Задачи по математике

[Введите текст]

Задачи

B1. Поезд Екатеринбург — Москва отправляется в 7:23, а прибывает в 9:23 на следующий день (время московское). Сколько часов поезд находился в пути?

Решение:

9+23/60+24−7-23/60 = 26 часов.

B2. На диаграмме показан средний балл участников 10 стран в тестировании учащихся 8-го класса по естествознанию в 2007 году (по 1000-балльной шкале). Среди указанных стран второе место принадлежит Великобритании. Определите, какое место занимает Россия.

Решение:

B3. DE — средняя линия треугольника АВС, параллельная стороне АВ. Периметр треугольника CDE равен 6. Найдите периметр треугольника АВС.

Решение:

CDE = ½ABC

ABC = 6*2 = 12.

B4. Для изготовления книжных полок требуется заказать 40 одинаковых стекол в одной из трех фирм. Площадь каждого стекла равна 0,15 м². В таблице приведены цены на стекло и на резку стекол. Сколько рублей нужно заплатить за самый выгодный заказ?

Решение:

A) 40*0,15*100 + 40*20 = 1400 руб.

Б) 40*0,15*90 + 40*25 = 1540 руб.

В) 40*0,15*170 = 1020 руб.

Ответ: 1020.

B5. Найдите корень уравнения log1/7(x+7) = -2.

Решение:

log1/7(x+7) = -2.

log1/7(x+7) = log1/749.

x+7 = 49.

x = 42.

B6. В треугольнике АВС гол С равен 90о, угол В равен 60о. Найдите синус угла BAD.

Решение:

Угол, А = 180-(90+60) = 30о Значит внешний угол, А = 180−30 = 150о

Sin150o = 0,5

B7. Найдите значение выражения 9sin132o/sin228o.

Решение:

9sin132o/sin228o = 9sin (90+42)/sin (270−42) = 9cos42o/cos (-42o) = -9.

B8. На рисунке изображен график некоторой функции y = f (x). Одна из первообразных этой функции равна F (x) = 1/3×3-x2+2x-5.

Найдите площадь заштрихованной фигуры.

(1/3*23−22+2*2−5) — (1/3*(-1)3-(-1)2+2*(-1)-5) = (8/3−5)-((-1/3)-8) = 8/3−5+1/3+8 = 3+3 = 6.

B9. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка О — центр основания, S — вершина, SA =13, BD =10. Найдите длину отрезка SO.

Решение:

SO = v (SA2-AO2)

AO = BO = OD = ½BD.

AO = Ѕ*10 = 5.

SO = v (169−25) = v144 = 12.

B10. В фирме такси в данный момент свободно 10 машин: 5 черных, 1 желтая и 4 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет желтое такси.

Решение:

1/10 = 0,1.

B11. Бетонный шар весит 0,5 т. Сколько тонн будет весить шар вдвое большего радиуса, сделанный из такого же бетона?

Решение:

V = 4/3рR3

R = 2, R3 = 8.

0,5*8 = 4.

B12. Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой

уравнение корень цилиндр сечение

n = (T1 — T2)/T1*100%,

где Т1 — температура нагревателя (в градусах Кельвина), Т2 — температура холодильника (в градусах Кельвина). При какой температуре нагревателя Т1 КПД двигателя будет 45%, если температура холодильника Т2 = 275К? Ответ выразите в градусах Кельвина.

Решение:

45% = (T1 — 275K)/T1*100%.

(T1 — 275K)/T1 = 0,45. T1 = 500.

B13. Смешав 70%-й и 60%-й растворы кислоты и добавив 2 кг чистой воды, получили 50%-й раствор кислоты. Если бы вместо 2 кг воды добавили бы 2 кг 90%-го раствора той же кислоты, то получили бы 70%-й раствор кислоты. Сколько килограммов 70%-го раствора использовали для получения смеси?

Решение:

Пусть х — искомая масса 70% раствора, у — масса 60% раствора. Составим систему уравнений исходя из условия задачи:

0,7х + 0,6у = 0,5(х + у + 2); 0,7х + 0,6у + 2*0,9 = 0,7(х + у + 2).

Поделим второе на первое и выразим у через х. Получим у = (9 — 1,4х)/1,2

и подставим это значение у в первое уравнение:

0,7х + (9 — 1,4х)/2 = 0,5(х + 2 +(9 — 1,4х)/1,2). После преобразований получим:

0,2х = 0,6 Или х =3 кг.

Ответ: 3.

B14. Найдите наибольшее значение функции y = ln (x+5)5−5x на отрезке

[-4,5;0].

Решение:

y = ln (x+5)5−5x

y?(x) = 5/(x+5) — 5

5/(x+5) — 5 = 0.

x = -4.

y (-4)=5ln (-4+5)-5*(-4)=20.

C1. А) Решите уравнение 7sin2x+4sinxcosx-3cos2x = 0.

Б) Укажите корни, принадлежащие отрезку [3р/2;5р/2].

Решение:

A) 7sin2x+4sinxcosx-3cos2x = 0/cos2x

7tg2x+4tgx-3 = 0.

tgx = t.

7t2+4t-3 = 0. D = 16+4*7*3 = 100. vD = 10. t1, 2 = (-4±10)/14 = 3/7; -1. tgx = -1. tgx = 3/7. x = arctg (-1)+рn x = arctg3/7+рk, x = -р/4+рn

Б) Отберем корни, принадлежащие отрезку.

1) из первой серии корней при n=2 x=7р/4

2) из второй серии x=acrtg3/7+2р при k=2

Ответ: -р/4+рn; arctg3/7+рk; 7р/4, arctg3/7+2р

C2. Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, образующая цилиндра равна 21. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 24 и 10. Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

Решение:

Рис. 1

Пусть AB=10 и C1D1 = 24 — хорды, по которым сечение пересекает основания цилиндра. Плоскости оснований параллельны, значит, AB и C1D1 тоже параллельны. Опустив перпендикуляры из точек C1 и D1 к плоскости OAB, получим отрезок CD, равный C1D1. Пусть K, L и L1 — середины хорд AB, CD и C1D1 соответственно. Угол между плоскостью сечения и плоскостью основания цилиндра будет равен углу L1KL. Его тангенс мы найдём из прямоугольного треугольника

L1LK: tg (L1KL) = LL1/LK. LL1 = образующей цилиндра = 21 LK = LO+OK.

Из прямоугольного треугольника

CLO: LO = v (CO2-CL2) = v (132−122) = 5

Из прямоугольного треугольника

AKO: OK = v (AO2-AK2) = v (132−52) = 12 LK = 5+12 = 17 tg (L1KL) = LL1/LK = 21/17