Геометрия оснащённых подмногообразий в пространстве проективно-метрической связности

1. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР.

В дифференциальной геометрии важное место занимает теория связно-стей в различных расслоенных пространствах, а также её применение при исследовании оснащённых подмногообразий, погружённых в однородные и обобщённые пространства.

История теории связностей начинается с 1917 года с работы Т. Леви-Чивита [103] о параллельном перенесении вектора в римановой геометрии. Эта идея сразу же нашла применение в общей теории относительности и была обобщена в различных направлениях. В 1918 году Г. Вейль [109] для построения единой теории поля ввёл понятие пространства аффинной связности. Дальнейшее обобщение дал в 1920 году Р. Кэниг [102], рассматривая линейную связность в векторном расслоении над областью числового пространства.

Новый этап в развитии теории связностей открыли работы Э. Картана [45] в 20-х годах XX века, в которых касательные векторные пространства заменялись аффинными, проективными или конформными пространствами. В 1924 году И. А. Схоутен [106], [107] установил взаимосвязь между концепциями Кэнига и Картана.

Развитие теории связностей в рамках этих двух концепций продолжалось в течение всей первой половины XX века.

В 1950 году начинается следующий этап в развитии теории связностей, когда В. В. Вагнер [17], [19] и Ш. Эресман [101] независимо друг от друга ввели общее понятие связности в расслоенном пространстве. Изложение В. В. Вагнера является локальным и выполнено классическими методами.

Многие исследователи применяли связности в касательных расслоениях при изучении геометрии подмногообразий, вложенных в риманово пространство, в частности, в пространство постоянной кривизны.

Первые применения понятия проективной связности к геометрии подмногообразий в проективном пространстве дал Э. Картан [99] в 1937 году.

В 1950 году появилась монография А. П. Нордена [59], в которой разработан метод нормализации, позволяющий в касательных расслоениях подмногообразий проективного пространства индуцировать аффинные связности без кручения. Согласно работе А. П. Нордена [59], нормализация «-мерного проективного пространства Рп состоит в задании некоторого однозначного, непрерывного и дифференцируемого соответствия „точка А0 — гиперплоскость ?0“, где При этом, принимая гиперплоскость за образующий элемент пространства, автор строит проективное пространство Рп, двойственное исходному пространству Рп. Нормализации А0 -» отвечает внутренняя проективно-евклидова геометрия (первого рода). Применение принципа двойственности к нормализованному пространству Рп позволило принять гиперплоскость за нормализуемый элемент проективного пространства Рп, а связку гиперплоскостей с центром в точке А0 -за нормализующее многообразие и связать с тем же двойственным соответствием внутреннюю аффинную связность второго рода (без кручения), также принадлежащую к классу проективно-евклидовых пространств. В силу двойственности пространств Рп и Рп индуцируемые аффинные связности первого и второго родов А. П. Норденом также названы двойственными.

Используя двойственный характер геометрии проективного пространства Рп, А. П. Норден [59], В. В. Вагнер [18], А. И. Чахтаури [88], [89], А. П. Широков [93], Г. В. Бушманова [13], Г. Н. Тевзадзе [80], А. В. Чакма-зян [85], Ю. И. Попов [68] - [70], М. А. Василян [20] - [22] и другие получили ряд глубоких результатов по изучению некоторых вопросов двойственной геометрии нормализованной гиперповерхности УпА с Рп, гиперполосы НтаРп, нормализованного пространства Рп, а также по изучению двойственной геометрии сетей Е2 с Р2 и Ц2 с Г2 с: Р3. В указанных работах важное место занимают исследования по двойственным аффинным связностям.

В 50-х годах XX века Г. Ф. Лаптевым [47] был развит новый инвариантный аналитический метод дифференциально-геометрических исследований многообразий, вложенных в однородные пространства и в пространства с фундаментально-групповой связностью. С использованием этого метода задача сводится к изучению геометрии подмногообразия посредством исследования дифференциально-геометрических структур, индуцированных полями фундаментальных, охваченных и оснащающих объектов подмногообразия. Г. Ф. Лаптев, следуя идеям Э. Картана, дал строгое определение пространства аффинной связности.

Обзор дальнейшего развития теории связностей излагается в работе Ю. Г. Лумисте [54].

В 1926 г. Э. Картан [98] ввёл понятие «неголономного пространства с фундаментальной группой О «.

К понятию неголономного многообразия привели учёных некоторые задачи движения механических систем, подчинённых добавочным линейным неголономным связям, задаваемым, например, неинтегрируемой системой уравнений Пфаффа, в пространстве конфигураций механической системы (см. работы В. В. Вагнера [15], А. В. Гохмана [41], П. К. Рашевского [72], С. А. Чаплыгина [86]).

Наряду с этим независимо от задач механики к понятию неголономного многообразия математики пришли путём обобщения основных положений геометрии подпространства на случай, когда поле тмерных пучков направлений не задаёт семейства тмерных подпространств (см. работы.

В. В. Вагнера [14], [16], Д. М. Синцова [74], Схоутена [108], монографию Михэйлеску [105]).

В инвариантной аналитической форме в работах Г. Ф. Лаптева и Н. М. Остиану (см. [50], [51], [63], [65]) получила дальнейшее развитие теория распределений тмерных линейных и гиперплоскостных элементов в проективном пространстве Рп и пространстве проективной связности Рп п.

В случае распределения гиперплоскостных элементов в пространствах со связностью без кручения эта теория нашла своё отражение в работах В. И. Близникаса [10], [11]. Ю. Г. Лумисте [55] изучает распределения на однородных пространствах, названных им пространствами проективного типа. Исследования Э. Д. Алшибая [2] посвящены изучению распределений гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве. А. П. Норден [60], [61] устанавливает связь теории многочленных композиций с теорией распределений.

В 70-х годах XX века В. Т. Базылевым получена (см. [3] - [6]) обширная теория плоских многомерных сетей погружённых в и-мерное проективное пространство Рп. В этом направлении некоторые вопросы сетей в пмерных проективном и аффинном пространствах рассматриваются также в работах А. И. Чахтаури [89], М. Са1арБО [97], Я. Р^Погаи) [104]. Ряд классов сетей на различных многообразиях (в частности, в пространствах аффинной связности) изучается В. Т. Базылевым [7] - [9], А. Е. Либером [52]. В работах В. Т. Базылева [5], [7], Я. С. Дубнова [42], А. Е. Либера [53] в различных пространствах рассматриваются многомерные аналоги чебышевских сетей. Некоторые вопросы глобальной теории сетей на двумерных многообразиях отмечены в работах \^851ег'а СЬ. [110], Э. Г. Поздняка [67]. А. И. Чахтаури [87] применяет метод нормализации к изучению двойственной геометрии плоских сетей Е2 •.

Двойственная геометрия плоских сетей т-тканей на гиперполосном распределении Н с Рпп и на регулярной гиперповерхности с Рп изучается А. В. Столяровым [76].

Метод Г. Ф. Лаптева был использован А. В. Столяровым [76] для построения основ двойственной теории оснащённых многообразий, погружённых в пространство проективной связности Р. При этом определение двойственных пространств с линейной связностью А. В. Столяровым дано [76] с точки зрения инволютивных преобразований форм их связностей. Такое определение позволило автору при изучении двойственной геометрии подмногообразий расширить объемлющее пространство (проективное) до пространства проективной связности, привлечь к изучению геометрии подмногообразия его двойственный образ, рассматривать двойственные вопросы не только при нормализации [59] подмногообразия, но и при различных других его оснащениях, впервые проводить изучение двойственной геометрии неголономных многообразий (распределений). В частности, А. В. Столяровым разработаны [76] основы инвариантных двойственных теорий нормализованного пространства проективной связности Рпп, регулярного гиперполосного распределения Я с Рп п и регулярного распределения гиперплоскостных элементов 9?, погружённого в пространство Р, а также найдены некоторые пути приложения этих теорий к изучению двойственной геометрии плоских многомерных сетей (тканей).

Согласно А. П. Нордену [59], пространством п измерений с проективной метрикой или пространством Кп называется такое пространство, образом точки которого является точка проективного пространства Рп, а фундаментальной группой — подгруппа проективных преобразований, сохраняющих некоторый поляритет (абсолют). Этот поляритет называется абсолютным поляритетом пространства Кп. В монографии А. П. Нордена [59] изучаются некоторые вопросы геометрии пространства Кп с невырожденным абсолютом ()пх. В случае, когда абсолют ()пА овального типа, поляритет называется [59] гиперболическим.

Гиперболическое пространство Кп имеет особое значение в геометрии, ибо оно представляет собой проективную интерпретацию геометрии Лобачевского. С помощью этой интерпретации Ф. Клейн дал первое строгое доказательство её непротиворечивости.

В работе Г. Ф. Лаптева [47] вводится понятие пространства проектив-но-метрической связности Кпп, обобщающее понятие пространства Кп: пространство К есть пространство проективной связности Р, обладающее инвариантным полем локальных гиперквадрик <2пх (локальных абсолютов). А. В. Столяровым [79] найдено инвариантное аналитическое условие, при выполнении которого пространство Рпп становится пространством проективно-метрической связности Кп п.

А. В. Столяров [77] изучает внутреннюю геометрию оснащённого в смысле А. П. Нордена [59] проективно-метрического пространства Кп в работе [79] им исследуются некоторые вопросы дифференциальной геометрии полярной нормализации пространства проективно-метрической связности Кпп. Д. А. Абруковым [1] получены результаты по изучению геометрии поверхностей и распределений, погружённых в проективно-метрическое пространство Кп.

Кривые и поверхности в евклидовом и проективном пространствах с вырожденным (невырожденным) абсолютом рассматриваются в работах А. Э. Хатипова [82] - [84], Р. Г. Бухараева [12], А. П. Нордена [57], И. Н. Мигалевой [56].

Обзор работ в квазиэллиптическом, квазигиперболическом, галилее-вом Г3, псевдогалилеевом 1Г3, проективном Р3 пространствах с соответствующими абсолютами приведён в монографии [1]. В частности, в работах А. П. Широкова [90], [91] изучается биаксиальное пространство (проективное пространство Р3 с абсолютом в виде двух непересекающихся прямых), а также обобщённо биаксильное пространство.

1. АбрукоеД. А. Внутренняя геометрия поверхностей и распределений в проективно-метрическом пространстве: Монография / Д. А. Абруков. -Чебоксары: Чувашский госпедун-т, 2003. — 140 с.

2. Алшибая Э. Д. К геометрии распределений гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве / Э. Д. Алшибая // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. М., 1974. — Т. 5. — С. 169−193.

3. Базылев В. Т. К геометрии плоских многомерных сетей / В. Т. Ба-зылев // Уч. зап. Московского гос. пед. ин-та им. В. И. Ленина. -М., 1965.-№ 243.-С. 29−37.

4. Базылев В. Т. О многомерных сетях и их преобразованиях /B. Т. Базылев // Итоги науки и техники. Геометрия (1963) / ВИНИТИ АН СССР.-М., 1965.-С. 138−164.

5. Базылев В. Т. О нормализациях проективного пространства, порождаемых заданной в нём сетью / В. Т. Базылев // Liet. mat. rinkinys: Лит. мат. сб. Вильнюс, 1966. — Т. 6. — № 3. — С. 313−322.

6. Базылев В. Т. О фундаментальных объектах плоских многомерных сетей / В. Т. Базылев // Известия вузов. Матем. 1967. — № 9. — С. 3−15.

7. Базылев В. Т. О V-сопряжённых сетях в пространстве аффинной связности / В. Т. Базылев // Известия вузов. Матем. 1974. — № 5.C. 25−30.

8. Базылев В. Т. Сети на многообразиях / В. Т. Базылев // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. М., 1974. — Т. 6. — С. 189−205.

9. Базылев В. Т. Сети на многообразиях / В. Т. Базылев, М. К. Кузьмин, А. В. Столяров // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР.-М., 1981.-Т. 12.-С. 97−125.

10. Близникас В. И. Дифференциальная геометрия неголономной гиперповерхности риманова пространства / В. И. Близникас // Liet. mat. rinkinys: Лит. мат. сб.-Вильнюс, 1971.-Т. ll.-№ 1.-С. 63−74.

11. Близникас В. И. О неголономной поверхности трёхмерного пространства проективной связности / В. И. Близникас // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. М&bdquo- 1971. — Т. 3. — С. 115−124.

12. Бухараев Р. Г. О поверхности евклидова пространства с невырожденным абсолютом / Р. Г. Бухараев / Уч. зап. Казанского гос. ун-та. Казань, 1954.-Т. 114.-С. 39−52.

13. Бушманова Г. В. О нормалях, принадлежащих каноническому пучку / Г. В. Бушманова // Уч. зап. Казанского ун-та. Казань, 1950. -Т. 110.-С. 19−33.

14. Вагнер В. В. Дифференциальная геометрия неголономных многообразий / В. В. Вагнер // 8-й Международный конкурс на соискание премий им. Лобачевского: сб. ст. Казань, 1940. — С. 195−262.

15. Вагнер В. В. Геометрическая интерпретация движения неголоном-ных динамических систем / В. В. Вагнер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. М., 1941.-Вып. 5.-С. 301−327.

16. Вагнер В. В. Геометрия (и-1)-мерного неголономного многообразия в п-мерном пространстве / В. В. Вагнер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. М., 1941.-Вып. 5.-С. 173−225.

17. Вагнер В. В. Обобщение тождества Риччи и Бианки для связности в составном многообразии / В. В. Вагнер // ДАН СССР. 1945, 46. — № 8. -С. 335−338.

18. Вагнер В. В. Теория поля локальных гиперполос / В. В. Вагнер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. М., 1950. -Вып. 8.-С. 197−272.

19. Вагнер В. В. Теория составного многообразия / В. В. Вагнер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. М., 1950. -Вып. 8.-С. 11−72.

20. Васнлян М. А. Об инвариантном оснащении гиперполосы / М. А. Василян // Докл. АН АрмССР. 1970. — Т. 50. — № 2. — С. 65−70.

21. Василян М. А. Проективная теория многомерных гиперполос/ М. А. Василян // Изв. АН Арм. ССР. Матем. 1971. — Т. 6. — № 6,-С. 477−481.

22. Василян М. А. Аффинные связности, индуцируемые оснащением гиперполосы / М. А. Василян // Докл. АН АрмССР. 1973. — Т. 57. — № 4. -С. 200−205.

23. Голубева Е. А. (Мухина Е. А.) А пространство проективно-метри-ческой связности / Е. А. Мухина, А. В. Столяров // Вестник Чувашского гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева / Чувашский госпедун-т. — Чебоксары, 2004.-№ 3(41).-С. 29−33.

24. Голубева Е. А. (Мухина Е. А.) Нормализованное пространство проективно-метрической связности / Е. А. Мухина // ВИНИТИ РАН. М., 2004. — № 615 — В2004. — 17 с.

25. Голубева Е. А. Двойственные аффинные связности, индуцируемые нормализацией пространства проективно-метрической связности / Е. А. Голубева // ВИНИТИ РАН. М., 2005. — № 163 — В2005. — 19 с.

26. Голубева Е. А. Двойственные пространства проективно-метрической связности без кручения / Е. А. Голубева // ВИНИТИ РАН. М., 2005. -№ 1352 — В2005. — 19 с.

27. Голубева Е. А. Двойственные пространства проективно-метрической связности без кручения, ассоциированные с регулярной неголономной гиперповерхностью / Е. А. Голубева // ВИНИТИ РАН. М., 2005. -№ 1743 — В2005. — 17 с.

28. Голубева Е. А. Линейные связности, индуцируемые нормализацией пространства проективно-метрической связности / Е. А. Голубева // Наука XXI века. Достижения и перспективы: сб. ст. / Чувашский гос. ин-т гум. наук. Чебоксары, 2005. — С. 4−5.

29. Голубева Е. А. Метрика пространства проективно-метрической связности / Е. А. Голубева // Вестник Чувашского гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева / Чувашский госпедун-т. Чебоксары, 2005. — № 1(43). -С. 25−29.

30. Голубева Е. А. Взаимно-полярные распределения гиперплоскостных элементов в пространстве проективно-метрической связности / Е. А. Голубева // ВИНИТИ РАН. М., 2006. — № 731 — В2006. — 14 с.

31. Голубева Е. А. Внутренняя геометрия нормализованного пространства проективно-метрической связности / Е. А. Голубева // Известия вузов. Матем. 2006. — № 1. — С. 73−75.

32. Голубева Е. А. Двойственная геометрия нормализованного распределения гиперплоскостных элементов в пространстве проективно-метрической связности / Е. А. Голубева // ВИНИТИ РАН. М., 2006. — № 397 -В2006. -28 с.

33. Голубева Е. А. Геометрия плоских сетей в проективно-метричес-ком пространстве / Е. А. Голубева // ВИНИТИ РАН. М., 2006. — № 960 -В2006. — 11 с.

34. ДубновЯ. С. О пространственных аналогах чебышевской сети / Я. С. Дубнов, С. А. Фукс // Докл. АН СССР. 1940. — Т. 28. -№ 2.-С. 102−104.

35. Евтушик Л. Е. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях / Л. Е. Евтушик и др. // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. М., 1979. — Т. 9. — 246 с.

36. Ефимов Н. В. Высшая геометрия / Н. В. Ефимов. М.: ГИТТЛ, 1961.-580 с.

37. Картан Э. Пространства аффинной, проективной и конформной связности / Э. Картан. Казань: Изд. Казанск. ун-та, 1962. — 210 с.

38. Кобаяси Ш. Основы дифференциальной геометрии / Ш. Кобаяси, К. Номидзу.-М.: Наука, 1981.-Т. 1.-344 сТ. 2.-414 с.

39. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погружённых многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований / Г. Ф. Лаптев // Тр. Моск. матем. об-ва. М., 1953. — Т. 2. -С. 275−382.

40. Лаптев Г. Ф. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований / Г. Ф. Лаптев // Труды 3-го Всес. матем. съезда. М., 1958. — Т. 3. — С. 409−418.

41. Лаптев Г. Ф. Многообразия, погружённые в обобщённые пространства / Г. Ф. Лаптев // Тр. 4-го Всес. матем. съезда (1961). Ленинград, 1964.-Т. 2.-С. 226−233.

42. Либер А. Е. К теории сетей в многомерном пространстве / А. Е. Либер // Диф. геометрия / Саратовский ун-т. Саратов, 1974. -Вып. 1.-С. 72−84.

43. Либер А. Е. О чебышевских сетях и чебышевских пространствах / А. Е. Либер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ.-М., 1974. Вып. 17. — С. 177−183.

44. Лумисте Ю. Г. Теория связностей в расслоенных пространствах / Ю. Г. Лумисте // Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия, 1969 / ВИНИТИ АН СССР.-М., 1971.-С. 123−168.

45. Лумисте Ю. Г. Распределения на однородных пространствах / Ю. Г. Лумисте // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. М., 1977. — Т. 8. — С. 5−24.

46. Мигалева И. Н. Теория кривых и гиперповерхностей пространства с вырожденным абсолютом / И. Н. Мигалева // Уч. зап. Московского гос. пед. ин-та им. В. И. Ленина. М., 1963. — Т. 208. — С. 252−264.

47. Норден А. П. О внутренних геометриях поверхностей проективного пространства / А. П. Норден // Труды семинара по векторному и тензорному анализу /МГУ.-М., 1948.-Вып. 6.-С. 125−224- Вып. 7.-С. 31−64.

48. Норден А. П. О полярной нормализации в пространстве с вырожденным абсолютом / А. П. Норден // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. М., 1952.-Вып. 9.-С. 198−212.

49. Норден А. П. Пространства аффинной связности / А. П. Норден. -М.: Наука, 1976.-432 с.

50. Норден А. П. Многочленные композиции и теория распределений / А. П. Норден // Известия вузов. Матем. 1978. — № 11. — С. 87−97.

51. Норден А. П. Теория композиции / А. П. Норден // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. М., 1978. — Т. 10. -С.117−145.

52. Остиану H. М. О канонизации подвижного репера погружённого многообразия / H. М. Остиану // Rev. math, pures et appl (RPR). 1962. -T. 7. — № 2. — C. 231−240.

53. Остиану H. M. Распределения mмерных линейных элементов в пространстве проективной связности. II / H. М. Остиану // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. М., 1971. — Т. 3. — С. 96−114.

54. Остиану H. М. Очерк научных исследований Германа Фёдоровича Лаптева / H. М. Остиану, В. В. Рыжков, П. И. Швейкин // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. М., 1973. — Т. 4. — С. 7−70.

55. Остиапу Н. М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространстве / Н. М. Остиану // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. -М., 1973.-Т. 4.-С. 71−120.

56. Остиану Н. М. Дифференциально-геометрические структуры на дифференцируемых многообразиях / Н. М. Остиану // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. М., 1977.-Т. 8.-С. 89−111.

57. Поздняк Э. Г. Геометрические исследования, связанные с уравнением =8тг / Э. Г. Поздняк // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. М., 1977. — Т. 8. — С. 225−241.

58. Попов Ю. И. К теории оснащённой регулярной гиперполосы в многомерном проективном пространстве / Ю. И. Попов // Уч. зап. Московского гос. пед. ин-та им. В. И. Ленина. М., 1970. — № 374. — Т. 1. -С. 102−117.

59. Попов Ю. И. Общая теория регулярных гиперполос: учебное пособие / Ю. И. Попов. Калининград: Калининградский ун-т, 1983. — 82 с.

60. Х. Попов Ю. И. Специальные классы регулярных гиперполос: учебное пособие / Ю. И. Попов, А. В. Столяров. Калининград: Калининградский ун-т, 1992. — 80 с.

61. Рашевский П. К. Геометрическая теория уравнений с частными производными / П. К. Рашевский. М.: Гостехиздат, 1947. — 354 с.

62. Рашевский И К. Симметрические пространства аффинной связности с кручением. I / П. К. Рашевский // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. М., 1950. — Вып. 8. — С. 82−92.

63. Синцов Д. М. Работы по неголономной геометрии / Д. М. Синцов. -Киев: Вища школа, 1972. 294 с.

64. Смирнов Р. В. Преобразования Лапласа рсопряжённых систем / Р. В. Смирнов // Доклады АН СССР. 1950. — Т. 71. -№ 3. — С. 437−439.

65. Столяров А. В. Двойственная теория оснащённых многообразий: Монография. 2-е изд., доп. / А. В. Столяров. Чебоксары: Чувашский гос-педун-т, 1994.-290 с.

66. Столяров А. В. Внутренняя геометрия проективно-метрического пространства / А. В. Столяров // Диф. геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. научных трудов / Калининградский ун-т. Калининград, 2001. — Вып. 32. — С. 94−101.

67. Столяров А. В. Взаимно-полярные неголономные гиперполосы в проективно-метрическом пространстве / А. В. Столяров // Вестник Чувашского гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева / Чувашский госпедун-т. Чебоксары, 2003.-№ 1.-С. 51−58.

68. Столяров А. В. Пространство проективно-метрической связности / А. В. Столяров // Известия вузов. Матем. 2003. — № 11. — С. 70−76.

69. Тевзадзе Г. Н. О паре сопряжённых аффинных связностей, индуцируемых на поверхности проективного пространства Ръ / Г. Н. Тевзадзе // Сообщения АН ГрССР. 1966,42. — № 2. — С. 257−264.

70. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии / С. П. Фиников. М. — Л.: ГИТТЛ, 1948. — 432 с.

71. Хатипов А. Э. Теория поверхностей в пространстве с абсолютом, распавшимся на пару комплексно-сопряжённых плоскостей / А. Э. Хатипов // Тр. Узбек, ун-та. 1955, 59. — С. 105−132.

72. Хатипов А. Э. Теория поверхностей в пространстве с абсолютом, распавшимся на пару действительных плоскостей / А. Э. Хатипов // Тр. Узбек, ун-та. 1956,65. — С. 11−15.

73. Хатипов А. Э. Теория поверхностей в пространстве с распадающимся абсолютом / А. Э. Хатипов // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. М., 1956. — Вып. 10. — С. 285−308.

74. Чакмазян А. В. Двойственная нормализация / А. В. Чакмазян // Докл. АН АрмССР. 1959. — Т. 28. -№ 4. — С. 151−157.

75. Чаплыгин С. А. К теории движения неголономных систем. Теорема о приводящем множителе / С. А. Чаплыгин // Полное собрание сочинений. -Л., 1933. Т. 1. -С. 212−214.

76. Чахтаури А. И. Внутренние геометрии плоских сетей / А. И. Чах-таури // Труды Тбилисского матем. ин-та АН ГрССР. Тбилиси, 1944, 15.-С. 101−148.

77. Чахтаури А. И. Приложения внутренних геометрий плоских сетей в теорию поверхностей / А. И. Чахтаури // Труды Тбилисского матем. инта АН ГрССР. Тбилиси, 1954,20. — С. 89−130.

78. Чахтаури А. И. Об обобщении конфигураций Лапласа для пмерных сетей / А. И. Чахтаури // 6-я Всес. геом. конф. по совр. проблемам геометрии: тез. докл. Вильнюс, 1975. — С. 251−253.

79. Широков А. П. Геометрия обобщённых биаксийьных пространств / А. П. Широков // Уч. зап. Казанского гос. ун-та. Казань, 1954. — Т. 114. — кн. 2.-С. 123−166.а.

80. Широков А. П. Классификация групп движения биаксиЛыюго пространства эллиптического типа / А. П. Широков // Уч. зап. Казанского гос. ун-та.-Казань, 1963.-Т. 123.-кн. 1.-С. 208−221.

81. Широков А. П. Структуры на дифференцируемых многообразиях / А. П. Широков // Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия / ВИНИТИ АН СССР.-М., 1974. Т. 11.-С. 153−207.

82. Широков А. П. Пространства аффинной связности (некоторые аспекты метода нормализации А. П. Нордена) / А. П. Широков // Итоги наукии техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. М., 1985. — Т. 17.-С. 131−151.

83. Шуликовский В. И. Классическая дифференциальная геометрия /B. И. Шуликовский. М.: Физматгиз, 1963. — 540 с.

84. Шуликовский В. И. Проективная теория сетей / В. И. Шуликовский. Казань: Изд. Казанск. ун-та, 1964. — 78 с.

85. Bortolotti Е. Connessioni nelle varieta luogo di spaziapplicazione alla geometria metrica differenziale delle congruanze di rette / E. Bortolotti // Rond. Semin. Fac. Sei Univ. Cagliari. 1933. — T. 3 — P. 81−89.

86. Calapso M. Sulle reti a invarianti uguali di un iperspazio affine / M. Calapso // Rend. Cire, matem. Palermo, 1973,22. — № 1−2 — P. 62−66.

87. Carian E. Les groups d’holonomie des espaces generalizes / E. Cartan // Acta math. 1926, 48. — P. 1−42.

88. Cartan E. Les espaces a connexion projective / E. Cartan // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. М., 1937. — Вып. 4.C. 147−159.

89. Casanova G. La notion de pole harmonique / G. Casanova // Rev. math. spec. 1955, 65. — № 6. — P. 437−440.

90. Ehresmann С. Les connexions infinitesimales dans un espace fibre differentiable / C. Ehresmann // Colique de Topologie (Bruxelles, 1950). Paris, 1951.-P. 29−55.

91. Konig R. Beitrage zu einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslhre / R. Konig // Jahresb. d. Deutsch. Math. Ver. 1920,28. — P. 213−228.

92. Levi-Civita T. Nozioni di parallelismo in una varieta qualunque e con-seguente specificazione geometrica della curvature Riemanniana / T. Levi-Civita // Rend. circ. Matem. Palermo, 1917,42. — P. 173−205.

93. Migliorato R. Intormo ad alcune reti ad invariati uguali in un iperspazio affine / R. Migliorato // Atti Soc. pelorit. sei. fis. mat. e nature. 1971, 17.-№ 3−4.-P. 379−381.

94. Mihalescu T. Geometrie differentiala projective / T. Mihalescu // Bu-curecti Acad. RPR. 1958. — 494 p.

95. Schouten J. A. Les connexions conformes et projective de E. Cartan et la connexion lineaire de la cjnnexion lineare generale de M. Konig / J. A. Schouten // C. R. Acad. Sei. 1924,178. — P. 2044;2046.

96. Schouten J. A. Erlanger Programm und Ubertragunslehre. Neue Gesichtspunkte zur Grundlegung der Geometrie / J. A. Schouten // Rend. circ. matem. Palermo, 1926, 50.-P. 142−169.

97. Schouten J. A. Uber nicht-holonome Ubertragungen in einer Ln / J. A. Schouten // Mathematische Zeitschrift. 1929,30. — P. 149−172.

98. Weyl H. Raum. Zeit, Materie. / H. Weil. Berlin, 1918.

99. Wissler Ch. Globale Tochebyscheh-Netze auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten und Fortsetzung von Flachen konstanter negativer Krummung / Ch. Wissler Ii Comment. math. helv. 1972, 47. — № 3. — P. 348−372.