Помощь в написании студенческих работ
Антистрессовый сервис

Необходимые и достаточные условия существования разрывных решений задач вариационного исчисления

Диссертация: Необходимые и достаточные условия существования разрывных решений задач вариационного исчисления
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Данный путь расширения вариационных задач был впервые осуществлен американскими математиками ЛЛнгом и Е. Макшейном. Для объектов расширенного класса ими было введено понятие обобщенной кривой и построена теория необходимых и достаточных условий экстремума. В теории оптимального управления обыкновенными дифференциальными уравнениями аналогичные конструкции были осуществлены с использованием для… Читать ещё >

Необходимые и достаточные условия существования разрывных решений задач вариационного исчисления (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

  • ГЛАВА.
    • 1. Основные определения и понятия
    • 2. Вариационный функционал
    • 3. Теория обобщенных кривых в
  • приложении к разрывным задачам вариационного исчисления
  • ГЛАВА.
    • 1. Теорема существования обобщенного решения положительно # определенной сопряженной параметрической вариационной задачи
    • 2. Леммы
    • 3. Теорема существования решения класса НП положительно определенной вариационной задачи
    • 4. Положительно определенная вариационная задача при дополнительном условии на функцию и>
  • ГЛАВА.
    • 1. Необходимые условия экстремума в классе обобщенных кривых
    • 2. Необходимые условия экстремума в разрывных вариационных задачах со старшими производными
  • ГЛАВА.
    • 1. Пространственная вариационная задача с предельным показателем порядка роста интегранта
    • 2. Теорема об отсутствии абсолютно непрерывного решения для одного класса вариационных задач с предельным показателем порядка роста
    • 3. Вспомогательные леммы и теоремы
    • 4. Доказательство теоремы о существовании гладкого решения вариационной задачи с предельным показателем порядка роста

На Парижской конференции 1900 года Д. Гильберт сформулировал для регулярной вариационной задачи1*.

J (z (x, у" - JJF (x, у, z, р, q) dxdy ~* min, z|AQ = /, а где F — аналитическая функция, две проблемы: девятнадцатую и двадцатую. В 20-й проблеме спрашивалось: «допускает ли решение каждая регулярная вариационная задача, если только на данные граничные условия наложены определенные допущения, ., — и если в случае необходимости самому понятию решения придать расширенное толкование». В тоже время в 19-ой проблеме ставился вопрос «являются ли решения регулярной вариационной задачи необходимо аналитическими» независимо от свойств гладкости или аналитичности граничных условий. Главные направления их исследования были определены в трудах С. Н. Бернштейна [4−6] и А. Лебега [142].

Первым результатом, относящимся к 19-ой проблеме Гильберта, было исследование С. Н. Бернштейна, в котором было установлено, что трижды непрерывно дифференцируемое решение z регулярной аналитической задачи аналитично. Для решения 20-ой проблемы им был развит метод продолжения решения дифференциального уравнения по параметру.

Работы Лебега, Гильберта [138], Куранта [133] послужили началом развития так называемых прямых методов вариационного исчисления. Согласно идеи Гильберта, задача отыскания аналитических решений для аналитических задач разбивается на две: установление существования обобщенного решения и последующее изучение его дифференциальных свойств. Исследование вопроса разрешимости вариационных задач прямыми методами в свою очередь также распадается на две: 1) установление компактности множества допустимых функций и 2) доказательство полунепрерывности снизу вариационного функционала. Данный метод получил глубокое развитие в трудах Л. Тонелли [160, 161], Н. Н. Боголюбова [8,9], Е. Макшейна [145, 147−149], А. Г. Сигалова [109−111], В. И. Плотникова [93−95], О. А. Ладыженской, Н. Н. Уральцевой [50,51] и др.

1> Вариационная^ задача называется, регулярной, если, подъинтегральное. выражение ^ удовлетворяет условию строгой выпуклости относительно (р, д). Оно может быть записано в виде.

Е (х, у, г, р,<7,р, 0, (р, д)*(р, д). Если Е (х, у, г, р, д, р, д) а 0, то задача называется квазирегулярной.

Изучение аналогичных вопросов, касающихся пространственных вариационных задач минимизации функционала ь lY]=$F (x, YX) dx, (0.1) а среди вектор-функций Y (x) = (у (х),. , ур (х)) осуществлялось путем расширения класса допустимых функций: перехода от рассмотрения непрерывно дифференцируемых до абсолютно непрерывных. В работах Л. Тонелли, М. Нагумо [156], М. Граве [135], Е, Макшейна было установлено, что квазирегулярная задача на определение минимума функционала (0.1) разрешима в классе абсолютно непрерывных функций, если порядок роста, а больше 1 и существуют постоянные m > 0, к > 0 такие, что.

F (x, Y, Y')*niY'a-к, или если.

F^YX^mfW^YD-k где ~ положительная монотонно возрастающая непрерывная функция, стремящаяся к + оо при ||Г'| -* оо.

В то же время, для предельного показателя порядка роста, а = 1 существуют примеры (Е.Макшейн, С. Н. Бернштейн, ДЛауден [140], Р. Курант) положительно определенных1 * квазирегулярных задач, для которых решение задачи (0.1) (р= 1) в виде однозначно определенной функции Г= Y (x) не существует, и для того, чтобы вариационная задача имела смысл, необходимо расширить понятие решения, взяв в качестве допустимых кривых такие, которые имеют дуги, лежащие в плоскостях, перпендикулярных оси Ох. 1.

Пример 0.1. Рассмотрим задачу на отыскание inf I[y] = inf+ y'2dx на о множестве абсолютно непрерывных кривых С: у (х), х£[0,1], удовлетворяющих условиям на концы >>(0) = 0, у (1) = 1. Зафиксируем произвольную кривую С из указанного класса, и пусть х = x (s), у = y (s), х (s) > 0, 0 s s s L, где s — длина дуги кривой, — ее параметрическое представление. Тогда.

1) F> 0 всюду из области задания у2т]1 + у'2с1х =?у2л1×2+у2с{* *$у2с1у = о с о и ¡-п£ 1[у не достигается ни на какой «обычной» функции >(х), хЕ[0,1]. Между тем, если рассмотреть последовательность кривых С&bdquo-: у"(х) = .

О, л:?[0,Г-—), п п (х -1) +1, д: Е[1 — —, 1] п сходящуюся относительно метрики Фреше к кривой Со, имеющей отрезок параллельный оси Оу, то легко видеть, что Нш 1[уп ] = 1/3. й-*®

Аналогично обстоит дело и для многомерных вариационных задач. Р. Курант считал, что для задачи Плато в непараметрической форме Гильберт допускал рассмотрение поверхностей, которые на некоторых участках не задаются уравнением 2=/{х, у), что равносильно переходу к параметрической форме.

Переход к классам разрывных функций неоднократно осуществлялся в рамках теории вариационного исчисления. Так, в работах А. М. Размадзе [98, 99] изучались разрывные решения, обладающие конечным числом точек разрыва первого рода. Развитием метода вариаций в направлении А. М. Размадзе занимались Г. Н. Николадзе, К. С. Ермилин [25], М. К. Керимов [30,31] и др.

Необходимость расширения понятия решения посредством введения в рассмотрение функций, обладающих разрывами типа «стенка» определяется не только нуждами развития теории вариационного исчисления, но и наличием важных прикладных задач (задачи теории полета тел переменной массы [47, 140,141], задачи теории упругости [2, 13, 18, 119], задачи оптимального экономического роста [48] и др.). Теория одномерных и многомерных вариационных задач,. определенных на классе разрывных функций, обладающих конечным или счетным множеством участков неоднозначности (класс существенно разрывных функций) была развита в работах А. Г. Сигалова, В. Ф. Кротова [43−47], С. Ф. Морозова [52−64], [35−42] (совместно с В.И.Кошелевым), [65−72] (совместно с В.В.Петровым). При этом В. ФЛСротовым было осуществлено дальнейшее расширение класса существенно разрывных функций до класса (у,^)-линий и получены необходимые и достаточные условия экстремума вариационной задачи в этом расширенном классе. Идея такого расширения основана на переходе от поиска точного решения к задаче отыскания минимизирующих последовательностей. Таким образом, объектом поиска в расширенной задаче оказывается класс в определенном смысле эквивалентных минимизирующих последовательностей.

Данный путь расширения вариационных задач был впервые осуществлен американскими математиками ЛЛнгом [125, 164−166] и Е. Макшейном [150−154]. Для объектов расширенного класса ими было введено понятие обобщенной кривой и построена теория необходимых и достаточных условий экстремума. В теории оптимального управления обыкновенными дифференциальными уравнениями аналогичные конструкции были осуществлены с использованием для расширенного класса объектов терминов «обобщенная кривая», «обобщенное управление», (Дж.Варга [10,163], Е. Макшейн [155]) «скользящий режим» (Р.В.Гамкрелидзе [15], А. Ф. Филиппов [120], В.Ф.Кротов), «предельное управление» (А.Гуйла-Ури [130]) и т. п.

В настоящей работе изучение вариационной задачи минимизации функционала (0.1) в классе существенно разрывных функций осуществляется посредством перехода к соответствующей ей параметрической (сопряженной) задаче. Данный метод изучения вариационной задачи был предложен Тонелли, а затем развит в работах Макшейна, А. Г. Сигалова. Исследование сопряженной параметрической задачи опирается на теорию обобщенных кривых Янга-Макшейна. Предлагаемый метод исследования позволяет не только получить в качестве результатов теоремы существования обобщенного решения сопряженной параметрической задачи, но и доказать существование абсолютного минимума вариационной задачи в исходном классе существенно разрывных функций. Данный метод позволяет в сравнении с [34−37, 60, 64, 70] значительно ослабить требования на гладкость интегранта F и избавляет от необходимости устанавливать факт полунепрерывности сопряженного функционала J [С] в классе абсолютно непрерывных кривых, имеющих не более чем счетное число вертикальных отрезков.

Помимо проблемы существования разрывного решения вариационной задачи представляет интерес и вопрос: при каких условиях решение вариационной задачи с предельным показателем порядка роста будет являться не разрывным, а «обычным» решением? Как известно, для существования такого решения помимо требования регулярности, требуется введение некоторых дополнительных условий. В настоящей работе вводятся дополнительные условия на систему уравнений Эйлера, при которых и устанавливается теорема существования гладкого решения. Данная теорема обобщает результат Тонелли, полученный им для случая р = 1 .

Цель диссертационной работы состоит в установлении теорем существования решения в непараметрической форме пространственной задачи вариационного исчисления, определенной на совокупности функций с конечным или счетным множеством точек разрыва типа «стенка», посредством распространения теории обобщенных кривых Янга-Макшейна на данный тип вариационных задач, получении необходимых условий первого порядка в указанном классе и исследовании свойств гладкости решения задачи минимизации функционала (0.1) в случае предельного показателя порядка роста а-1.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы, заключения, а также списка литературы из 166 наименований. Объем работы 115 стр.

Заключение

.

В диссертации рассматривались вопросы установления необходимых и достаточных условий экстремума пространственной вариационной задачи в классе существенно разрывных функций. Кроме того, изучалась вариационная задача с предельным показателем порядка роста.

Изучение вариационной задачи минимизации функционала (0.1) в классе существенно разрывных функций осуществлялось посредством перехода к соответствующей ей сопряженной параметрической задаче и последующем исследовании ее с помощью теории обобщенных кривых Юнга-Макшейна.

Получены следующие основные результаты:

Построена теория обобщенных кривых Янга-Макшейна применительно к разрывным пространственным квазирегулярным задачам вариационного исчисления. На ее основе доказаны теоремы существования решения вариационных задач на классе существенно разрывных функций.

Установлены необходимые условия экстремума первого порядка в классе обобщенных спрямляемых кривых и решения в непараметрической форме пространственной задачи вариационного исчисления, определенной на совокупности функций с конечным или счетным множеством точек разрыва типа «стенка». Полученные необходимые условия обобщают соотношения Дю Буа-Раймонда, уравнения Эйлера, «угловые» условия Вейерштрасса-Эрдмана и необходимые условия разрыва Размадзе. Кроме того, получены необходимые условия экстремума вариационного функционала со старшими производными 1у = ь y (x), y'(x),., y (n)(x))dx при условии существования конечного, а предела lim F (x, y, y',., y (n))/у (п) = w (xyy',., y (nA sign у (п)) на классе функций y (n)-, t 00.

У = >'(*), у которых п-1 производная как функция х имеет конечное число точек разрыва типа «стенка».

При дополнительных условиях на систему уравнений Эйлера установлена теорема существования гладкого решения пространственной вариационной задачи с предельным показателем порядка роста.

Показать весь текст

Список литературы

  1. Н.И. Лекции по вариационному исчислению. М.: Гостехиздат, 1955.
  2. Н.В. Оптимизация форм упругих тел. М.: Наука, 1980.
  3. В.А., Дыхта В. А., Константинов Г. Н. и др. Методы решения задач теории управления на основе принципа расширения. Новосибирск: Наука, 1990.
  4. Бернштейн С.Н. Sur la nature analytique des solutions de certaines equations aux derives partielles du second ordre // Math. Ann. 1904. V.59. P. 20−76.
  5. С.Н. Об уравнениях вариационного исчисления // Успехи матем. наук. 1940. T.VIII. С. 32−74.
  6. С.Н. Собрание сочинений. Т.З. М.: изд-во АН СССР, 1960.
  7. Г. А. Лекции по вариационному исчислению. М.: ИЛ, 1950.
  8. Боголюбов H.H. Sur quelques methodes nouvelles dans le Calcul des Variations // Ann. Math. Pura Appl. Ser. 4. 1930. V.7. P.243 272.
  9. H.H. Новые методы в вариационном исчислении. Изб. труды в 3 томах. Т.1. Киев: Наукова думка, 1969.
  10. Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М: Наука, 1977.
  11. Н.И., Клоков Ю. А. Основы теории краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений. Рига: Зинатре, 1978.
  12. Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.
  13. А.И., Крысов C.B., Уткин Г. А. Постановка краевых задач динамики упругих систем исходя из вариационного принципа Гамильтона-Остроградского. Горький: ГГУ, 1983.
  14. Р., Кириллова Ф. М. Методы оптимизации. Минск: БГУ, 1975.
  15. Р.В. Об оптимальных скользящих режимах // ДАН. 1962. Т.143. № 6. С.1243 1246.
  16. И.М., Фомин C.B. Вариационное исчисление. М.: Гостехиздат, 1961.
  17. Ю.В. О характеристических свойствах решений регулярных и квазирегулярных задач вариационного исчисления // ДАН СССР. 1957. Т.16. № 6. С.910−912.
  18. Ю.Б., Соломещ М. А. Вариационные задачи статики оптамальных стержневых систем. JI.: Изд-во Ленинградского университета, 1980.
  19. В.И. Принцип расширения в задачах управления. М.: Наука, 1997.
  20. Н.М. Курс вариационного исчисления. М.-Л.: ОГИЗ, 1941.
  21. . Слабая непрерывность и слабая полунепрерывность снизу нелинейных функционалов // Успехи матем. наук. 1989. Т.44. №. 4 (268). С.35−98.
  22. Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. М.: ИЛ, 1962.
  23. А.Я., Милютин A.A. Задачи на экстремум при наличии ограничений //ЖВМ и МФ. 1965. Т.5. № 3. С.395−453.
  24. В.А., Колокольникова Г. А. Условия минимума на множестве последовательностей в вырожденной вариационной задаче // Математические заметки. 1983. Т 34. № 5.
  25. К.С. О некоторых задачах вариационного исчисления // Ученые записки ЛГУ. Серия математических наук. 1949. вып.16.
  26. А.Д., Тихомиров В. М. Расширение вариационных задач // Труды Моск. матем. общества. 1968. Т.18. С.188−246.
  27. А.Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.
  28. В.И. О полунепрерывности интегралов вариационного исчисления // Успехи матем. наук. 1956. T.XI. № 3. С. 125−129.
  29. Л.В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.
  30. М.К. К теории разрывных вариационных задач с подвижными концами//ДАН СССР. 1961. Т.136. № 3.
  31. М.К. О двумерных разрывных задачах вариационного исчисления // Тр. Матем. ин-та АН ГрузССР. 1951. Т.23. С.209−219.
  32. А.Н., Фомин С. И. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989.
  33. В.Н. О необходимых условиях экстремума пространственных вариационных задач на совокупности разрывных функций // Уч. записки ГГУ. Сер. мат. мех. / Горький: ГГУД969. С.72−74.
  34. В.Н. Задачи вариационного исчисления на совокупности разрывных функций. Дисс. канд. физ.-мат. наук. Горький: ГГУ, 1973.
  35. В.Н., Морозов С. Ф. Достаточные условия существования разрывных решений для: простейшего интеграла вариационного исчисления, I // Изв.вузов. Математика. 1967. № 11.С.21−30.
  36. В.Н., Морозов С. Ф. Достаточные условия существования разрывныхрешений для простейшего интеграла вариационного исчисления, II // Изв.вузов. Математика. 1967. № 12. С.38−46.
  37. В. Н. Морозов С.Ф. Теоремы существования разрывных решений в пространственных вариационных задачах // Изв.вузов. Математика. 1970. № 5. С.47−52.
  38. В.Н., Морозов С. Ф. О необходимых условиях экстремума вариационных задач в непараметрической форме на совокупности разрывных функций // Изв.вузов. Математика. 1970. № 12. С.37−46.
  39. В.Н., Морозов С. Ф. О существовании разрывных решений в простейших полуопределенных задачах // Матем. заметки. 1970. Т.7. №.1. С.69−78.
  40. В.Н., Морозов С. Ф. О существовании разрывных решений для одного класса квазирегулярных вариационных задач в непараметрической форме // Изв.вузов. Математика. 1972. № 2. С.54−62.
  41. В.Н., Морозов С. Ф. Разрывные задачи вариационного исчисления со старшими производными // Изв.вузов. Математика. 1975. № 10. С.23−32.
  42. В.Н., Морозов С. Ф. Теоремы существования разрывных решений в пространственных вариационных задачах. II // Изв. вузов. Математика. 1977. № 2. С.49−59.
  43. В.Ф. Разрывные решения вариационных задач // Изв. вузов Математика. 1960. № 5. С.86−98.
  44. В.Ф. О разрывных решениях в вариационных задачах7/ Изв. вузов Математика. 1961. № 2. С. 75 89.
  45. В.Ф. Основная задача вариационного исчисления для простейшего функционала на совокупности разрывных функций // ДАН СССР. 1961.Т. 137. № 1. С.31−34.
  46. В.Ф. Об абсолютном минимуме функционалов на совокупности функций с ограниченной производной // ДАН СССР. 1961. Т. 140. № 3. С.525 528.
  47. В.Ф., Букреев В. В., Гурман В. И. Новые методы вариационного исчисления в динамике полета. М.: Машиностроение, 1969.
  48. М.А., Люстерннк Л. А. Курс вариационного исчисления. М.-Л.: ГОНТИ НКТП СССР, 1938.
  49. O.A., Уральцева H.H. О вариационной задаче в квазилинейных эллиптических уравнениях со многими независимыми переменными // ДАН СССР. 1960. Т.135. № 6 С.1330−1333.
  50. O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения, эллиптического типа. М.: Наука, 1964.
  51. С.Ф. О разрывных решениях двумерных задач вариационного исчисления в непараметрической форме // Изв.вузов. Математика. 1969. № 9. С.56−64.
  52. С.Ф. О необходимых условиях экстремума двумерных вариационных задач на совокупности разрывных функций // Изв.вузов. Математика. 1972. № 1. С.55−63.
  53. С.Ф. О существовании разрывных решений для одного класса квазирегулярных вариационных задач в непараметрической форме // Изв.вузов. Математика. 1972. № 2. С.54−62.
  54. С.Ф. О разрывных решениях одного класса квазирегулярных вариационных задач // Матем.заметки. 1974. Т.16. № 2. С.305−315.
  55. С.Ф. О существовании разрывных решений для одного класса многомерных квазирегулярных вариационных задач // Матем.сб. 1974. Т.93. № 1. С.18−28.
  56. С.Ф. О существовании разрывных решений многомерных вариационных задач // Изв.вузов. Математика. 1975. № 11. С.93−97.
  57. С.Ф. Полуопределенная задача вариационного исчисления на классе разрывных функций / Деп. в ВИНИТИ 1980. № 3921−80. 14 с.
  58. С.Ф. О разрывных решениях одного класса задач вариационного исчисления // Межвуз.сб.: Дифф. и интегр.уравн. Горький. 1987. С.60−66.
  59. С.Ф. Разрывные задачи вариационного исчисления. Н. Новгород: изд-во ННГУ, 1991.
  60. С.Ф. О необходимых условиях экстремума пространственной вариационной задачи на классах^разрывныхгфункций / Деп. в ВИНИТИ 1993. № 791-В93. 14 с.
  61. С.Ф. Полунепрерывность сопряженных функционалов вариацион63,64,65,66,67,68,69,70,71,72.73,74,75.
  62. С.Ф., Петров В. В. О существовании одного класса решений разрывных вариационных задач. / Деп. в ВИНИТИ 1977. № 3805−77. 15 с. Морозов С. Ф., Петров В. В. Разрывная изопериметрическая задача. / Деп. в ВИНИТИ 1979. № 2763−79.14 с.
  63. С.Ф., Плотников В. И. О необходимых и достаточных условиях непрерывности и полунепрерывности функционалов вариационного исчисления // Метем.сб. 1962. Т 57(99). № 3. С.265−280.
  64. С.Ф., Семенов A.B. Обобщенные решения разрывных задач вариационного исчисления // Деп. в ВИНИТИ 26.03.97. № 923-В97. 26с.
  65. С.Ф., Семенов A.B. О расширениях разрывных вариационных задач // Понтрягинские чтения-VII". Тезисы докладов Воронежской весенней матем. школы. Воронеж: ВГУ, 1996. С. 129.
  66. Морозов С.Ф., Семенов А. В. Необходимые условия обобщенного экстремума в разрывных вариационных задачах / Деп. в ВИНИТИ 30.10.98. № 3135-В98. Юс.
  67. С.Ф., Семенов A.B. О существовании обобщенных и разрывных решений пространственных вариационных задач // Вестник ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление / Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 1998. Вып.2(19). С.166−173.
  68. С.Ф., Семенов A.B. Необходимые условия экстремума в разрывных обобщенных задачах вариационного исчисления // Вестник ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление / Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 1999. Вып. 1(20). С.130−136 .
  69. С.Ф., Семенов A.B. Обобщенные кривые и необходимые условия разрывного решения пространственной вариационной задачи // Известия ВУЗов. Математика. 2000. № 9(460). С.21−26.
  70. С.Ф., Семенов A.B. О теории разрывных решений вариационных задач в классе обобщенных кривых // Известия ВУЗов. Математика. 2001. № 2(465). С.48−59.
  71. С.Ф., Сумин В. И. Многомерные вариационные задачи в классе разрывных функций // Изв.вузов. Математика. 1973. № 8. С.54−67.
  72. С.Ф., Сумин М. И. Сопряженные точки разрывных решений задачвариационного исчисления / Деп. в ВИНИТИ 1976. № 2468−76.20 с.
  73. С.Ф., Сумин М. И. Разрывные решения в пространственной задаче вариационного исчисления / Деп. в ВИНИТИ 1977. № 3814−77. 18с.
  74. И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974.
  75. В.В. О необходимых условиях экстремума разрывных вариационных задач с ограничениями на производную/Деп.в ВИНИТИ. 1980. № 2091−80. 17с.
  76. В.В. Необходимые условия экстремума разрывных вариационных задач со старшими производными / Деп. в ВИНИТИ 1980. № 2090−80. 12с.
  77. В.В. Нерегулярные вариационные задачи на классах разрывных функций. Диссканд. физ.-мат. наук. Горький: ГГУ, 1981.
  78. В.И. О дифференцируемости решений регулярных вариационных задач в непараметрической форме // Матем. сб. 1960. Т.47. С. 356−396.
  79. В.И. О полунепрерывности функционалов вариационного исчисления // Матем. сб., Т.52(94) 1960 С. 799−810.
  80. В.И. О непрерывности регулярных и квазирегулярных функционалов вариационного исчисления // Матем. сб., Т.53(95) № 2 1961 С. 137−158.
  81. .Т. Полунепрерывность интегральных функционалов и теоремы существования в задачах на экстремум // Матем. сб. 1969. Т.78. № 1. С.65−85
  82. Проблемы Гильберта М.: Наука, 1974.
  83. Размадзе A.M. Sur les solutions discontinuous dans le calcul des variations // Math.Ann. 1925. V.94. P. 1−52.
  84. Размадзе A.M. Sur une condition de minimum necessaire pour les solutions anguleuses dans le calcul des variations // Bull. Soc. Math. France. 1923. T.51 P.223−235.
  85. B.A. Об основных понятиях теории меры // Матем. сб. 1949. Т.25. № 1- С. 107−150.
  86. A.B. О необходимых условиях экстремума разрывных вариационных задач со старшими производными // Вестник ННГУ. Сб. научных трудов аспирантов / Н. Новгород: ННГУ, 1995. С.88−92.
  87. A.B. О необходимых условиях экстремума в вариационных задачах со старшими производными на классе функций с существенно разрывной (п-1)-ой производной / Деп. в ВИНИТИ 23.01.96. № 268-В96. 22с.
  88. A.B. Обобщенные кривые Юнга-Макшейна и существование разрывных решений квазирегулярных вариационных задач // Вестник ВВО АТН РФ. Серия: Высокие технологии в военном деле. Вып.2. / НВЗРКУ ПВО. 1998. С.116−118.
  89. Серовайский С. Я: Нижнее пополнение и расширение экстремальных задач // Изв.вузов. Матем. 2003. № 5. С.30−41.
  90. А.Г. Двумерные задачи вариационного исчисления // УМН. 1951. Т.6. № 2. С.16−101
  91. А.Г. Двумерные задачи вариационного исчисления в непараметрической форме, преобразование к параметрической форме // Матем.сб. 1954. Т.34. № 3. С.385−406.
  92. А.Г. Вариационные задачи с допустимыми поверхностями произвольных топологических типов // УМН. 1957. T.XII. вып.1. С.53−98.
  93. С.Н., Шашков В. М. Минимизируемость функционалов на топологическом произведении дуальных пространств. Изв. вузов. Матем. 1974. № 5. С.188−193.из114 115 116 117,118119,120,121.122,123,124,125,126,127,128.129.130.
  94. М.А. Критерий непрерывности интегрального функционала на последовательности функций // Сибирский мат. журнал. 1995. Т. 36. № 1. Сычев М. А. О зависимости решений простейших вариационных задач от интегранта// Сибирский мат. журнал. 1995. Т.36. № 2.
  95. М.А. Примеры неразрешимых в классическом смысле скалярных регулярных вариационных задач, удовлетворяющих условиям стандартного роста// Сибирский мат. журнал. 1996. Т37. № 6.
  96. В.А., Петухов JI.B. Оптимизация формы упругих тел. М.: Наука, 1982.
  97. А.Ф. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования // Вестник МГУ. Серия матем., мех., астроном., физ., хим. 1959. Т.2. С. 25−32 Халмош П. Теория меры М.: ИЛ, 1959.
  98. Г. Г., Литтльвуд Д. Е., Полиа Г. Неравенства. М.: Гиз ин. лит-ры, 1948. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:Мир, 1970. Циммерман В. Разрывные линии в вариационном исчислении. Одесса: Типография Штаба Округа, 1896.
  99. Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. М.: Мир, 1974.
  100. Ball J.M., Mizel V.J. One-dimensional variational problems whose minimizers do not satisfy Euler-Lagrange equation // Arch. Rational Mech. Anal. 1985. V.90. № 1 P.325−388.
  101. Clarce F.H., Vinter R.B. Existence and regularity in the small in the calculus of variations //J. Differential Equations. 1985.Vol. 59. P.336−354.
  102. Clarce F.H., Vinter R.B. Regularity properties of solutions to the basic problem in the calculus of variations // Trans. Amer. Math. Soc. 1985. Vol.289. P.73−98.
  103. Courant R. Uber Direkte Methoden der Variationsrechnung und verwandte Fragen // Math.Ann.1927. V.97. S.711−736.
  104. Davie A.M. Singular minimizers in the Calculus of Variations in One Dimensional // Arch. Rational Mech. Anal. 1988. V.101. P.161−177.
  105. Graves M.R. On the existence of absolute minimum in space problems of the calculus of variations// Ann. of Math. 1927 .V.28. P.153−170.
  106. Graves L.M. Discontinuous solutions in the calculus of variations // Bull. Amer. Math. Soc. 1930. V.36. P.831−846.
  107. Graves L.M. Discontinuous solutions in space problems of the calculus of variations // Amer.J.Math.l930.V.52. P. l-28.
  108. Hilbert D. Uber das Dirichletschen Prinzip // Math.Ann.1904. V. 59. S.161−186.
  109. Kosa A. Notndige Bedingungen fur die diskontinuielichen Losungen von den Variationsproblem n-ter Ordnung // Acta Math. Acad. Sei. Huhg. 1960. V. l1 S.23−48.
  110. Lawden D.F. Discontinuous solutions of variational problems // J. Austral. Math. Soc. 1959. V.l. P.27−37.141- Lawden D.F. Minimal Rocket Trajectories // J.Amer.Rocket.Soc.1953. V.23. P.360−382.
  111. Lebeque H. Sur le probleme Dirichlet // Rend Circ. Math, di Palermo. 1907. V.24. S.317−402.
  112. McAllister G.T., Rohde S.M. Fractured Solutions in the Calculus of Variations // J. of optimization theory and applications. 1973. V. l 1. № 5. P. 480−493 .
  113. Munoz J., Pedregal: P. Explicit Solutions of Nonconvex Variational Problems in Dimension One // Appl. Math. Optim. 2000. V. 41. P.129−140.
  114. McShane E.J. Existence theorems for ordinary problems of the calculus of variations // Ann. Scuola Norm. Super. Pisa. 1934. v.III. P.183−211,287−315.
  115. McShane E.J. The Du Bois-Reymond Relation in the calculus of variations // Math. Annalen. 1934. Bd.109. № 5.746−755.
  116. McShane E.J. Some existence theorems for problems in the calculus of variations // Duke Math. Journ. 1938 V.4. P. 132−156.
  117. McShane E.J. Some existence theorems in the calculus of variations, I, II // Trans, of the Amer. Math. Soc. 1938. V.44. P.429−438,439−453.
  118. McShane E. J. Some existence theorems in the calculus of variations, III //Trans, of the Amer. Math. Soc. 1939. V.45. P.151−171.
  119. McShane E.J. Curve-space topologies associated with variational problems // Ann. Scuola Norm. Super. Pisa. 1940.V.IX. P.45−60.
  120. McShane E.J. Generalized curves // Duke Math. Journ. 1940. V.6. P.513−536.
  121. McShane E. J. Necessary condition in generalized-curves problems of the calculus of variations // Duke Math. Journ. 1940. V.7. P. l 27.
  122. McShane E.J. Existence theorems for Bolza problems in the calculus of variations // Duke Math. Journ. 1940. V.7. P. 28 61.
  123. McShane E.J. A metric in the space of generalized curves // Ann. of Math. 1950. V.52. P.328−349.
  124. McShane E.J. Relaxed controls and variations problems // J. SIAM Ser. A Control. 1967. V.5. P.438−485.
  125. Nagumo M. Uber die gleichmassige Summierbarkeit und ihre Anwendung auf ein Variationsproblem // Japan.J.Math.1929. V.5. № 6. P. 173−182.
  126. Reid T. Discontinuous Solutions for a Non-Parametric Variational Problem // Appl. An. 1971. V.l. P.161−182.
  127. Rohde S.M. Weak Fractured Solutions in the Calculus of Variations // J. of optimization theory and applications, vol. 1976. V. l8. № 4 P.499−510.
  128. Sychev M.A., Mizel V.J. A Condition on the Value Function Both Necessary and Sufficient for Full Regularity of Minimizers of One-Dimensional Problems // Trans. Amer. Math. Soc. 1998. V.350. №.1. P.119−133.
  129. Tonelli L. Fondamenti di Calcolo della Variazioni v. 1,2 Bologna, 1923.
  130. Tonelli L. Sur gli integrali del Calcolo delle Variazioni in forma ordinaria // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. l936.V.III. S.405−450.
  131. Warga J. Relaxed variational problems. Journ. Math. Anal. Appl. 1962. V.4. № 1. P. l 11 — 128.
  132. Warga J. Necessary conditions for minimum in relaxed variational problems // Journ. Math. Anal. Appl. 1962. V.4. № 1. P.129 145.
  133. Young L.C. On approximation by polygons in the calculus of variations // Proc. Royal Soc., (A). 1933. V.141. P.325−341.
Заполнить форму текущей работой

Сессия? Спокойно!