Параметрический резонанс. 
Теория электрических цепей

Для поддержания в контуре незатухающих колебаний в него необходимо все время добавлять извне некоторую энергию, которая возместила бы потери на активном сопротивлении. Первый способ сообщить контуру колебательную энергию — воздействовать на него внешней ЭДС, увеличивающей ток в контуре и напряжение на конденсаторе и катушке. Энергия магнитного поля тока /, протекающего по катушке с индуктивностью L, согласно (1−16), d_L = 0,5L/². Внешняя сила (ЭДС) сообщает контуру добавочную энергию, увеличивая второй сомножитель — ток /. Если внешняя сила действует в такт с собственными колебаниями, то контур забирает от нее наименьшее количество энергии и амплитуда колебаний достигает своей наибольшей величины (резонанс). Но системе можно сообщить энергию и другим путем — периодически меняя первый сомножитель — индуктивность L (или емкость С). Действительно, если при неизменном токе I увеличить индуктивность от первоначального значения L_x до некоторого другого значения L₂ (вдвигая, например, в катушку ферромагнитный сердечник), то энергия катушки возрастет на величину.

где ДL = L₂— L_v

Важно не только вносить в контур возможно больше энергии, но и делать это вовремя, попасть в такт с собственными колебаниями контура. Для этого поступаем следующим образом. Пусть в контуре, состоящем из емкости С, индуктивности L и сопротивления г, течет в начальный момент ток /. Изменим в этот момент индуктивность на величину AL, что равносильно изменению энергии на 0,5ДLP. Предоставим теперь контур самому себе. В нем начнутся свободные колебания (свободные потому, что внешняя сила уже не действует), и магнитная энергия катушки будет переходить в электрическую энергию конденсатора. Через четверть периода вся энергия контура перейдет в электрическую, напряжение на конденсаторе достигнет своей наибольшей величины, а ток обратится в нуль. В этот момент (/= 0) возвратим индуктивность к ее первоначальной величине /.,. Поскольку в этот момент нет ни тока, ни магнитного поля, никакой работы на это затратить не придется (мы пренебрегаем механическим трением и считаем, что изменению индуктивности, например вдвиганию и выдвиганию из катушки сердечника, может противодействовать одно магнитное поле). Изменив индуктивность, в первый раз мы затратили работу ОДАLP. Вернув через четверть периода индуктивность к ее первоначальному значению, мы работы не затратили. Следовательно, контур получил за полпериода энергию 0.5Л/./², которая пошла на усиление колебаний. Еще через четверть периода, когда конденсатор начинает разряжаться, его электрическая энергия снова целиком перейдет в магнитную. В этот момент, при том же токе /, мы снова увеличим индуктивность на ДL, затем вернем ее к начальному значению и т. д. Если энергия, вложенная за полпериода собственных колебаний, будет больше потерь за это же время, т. е. если.

то колебательная энергия в контуре будет все время расти, а амплитуда колебаний — соответственно увеличиваться.

Этому условию можно придать и другой вид. Разделим обе части неравенства на L. Тогда.

или.

Изменяя индуктивность с частотой /, в два раза большей собственной частоты контура /_к, при условии (3−77) можно возбудить в системе колебания, не воздействуя на нее никакой ЭДС, как бы ни был мал начальный случайный заряд. Такой случайный заряд или ток / очень малой величины всегда найдется, например токи, наведенные магнитным полем Земли, атмосферными разрядами, электрическими машинами, радиоволнами и т. д. Если даже контур изолирован от всех посторонних влияний, то, как показывают теория и опыт, в нем все же постоянно циркулируют беспорядочные, непрерывно меняющие свое направление, частоту и величину очень слабые, так называемые флуктуационные токи (/ф <10 ^{, 2}А).

Условие (3−79) справедливо для тех случаев, когда индуктивность меняется скачками (на величину AL четыре раза за период). Если индуктивность меняется не скачками, а плавно, непрерывно (но с той же частотой / = 2/_к), то условие (3−79) заменится другим, например, при изменении индуктивности по гармоническому закону колебания возникают тогда, когда A L / L> 0,5 г / ttL.

Колебания можно возбудить не только изменением индуктивности, но и изменением емкости. Условия возникновения колебаний те же, что и для случая индуктивности (J = 2/_к и АС / С > 0,5гТ / С). Поскольку С, L, г являются параметрами контура, то возбуждение колебаний изменением параметров получило название параметрического возбуждения колебаний.

Система с периодически меняющимися параметрами может быть как линейной, так и нелинейной. Линейной она будет тогда, когда ее параметры, хотя и меняются со временем, но от тока и заряда не зависят. В линейных системах амплитуда колебаний будет непрерывно возрастать.

Нелинейной она будет в том случае, когда какой-либо параметр зависит от тока или напряжения (в цепь включена катушка с сердечником и т. д.). В нелинейной системе при периодическом изменении параметров колебания не возрастают беспредельно, а сохраняют постоянную, установившуюся амплитуду. Так будет в контуре с дросселем, имеющим железный сердечник.

Сравним особенности параметрического и обычного резонанса.

На рис. 3.15 показаны резонансные кривые при параметрическом резонансе в цепи с катушкой с сердечником — зависимость максимального заряда конденсатора от расстройки контура (жирная кривая), тонкой кривой изображена резонансная кривая при обычном резонансе в том же контуре. Расстройка А/ / /_к = (/-/_к) / /_к указана в процентах.

При обычном резонансе параметры постоянны, они не зависят ни от времени, ни от тока. Поскольку при параметрическом резонансе параметры зависят и от времени, и от тока (катушка с сердечником), то появляется новое обстоятельство, влияющее на резонансную кривую, которая зависит теперь от того, как именно связаны параметры с током и зарядом в системе. Например, если индуктивность зависит от тока как L = а + Ы — сГ², то резонансная кривая будет такая, как на рис. 3.15, а. При L = а + Ы + сГ² (иной материал сердечника катушки) резонансная кривая будет уже другой (рис. 3.15, б).

Рис, 3.15.

При обычном резонансе колебания достигают максимальной амплитуды только при частоте внешнего воздействия, равной собственной частоте системы (J = /_к). Сколько собственных частот имеет система, столько и резонансных частот для внешней силы. Всякое колебание достигает максимума только при одной частоте внешней силы.

При параметрическом резонансе колебания частоты /_к возбуждаются не только при частоте изменения параметра /= 2/_к, но и при более низких частотах /= 2/_к / п, где п — любое целое число: 1, 2, 3, 4 и т. д. Механизм возбуждения колебаний тот же, что и при /= 2/_к, но мы меняем параметр и вносим в систему энергию не каждые пол периода, как при / = 2/_к, а через период, полтора периода (2/_к / 3), два периода (J = 2/_к / 4) и т. д. Вполне понятно, что возбудить колебание при более медленном изменении параметра труднее, чем при / = 2/_к. На поддержание колебаний каждые нолпериода нужно ввести в систему столько энергии, сколько теряется в пей на джоулево тепло: ALP / 2 > PRT/ 2. При самой высокой частоте (J = 2/_к) энергия вносится каждые нолпериода, поэтому ALP / 2 = PRT / 2. При / = = 2/_к / 4, например, энергия вносится каждые два периода, а за два периода потери на джоулево тепло вчетверо больше, чем за Т / 2, поэтому AL должно быть также больше. Чем ниже /, гем больше должно быть отношение AZ, / L и тем больше должно быть процентное изменение индуктивности. Поэтому колебания при /= 2/_к / 2; 2/_к / 3 и т. д. труднее возбудить.

Итак, при параметрическом резонансе одно и то же собственное колебание частоты /_к возбуждается при внешних воздействиях разной частоты 2/₀ / п. Основной параметрический резонанс, наиболее интенсивный, получается не при / = /_к, как обычный резонанс, а при / = 2/_к

При обычном способе возбуждения колебания возникают при любой расстройке. При значительной расстройке амплитуда колебаний очень мала, но колебания, хотя и малые, все же возникают.

В параметрическом резонансе при значительной расстройке (в данном случае — от 3% и выше) колебания вообще не возникают. Если в контуре уже есть колебания, то при увеличении расстройки они уменьшаются не плавно, как при линейном резонансе, а сразу исчезают, когда расстройка превысила определенный порог (на рис. 3.15 — 3%).

Существование порога для расстройки, выше которого колебания срываются, — второе отличие параметрического резонанса от обычного.

Порог существует и для внешней силы, меняющей параметр. Если изменение параметра за период мало, то колебания тоже не возникают. Напротив, при обычном резонансе колебания возникают при любой ЭДС. Правда, при малой ЭДС мала и амплитуда колебаний, но они все же есть.

Итак, условия появления параметрического резонанса совершенно иные, чем обычного резонанса.

Суммируем, от каких факторов и как именно зависит амплитуда вынужденных колебаний при обычном резонансе и при параметрическом резонансе.

1. При обычном резонансе колебания возникают при любой расстройке, но при значительной расстройке они малы. При параметрическом резонансе колебания возникают лишь при достаточно малой расстройке (на рис. 3.15 — при относительной расстройке меньше 3%).

При дальнейшем уменьшении расстройки до пуля амплитуда колебаний в обычной системе растет, при / = /_к достигает максимума и дальше постепенно падает. Резонансная кривая симметричная, ес максимум — посередине.

В случае параметрического резонанса вначале с уменьшением расстройки амплитуда колебаний растет, при /= 2/_к достигает некоторого значения U_x. Однако при дальнейшем возрастании частоты амплитуда вынужденных колебаний продолжает расти, хотя расстройка и увеличивается от нуля до Д/₂. При критическом значении расстройки (на рис. 3.15 — 3%) колебания срываются. Резонансная кривая имеет иную форму, чем при обычном резонансе. Она несимметрична, и максимум ее — на краю.

2. Амплитуда колебаний при обычном резонансе зависит от ЭДС, от отношения частот///_к (частоты внешней силы к собственной частоте) и от затухания. При заданных Д///_к, Q_D и Е возможна только одна амплитуда колебаний, так как Г²_р /1² = 1 + Q_n(2Af //_к).

Подошли ли мы к данной частоте справа (понижая частоту) или слева (повышая ее), при обычном резонансе это роли не играет — амплитуда вынужденных колебаний будет одна и та же.

При параметрическом резонансе, если увеличивать собственную частоту контура, колебания нарастают и при критической расстройке А/ = Д/₂ срываются. Однако, снова уменьшив расстройку, сделав ес ниже критической, мы колебаний возбудить не сможем, они возникнут вновь только при Д/ = = Д/₃ (Д/₃ = 2%) и притом сразу с большой амплитудой, скачком. Расстройкам между Д/₂ и Д/₃ между 2 и 3% на рис. 3.15 соответствуют по две амплитуды колебаний: при движении слева — амплитуда U, при движении справа — амплитуда, равная нулю (колебаний нет).

Таким образом, колебания в данный момент зависят нс только от параметров системы и от внешней силы, но и от того, что было с системой раньше, от «истории» системы. В этом тоже существенное отличие параметрического резонанса от обычного резонанса.

• 3. Амплитуда колебаний зависит от величины внешней силы. При обычном резонансе она пропорциональна внешней силе. В нелинейной системе это соотношение не имеет места. Связь между внешней силой и амплитудой колебаний не линейная, а более сложная.
• 4. На форму резонансной кривой влияет активное сопротивление в контуре. На рис. 3.16 изображены резонансные кривые параметрического резонанса с периодическим изменением емкости. Изменение емкости достигается в этой машине непрерывным вращением подвижных пластин конденсатора, жестко скрепленных с валом двигателя.

На каждой из резонансных кривых указана величина активного сопротивления в контуре, при котором она измерена. Как очевидно из рис. 3.16, с ростом активного сопротивления (т.с. потерь в контуре) резонансная кривая опускается и несколько сужается. При обычном резонансе с ростом потерь резонансная кривая, наоборот, не сужается, а расплывается.

Рис. 3.16.

Явление параметрического резонанса было открыто около 150 лет назад, но последовательная и полная его теория была разработана в значительной мере трудами советских физиков Л. И. Мандельштама, Н. Д. Папалекси, А. А. Андронова, И. А. Грекова и др. Применив свою теорию к практике, они впервые в мире разработали и построили в 1931 г. основанный на этом принципе генератор переменного тока.