необходимых и достаточных условиях на кривую для того, чтобы она являлась образом градиента С1-гладкой функции // Сиб. мат. журн. 2007. Т. 48, № 4. С. 789−810.

63. М. В. Коробков. Свойства СЯ-гладких функций, множество значений градиента которых является нигде не плотным множеством // Сиб. мат. журн. 2007. Т. 48, № 6. С. 1272−1284.

64. М. В. Коробков. Пример С1-гладкой функции, множество значений градиента которой является дугой, не имеющей касательной ни в одной точке // Сиб. мат. журн. 2008. Т. 49, № 1. С. 134−144.

65. М. В. Коробков. Свойства С^-гладких функций, множество значений градиента которых топологически одномерно // Доклады РАН. 2010. Т. 430, № 1. С. 18−20.

66. А. С. Кравченко, Гладкие самоаффинные цииперы. Препринт No. ИМ СО РАН, Новосибирск, 2005.

67. М. Р. Кроновер. Фракталы и хаос в динамических системах. М., Постмар-кет, 2000, 352 с.

68. К. Куратовский: Топология, т. 1,2 М., Мир, 1966,1969.

69. K.-S. Lau, S.-M. Ngai: Multifractal measures and weak separation condition.// Adv.Math., 1999, V. 141, pp. 45−96.

70. J. C. Lagarias, Y. Wang, Self-affine tiles in Mn // Advances in Math. 1996, V. 121, P. 21−49.

71. J. C. Lagarias, Y. Wang, Integral self-affine tiles in Mn. I. Standard and nonstandard digit sets // J. London Math. Soc., 1996, V. 54, pp. 161−179.

72. J. C. Lagarias, Y. Wang, Integral self-affine tiles in II. Lattice tilings //J. Fourier Anal. Appl. 1997, V.3, pp. 83−101.

73. A. Lasota, J. Myjak, Markov operators and Fractals.// Bull, of the Polish Acad. Sci. Mathematics, 1997, Vol. 45, No. 2, pp. 197−210.

74. A. Lasota, J. Myjak, Semifractals on Polish Spaces. // Bull, of the Polish Acad. Sci. Mathematics, 1998, Vol. 46, No. 2, pp. 179−196.

75. A. Lasota, J. Myjak, Fractals, Multifunctions and Markov Operators.// Threads in Mathematics: Fractals in Graz 2001, pp. 197−210.

76. К. Лейхтвейсс, Выпуклые множества, M., Наука, Гл.ред. физ.-мат.лит-ры, 1985.

77. О. Lehto, К. Virtanen, Quasikonforme Abbildungen // Berlin, New York, SpringerVerlag, 1965.

78. P. Levy. Les courbes planes ou gauches et les surfaces composees de parties semblables au tout. // J. Ecole Polytechn., III. Ser. 1938. V. 144, P. 227−247 et 249−291.

79. B. Mandelbrot, How long is the coast of Britain? Statistical selfsimilarity and fractional dimension.// Science. 1967, V. 155, pp. 636−638.

80. B. Mandelbrot, Les objets fractals: forme hasard et dimension // Paris, Flammarion, 1975.

81. В. Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature // San Francisco: Freeman. 1977. 81.

82. R. D. Mauldin, S. C. Williams, Hausdorff dimension in graph directed constructions.// Trans. Amer. Math. Soc. 1988, V. 309. pp. 811−829.

83. E. Michael, Topologies on spaces of subsets// Trans. Amer. Math. Soc. 1951, V. 71, pp. 152−182.

84. P. A. P. Moran, Additive functions of intervals and Hausdorff measure// Proc. Camb. Phil. Soc. 1946, V. 42, pp. 15−23.

85. A. Norton, A critical set with nonnull image has large Hausdorff dimension// Transactions of the AMS, 1986, V. 296, No. 1, pp. 367−376.

86. A. Norton, Functions not constant on fractal quasi-arcs of critical points// Proc AMS, 1989, V. 106, pp. 397−406.

87. G. Peano, Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane// Mathematische Annalen, 1890, V. 36(1), pp. 157—160.

88. С. П. Пономарев, О некоторых свойствах кривых Ван Коха, Сиб. матем. журн., 48:6 (2007), 1305−1321.

89. J. F. Ritt. On the iteration of rational functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1920. Vol. 21, pp. 348—356.

90. A. Schief. Separation properties for self-similar sets.// Proc. Amer. Math. Soc., 1994, V. 112, No. 1, pp. 111−115.

91. A. Schief. Self-similar sets in complete metric spaces // Proc. Amer. Math. Soc. 1996, V. 124, P. 481−490.

92. W. Sierpinski. Sur une courbe dont tout point est un point de ramification// Compt. Rendus Acad. Sci. Paris, 1915, V. 160, pp. 302−305.

93. Б. В. Шабат, Введение в комплексный анализ. M., Наука, 1969, 576 с.

94. H. J. S. Smith, On The Integration Of Discontinuous Functions// Proceedings of the London Mathematical Society, 1875, V. VI, pp. 140−153.

95. R. Strichartz, Differential equations on fractals: a tutorial. Princeton University Press, 2006.

96. R. Strichartz, Y. Wang, Geometry of self-afiine tiles I// Indiana Univ. Math. J., 1999, V. 48, pp. 1−24.

97. W. P. Thurston, Zippers and univalent functions, // «The Bieberbach Conjecture,» Math Surveys No. 21, Amer. Math. Soc, Providence, 1986, pp. 185 197.

98. M. Tsuji, Potential Theory in modern function theory. Maruzen Co., LTD, Tokyo, 1959.

99. P. Tukia. Hausdorff dimension and quasiconformal embeddings.// Math. Scand., 1989, V. 65, pp. 152−160.

100. P. Tukia, J. Vaisala: Quasisymmetric embeddings of metric spaces.// Ann. Acad. sci. fenn. Ser. Al Math., 1980, V. 5, pp. 97−114.

101. H. Whitney, A function not constant on a connected set of critical points.// Duke Math. J., 1935, V. 1, pp. 514−517.

102. S. Winter, Curvature measures and fractals.// Diss. Math., 2008, V. 453, 66pp.

103. M. Zahle, Curvature densities of self-similar sets, Workshop on Fractals and Tilings. 2009.

104. M. P. W. Zerner, Weak separation properties for self-similar sets.// Proc.Amer.Math.Soc. 1996, V. 124, No. 11, pp. 3529−3539.Публикации автора.

105. А. В, Тетенов. Хаусдорфова размерность множества крайних точек самоподобных множеств на плоскости. // Динамика сплошной среды, Сб. науч. тр. / Сиб. отд. РАН, Ин-т гидродинамики. 2002. Вып. 120. С. 53−59.

106. В. В. Асеев, А. В. Тетенов, А. С. Кравченко. О самоподобных жордановых кривых на плоскости// Сиб. матем. журнал. 2003, Т.44, N.3, С.481−492.

107. А. В. Тетенов. Самоподобные жордановы дуги и граф-ориентированные системы подобий.// Сиб. матем. журнал. 2006. Т. 47, N. 5. С.1147−1153.

108. Б. Н. Апанасов, А. В. Тетенов. Деформации гиперболических структур и квазифуксовы группы, порожденные отражениями. // Доклады РАН, 2006, Т.409, N.2, С. 583−585.

109. А. В. Тетенов. On the rigidity of one-dimensional systems of contraction similitudes.// Сибирские электронные математические известия. 2006. Т. З, С.342−345.

110. В. В. Асеев, А. В. Сычев, А. В. Тетенов. О квазиконформном продолжении с семейства плоских областей специального вида. //Доклады РАН, 2003, Т.389, N.6, С.727−729.

111. В. В. Асеев, А. В. Сычев, А. В. Тетенов. Обобщенные углы и оценки их обратного искажения при квазимероморфных отображениях. //Доклады РАН, 2004, т.395, N.3, стр.295−298.

112. В. В. Асеев, А. В. Сычев, А. В. Тетенов. Мебиусово-инвариантные метрики и обобщенные углы в птолемеевых пространствах.// Сиб. матем. журнал.2005, Т. 46, N. 2, С. 243−263.

113. В. В. Асеев, А. В. Тетенов. О жордановых самоподобных дугах, допускающих структурную параметризацию.// Сиб. матем. журнал. 2005. Т. 46, N. 4, С. 733−748.

114. А. В. Тетенов. О жордановых самоподобных дугах на плоскости.// Сибирский журнал индустриальной математики. 2004. т.7, N.3, С. 148−155.

115. В. В. Асеев, А. В. Тетенов, А. П. Максимова. Обобщенная метрика Помпейю в проблеме изометрии гиперпространств.// Математические заметки. 2005. Т. 78, вып. 2, С. 163−170.

116. А. В. Тетенов, И. Б. Давыдкин. О выпуклых оболочках самоподобных множеств. // Вестник Новосибирского государственного университета Серия «Математика, механика, информатика». 2005. Т. V. Вып. 2. С. 21−27.

117. И. Б. Давыдкин, О. Пуревдорж, А. В. Тетенов. Достаточные условия выпуклости самоподобных множеств //Сб. науч. раб. каф. мат. анализа ГАГУ. Горно-Алтайск: РИО ГАГУ, 2009. С. 26−31.

118. О. Purevdorj, А. V. Tetenov. A self-similar continuum which is not the attractor of any zipper.// Siberian Electronic Mathematical Reports. 2009. v.6. P. 510−513.

119. A. V. Tetenov. On the length of the set of extreme points for self-similar sets in R2.// Siberian Electronic Mathematical Reports. 2009. v.6. P. 542−545.