Предельные теоремы для случайных матриц с зависимыми элементами

Содержание

• Теория случайных матриц и методы, используемые при исследовании случайных матриц, играют важную роль в различных разделах теоретической и прикладно1Т'математики. Случайные матрицы возникли из

приложений, сначала в анализе данных, а позже в качестве статистических моделей в квантовой механике. В последние годы теория случайных матриц нашла многочисленные применения во многих других областях, например, в численном анализе, финансовой инженерии, биологии.

Одна из основных проблем в теории случайных матриц — исследовать сходимость последовательности эмпирических спектральных функций распределения для заданной последовательности случайных матриц.

В основополагающей работе Вигнера [1] рассмотрены симметричные случайные матрицы, элементы которых в верхней треугольной части являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами, имеющими симметричное бернуллиевское распределение. Вигнер доказал, что ожидаемая эмпирическая спектральная функция распределения собственных значений таких матриц сходится к полукруговому закону. Позже этот результат был назван «полукруговым законом Вигнера» и обобщен в ряде работ, см., например, работу Арнольда [2]. Наиболее общие условия сходимости к полукруговому закону Вигнера для симметричных случайных матриц с независимыми элементами в верхней треугольной части матрицы были получены Пастуром в работе [3]. Пастур показал, что условие Линдеберга является достаточным для сходимости к полу круговому закону. Отметим, что в работе Пастура предполагалось, что элементы матрицы имеют одинаковые дисперсии.

Другой интересный ансамбль случайных матриц представляют матрицы с независимыми элементами. Будем говорить, что выполнен круговой закон, если последовательность эмпирических спектральных функций распределения сходится к функции распределения, которая имеет плотность равномерного распределения на единичном круге. Для матриц с н.о.р. комплекснозначными нормально распределенными случайными элементами круговой закон был доказан Метой [4]. Его доказательство использует явное выражение для совместной плотности собственных значений матрицы, которое было найдено Жинибром [5]. В общем случае, в предположении существования конечных четвертых моментов и плотности у распределений элементов матрицы, круговой закон доказан Гирко [6]. Но его доказательство в литературе считается неполным. Предполагая существование плотности и некоторые моментные ограничения, Бай [7], доказал сходимость почти наверное эмпирических спектральных функций распределения к круговому закону. Без предположения о существовании плотности, но при дополнительных моментных ограничениях круговой закон был получен в ряде работ, см. [8], [9[ и [10]. Окончательный результат был получен Т. Тао и В. Ву в работе [11], где требовалось, чтобы элементы матрицы имели конечный момент второго порядка. Доказательства кругового закона в работах [7], [8], [9], [10] и [11[ существенным образом опираются на оценку наименьшего сингулярного числа случайной матрицы и основаны на работе [12]. Следует также отметить, что разработанная Гирко [6] техника использовалась всеми отмеченными выше авторами для доказательства кругового закона.

Рассмотрим ансамбль матриц с коррелированными элементами, который является промежуточным в отношении ранее рассмотренных ансамблей. Любые два элемента матрицы из этого ансамбля, симметричные относительно главной диагонали, коррелированны с постоянным коэффициентом корреляции, но не зависят от остальных элементов матрицы. Если коэффициент корреляции равен 1, то имеем ансамбль симметричных матриц. Если коэффициент корреляции равен 0, и дополнительно потребовать, что элементы матрицы имеют совместное гауссовское распределение, то имеем ансамбль матриц с независимыми элементами. Впервые такие ансамбли были рассмотрены Гирко [13]. Гирко показал, что эмпирическая спектральная функция распределения сходится к функции распределения, которая имеет плотность равномерного распределения на эллипсе. Оси эллипса определяются коэффициентом корреляции между элементами матрицы. Предельное распределение называется эллиптическим законом. Но доказательство Гирко было неполным, как и доказательство кругового закона. В гауссовском случае эллиптический закон получен в работе [15]. В настоящей работе будет приведено первое математически корректное и полное доказательство эллиптического закона в предположении конечности четвертого момента элементов матрицы. В ходе доказательства получена оценка наименьшего сингулярного числа, которая обобщает результат работы Вершинина [16] для случая симметричных матриц.

В работе [17] рассматривался ансамбль симметричных случайных матриц со структурой случайного поля. Примером такого ансамбля может служить классический ансамбль симметричных матриц с независимыми элементами в верхней треугольной части матрицы, рассмотренный выше, и ансамбль случайных матриц, элементы которых в верхней треугольной части имеют совместное равномерное распределение на многомерной сфере или шаре. В работе [17] предполагалось выполнение дополнительных условий на урезанные случайные величины. В настоящей работе устанавливаются достаточные условия для сходимости к полу круговому закону для симметричных случайных матриц со структурой случайного поля. Отмстим, что впервые получены условия", аналогичные классическим достаточным условиям в центральной предельной теореме для мартингал-разностей, см., например [18] и [19]. В большинстве предыдущих работ рассматривались симметричные случайные матрицы, элементы которых имеют равные дисперсии. В гауссовском случае в [20] был рассмотрен ансамбль матриц с разными дисперсиями. В [21] рассматривались симметричные случайные матрицы с субгауссовскими распределениями и имеющие разные дисперсии. В настоящей работе изучается наиболее общий случай, и также не предполагается равенство дисперсий элементов матрицы.

Еще одним важным ансамблем для

приложений является ансамбль ковариационных матриц. Впервые такие матрицы рассматривал Уишарт [22]. Из работы Марченко и Пастура [23] следует, что для ковариационных матриц с независимыми строками эмпирическая спектральная функция распределения сходится к некоторому пределу, который имеет плотность. Распределение с такой плотностью теперь носит название — закон Марченко-Пастура. Результат был обобщен в ряде работ. Результат был обобщен в ряде работ. В частности, были рассмотрены ансамбли матриц со структурой случайного поля. В [24] Гётце и Тихомиров получили обобщения результата [17]. В работе [25] не предполагалось, что все дисперсии равны, но предполагалось выполнение закона больших чисел для квадратов элементов матрицы по строкам и столбцам. В настоящей работе будут получены достаточные условия сходимости к закону Марченко-Пастура, которые аналогичны условиям в центральной предельной теореме для мартингал разностей. Подчеркнем, что в работе не предполагается равенство дисперсий элементов матрицы, а вместо этого требуется сходимость сумм дисперсий в строке и столбце к единице. Результаты обобщают классический закон Марченко-Пастура для матриц с независимыми элементами и результаты работ [24] и [25]

Настоящая работа, как отмечалось ранее, посвящена доказательству сходимости эмпирических спектральных функций распределения собственных значений для некоторых ансамблей случайных матриц с зависимыми элементами.

Во введении содержится обоснование актуальности темы диссертации и исторический обзор, связанный с темой работы. Кроме этого, в нем формулируются и обсуждаются основные результаты, полученные в работе.

В главе 1 доказывается эллиптический закон для случайных матриц в предположении конечности четвертых моментов слагаемых. Отметим, что настоящее доказательство является первым математически строгим и полным доказательством эллиптического закона.

В главе 2 доказан полукруговой закон для симметричных случайных матриц со структрурой случайного поля. Впервые получены условия, аналогичные классическим достаточным условиям в центральной предельной теореме для мартингал разностей. Отметим, что в работе не предполагается равенство дисперсий элементов матрицы.

В главе 3 доказан закон Марченко-Пастура для несимметричных случайных матриц со структрурой случайного поля. Впервые получены условия, аналогичные классическим достаточным условиям в центральной предельной теореме для мартингал разностей. Отметим, что в работе не предполагается равенство дисперсий элементов матрицы.

Работа выполнена под руководством доктора физико-математических наук, профессора Владимира Васильевича Ульянова, которому автор выражает искреннюю благодарность. Автор также выражает искреннюю благодарность доктору физико-математических наук, профессору Тихомирову Александру Николаевичу, Коми научный центр Уральского отделения РАН, и доктору наук, профессору Фридриху Гётце, Билефельдский Университет, Германия.

1 Эллиптический закон^для случайных матриц

1.1 Основной результат

1.2 Гауссовский случай.

1.3 Доказательство основного результата.

1.4 Наименьшее сингулярное число.

1.5 Равномерная интегрируемость.

1.6 Сходимость сингулярных чисел.

1.7 Несколько технических утверждений

2 Полукруговой закон для класса симметричных случайных матриц с зависимыми элементами

2.1 Формулировка результатов.

2.2 Доказательство Теоремы 2.1.

2.2.1 Урезание случайных величин.

2.2.2 Универсальность спектра собственных значений

2.3 Доказательство Теоремы 2.1.

3 Закон Марченко—Пастура для случайных матриц с зависимыми элементами

3.1 Формулировка результатов.

3.2 Доказательство Теоремы 3.1.

3.2.1 Урезание элементов матрицы.

3.2.2 Универсальность спектра.

3.3 Доказательство Теоремы 3.1.

А Некоторые результаты из теории вероятностей и линейной алгебры

А.1 Теория Вероятностей.

A.2 Линейная алгебра и геометрия единичной сферы.

В Методы исследования слабой сходимости эмпирических функций распределения

B.1 Метод моментов

В.2 Метод преобразований Стилтьеса

В.З Метод логарифмического потенциала.