Статический изгиб и установившиеся колебания прямоугольных пластинок и пологих оболочек при локальных воздействиях

Актуальность работы.

Теория тонких пластинок и оболочек имеет важное практическое значение и применяется при расчетах различных элементов конструкций и деталей механизмов и машин. Элементы этой теории находят применение в строительстве, машиностроении и многих других отраслях человеческой деятельности.

Теория тонких пластин сформировалась в XIX веке и получила развитие в работах Софи Жермен, Лагранжа, Коши, Пуассона, Кирхгофа и др. Существовали два основных подхода к выводу уравнений теории пластин — метод Коши-Пуассона и метод Кирхгофа. В работах Коши [112] и Пуассона [119] использовалось разложение составляющих НДС пластинки в ряд по толщинной координате с удержанием первых слагаемых. Утверждалось, что удержание большего количества слагаемых приведет к построению более точной теории, и, таким образом, этот метод является универсальным для создания теории пластин любой степени точности. Однако в ряде трудов высказывались сомнения в сходимости построенных таким методом рядов [113]. Кроме того, возникали споры относительно количества необходимых граничных условий.

Метод Кирхгофа [115, 116] построения теории пластин основывается на введении ряда предположений относительно распределения внутренних усилий по толщине пластинки, аналогичных предположениям существующей теории балок. Исходя из гипотез недеформированных нормалей к срединной плоскости и малости нормальных напряжений на площадках, параллельных срединной плоскости, удалось построить наглядную и достаточно эффективную теорию, изложение которой приводится в работах Амбарцумяна С. А. [2], Галеркина Б. Г. [26], Лехницкого С. Г. [62], Тимошенко С. П. [102] и других авторов.

В конце XIX века на основе гипотез, аналогичных гипотезам Кирхгофа для пластин, была построена теория тонких оболочек. Предположения, принятые в этой теории, получили название гипотез Кирхгофа-Лява [110, 118]. Дальнейшее развитие теории оболочек тесно связано с трудами Амбарцумя-на С.А. [1], Власова В. З. [22−24], Вольмира A.C. [25], Галеркина Б. Г. [26], Гольденвейзера A.JI. [32], Кильчевского H.A. [58, 59], Лурье А. И. [63, 64], Лява А. [66], Миндлина Р. Д. 69], Муштари Х. М. 70, 71], Новожилова В. В. 80, 81], Рейсснера Э. 120−124], Тимошенко С. П. 102, 103], Черных К. Ф. 80] и других авторов. Был разработан ряд частных теорий оболочек, описывающих различные эффекты и отличающихся друг от друга учетом или игнорированием малых слагаемых, имеющих различный физический смысл. Кроме этого, были построены различные варианты уточненных теорий оболочек, применяемые для расчета толстых оболочек и оболочек при конечных перемещениях.

Построенные теории для описания тонкостенных элементов позволяют исследовать пластинки и оболочки, материал которых обладает анизотропными, вязкоупругими, пьезоэлектрическими, термоупругими и другими свойствами. В последнее время вышло много работ, посвященных исследованию НДС вязкоупругих пластин и оболочек [39, 50, 51, 55, 56, 60, 61, 65, 84, 109].

Теория вязкоупругости сформировалась в середине XX века, хотя некоторые закономерности поведения вязкоупругих материалов были известны еще в середине XIX века. Эффект ползучести деформаций был впервые обнаружен Вика [130], Вебером [132] и Кольраушем [117]. Больцман впервые сформулировал предположение о зависимости деформации в данный момент времени от всего процесса нагружения [111]. Им же были записаны уравнения трехмерной теории вязкоупругости, которые впоследствии были обобщены на случай анизотропного тела В. Вольтерра [131].

Методам решения задач теории вязкоупругости посвящены труды Мал-мейстера А.К. [67], Работнова Ю. Н. [83, 84], Ржаницына А. Н. [86], Савина Г. Н. [90, 91], Дж. Ферри [104] и др. Поскольку характерной особенностью вязкоупругих тел является способность к рассеянию энергии, появилась необходимость создания теории, учитывающей саморазогрев конструкции при длительных или периодических нагрузках. Одними из первых работ в этой области являются статьи Галина J1.A. [27], Ратнера С. Б. и Коробова В. И. [85], а так же Шепери P.A. [107, 108]. Последовательное изложение теории термо-вязкоупругости приведено в монографии Ильюшина A.A. и Победри Б. Е. [46].

Большое значение для развития теории вязкоупругости и термовязко-упругости имели работы коллектива ученых Института механики Академии Наук Украины. Ими был опубликован ряд работ по исследованию колебаний вязкоупругих балок и стержней [28, 29, 125−129], тонкостенных элементов конструкций [82], а также по исследованию электротермовязкоупруго-сти [49, 50, 53]. Основные результаты исследований обобщены в фундаментальных монографиях [47, 48, 51, 52, 54].

Поскольку краевые задачи теории пластин и оболочек имеют довольно сложный вид, построить их точное аналитическое решение обычно не представляется возможным. Чаще всего решение таких задач проводится приближенно в аналитическом либо численном виде. С развитием вычислительной техники применение численных методов для этих целей приобрело особую актуальность.

Для численного решения задач теории пластин и оболочек чаще всего используются следующие методы:

• метод сеток [18].

Данный метод широко применялся в тот период, когда численные расчеты проводились вручную, либо вычислительных мощностей существующих ЭВМ было недостаточно для применения других вычислительных методов. Часто задача решалась на вычислительной сетке, имеющей менее десяти узлов по каждому направлению. В качестве примера применения метода сеток можно привести работы [15, 16], в которых рассматриваются задачи изгиба параллелограммных пластинок. При использовании сеток с большим числом узлов размерность разрешающей системы уравнений сильно возрастает, причем разрешающая система уравнений в таких задачах зачастую обладает плохой сходимостью. Поэтому при решении задач на сетках большой размерности предпочтительнее пользоваться другими численными методами.

• метод конечных элементов (МКЭ) [68, 87, 100].

Пожалуй, наиболее распространенным численным методом, применяемым для решения задач механики, является метод конечных элементов. Этот метод способен работать с телами произвольной формы и различными видами граничных условий на поверхности тела. К сожалению, этот метод также не лишен недостатков. Среди таковых можно отметить сложность реализации метода, большое число факторов, влияющих на точность вычислений, необходимость использования мощной вычислительной техники и большие объемы вычислений.

Одной из основных проблем, возникающих при реализации МКЭ, особенно при сложной геометрии исследуемого тела, является построение качественной триангуляции, т. е. разбиения тела на достаточно маленькие объемы, внутри которых вид искомых функций считается известным. Поскольку качественное построение триангуляции имеет решающее значение для точности вычислений, этот вопрос требует особого внимания. Алгоритмы, необходимые для построения качественной триангуляции, весьма сложны в реализации.

Существует ряд реализаций метода конечных элементов в виде коммерческих и свободно распространяемых программных продуктов и библиотек. Среди свободных реализаций МКЭ можно отметить программные пакеты FreeFem, Calculix, Code Aster, Elmer, Impact и др. К сожалению, возможности свободно распространяемых реализаций МКЭ как правило не сопоставимы с их коммерческими аналогами, такими как Ansys, Comsol Multiphysics, Abaqus, Adina и т. п.

В качестве примера применения МКЭ для решения задач изгиба тонкостенных конструкций можно привести работы [20, 21] (задачи теории пологих оболочек), и [57] (нелинейные задач теории пластин).

Несмотря на большое количество существующих программных пакетов, реализующих метод конечных элементов, зачастую его применение связано с рядом проблем. Для пользователя типичный конечноэлементный пакет представляется «черным ящиком» с рядом доступных для изменения параметров, причем в документации редко бывают указаны все существующие параметры и их возможные значения. Постановка задачи в конечноэлементном пакете включает в себя не только математическую формулировку задачи механики, но также задание набора настроек, определяющих ход численного решения задачи. Наиболее распространенными из таких параметров являются характеристики размера элементов триангуляции, алгоритм численного решения полученной в результате применения метода конечных элементов разрешающей системы уравнений (solver, preconditioner), вид функции элементов и т. д. Кроме этого, ряд решателей (solver) требует задать дополнительные параметры. Выбор всех этих настроек оказывает большое влияние на точность полученного решения. К сожалению, имеется лишь ряд соображений общего плана относительно выбора этих параметров, и не существует универсального алгоритма для их определения. Таким образом, применение метода конечных элементов в каждой конкретной задаче осложняется выбором ряда параметров, обеспечивающих приемлемую точность решения за разумное время.

• метод граничных элементов [5, 17].

Согласно методу граничных элементов, решение исходной задачи аппроксимируется линейной комбинацией фундаментальной системы решений, построенной для уравнений задачи. Коэффициенты линейной комбинации определяются из граничных условий. Таким образом, после построения фундаментальной системы решений для системы разрешающих уравнений решение задачи фактически сводится к решению другой задачи на границе рассматриваемой области. Поскольку размерность полученной таким образом задачи на единицу меньше, чем у исходной и система фундаментальных решений зачастую имеет физический смысл, применять метод граничных элементов в ряде случаев предпочтительнее, чем МКЭ. Для некоторых задач механики твердого тела, в частности, для задач теории упругости и теории тонких пластин, фундаментальные решения имеют достаточно простой вид, а для других задач, например, теории пологих оболочек, построение фундаментальной системы решений весьма затруднительно.

В качестве примеров применения метода граничных элементов можно привести работу [19], где рассматриваются изотропные пластинки на упругом основании специального вида, а в [114] этим методом решаются задачи для пластинок из вязкоупругого материала.

• метод сплайн-коллокации.

Метод сплайн-коллокации применяется для решения широкого круга задач теории пластин и оболочек. Среди преимуществ этого метода следует отметить высокую точность, простоту реализации, небольшое количество параметров и достаточно высокую вычислительную эффективность. Его недостатками являются сложность применения при исследовании тела произвольной формы и ряд ограничений на граничные условия.

Метод сплайн-коллокации был, по-видимому, впервые использован для решения задач теории пластин в работе [34]. В [35] этим методом решались задачи теории пологих оболочек. В работах [37, 105] проводится решение задач теории оболочек с учетом температуры. Пример расчета оболочки в уточенной постановке приведен в [38]. В работе [36] содержится весьма подробный обзор применения метода сплайн-коллокации к решению различных задач теории пластин и оболочек.

Дальнейшее развитие метод получил в трудах ученых Саратовского государственного университета среди которых следует отметить П. Ф. Недорезова, Н. М. Сироткину и A.A. Барышева. В работе [79] предлагается модификация метода сплайн-коллокации, значительно расширяющая диапазон возможных граничных условий. Этот вариант метода был использован для решения ряда задач по исследованию орто-тропных пластинок [88, 89, 106], толстой пластинки из упруго-наследственного материала [73−75], толстой анизотропной пластинки [76]. В работе [77] с помощью метода сплайн-коллокации был проведен расчет толстой изотропной пластинки как трехмерного упругого тела и выявлен ряд нелинейных эффектов, не учитывающихся теорией Кирхгофа для тонких пластин. Использование метода сплайн-коллокации для решения задач поперечных колебаний вязкоупругой пластинки и пластинки-полосы можно найти в серии работ [7−14].

Особый интерес всегда вызывали задачи изгиба пластинок и оболочек под действием сосредоточенных в точке или вдоль линии усилиях. Ряд численных методов, например метод конечных элементов, способен учитывать нагрузки такого вида. Для применения других методов требуется сначала провести замену этих усилий на распределенные нагрузки, эквивалентные исходным с точностью до принципа Сен-Венана, воспользоваться разложением сосредоточенных нагрузок в ряд либо использовать какой-то другой математический прием.

В теории пластин и оболочек много работ посвящено расчету элементов конструкций при локальных воздействиях. Обычно в таких случаях для описания локальной нагрузки применяется ступенчатая кусочно-постоянная функция. В случае линейной задачи, для ее решения можно использовать разложение этой функции в ряд Фурье.

Исходная задача решается для нагрузки, соответствующей каждому из членов ряда. Решение получается как суперпозиция полученных результатов. При таком подходе необходимо также доказать сходимость построенного ряда. В том случае, если для решения задачи применяются численные методы, необходимо решить исходную задачу для нескольких вариантов нагрузки, соответствующих первым членам ряда.

В качестве примеров решения задач статического и вибрацонного изгиба пластинок и оболочек при локальных нагрузках с использованием дельта-функций можно взять работы [3, 4, б, 30]. В работах [40, 42−44] рассмотрены примеры решения задач для оболочек при локальных воздействиях. Как и в упомянутых ранее работах, локальные нагрузки задаются дельта-функциями.

Приведенный далеко не полный обзор позволяет утверждать, что проблема исследования НДС тонких пластинок и оболочек при локальных усилиях далека от завершения и сделать вывод об актуальности этой темы.

В диссертационной работе рассматриваются задачи статического изгиба.

71=1.

1) и установившихся колебаний тонких прямоугольных пластинок и круговых цилиндрических оболочек при локальных воздействиях. Под локальными воздействиями понимаются распределенные усилия, приложенные в узкой зоне в окрестности точки или линии. С точки зрения механики сосредоточенная сила является математической абстракцией, поэтому результаты расчетов при использовании такого подхода более точно соответствуют физической постановке задачи, чем в случае использования сосредоточенных сил.

Использование кусочно-постоянных функций для задания локальных усилий нежелательно ввиду наличия разрыва. В работе для этих целей используются непрерывные функции вида д (х, у) = СсоБк к 1(х, у).

2тах|/(С, гу)|. Ы.

2) где / (х, у) = 0 — уравнение кривой, в окрестности которой приложена нагрузка, С — нормирующий коэффициент, к — достаточно большое число. Такой способ позволяет аппроксимировать сосредоточенную нагрузку, приложенную вдоль произвольной кривой, и варьировать ширину зоны ненулевых значений. Численное решение задач статического изгиба и установившихся колебаний пластинок и оболочек при таких нагрузках проводится с помощью классического или модифицированного метода сплайн-коллокации в сочетании с методом дискретной ортогонализации С. К. Годунова [31]. В работе рассматривались идеально упругие изотропные и ортотропные пластинки, вязко-упругие пластинки и идеально упругие открытые цилиндрические оболочки. Апробация этого подхода была проведена на модельной задаче, для которой известно точное аналитическое решение, и ряде других задач, которые были решены с помощью коммерческих конечноэлементных пакетов.

Цели диссертационной работы.

• распространение метода сплайн-коллокации и его модификации на случаи статического и вибрационного изгиба идеально упругих и вязко-упругих пластинок и оболочек при локальных воздействиях для сложных способов закрепления контура;

• решение модельных задач для апробации используемой методики, сравнение результатов с известными теоретическими решениями и решением по методу конечных элементов;

• адаптация применяемой вычислительной методики для использования на вычислительном кластере для сокращения времени вычислений;

• проверка справедливости принципа Сен-Венана при замене сосредоточенной силы либо усилий, распределенных вдоль линии, на соответствующие локальные нагрузки при исследовании НДС тонких пластинок;

• оценки влияния стрелы подъема и отношения сторон на результаты решения задач статического изгиба и установившихся колебаний тонких открытых круговых цилиндрических оболочек, перекрывающих прямоугольный план;

• проведение сравнительного анализа влияния на значения резонансных частот гипотез пологости и сил инерции в тангенциальных направлениях при вибрационном изгибе оболочек.

Научная новизна.

Все задачи, за исключением модельных, решены впервые. В результате вычислительных экспериментов обнаружен и исследован ряд механических эффектов и закономерностей. Проведен сравнительный анализ эффективности использования метода сплайн-коллокации и конечно-элементных пакетов.

Практическая значимость.

Изложенная методика и полученные результаты представляют теоретический и практический интерес для механики, и могут использоваться при моделировании тонкостенных элементов и вибрационном анализе конструкций.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

• методика численного исследования НДС тонких упругих и вязкоупру-гих пластинок и оболочек под действием локальных нагрузок с помощью метода сплайн-коллокации (классический и модифицированный варианты);

• результаты и выводы, сделанные по итогам вычислительных экспериментов по определению НДС и резонансных частот пластинок и оболочек;

• оценки влияния стрелы подъема оболочки на область применимости теории пологих оболочек и значимость учета сил инерции в тангенциальных направлениях.

Апробация работы.

Основные результаты диссертационной работы докладывались на.

• конференции «Актуальные проблемы математики и механики» (Саратов, 2006, 2007, 2008, 2009 гг),.

• 2 Международном форуме (7 международной конференции) молодых ученых «Актуальные проблемы современной науки» (Самара, 2006 г.),.

Ежегодной Всероссийской научной школе-семинаре «Методы компьютерной диагностики в биологии и медицине — 2008» (Саратов, 2008, 2009 гг.'.

Пятых Поляховских чтениях (Санкт-Петергург, 2009 г.),.

Седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2010 г/.

• Международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (Воронеж, 2010 г.),.

• X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 2011 г.),.

• научных семинарах кафедры математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета им. Н. Г. Чернышевского под руководством д.ф.-м.н., проф. Коссовича Л.Ю.

Публикации.

Материалы диссертации опубликованы в 9 печатных работах, из них 4 статьи в рецензируемых журналах [78, 97−99], 3 статьи в сборниках трудов конференций [92, 95, 96] и 2 статьи в сборниках научных трудов [93, 94].

Личный вклад автора.

Научные результаты, изложенные в диссертационной работе, получены автором лично и самостоятельно. Работа [78], опубликованная в соавторстве сП.Ф. Недорезовым и О. М. Ромакиной, представляет собой изложение адаптации модифицированного метода сплайн-ко л локации для случая установившихся колебаний вязкоупругой пластинки.

Структура и объем диссертации

.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка цитированной литературы. Материал работы изложен на 148 страницах, содержит 45 рисунков, 28 таблицы, список цитированной литературы содержит 132 наименований.

Основные результаты и выводы.

1. Предложен вариант описания приложенных в окрестности точки или кривой локальных усилий, свободный от ряда недостатков, присущих ранее применявшимся способам. Заданные таким образом усилия описывают реально действующие на конструкции нагрузки более физично, чем при использовании концепции сосредоточенных сил или усилий, распределенных вдоль линии. В пределе, при /с —> оо, такие усилия переходят в нагрузку, которая обычно трактуется как сосредоточенная в точке сила или усилия, распределенные вдоль некоторой кривой.

2. Поставлены и решены новые задачи статического и вибрационного изгиба при локальных воздействиях идеально упругих и вязкоупругих прямоугольных пластинок и круговых цилиндрических оболочек открытого профиля, перекрывающих прямоугольный план. В задачах статического и вибрационного изгиба идеально упругих пластинок исследовано влияние анизотропии на НДС, значения резонансных частот и резонансные формы колебаний. Показано, что в рассмотренных случаях влияние анизотропии на первую резонансную форму колебаний невелико, однако оно сильно проявляется при более высоких частотах.

3. Выполнена оценка справедливости принципа Сен-Венана при замене сосредоточенных усилий и усилий, распределенных вдоль линии, на локальные нагрузки. Показано, что с помощью выбора параметра к расхождения между результатами решения этих задач можно снизить до достаточно небольших значений (2−5%).

4. Установлено, что форма изогнутой срединной поверхности и резонансные формы колебаний оболочки при очень малых значениях стрелы подъема (6/Я < 0.1) качественно подобны форме изогнутой срединной.

130 плоскости и резонансным формам колебаний пластинки. При более высоких значениях стрелы подъема между формами изогнутой срединной поверхности и резонансными формами колебаний пластинок и оболочек наблюдаются существенные качественные и количественные отличия.

5. В случаях статического и вибрационного изгиба проведена оценка наибольшего относительного значения стрелы подъема открытой цилиндрической оболочки, перекрывающей прямоугольный план, при котором можно пользоваться гипотезами пологости. Результаты, полученные при использовании гипотез пологости для рассматриваемой оболочки при жесткой заделке контура не имеют существенных отличий от классической теории при относительных значениях стрелы подъема не превышающих 8/R < 0.3.

6. Показано, что силы инерции в тангенциальных направлениях при исследовании установившихся колебаний оболочек не оказывают существенного влияния на значения резонансных частот при O/R < 0.3.

7. Проведена адаптация методики численного вычисления резонансных частот пластинок и оболочек на основе метода сплайн-коллокации для применения на вычислительном кластере.