Многогранники Ньютона, инкременты и корни систем матричных функций голоморфных представлений групп

В диссертации (основанной на публикациях [1], [2] и [3]) рассматриваются многообразия корней систем матричных функций голоморфных представлений комплексной группы Ли (матричная функция — ограниченная на рассматриваемую группу линейная функция на пространстве операторов представления). Нас интересуют свойства многообразий, зависящие только от выбранных представлений группы. Например, в случае алгебраических групп таким свойством является количество корней полной системы матричных функций общего положения.

Мы рассматриваем системы уравнений.

Л (д) = = Мд) = о, (1.1) где Л, ¦" ,/*- - некоторые матричные функции голоморфных представлений 7Г1,—', 7Г^ группы (7 Для таких систем ниже (в этом разделе) определена асимптотическая плотность многообразия решений и усредненная асимптотическая плотность, т. е. усреднение асимптотической плотности по всем системам уравнений вида (1.1), соответствующих фиксированному набору представлений группы (о конструкции усреднения см. замечание 1 в конце раздела, описание усреднения в бесконечномерной ситуации приведено в разд. 2.6).

Результат работы — вычисления усредненной асимптотической плотности. Эта плотность выражается через инкременты (определения 1 и 3 в разд. 2.1 и 2.2) участвующих представлений, а результаты вычислений формулируются на языке геометрии выпуклых тел, расположенных в пространстве, двойственном алгебре Ли группы С?.

Здесь приведены вычисления усредненной асимптотической плотности в трех следующих ситуациях.

С) (разд. 2.1) Конечномерные представления произвольных комплексных групп.

И,) (разд. 2.2) Конечномерные представления комплексных редук-тивных групп.

Б) (разд. 2.3) Представлениякк аддитивной группы пространства С71 (см. ниже), для которых преобразования Фурье обобщенных функций с носителями на компакте К С Ые Сп* являются матричными функциями. Здесь мы вычисляем усредненную асимптотическую плотность многообразия решений систем вида Л = ¦ • • = А = О, где /г — преобразования Фурье обобщенных функций с носителями на фиксированных компактах К^.

Модельные примеры для случая (С) — конечномерные представления комплексного тора и конечномерные диагонализуемые представления аддитивной группы С" .

В первом случае (разд. 2.4) матричные функции — полиномы Лорана, весовые многогранники — многогранники Ньютона полиномов Лорана, а инкремент — опорная функция многогранника Ньютона. При к = п следствие теоремы 1 — выражение количества решений общей системы полиномов через смешанный объем их многогранников Ньютона [4].

Во втором случае (разд. 2.5) матричная функция представления.

— экспоненциальная сумма, весовой многогранник представления.

— многогранник Ньютона экспоненциальной суммы, а инкремент представления — опорная функция многогранника Ньютона. Многогранник Ньютона экспоненциальной суммы от п переменных — это (в общем случае, 2п-мерный) выпуклый многогранник в пространстве С1*.

Следствие теоремы 1 (при к = п) — выражение усредненной плотности множества корней систем экспоненциальных сумм через смешанный псевдообъем их многогранников Ньютона [1]. Описания этих примеров приведены в разделах 2.4 и 2.5.

В случае (О) определенная ниже в этом разделе асимптотическая плотность оказывается нулевой, если число уравнений больше ранга группы (рангом группы называют размерность ее картановской подалгебры). Отсюда, например, в случае (7 = ?Х (п, С) мы не получаем формулы для количества решений полиномиальной системы уравнений, аналогичной формуле Бернштейна [4]. С другой стороны, для редуктивных групп такая формула известна [10]. Поэтому в случае (Б,) приводится другое (в разд. 2.2), отличное от описанного во введении, определение асимптотической плотности (редуктивная асимптотическая плотность) и формула ее вычисления, содержательная при любом числе уравнений. При помощи такой формулы можно представить число решений общей полной системы уравнений в виде смешанного объема некоторых выпуклых тел, расположенных в пространстве, двойственном алгебре Ли максимальной компактной подгруппы группы (?.

Модельный пример для случая (Я) — вычисление числа решений общей полной системы матричных функций конечномерных представлений комплексной редуктивной группы [10]. Широко известно аналогичное вычисление числа решений полиномиальной системы на произвольном сферическом многообразиии [18]. В [20] было показано, что для случая классических групп полином Гильберта проективной сферической компактификации редуктивной группы совпадает с полиномом Эрхарда некоторого выпуклого многогранника, расположенного в «пространстве диаграмм Гельфанда-Цетлина» .

Вычисление числа решений в [10] рассматривалось как первый шаг в распространении известных в случае тора вычислений [4]-[7] на произвольные редуктивные группы. Следующий шаг должен был состоять в вычислении эйлеровой характеристики многообразия решений. Однако выяснилось [21], что формула, аналогичная торической неверна. Прогресс был достигнут недавно в работе [22], где получена формула эйлеровой характеристики многообразия решений общей системы вида (1.1). Компоненты формулы (так же как в [10]) — система корней и весовые многогранники представлений. С некоммутативностыо группы связаны некоторые топологические препятствия, усложняющие как саму формулу эйлеровой характеристики, так и ее вывод. Эти препятствия найдены в [23] в виде циклов вырождения общего набора векторных полей вида, а — (3, где «и ?3 — ле-воинвариантное и (соотв.) правоинвариантное векторные поля на редуктивной группе. Эти препятствия могут интерпретироваться как классы Чжэня логарифмического касательного расслоения над некоторой компактификацией исходной группы [22].

В случае (Б) мы имеем дело с бесконечномерными представлениями и бесконечномерным интегрированием. Модельным примером является вычисление усредненной плотности систем экспоненциальных сумм с вещественными спектрами, а также примеры вычислений плотности для систем уравнений, представленных бесконечными суммами экспонент [11].

Представления кк строятся следующим образом. Пусть Хкпространство ростков линейных дифференциальных операторов с гладкими коэффициентами на пространстве 11еСп*, определенных в сколь угодно малой окрестности компакта К. Действие оператора тгк (г) на пространстве 2к задается как т. е. как обычное действие на дифференциальных операторах, действующих на функции аргумента х.

В случае (Б) рассматриваются системы вида {/1 = • • • = Д = 0}, в которых /г является преобразованием Фурье некоторой обобщенной функции с носителем на компакте Кг (ясно, что преобразование Фурье такой функции является матричной функцией представления 7Гк).

Приведем здесь определение асимптотической плотности для случаев.

Пусть Л, • • •, А — некоторые матричные функции голоморфных представлений 7г1- • • •, 7Г&группы (7. Рассмотрим многообразие1 X корней системы уравнений.

Иначе говоря, Хт — многообразие, образованное корнями т-ой степени из элементов многообразия X. В некоторых случаях рост многообразий Хт при 771 —У оо приобретает асимптотику порядка тк. Это означает, что, если рассматривать Хт как поток (т.е. функционал Хт{ф) = /х ц> на пространстве финитных дифференциальных форм), то где поток Е (Х) отвечает за асимптотику роста многообразия Хт при т —> оо. Эта асимптотика также является характеристикой «массивности» многообразия корней исходной системы.

Пример 1. Если X — конечное подмножество комплексного тора (<�С)П, то Е (Х)(<^) — умноженный на количество точек множества X интеграл от функции 93 по компактному подтору {(21, • • •, гп): = 1} тора (С)" .

Асимптотическая плотность существует для любого алгебраическоого подмногообразия тора (см. разд. 2.4).

13десь и всюду далее мы для краткости употребляем термин многообразие, вместо термина замкнутое аналитическое мноэюество.

С) и (Б).

Хт = тк (ВД + о (1)).

1.2).

Пример 2. Пусть О — множество комплексных чисел (рассматриваемых как группа по сложению). Если X — конечное множество, то = 0.

Если X — множество решений уравнения ехр (аг) = с, то где Ь — прямая на комплексной плоскости, перпендикулярная вектору а.

Пример 3. [1] Пусть X — многообразие решений уравнения f (z) = 0, где / - функция экспоненциального роста на С". Тогда, рассматривая С" как группу по сложению, имеем2.

Хт = —ddclogf (mz)2. т.

Если ^ log |/(-г)|2 при т —> оо слабо сходится к функции p (z), то последняя называется индикатором роста функции /. В этом случае £(Х) = ddcp. Если / - экспоненциальная сумма, то р — опорная функция ее многогранника Ньютона.

Мы используем для описания асимптотики другую (практически эквивалентную) конструкцию асимптотической плотности многообразия как потока на алгебре Ли. Т.к. в этом случае результаты вычислений становятся более наглядными — они формулируются в терминах геометрии выпуклых тел. Для аналитического подмногообразия X С G обозначим через log X его прообраз при экспоненциальном отображении exp: Q —G. Будем рассматривать logX как поток на алгебре Ли Q группы G. Пусть gt:? н- - масштабирующее отображение Q —> Q. Тогда, если при t 00 ft), log А" = tcodimX (a (X) + о (1)), (1.3) то поток и{Х) мы называем асимптотической плотностью многообразия X.

В случае ® (в разд. 2.2) используется другое определение асимптотической плотности.

Утверждение о том, что X = ddc log f2 называется формулой Пуанкаре-Лелона.

33].

Пример 4. Пусть X — многообразие решений уравнения f (x) = 0, где / - полином Лорана на (С 0) п. Тогда, по определению, сг (Х) — это описанная в примере 3 асимптотическая плотность экспоненциальной суммы f (expz). Отсюда нетрудно понять, что носитель потока а (Х) равен Г ф Im С", где Г — тропическая гиперповерхность опорной функции многогранника Ньютона полинома /. Описание плотностей алгебраических многообразий приведено в [12], см. также ниже в разделе 2.4.

Пусть Х (тгх, • • •, 7Tfc) — поток в пространстве Q, полученный усреднением3 многообразия решений системы по всем системам вида (1.1) (о конструкции усреднения см. ниже замечание 1, описание усреднения в бесконечномерной ситуации приведено в разд. 2.6). Тогда, если при t —"• оо.

Ы*1оеХ (тгь-., 7 г.) = tCOdXmX (o{>KU—-, ТГк) + 0(1)), (1.4) то поток <�т (7Г1, — -, 7Г/-) мы называем потоком усредненной асимптотической плотности набора представлений 7Ti, • • •, 7Г£.

Все три вычисления усредненной плотности (т.е. вычисления в перечисленных выше случаях (G), ® и (D)) построены по единой 3-шаговой схеме.

1) Применение интегрально-геометрической формулы типа формулы Крофтона для записи выражения (gt)* logXfa, • • •, Zk) из формулы (1.4) (или (rt)* logr X (7Ti, • • •, 7Г/г) ИЗ формулы (2.1) в случае ®) в виде4.

SCO = ddcni (t, С) Л • - - A ddcHk (t, C), где Hi (t, С) — функции на алгебре Ли с числовым параметром t.

2) Нахождение асимптотики E (t) при i —" оо. Коэффициентом при старшем члене асимптотики всегда оказыается регуляризованное значение смешанного оператора Монжа-Ампера (утверждение 1 в разделе 2.1) на наборе инкрементов представлений.

Звпервые конструкция усреднения в вычислениях с многогранниками Ньютона была применена А. Г. Кушниренко [37].

4d°f = %/~Т/(4тг)(<9/ — Bf), где df и df — голоморфный и соответственно антиголоморфный дифференциалы функции /.

3) Вычисление или геометрическая интерпретация построенного регуляризованного значения.

В случае (Я) на втором шаге (вместо инкрементов) появляются (более приспособленные к редуктивному случаю) редуктивные инкременты представлений (определение 3 в разд. 2.2).

В случае (Б) первый шаг имеет некоторые особенности. Во-первых, в этом случае применяется бесконечномерная формула Крофтона (разд. 2.6). Такая формула может оказаться полезной. Например, она позволяет придать точный смысл утверждению о том, что нули голоморфных функций на единичном круге в среднем равномерно распределены по площади геометрии Лобачевского в модели Пуанкаре (см. пример 5 в разделе 2.6).

Во-вторых, мы производим усреднение не только по множеству всех рассмативаемых систем уравнений, но также по некоторым его подмножествам. Например, если п = к = 1, а множество К конечно, то рассматриваемое уравнение имеет вид.

Поэтому, усредняя по множеству всех систем, мы пропускаем случай экспоненциальных сумм (см. раздел 2.5).

В третьих, в бесконечномерных пространствах обычно не существует каких-либо выделенных счетно аддитивных мер, а любая из используемых для усреднения счетно аддитивных гауссовских мер является (по построению) достаточно вырожденной (см. разд. 2.6). Поэтому вычисление одинаковых по смыслу средних величин часто приводит к разным результатам (см. пример 5 в разделе 2.6). В разд. 3.3 (для повышения достоверности вычислений) используется семейство гауссовских мер на пространстве обобщенных функций, зависящих от вещественного параметра. Это семейство связано с некоторой шкалой пространств функций (наподобие соболевской шкалы). Показано, что усредненная плотность не зависит от выбора меры.

Замечание 1. В случаях (в) и (II) для вычисления усредненной плотности используется следующий вариант конечномерной формулы Крофтона [1].

Пусть, Нт — конечномерные эрмитовы пространства голоморфных функций на комплексном многообразии У, ~ хек, о<�р<�оо соответствующие выбранным эрмитовым метрикам гауссовские меры на этих пространствах, а Х (^р) — интеграл формы <р по многообразию корней системы уравнений Л = • • • = /т = 0 с /,• € усредненный по мере ф • • • © /хт на пространстве всех таких систем (т.е. на пространстве Н Ф • • • ф Нт). Тогда, если при любом у 6 У в каждом из пространств И{ найдется функция, не равная нулю в точке у, то где &-(у) ~ линейный функционал «значение в точке у» на Н¿-, т. е. у.

Глава 2.

Формулировки и комментарии.

1. Б. Я. Казарновский. Многогранники Ньютона и корни систем экспоненциальных сумм. — Функц. Анал. Прил., 1984, т.18, вып. 4, с. 40−49.

2. Б. Я. Казарновский. «Многогранники Ньютона» обобщенных функций. -Изв. РАН, т. 68, № 2, 2004, стр. 273−289.

3. Б. Я. Казарновский. Многогранники Ньютона, инкременты и корни систем матричных функций конечномерных представлений. Функц. Анал. Прил., 2004, т.38, вып. 4, с. 256−266.

4. Д. Н. Бернштейн, А. Г. Кушниренко, А. Г. Хованский. Многогранники Ньютона. УМЫ, 1976, т. 31, вып. 3, с. 201−201.

5. А. Г. Хованский. Многогранники Ньютона и торические многообразия. -Функц. Анал. Прил., 1977, т.11, вып.4, с.56−64.

6. А. Г. Хованский. Многогранники Ньютона и род полных пересечений. -Функц. Анал. Прил., 1978, т.12, вып.1, с.51−61.

7. В. И. Данилов. Геометрия торических многообразий. УМН., 1978, т. ЗЗ, вып.2, с.85−134.

8. Б. Я. Казарновский О нулях экспоненциальных сумм. ДАН СССР, 1981, т. 257, вып. 4, с. 804−808.

9. E. Bedford, B.A.Taylor. The Dirichlet problem for a complex Monge-Ampere equations. Invent, math., 1976, 37, N2, p.1−44.

10. Б. Я. Казарновский. Многогранники Ньютона, и формула Безудля матричных функций конечномерных представлений. Функц. Анал. Прил., 1987, т.21, вып.4, с.73−74.

11. О. А. Гельфонд. О среднем числе корней систем голоморфных почти периодических уравнений. УМН., 1984, т.39, вып.1, с.123−124.

12. Б. Я. Казарновский, с-вееры и многогранники Ньютона алгебраических многообразий. Изв. РАН, т. 67, № 3, 2003, стр. 23−44.

13. P.McMullen. The polytope algebra. Adv. Math., 78, p. 76−130 (1989).

14. P.McMullen. On simple polytopes. Inventiones Math., 113 (1993) 419−444.

15. А. В. Пухликов, А. Г. Хованский. Конечно аддитивные меры виртуальных многогранников. Алгебра и анализ, 1992, т.4, вып. 2, с. 161−185.

16. А. В. Пухликов, А. Г. Хованский. Теорема Римаиа-Роха для интегралов и сумм квазиполиномов по виртуальным многогранникам. Алгебра и анализ, 1992, т.4, вып. 4, с. 188−216.

17. W. Fulton, B.Sturmfels. Intersection theory on toric varieties. (1994), http://arxiv.org/abs/math/9 403 002.

18. M.Brion. Groupe de Picard et nombres caracteristiques des varietes spheriques. Duke Math J. 58, N 2 (1989), 397−424.

19. M.Brion. The structure of the polytope algebra. Tohoku Math. Journal 49 (1997), 1−32.

20. А.Окуньков. Замечание о полиноме Гильберта сферического пространства. Функц. Анал. Прил., 1997, т.31, вып.2, с.82−85.

21. Kuimars Kaveh. Morse theory and Euler characteristic of sections of spherical varieties. Transformation Groups, 9, N. l (2003), 47−63.

22. V. Kiritchenko. On intersection indeces of subvarieties in reductive groups. -Moscow Mathematical J. Volume 7 (2007), Number 3.

23. V. Kiritchenko. Chern classes of reductive groups and an adjunction formula. http://arxiv.org/abs/math.AG/411 331.

24. В. И. Арнольд. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

25. S.Alesker. Hard Lefschets theorem for valuations, complex integral geometry, and unitarily invariant valuations. (2002), http://arxiv.org/abs/math/209 263 (J. Differential Geom. 63:1 (2003), 63−95).

26. L.Ahlfors. The theory of meromorphic curves. Acta Soc. Sci. Fenn., 1941, Ser. A, N 3, pp. 3−31.

27. B. Kostant. On convexity, the Weyl group and the Iwasawa decomposition. -Ann. Sci. Ecol. Norm. Sup. 1973, N.6,.

28. Казарновский Б. Я. Экспоненциальные аналитические множества. -Функц. Анал. Прил., 1997, т.31, вып. 2, с.15−26.

29. И. М. Гельфанд, Н. Я. Виленкин. Обобщенные функции 4. Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства. М.: Наука, 1961.

30. JIapc Хёрмандер.

Введение

в теорию функций нескольких комплексных переменных. М.: Мир, 1968.

31. А. Н. Колмогоров. Основные понятия теории вероятностей. М.- Л., 1936.

32. Б. В. Шабат.

Введение

в комплексный анализ. Часть 2. М.: Наука, 1976.

33. Р.Харви. Голоморфные цепи и их границы. М.: Мир, 1979.

34. А. А. Кириллов, А. Д. Гвишиани. Теоремы и задачи функционального анализа. М.: Наука, 1988.

35. Г. Вуземан. Выпуклые поверхности. М.: Наука, 1964.

36. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. т.43. М.: ВИНИТИ, 1989.

37. А. Г. Кушниренко. Вычисление средних количеств корней систем уравнений. Рукопись, депонированная в ВИНИТИ, 1981.