О решениях нелинейных операторных уравнений в секториальных окрестностях нерегулярного значения векторного параметра

Нелинейные уравнения представляют большой интерес в силу многочисленных приложений в современной физике и технике. Поэтому важность исследования таких уравнений не вызывает никаких сомнений.

Первая серьезная работа по нелинейным интегральным уравнениям принадлежит A.M. Ляпунову [83], которая была посвящена изучению фигур равновесия вращающейся жидкости. В несколько более общей форме результаты A.M. Ляпунова были получены Э. Шмидтом [87].

В первой половине XX века различные методы исследования нелинейных уравнений развивались в работах П. С. Урысона [74], Гаммерштейпа [78], Иг-лиша [79], H.H. Назарова [49], А. И. Некрасова [50] и других.

К концу 50-х годов М. А. Красносельским [17] и другими начинается интенсивное развитие топологических и вариационных методов в теории ветвления, позволяющих доказывать теоремы существования в ряде прикладных задач.

Состояние теории ветвления решений нелинейных уравнений к концу 60-ых годов отражено в монографии М. М. Вайнберга, В. А. Треногина [7]. В этой книге подробно освещены вопросы, касающиеся диаграмм Ньютона, одномерного и многомерного случаев ветвления, уравнений разветвления Ляпунова-Шмидта, фредгольмовых и нётеровых операторов, жордановых цепочек, рассмотрены многочисленные примеры, в том числе прикладного характера. Эта монография переведена на основные европейские языки и считается фундаментальным трудом в области ветвления решений нелинейных уравнений. Дальнейшие исследования проводились па основании сочетания аналитических, вариационных, теоретико-групповых методов многими современными учеными. Из приближенных методов в теории ветвления решений пелиней3 пых уравнений с параметрами выделяют для типа — это асимптотические методы и итерационные методы.

В развитие современных асимптотических методов в многомерном случае принципиальное продвижение внесли работы В. А. Треногина [7,51], методы группового анализа (работы Б. В. Логинова и В. А. Треногина [44,51]), методы степенной геометрии (А.Д. Брюно [6]) и других. При асимитотическом анализе задач теории ветвления решения ищутся в виде разложения Ныотона-Пьюизо, т. е. по дробным степеням числового параметра. Асимптотические методы развивались в теоретических и прикладных работах [5,8] и многих других (см. например, библиографии в [6,7,44,51,84]). Асимптотическими методами были решены сложнейшие задачи в математической физике и иных областях современной и прикладной математики (работы В. И. Юдовича [76], М. М. Вайнберга и В. А. Треногина [7, стр. 490−517], A.A. Белолипецкого и A.M. Тер-Крикорова [4], [51, стр. 145−196], Б. В. Логинова [45], Д. Сэтинджс-ра [86], Н. И. Макаренко [47] и др.).

Методы теории ветвления нашли применение и при решении дифференциально-операторных уравнений с необратимым оператором в главной части [90], в бифуркационном анализе системы Власова-Максвелла [84] и других областях науки и техники.

Появление итерационных методов дало новый толчок в развитии приближенных методов в теории ветвления. В этом направлении были рассмотрены вопросы униформизации решений [70], в том числе явная и неявная параметризация [48,56, 69, 71] в условиях групповой симметрии [43] уравнений, сплетаемые уравнения разветвления [1,55], предложен N-ступенчатый итерационный метод [67] поиска ветвящихся решений нелинейных уравнений. Некоторые результаты в теории итерационных методов, в том числе и построение разветвляющихся решений операторных уравнений, полученные к середине 80-х годов, отражены в монографии H.A. Сидорова [68]. Итерационные методы при решении конкретных задач использовали и другие авторы [80,82,85,91]. Важным вопросом при исследовании уравнений итсрационными методами является выбор начального приближения, который зачастую становится отдельной задачей и существенно усложняет метод.

Некоторые последние результаты теории ветвления отражены в монографиях [51] и [84]. С другими методами исследования нелинейных задач можно познакомиться в работах [2,3,12,53,77].

В статьях A.B. Арутюнова [2,3] изучаются неявно заданные гладкие нелинейные отображения в окрестности анормальной (вырожденной) точки. Теоремы о неявной функции, полученные для анормальной точки, в нормальной точке превращаются в классические теоремы. Доказательство основано на изучении строящегося семейства экстремальных задач с ограничениями, к которым применяются необходимые условия экстремума второго порядка.

В 2004 году в работе H.A. Сидорова [66] была поставлена задача поиска решения, являющегося минимальной ветвью, и был предложен способ поиска искомого решения методом последовательных приближений, сходящимся при любом достаточно малом начальном приближении, в том числе при пулевом начальном приближении. Оператор в главной части уравнения полагался фредгольмовым, малый параметр, А — элементом линейного нормированного пространства.

Целыо данной работы является выявление классов нелинейных интегральных, интегро-дифференциальных уравнений и краевых задач, для которых в результате замены переменных и эквивалентных преобразований в достаточно малой секториальной окрестности нерегулярного значения векторного параметра применим принцип сжимающих отображений, и, как следствие, существует возможность поиска решения методом последовательных приближений.

Отметим, что результаты, полученные в рамках текущего диссертационного сочинения, были применены при изучении решений конкретных прикладных задач. Например, в статьях [54,57,61] и в данной работе рассмотрены следующие краевые задачи, исследование которых проводилось с использованием теорем, доказанных в диссертации: задача об изгибе стержня (H.A. Сидоров, Р.Ю. Леонтьев), задача о колебании спутника (Д.Н. Сидоров), задача 5 погранслоя в моделировании производства синтетических волокон (А.И. Дрс-гля).

Например, при исследовании краевой задачи л d2u п. du. , .

1 + е eos x)—z — 2е sin х——h a sm и — 4е sin х = О, dxz ах и (0) = и (7Г) — 0, описывающей колебания спутника в плоскости его эллиптической орбиты, были применены известные результаты из области функционального анализа, операторных уравнений и некоторые результаты текущей диссертации. В результате были выписаны асимптотики малых вещественных решений и предложена формула для поиска минимальной ветви методом последовательных приближений.

Краевые задачи, возникающие в некоторых моделях производства полимеров, имеют вид: сfu где, А — малый положительный параметр, 0 < х < оо, /(«, А) — непрерывная функция в области Q = {|w| < г, 0 < А < р}. Задача сводится к уравнению в операторном виде.

F (u, А) = 0, и с применением теоремы 1.2.1 доказывается существование минимальной ветви г"(А) —> 0 при, А —У +0 на сколь угодно большом интервале [0, удовлетворяющей краевым условиям.

U-o = 0, их=. = 0.

Приводятся формулы для построения решения методом последовательных приближений.

В главе 3 диссертации рассмотрена краевая задача об изгибе стержня под действием сжимающей силы в нерегулярном случае: уЫ{х) + 2руЮ{х) +у = f (y,(3), 0<�Х<7Г, 2/(0) = 0, у{тг) = 0,.

7/(2) (0) = 0, 7/2) (7Г) = 0, где /(у, Р) — нелинейная функция, зависящая от малого параметра р, у (х) описывает малый прогиб стержня. Задача рассмотрена в окрестности критической точки р* — 1-Х при малых значениях параметра Л. После преобразований приходим к уравнению в операторной форме:

А (1)у = Р (у,(3), и на основании полученных в третьей главе результатов выписываются малые решения этого уравнения.

Наиболее общие теоремы существования в современной теории дифференциальных уравнений и математической физики получены с точки зрения операторных уравнений в банаховых пространствах. В целях общности и универсальности целесообразно развивать теорию разрешимости дифференциальных, интегральных уравнений, краевых задач в операторном виде.

Область исследования соответствует пункту 8 «теория дифференциально-операторных уравнений» в соответствии с паспортом специальности 01.01.02.

В работе широко используется принцип сжимающих отображений для доказательства существования решения (минимальной ветви), гарантирующий, в частности, сходимость метода последовательных приближений при любом достаточно малом начальном приближении. В первой главе в доказательствах применяются теорема Банаха-Штейнгауза и формула конечных приращений Лагранжа. Во второй и третьей главах применяются известные результаты теории обобщенных жордановых цепочек и фредгольмовых операторов.

В диссертации получены результаты, которые расширяют рамки применимости аналитических методов современного анализа к исследованию нелинейных операторных уравнений с параметрами за счет расширения возможных пространств, в которых рассматривается малый параметр (который может быть и многомерным), и за счет расширения круга разрешимых задач в силу снятия на операторы рассматриваемых уравнений определенных ограничений (например, требования, чтобы оператор в главной части был фред-гольмовым). Итерационные методы, приводимые в работе, не требуют особых условий для выбора начального приближения и работают одинаково эффективно при любом достаточно малом начальном приближении, в том число при нулевом начальном приближении. Заданные в работе оценки позволяют применять полученные результаты для широкого класса нелинейных уравнении, оператор в главной части которых не ограничивается случаями с фредголь-мовым или нётеровым оператором. В том числе теоремы могут применяться для уравнений фредгольма 1 рода.

Полученные результаты могут быть использованы при решении прикладных задач, и в работе рассмотрены прикладные задачи. Также в работе выделены конкретные классы интегральных уравнений и краевых задач, для которых доказанные теоремы могут быть особенно полезны. Некоторые части работы включены в спецкурсы для студентов-математиков ИМЭИ ИГУ и использовались студентами кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений ИГУ при написании курсовых и дипломных работ.

В первой главе рассмотрено нелинейное операторное уравнение вида.

F (x, Л) = 0, (0.0.1) где F: X х Л Y и F (0,0) = 0. X, Y — банаховы пространства, Л — линейное нормированное пространство. Нелинейный оператор F (x, А) является непрерывным по? и, А в окрестности нуля и имеет производную Фреше, но первому аргументу, непрерывную по х и Л в окрестности нуля.

Введено понятие векториальной окрестности нуля, как открытого множества S С Л, такого что 0 е dS, где dS — граница множества S.

Оператор Fx (0, Л) имеет в секториальной окрестности нуля S ограниченный обратный оператор, для которого имеет место оценка:

Н^ГЧо, А)|| = о (-^у) для VA б (0.0.2) где непрерывный положительный функционал а (А), определенный в области.

S, удовлетворяет условию lim а (А) = 0, т. е. а (0) = 0.

5эА->0 w 4.

Из оценки (0.0.2) следует, что оператор ^(0,0) не имеет ограниченного обратного, т. е. точка, А = 0 является нерегулярным значением векторного параметра А, и уравнение не удовлетворяет условиям теоремы о неявной функции [14].

Условие (0.0.2) является важным для данного исследования и используется на протяжении всей работы. С одной стороны, это условие, выполняющееся для широкого класса задач, в силу равенства а (0) = 0, гарантирует нерегулярность рассматриваемого случая. С другой стороны, оно позволяет производить оценки при доказательствах теорем существования и других результатов, связанных с построением решений.

Для обоснованности выбора условия вида (0.0.2), в параграфе 1 главы 1 приведено три широких класса операторов, наиболее часто встречающихся в приложениях, для которых данная оценка имеет место:

1. Пусть X — У = Н — гильбертово пространство, Во самосопряженный неотрицательный оператор, В — самосопряженный положительный оператор, то есть /х Є Н.

В0х, х) > 0, (Віх, х) > 7(ж, ж), 7 Є М|.

Тогда.

КД, + где 0 < а (А) < е. к)^ ;

2. Если элементы }, к = 1, Рі, і = 1, п образуют полный В — оісорданов набор фредгольмова оператора Во и р = шах рг, тогда в некотог—, п рой области 0 < |а (А)| < є существует ограниченный обратный оператор (Во + а (Х)Ві)" 1, и выполнена оценка.

3. Пусть нильпотентный оператор В удовлетворяет условию Вп = 0, а оператор С имеет ограниченный обратный оператор, перестановочный с оператором В, 0 < а () < є. Тогда оператор а (Х)С — В имеет ограниченный обратный оператор, для которого выполнена оценка н («СА)С7 — Д) — н — О.

Вводится область {(ж, Л) е X х А, \х\ < а (Х)г, Л е 5}, где г > 0.

Дается определение минимальной непрерывной ветви, изучению вопросов существования и построения которой посвящена данная работа.

Определение. Если найдутся числа Го € (0,г] и е > 0 такие, что из всех малых решений уравнения (0.0.1), определенных в области только одно решение ж* (Л) попадает в область.

П0 {(х, X) е X х А, \х\ < а{Х)г0, А е 0 < ||А|| < г}, то решение ж*(Л) будем называть минимальным решением уравнения (0.0.1) в области ?7, непрерывным в точке Л = 0 (далее кратко «минимальной непрерывной ветвью»).

Доказываются конструктивные теоремы, гарантирующие существование минимальной ветви малого решения при значениях параметра 5 Э, А -> 0 и позволяющие строить её. Один из основных результатов параграфа 1 главы 1 заключается в том, что при условии выполнения в области Г2 для оператора Ь" оценок \Рх (х, Х) — ^(0, Л)|| < Ь\х\ и ||^(0, Л)|| = о (а2(А)), где константа Ь > 0, а (Х) — функционал из (0.0.2), доказано существование минимальной непрерывной ветви уравнения (0.0.1) в шаре ||ж|| < а (Х)го для любого Л? Яо, где константа Го из полуинтервала (0,г], а 5о ~ секториальная окрестность нуля, 5о С Приведена формула для построения решения методом последовательных приближений, сходящимся при нулевом начальном приближении.

Следует отметить, что уравнение (0.0.1) может иметь и другие малые решения при, А € 5, но в шаре ||ж|| < а (А)го при X? Яо решение единственно. Остальные малые решения уравнения (0.0.1), определенные при, А 6 5, будут находится в области ||ж|| > а (Х)го.

В параграфе 2 главы 1 предполагается, что Р (х, Х) = В (Х)х + П{х, А), причем оператор Г (х, А) не имеет производной Фреше по первому аргументу. Линейный замкнутый оператор Б (А) действует из X в У. Нелинейный оператор R: X х, А —> Y — непрерывен в области Q. Здесь доказаны аналоги теорем, приведенных в предыдущем параграфе для случая, когда производная Фреше существует. Вместо (0.0.2) используется подобная оценка:

В-А)|| = О (щу) Для VA е 5, (0.0.3) где положительный непрерывный функционал а (Х) удовлетворяет условию lim а (Х) — 0, т. е. а (0) = 0. В силу того, что указанная оценка имеет место,.

6чЭЛ-«0 рассматриваемый в этом параграфе случай не является регулярным. В параграфе 3 главы 1 для уравнения.

B (X)x = R (x, X) + b (X), (0.0.4) где функция 6(Л) не зависит от х, а линейный замкнутый оператор В (Х) удовлетворяет условию (0.0.3), доказаны еще несколько конструктивных теорем, существенно усиливающих результаты работы H.A. Сидорова [66], дополняющих и развивающих теорию простых решений М. А. Красносельского, А. Е. Гельмана и П. П. Забрейко [10,16]. Здесь мы применили замену более общего вида, а именно, вместо замены х (Х) = a (A)V (A), применявшейся прежде, мы использовали замену вида х (Х) = i/(A)K (A), где функционал v (X), изначально являющийся произвольным, определяется в процессе доказательства, что позволяет более гибко производить оценки.

Результаты главы 1 опубликованы в работах [21,24−26,28,30,31,33,38,39, 57,58,60].

В главе 2 продолжается исследование уравнения вида.

B (X) = R (x, X) + b{X), (0.0.5) где замкнутый линейный оператор В (А) с плотной в банаховом пространстве X областью определения, не зависящей от параметра, А G Л, предполагается фредгольмовым в точке, А = 0- А — линейное нормированное пространство, S С, А — секториальная окрестность нуля- — базис в подпространстве нулей N (B (0)), {фг}&trade- — базис в дефектном подпространстве N*(B (0)). Оператор В (А) имеет ограниченный обратный при, А ES, для которого выполнена оценка (0.0.3). Нелинейный оператор R: X х, А —Y непрерывен по х и и Л в окрестности нуля, R{0,0) = 0. Функция b (X): Л У определена и непрерывна в окрестности точки Л = 0, 6(0) = 0.

Приводятся леммы, дающие достаточные условия выполнения оценки (0.0.3). Для оператора вида В (А) = В0 — c{X)Bi при условии существования полного В — жорданова набора фредгольмова оператора Во доказана теорема о существовании минимальной ветви. Приведены формулы, позволяющие строить минимальную ветвь методом последовательных приближений.

Результаты главы 2 опубликованы в работах [57,58].

В третьей главе рассматривается нелинейное уравнение.

Bu = F (u, a (А), ДА)), N где F (u, а, ?3) = Fn{u, а, (3) + R (u, а, /?), FN =? Fikj (u)akf3J, Fm = 0. i+kj=1.

Замкнутый фредгольмов оператор В действует из X в Y и имеет плотную область определения в X. Предполагается, что { «}» — базис в N (B), базис в дефектном подпространстве N*(B), Fikji — степенные операторы [7, стр. 345]. Оператор R непрерывен, дифференцируем по и в смысле Фреше и удовлетворяет оценке R (u, a,/3) = 0((||it|| + |а| + ft) N^ *), «(А) и (3(А) -непрерывные функционалы, определенные на открытом множестве Q С А, 0 G Ш, а (0) = /3(0) = 0. Область является секториальной окрестностью нуля.

Целью третьей главы является построение асимптотических последовательных приближений непрерывных решений и (А) —> 0 при Q Э, А —>• 0, позволяющих строить решения нелинейных интегральных уравнений и краевых задач с несколькими параметрами.

Случай векторного параметра, часто встречающийся в приложениях, изучен недостаточно. Особый интерес при этом представляет разработка схем униформизации ветвей решений и последовательные приближения. Ранее в диссертации в секториальных окрестностях нуля последовательными приближениями строились минимальные ветви малого решения. В третьей главе предложен метод последовательных приближений, позволяющий в секториальных окрестностях строить решения с различными порядками малости уравнений с векторным параметром. В основе метода лежат результаты аналитической теории решений нелинейных уравнений [73, гл. 9] и результаты работы [62].

Затем найдены малые решения краевой задачи об изгибе стержня под действием сжимающей силы в нерегулярном случае с помощью полученной в главе теоремы.

Результаты главы 3 опубликованы в работах [20,54,61].

Исследования по теме диссертации проводились в рамках следующих программ:

— тема НИР задания Федерального агентства по образованию (проект 9 108−102/1.2.08).

— федеральная целевая программа «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009;2013 годы. Госконтракт, но ФЦП «Кадры» П 696 от 20 мая 2010 года.

— индивидуальный исследовательский грант Иркутского государственного университета 111−09−001/А2.

Результаты диссертации были представлены на следующих научных конференций, из которых 6 международных и 2 всероссийских: III Международная научно-техническая конференция «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» (г. Пенза, Пензенский госуниверситет, 2008) [21]- XIV Байкальская Международная школа-семинар «Методы оптимизации и их приложения» (г. Иркутск, Байкал, 2008) [60]- Международная научно-образовательная конференция «Наука в вузах: математика, физика, информатика. Проблемы высшего и среднего профессионального образования» (г. Москва, РУДН, 2009) [30]- II Международная школа-семинар «Нелинейный анализ и экстремальные задачи» (г. Иркутск, ИДСТУ СО РАН, 2010) [27]- XV Байкальская Международная школа-семинар «Методы оптимизации и их приложения» (Иркутская область, п. Листвянка, 2011) [26]- III Международная школа-семинар «Нелинейный анализ и экстремальные задачи» (г. Иркутск, ИДСТУ СО РАН, 2012) [32]- Всероссийская конференция «Математическое моделирование и вычислителыю.

13 информационные технологии в междисциплинарных научных исследованиях" (г. Иркутск, ИДСТУ СО РАН, 2009) — Седьмая Всероссийская научная конференция с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, СамГТУ, 2010) [24]- Школа-семинар «Нелинейный анализ и экстремальные задачи» (г. Иркутск, ИДСТУ СО РАН, 2008) [59]- III Межвузовская зональная конференция, посвященная памяти профессора Б. А. Бельтюкова «Математика и проблемы ее преподавания в вузе» (г. Иркутск, Иркутский педуниверситет, 2007) [37]- региональная паучпо-практическая конференция «Интеллектуальные и материальные ресурсы Сибири» (г. Иркутск, БГУЭП, 2008) [40]- ежегодные научно-теоретические конференции студентов и аспирантов ИГУ (г. Иркутск, 2007, 2008, 2009, 2010) [34,35,42]- ежегодные конференции ИДСТУ СО РАН «Ляпуновские чтения & презентация информационных технологий» (г. Иркутск, 2007, 2008, 2009, 2010, 2011) [22,23,29,36,41], а также на семинарах, проводимых на кафедре математического анализа и дифференциальных уравнений под руководством H.A. Сидорова.

По теме диссертации опубликовано 29 работ — [20−42,54,57−61]. Наиболее значимые результаты представлены в работах [20,21,24−26,28,31,33,38,39,54, 57,58,60,61], 6 из которых [20,31,54,57,58,61] входят в список журналов, рекомендованных ВАК для опубликования основных результатов кандидатских и докторских диссертаций по математике. Три работы изданы в англоязычных версиях соответствующих журналов, в том числе [88,89].

В работах [20,54,57,58,60,61] H.A. Сидорову принадлежат постановки исследуемых задач. В работах [54,61] Д. Н. Сидорову принадлежат построения решений интегрального уравнения и краевой задачи о колебании спутника. В работе [57] А. И. Дрегля принадлежат доказательство существования решения краевой задачи моделирования полимеров и вывод формулы для поиска решения этой задачи методом последовательных приближений.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Библиографический список содержит 91 наименование.

Заключение

.

В первой главе работы получены достаточные условия существования минимальной непрерывной ветви малого решения для нелинейного операторного уравнения вида ^(ж, Л) = 0, заданного в банаховых пространствах, с необратимым оператором в главной части (теорема о неявном операторе не выполняется). Малый параметр Л является элементом произвольного линейного нормированного пространства. Приведены итерационные формулы поиска минимальной непрерывной ветви малого решения методом последовательных приближений в секториальной окрестности нуля. В качестве начального приближения берется нулевой элемент. Выделены некоторые классы интегральных уравнений фредгольма первого и второго рода, для которых применимы полученные результаты.

Во второй главе для уравнения вида В (Х)х = Д (ж, А) + Ь (А), где оператор В (А) является линейным, а точка, А = 0 является фредгольмовской точкой для оператора В (А), получены достаточные условия существования и единственности минимальной ветви в секториальной окрестности нуля параметра А. Даны итерационные формулы для поиска решения методом последовательных приближений, сходящимся при нулевом начальном приближении. Для оператора В (А) построены левый и правый асимтотические регул яризаторьт, используемые в доказательстве сходимости метода.

В третьей главе предложен метод последовательных приближений, позволяющий в секториальных окрестностях строить решения с различными порядками малости для уравнений F (гí-, a-(A),/3(A)) = 0 с функционалами а (А), Р (А) от векторного параметра. В качестве приложения этого класса уравнений исследована краевая задача об изгибе стержня в нерегулярном случае.