Актуальность.
В настоящее время интерес к разработке приборов, регистрирующих ядерное излучение, постоянно возрастает. Областями человеческой деятельности, в которых используются схемы совпадений, являются гамма-астрономия, обеспечение безопасности [21, 22, 42, 46] (досмотр грузов и контейнеров, экологическая безопасность), медицина [35, 44, 62, 70, 78] и некоторые другие. Успехи в области создания новых сцинтилляцион-ных материалов позволяют улучшить такие характеристики приборов, работающих по схемам совпадений или антисовпадений, как отношение сигнал-шум и пространственное разрешение [43].
В сфере обеспечения безопасности важным направлением является разработка технических средств, позволяющих производить досмотр грузов, не вскрывая контейнеры. Наиболее перспективным в смысле высокой информативности и компактности является метод меченых нейтронов (ММН, в зарубежной терминологии — API, associated particle imaging). Эксперименты в лабораторных условиях показали возможность создания компактной системы измерения спектров гамма-излучения от неупругого взаимодействия нейтронов с высоким пространственным разрешением на базе портативных нейтронных (D, T) генераторов со встроенным многоэлементным детектором альфа-частиц. Важной отличительной чертой метода меченых нейтронов является возможность обнаружения взрывчатых веществ (ВВ) в герметичной, в том числе и металлической упаковке.
В настоящее время в ряде отечественных и зарубежных лабораторий разработаны или планируются к разработке макетные образцы систем обнаружения и идентификации ВВ. Так в Радиевом институте им. В. Г. Хлопина (г. С.-Петербург) по заказу дирекции программы НАТО «Наука для мира» для демонстрации возможностей метода меченых нейтронов создана серия приборов-интроскопов под общим названием SEXNA. Внешний вид приборов SENNA иллюстрирует рис. 1.
Рис. 1. Внешний вид приборов SENNA.
Вес прибора около 40 кг, однако все результаты по обнаружению получены с применением дополнительной коллимации детекторов железными конусами общим весом 10 кг. Для обнаружения ВВ весом около 400—500 грамм требуется время 5—10 минут, а весом 3 кг около минуты. Дальность управления 10—15 метров ограничена длиной сигнального кабеляпитание от сети 220 В. Сокращение предела обнаружения (вес ВВ) и времени обнаружения невозможно из-за перегрузки каналов оцифровки сигналов, хотя при замене нейтронного генератора можно было бы повысить мощность нейтронного потока и, соответственно, улучшить статистику отсчетов. Жёсткая компоновка общей конструкции, фиксирующая положение генератора, модуля гамма-детектора и защиты и ограничивает подход к обследуемому объекту. В НПЦ «Аспект» г. Дубна разработана возимая установка для досмотра автомобильной техники на основе метода меченых нейтронов. Вес установки (без автомобиля) 750 кгпорог обнаружения ВВ 10 кг за 10 минут. Внешний вид установки представлен на рис. 2.
Проект Евросоюза, названный ЕиШТИАСК, предназначается для обследования большегрузных контейнеров и находится в настоящее время в процессе проектирования. Предполагаемый объем — несколько кубометров. Внешний вид проектируемого терминального комплекса ЕиШТЫАСК представлен на рис. 3.
Рис. 2. Схематичный вид прибора Aspect.
Рис. 3. Схематичный вид установки ЕІЖІТРІАСК.
Комптоновский гамма-спектрометр позволяет определить направление прилёта гамма-квантов по измерениям потерянной ими энергии при последовательных рассеяниях. Ярким примером такого прибора является гамма-телескоп СОМРТЕЬ, работающий по схеме двойных рассеяний. Комптоновский гамма-спектрометр состоит из нескольких слоёв детекторов, параметры которых подбираются таким образом, чтобы во всех слоях кроме последнего гамма-кванты испытывали преимущественно одиночное комптоновское рассеяние, а в последнем — полное поглощение. Зная энергии, потерянные гамма-квантом в каждом слое и примерные координаты точек столкновения, можно определить конус возможных направлений прилёта гамма-кванта. Приборы на основе комптоновских гамма-спектрометров позволяют получить трёхмерную картину распределения источников гамма-излучения в некотором объёме, что делает его применение интересным в медицинской томографии [74] и в сфере безопасности [65].
Разработка новых приборов, как правило, включает в себя этап расчётно-теоретического обоснования их параметров и характеристик. Для этого наиболее часто используется метод Монте-Карло, в котором проводится большое количество статистических испытаний для определения среднего значения некоторого функционала, заданного на множестве случайных траекторий.
Если при моделировании траекторий частиц используется физическая плотность вероятности, то такой метод Монте-Карло называется аналоговым. В некоторых случаях для достижения приемлемой статистической погрешности расчётов, проводимых аналоговыми методами Монте-Карло, требуется огромное количество испытаний. Например, для набора базовых спектров, позволяющих идентифицировать вещество при использовании ММН, в работе [33] потребовалось по 4,85 • Ю10 статистических испытаний для каждого вещества. Это послужило причиной разработки весовых методов Монте-Карло, в которых статистические испытания проводятся с использованием модельной вероятности, отличной от физической. Модельная вероятность выбирается так, чтобы увеличить количество попаданий частиц в область детекторов. Как при аналоговом, так и при весовом моделировании, зависимость относительной статистической погрешности 5 от количества испытаний имеет вид с 1 о ос —==.
Для весовых методов коэффициент пропорциональности существенно меньше, чем для аналоговых. За счёт этого при использовании весовых методов требуемый уровень статистической погрешности достигается при меньшем количестве испытаний, чем при использовании аналоговых методов.
В настоящее время весовые методы хорошо проработаны для вычисления значения функционалов определённого класса, названных в работе [37] больцмановскими. Под больцмановским функционалом понимается функционал, который может быть вычислен при известной одно-частичной плотности распределения, являющейся решением уравнения Больцмана. Примером больцмановских функционалов являются среднее количество пересечений частицами некоторой поверхности или среднее количество столкновений внутри некоторого объёма. Если физическая величина зависит от совместного влияния нескольких частиц, то она не может быть представлена в виде больцмановского функционала[37]. Например, на отклик приборов, работающих по схемам совпадений, оказывают совместное влияние частицы, находящиеся в разных областях пространства. Функционал, описывающий отклик таких приборов, должен зависеть от совместной плотности распределения частиц. Большинство имитационных моделей приборов, регистрирующих ядерное излучение, не удаётся адекватно описать функционалом от плотности столкновений.
Современной тенденцией является построение сложных имитационных моделей приборов, учитывающих различные физические явления. Например, в работах [36, 43, 81, 85] используется модель сцинтилляци-онного детектора, имитирующая оптическое распространение фотонов внутри сцинтилляционного вещества. Испускание сцинтилляционных фотонов в точках столкновения гамма-квантов с элементами вещества ведётся по закону Пуассона с переменной интенсивностью [76, 86], что ещё больше усложняет модель. Для учёта более тонких явлений таких, как инертность ФЭУ, производится моделирование испускания электронов фотокатодом и прохождения их между электродами ФЭУ. В работе [75] приведена аналитическая модель, имитирующая поведение ФЭУ. Разработка универсальной программы, моделирующей движение сцинтилляционных фотонов, работу ФЭУ и учитывающей неидеальность электронной схемы, регистрирующей совпадения, проведена в [87].
В перечисленных работах модели детекторов не могут быть описаны больцмановскими функционалами, моделирование ведётся аналоговыми методами, а учёт различных физических явлений существенно снижает скорость расчётов. В программах МС^-ББР [89] и МУР [69], предназначенных для решения широкого круга задач, и в программе КЕ1МО.
N11 [49], в случаях, когда важно учитывать совместное распределение частиц, также используются аналоговые методы расчёта траекторий частиц.
Проблема ускорения расчётов, проводимых по методу Монте-Карло, стоит очень остро и во многих других работах.
Современное состояние проблемы.
В литературе [3, 7, 11, 15, 16, 24, 25] весовые методы предлагаются для вычисления аддитивных по столкновениям функционалов, определённых на множестве реализаций случайного процесса переноса излучения. Значение такого функционала q (S) равно сумме вкладов от отдельных столкновений, то есть где 5 — случайная траектория частицы, Xi — точки соударения частицы, движущейся по этой траектории, г — 1,2,.к. Примером такого функционала является количество столкновений в выделенном объёме. Очевидно, что аддитивные по столкновениям функционалы являются частным случаем больцмановских функционалов.
Ещё одним важным частным случаем больцмановских функционалов являются функционалы, пред ставимые в виде.
Примером такого функционала является количество пересечений частицами выбранной поверхности.
Наиболее известными весовыми методами, применяемыми при вычислении среднего значения аддитивных по столкновениям функционалов, являются разыгрывание со смещённой плотностью вероятности, расщепление, русская рулетка и БХТ11А]М. При разыгрывании со смещённой к к-1 г=1 плотностью вероятности искусственно повышается вероятность попадания частиц в область сосредоточения детекторов. При использовании метода расщепления частица расщепляется на несколько новых частиц, что даёт возможность точнее оценить вклад в показания детекторов исходной частицы. Метод русской рулетки позволяет прервать моделирование траектории частицы, если известно, что ожидаемый вклад частицы в показания детектора слишком мал. В методе БХТ11/Ш при каждом столкновении частицы происходит оценка потока излучения внутрь выбранной сферы, окружающей область сосредоточения детекторов [28].
Если выполняется свойство аддитивности, то частицы вносят вклады независимо, друг от друга (каждое слагаемое зависит от фазовых координат только одной частицы). В случае небольцмановского функционала свойства аддитивности не выполняются.
В большей части литературы построение универсальных методов для вычисления небольцмановских функционалов ограничивается аналоговой схемой, а весовые методы строятся для различных частных случаев. В классических работах С. М. Ермакова и Л. Яноши рассмотрены весовые методы вычисления первых двух моментов от аддитивных по столкновениям функционалов (дисперсия аддитивного функционала вычисляется как среднее квадрата, то есть неаддитивного функционала). Также в работах С. М. Ермакова особое внимание уделяется случаю ветвящихся траекторий, так как он всегда представляет отдельную сложность при проведении доказательств несмещённости весовых оценок. В работах В. В. Учайкина и А. В. Лаппы рассмотрены функционалы «столкновительно-трекового» класса, обобщающего класс аддитивных по столкновениям функционалов. В работах А. В. Лаппы построены неимитационные методы, вычисляющие любой момент от аддитивного по траекториям функционала. В [1, 41] построение весового алгоритма вычисления небольцмановских функционалов ведётся на конкретном примере вычисления энергии, оставленной частицами в детекторе, а среда считается неразмножающей. В [25] рассмотрен способ вычисления произвольного функционала при помощи поливариантного разложения, но на практике этот способ применим, когда все члены разложения, начиная с некоторого номера, близки к нулю. Также известны способы для вычисления любого момента аддитивного функционала [12, 13].
Основополагающими работами, предлагающими универсальный подход к вычислению небольцмановских функционалов весовыми методами, являются работы [37, 38]. В них предлагается приписывать статистический вес всей ветвящейся траектории целиком, а не каждой частице в отдельности, как это делается в схеме Неймана-Улама при вычислении среднего аддитивных по столкновениям функционалов. Ветвящаяся траектория в этих работах названа супертреком, так как она рассматривается как неделимая коллекция отдельных неветвящихся траекторий частиц. В перечисленных работах предлагаются два способа получения супертреков.
В первом способе, названном способом развёртывания (deconvolution approach), результатом моделирования истории одной первичной частицы является ветвящаяся траектория, содержащая вершины двух типов. В вершинах первого типа происходит разветвление траектории естесвенным образом, то есть в результате моделирования реакции, происходящей при столкновении частицы. В вершинах второго типа разветвление происходит в результате применения какого-либо весового метода. Достигнув такой вершины, частица пошла бы дальше только по одной из ветвей. Выбирая в каждой вершине второго типа по одной ветви, получаем ветвящуюся траекторию, состоящую только из вершин первого типа, что и должно быть для физически осуществимой траектории. Вес этой траектории равен произведению весовых множителей выбранных ветвей. В работах [37, 38] описанный подход применяется для вычисления потерянной в чувствительном объёме детектора энергии частиц. В работах [82, 83] описанный подход предложен для вычисления отклика приборов, работающих по схемам совпадений. Стоит отметить, что в работах [82, 83] рассматриваются только совпадения, вызванные частицами, принадлежащими одной и той же ветвящейся траектории. Совпадения, вызванные частицами из разных ветвящихся траекторий, не учитываются.
Во втором способе, названным способом разыгрывания супертреков (supertrack approach) результатом статистического испытания является вся ветвящаяся траектория целиком. Весовые методы применяются не к отдельной частице, а ко всей траектории целиком. Например, при применении метода расщепления в некоторой вершине из одной траектории получаются несколько новых, совпадающих друг с другом до этой вершины.
Многие весовые методы, разработанные для вычисления аддитивных по столкновениям функционалов, очень легко переносятся на случай развёртывания или разыгрывания супертреков. В работах [37, 38] в рамках концепции супертреков сформулированы весовые методы разыгрывания со смещённой плотностью вероятности, расщепления, русской рулетки и DXTRAN.
Метод развёртывания нашел воплощение во многих работах, например, в программах MCNP5 [40, 67, 80, 82], MCNPX [58] и MCBEND [77]. Метод разыгрывания супертреков кажется простым, но он требует разработки нового или глубокой переработки существующего программного обеспечения для его реализации. В работах [39, 47] выполнена модификация программы MCNP для поддержки концепции супертреков. В работе [83] используется метод, очень похожий на метод разыгрывания супертреков.
В перечисленных работах, использующих концепцию супертреков, ведётся вычисление значений небольцмановских функционалов определённого класса, в которых частицы, относящиеся к разным ветвящимся траекториям, делают независимые вклады в значение функционала. Другими словами, отклик детектора на траектории Si, ?2, ., Sk можно представить в виде q (Su 52,., Sk) = qiSi) + q (S2) +. + q{Sk).
Такие функционалы называются аддитивными по траекториям. Не все функционалы обладают этим свойством, например, иногда важно учитывать совпадения, вызванные фоновым излучением или отражёнными от удаленных предметов частицами. Такие совпадения могут быть учтены в математических моделях детекторов, не делающих различия между частицами, принадлежащими разным супертрекам, и частицами, принадлежащими одному и тому же супертреку.
В настоящей работе предложенная в [38] концепция супертреков обоснована и обобщена на случай вычисления неаддитивных по траекториям функционалов. Математическое обоснование несмещённости оценки среднего значения функционала ведётся традиционным способом через усреднение по всем возможным ветвящимся траекториям, в то время как в работе [37] акцент делается на обоснование предложенных способов через разбор большого количества примеров.
Цель.
Целью настоящей работы является разработка весовых методов Монте-Карло для вычисления отклика приборов, описываемых неаддитивными функционалами.
Методы исследований.
Методами исследований, использованными в настоящей работе, являются методы вычислительной математики, математического анализа, теории вероятностей и математической статистики, теории весовых методов Монте-Карло и теории переноса излучения. Программный код выполнен на языках Fortran-90, С++ и bash. Для расчётов использовался многопроцессорный вычислительный кластер с поддержкой HP-MPI и многопроцессорная рабочая станция.
Научная новизна.
1. Концепция супертреков обобщена на случай вычисления функционалов, учитывающих совпадения между частицами, принадлежащими разным ветвящимся траекториям.
2. Впервые получено доказательство несмещённости весовых оценок в рамках концепции супертреков посредством их осреднения на множестве всех ветвящихся траекторий.
3. Построено представление функций отклика физических приборов, работающих по схемам совпадений, в виде неаддитивных по траекториям функционалов. Введено новое свойство аддитивности по времени, которым обладают функционалы (/(¿-н, ?2,., описывающие работу физических приборов. Впервые доказано, что для оценки среднего значения таких функционалов достаточно единственной реализации кортежа ., из ветвящихся траекторий.
4. Впервые для учёта случайных совпадений применены весовые методы, разработанные автором и реализованные в виде комплекса программ.
Практическая значимость работы.
Основной практической ценностью полученных результатов является многократное ускорение расчётов в прикладных задачах радиационной физики.
Разработан универсальный программный комплекс, позволяющий оптимизировать геометрические параметры приборов, работающих по схемам совпадений.
Показано, что наиболее эффективной геометрической конфигурацией комптоновского гамма-спектрометра с точки зрения отношения количества истинных совпадений к полному количеству зарегистрированных совпадений является конфигурация при меньших расстояниях между слоями детекторов.
Проведен расчёт базовых спектров углерода, азота и кислорода в методе меченых нейтронов.
Разработанные программы использовались для теоретической оценки количества совпадений в работах [9, 61, 68, 71].
В ходе исследований эмпирически проверены статистические свойства некоторых популярных в настоящее время программных генераторов псевдослучайных чисел при помощи теста на равномерное заполнение единичного гиперкуба [30]. Тесты позволили обнаружить ошибку в реализации одного из генераторов библиотеки СЬНЕР. Для остальных генераторов найдены участки генерируемых ими последовательностей с хорошими и плохими статистическими свойствами.
Достоверность.
Достоверность полученных теоретических результатов обеспечивается их проверкой при помощи численного решения тестовых задач. Многократные сравнения результатов весового моделирования с результатами аналогового моделирования подтверждают несмещённость предлагаемой в настоящей работе оценки среднего значения функционала. Проведены проверки разработанных программных модулей на задачах с известными теоретическими решениями.
Разработанная модель сцинтилляционного детектора получена обобщением известной и хорошо себя зарекомендовавшей в работах многих авторов модели детектора на случай неаддитивных по траекториям функционалов. Результаты оптимизации геометрической конфигурации комптоновского гамма-спектрометра имеют наглядный физический смысл. Для модели интроскопа, работающего по методу меченых нейтронов, проведено сравнение расчётного спектра углерода с экспериментальным.
Положения, выносимые на защиту.
1. Обобщение концепции супертреков на случай неаддитивных функционалов.
2. Обоснование концепции супертреков через доказательство несмещённости весовой оценки посредством усреднения по множеству ветвящихся траекторий.
3. Представление откликов приборов, работающих по схемам совпадений, в виде неаддитивных функционалов. В число приборов входит комптоновский гамма-спектрометр и интроскоп, работающий по методу меченых нейтронов.
4. Математическая модель комптоновского гамма-спектрометра, различающая истинные и ложные совпадения разных типов.
5. Комплекс программ, позволяющий вычислять среднее значение неаддитивных по траекториям функционалов.
Личный вклад автора.
Личный вклад соискателя заключается в обосновании и обобщении концепции супертреков, разработке способов применения весовых методов Монте-Карло для вычисления неаддитивных функционалов, разработке математических моделей комптоновского гамма-спектрометра и интроскопа, работающего по методу меченых нейтронов, и их программной реализации, тестировании разработанного программного обеспечения. Все результаты, представленные в диссертации, получены соискателем самостоятельно или при непосредственном его участии.
Апробация работы.
Результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах.
• 7-ая международная конференция «Люминесцентные детекторы и преобразователи ионизирующего излучения» Ы]МБЕТК-2009 (Краков, Польша, 2009 г.);
• Пятая Всероссийская конференция «Проблемы обеспечения взрывобезопасности и противодействия терроризму» (Санкт-Петербург, 2010 г.);
• семинар кафедры компьютерного моделирования ФАЛТ МФТИ;
• семинар 11 отдела Института прикладной математики им. Келдыша «Вычислительные методы и математическое моделирование».
• семинар кафедры статистического моделирования математико-механического факультета СПбГУ.
• научные конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», в секциях кафедр Автоматизированных биотехнических систем и Высшей математики;
Разработанные программы были использованы для оценки количества случайных совпадений в работах [9, 61, 68, 71].
По теме проводимых исследований соискателем опубликовано 14 работ, из них 3 — в изданиях из списка ВАК. Две работы выполнены без соавторов.
Получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2 012 613 937 «Программный комплекс для вычисления неаддитивных функционалов весовыми методами Монте-Карло».
Структура работы.
Первая глава работы посвящена построению математических моделей приборов, работающих по схемам совпадений. Отклик прибора описывается функционалом ^¿-ч, ?>2, ¦ • • > ¿->к), гДе $ 2, £к ~ реализации ветвящихся траекторий. Показано, что в зависимости от того, какие физические эффекты необходимо учитывать, функционал может быть аддитивным по столкновениям, по траекториям или не быть аддитивным вообще. Модели приборов, работающих по схемам совпадений, описываются неаддитивными функционалами.
Введено свойство аддитивности по времени. Пусть траектории разыгрываются в порядке увеличения момента времени рождения первичной частицы. Пусть в интервале времени (?1,^2) в системе не существует частиц. Пусть траектории, существующие до момента времени ?1, имеют номера от 1 до к — 1, а траектории, существующие после ?2 — от к до к. Пусть ?2 ~ ?1 > Т, где Т — некоторый параметр. Тогда, если.
51, ?2, ¦¦•,?*:) = 52,., 5^-1) + q (Sk1,Sk1+1, • • •, Бк), то будем говорить, что функционал д (5ь 52,., 5/с) удовлетворяет свойству аддитивности по времени с параметром Т.
Проведя разбиение на слагаемые по всем таким интервалам времени (?1, ?2), получаем, что ^(5х, 52,., равен сумме случайного количества слагаемых. Доказано, что все слагаемые, быть может, кроме последнего независимы в совокупности и одинаково распределены.
Выполнен обзор статей, посвящённых моделированию сцинтилляци-онных детекторов и приборов на их основе. Обоснован выбор простейшей модели сцинтилляционного детектора, в которой за отклик детектора принимается оставленная частицами в чувствительном объёме энергия.
Описаны математические модели электронного дифференциального спектрометра и электронной схемы совпадений, обрабатывающих сигналы сцинтилляционных детекторов.
На основе описанных моделей разработана модель интроскопа, работающего по методу меченых нейтронов, и комптоновского гамма-спектрометра. Модель интроскопа работает в приближении аддитивности по траекториям. Модель комптоновского гамма-спектрометра проводит раздельных подсчёт истинных событий и ложных событий разного типа. Предложен критерий для оптимизации геометрической конфигурации комптоновского гамма-спектрометра.
Модели приведены к одному формату входных данных и могут быть описаны функционалом q (Sl, ?2,., Это позволит абстрагироваться от особенностей конкретной модели и построить общие универсальные весовые методы.
Вторая глава посвящена построению универсальных численных методов для вычисления среднего значения неаддитивных функционалов ?2, • • •, с учётом ветвлений траекторий. Обзор литературы, проведённый в этой главе, показал, что наиболее универсальным имитационным способом вычисления неаддитивных функционалов является концепция супертреков.
Выписана предлагаемая в настоящей работе оценка среднего значения неаддитивного функционала. Обоснование несмещённости предлагаемой оценки проведено через доказательство равенства математического ожидания весовой оценки математическому ожиданию величины, полученной аналоговым моделированием. Вычисление математического ожидания в обоих случаях проведено путём усреднения по всем возможным ветвящимся траекториям.
Третья глава посвящена техническим аспектам построения вычислительных моделей приборов, работающих по схемам совпадений. В этой главе обоснован выбор кода программы МСИР в качестве транспортного кода. Особое внимание уделено подключению кода МС№ и сбору необходимой для развёртывания супертреков информации.
Показано, что задача восстановления необходимой информации о ветвящихся траекториях по данным кода МС№ может быть решена сравнительно просто в двух случаях — в схемах совпадений, и в задачах, в которых несущественна корреляция между супертреками. В соответствии с описанным в третьей главе способом подключения кода MCNP разработано программное обеспечение для генерации супертреков, которые являются входными данными подпрограмм, разработанных во второй главе.
Четвертая глава посвящена тестированию разработанного программного обеспечения. Тестирование проведено сначала для каждого модуля по отдельности, а затем для всего программного обеспечения в целом. Эмпирическая проверка несмещённости предлагаемой в настоящей работе оценки случайной величины проведена на задаче о бросании нескольких точек на единичный отрезок. Проверка правильности подключения кода МСИР проводилась путём сравнения получаемых от этого кода данных с данными трассировки траекторий частиц. Проверка правильности работы функций, имитирующих функционирование электронной схемы совпадений, проводилась на простой задаче, для которой известна аналитическая оценка количества совпадений в зависимости от количества испущенных источником частиц. Для комптоновского гамма-спектрометра предложен критерий, при помощи которого можно отделить смоделированные истинные совпадения от ложных. Показано, как предложенный критерий может быть применен для оптимизации геометрической конфигурации прибора, работающего по схеме двойных рассеяний. Расчёты показали, что использование предлагаемых весовых методов существенно ускоряет скорость расчётов по сравнению с аналоговыми методами.
Заключение
содержит основные результаты работы.
Приложение, А посвящено построению вероятностного пространства на множестве всех ветвящихся траекторий.
Приложение Б содержит формулировки и доказательства таких свойств используемой в настоящей работе операции усреднения по ветвящимся траекториям, как существование среднего, линейность и возможность перестановки порядка усреднения по нескольким траекториям.
Приложение В содержит описание способа подключения транспортного кода программы МСЫР.
Приложение Г для справки содержит строгое математическое обоснование метода Монте-Карло.
Приложение Д посвящено расчёту базовых спектров углерода, азота и кислорода при помощи разработанной модели интроскопа, работающего по методу меченых нейтронов.
Математические модели многодетекторных приборов.
Заключение
.
В настоящей работе математически строго обоснована и обобщена на случай неаддитивных, но траекториям функционалов концепция супертреков, предложенная в работах [37, 38]. В ходе работы:
1. Модели сцинтилляционного детектора и комптоновского гамма-спектрометра расширены возможностью учёта типа реакций, что позволяет производить отдельный подсчёт истинных и ложных совпадений.
2. Разработана модель интроскопа, работающего по методу меченых нейтронов.
3. Предложена весовая оценка среднего значения неаддитивного по траекториям функционала, обобщающая концепцию супертреков. Обоснование несмещённости оценки ведётся через усреднение по всем ветвящимся траекториям. К рассмотренным весовым методам относятся метод разыгрывания со смещённой плотностью вероятности, расщепление, русская рулетка, ОХТИ-АЫ и комбинация перечисленных весовых методов.
4. Разработан комплекс программ, вычисляющий среднее значение неаддитивных функционалов предложенными методами.
5. Исследована зависимость относительного количества истинных совпадений от геометрической конфигурации комптоновского гамма-спектрометра.
6. Рассчитаны базовые спектры углерода, азота и кислорода с использованием модели интроскопа, работающего по методу меченых нейтронов.
Применённая при доказательстве несмещённости оценки методика позволяет перенести на случай использования концепции супертреков не только рассмотренные весовые методы, но и большинство других, например, поглощение уменьшением веса (implicit capture, [66]) и форсирование столкновений (forced collision, [66]). Численные расчёты показали, что весовые методы позволяют многократно ускорить расчёты при правильном их применении.
