Резистивно-емкостные линии. 
Теория электрических цепей

Резистивные линии и линии без потерь — это предельные случаи одномерных цепей с распределенными параметрами, в одном из которых полностью пренебрегают явлениями запасания электрической энергии, а в другом — всеми видами потерь. Резистивно-емкостные линии занимают промежуточное положение, поскольку в них одновременно имеют место и процесс запасания энергии в электрическом поле, и процесс необратимого ее преобразования в другие виды энергии.

В отличие от линий без потерь, коэффициент распространения которых является чисто мнимым, и резистивных линий, коэффициент распространения которых является вещественным, коэффициент распространения резистивноемкостных линий — комплексное число

причем коэффициент фазы р численно равен коэффициенту ослабления а:

Фазовая скорость в резистивно-емкостной линии зависит от частоты:

поэтому колебания различных частот распространяются в ней с различными скоростями. Очевидно, что неискаженная передача колебаний в резистивно-емкостных линиях невозможна.

Волновое сопротивление однородной резистивно-емкостной линии является комплексным, причем его модуль уменьшается с ростом частоты, а аргумент равен -45° и не зависит от частоты:

Первичные параметры однородной ЯС-линии могут быть найдены с помощью выражений (8.52), (8.53), если положить в них Z_B = 'VR|/(2coC_l)(l -j), у = а (1 +j) и принять во внимание что.

Используя выражения для первичных параметров однородной ДС-линии, можно определить любые операторные или комплексные частотные характеристики этих линий и найти их реакцию на произвольное внешнее воздействие.

В отличие от простейших ДС-цепей (см. рис. 3.12, в, г), напряжение на выходе которых не может быть сдвинуто по фазе относительно входного напряжения на угол, больший, чем 90°, сдвиг фаз между напряжениями на входе и выходе ДС-цепи с распределенными параметрами может достигать любого сколь угодно большого значения. Действительно, из выражения для коэффициента передачи по напряжению /?С-цепи с распределенными параметрами при согласованной нагрузке.

следует, что модуль коэффициента передачи К₂((о) = е ^а1 = = е'^,'^/«^вд/2 монотонно уменьшается, а аргумент v|/2i (co) = -а/ =.

= -HioRC/2 монотонно возрастает по абсолютному значению с ростом длины линии / или частоты со. Это свойство резистивно-емкостных линий широко используют в микроэлектронике для построения различных безындуктивных фильтров и фазовращателей.

Неоднородные линии. Неоднородными линиями называют одномерные цени с распределенными параметрами, погонные параметры которых изменяются вдоль цепи по определенному закону. Коэффициент распространения, волновое сопротивление и фазовая скорость таких линий в общем случае являются функциями координаты, а отраженные волны возникают не только на концах линии, но и во всех ее сечениях. Уравнения, описывающие электрические процессы в неоднородной линии:

по внешнему виду совпадают с уравнениями (1.44), (1.45), описывающими процессы в однородной линии, однако входящие в эти уравнения коэффициенты являются функциями координаты. Распределение комплексных действующих значений напряжения и тока в неоднородной линии описывается уравнениями:

которые путем дифференцирования и исключения переменных могут быть сведены к одному уравнению с переменн ы м и коэффициентам и.

Общее решение такого уравнения при произвольном законе изменения погонных параметров вдоль линии неизвестно, поэтому для знакомства со свойствами неоднородных линий необходимо конкретизировать вид зависимости погонных параметров от координаты.

Рассмотрим простой и весьма важный для практики случай, когда погонные параметры неоднородной линии определяются соотношениями.

где L_y(0), Ci (0) — значения погонных индуктивности и емкости в сечении линии х = 0; q — постоянный коэффициент, который может быть больше или меньше нуля. Неоднородная линия такого типа называется экспоненциальной линией без потерь. Ее коэффициент распространения не зависит от координаты и является чисто мнимым:

а волновое сопротивление чисто вещественно и изменяется вдоль линии по экспоненциальному закону.

где Я"(0) = = Л/1,(0)С,(0) — значение волнового сопротивления при х = 0.

Исследование процессов в экспоненциальной линии без потерь облегчается тем, что при выбранном законе зависимости погонных параметров от координаты (8.85) коэффициенты уравнения (8.84) не зависят от х:

Решение уравнения (8.86) имеет вид где 5|, $ 2 — корни характеристического уравнения Следовательно,

Подставляя выражение (8.87) в уравнение (8.83), находим комплексное действующее значение тока линии:

Для упрощения анализа ограничимся рассмотрением случая, когда погонные параметры изменяются вдоль линии достаточно медленно — так, что на участке линии, длина которого равна длине волны X, относительное изменение параметров незначительно. Тогда.

Используя выражения (8.88)—(8.90), находим упрощенные соотношения для распределения комплексных действующих значений напряжения и тока вдоль рассматриваемой линии:

Первые слагаемые в выражениях (8.91), (8.92) можно интерпретировать как комплексные действующие значения напряжения и тока падающей, а вторые — отраженной волн. Из этих выражений следует, что при q > 0 амплитуды напряжения падающей U_{m пад} = л[2Ае^ях/2 и отраженной U_m0Tp = = V2А₂е~^{(, х/2} воли уменьшаются, а амплитуды тока падающей Lпал = i2Aie^qx/2/R_B(0) и отраженной /_тотр = i2A₂e^qx/2/R_H(0) волн увеличиваются при удалении от начала линии; при q < 0 амплитуды напряжения обеих волн увеличиваются, а амплитуды тока уменьшаются с возрастанием х, причем полная мощность каждой из волн, определяемая произведением действующих значений напряжения и тока, остается неизменной.

Соотношения между напряжениями и токами падающей или отраженной волны напоминают соотношения между напряжениями и токами идеального трансформатора, поэтому явление изменения напряжения и тока этих волн в неоднородной линии без потерь получило название трансформации падающей и отраженной волн. Количественно изменение амплитуд напряжения и тока оценивается коэффициентом трансформации линии

С учетом соотношения (8.93) выражения для комплексных действующих значений напряжения и тока экспоненциальной линии без потерь принимают вид.

Выражая входящие в соотношения (8.94), (8.95) постоянные интегрирования A _t и А₂ через напряжение 0₂ и ток /₂' в конце линии.

и полагая х = 0, получаем основную систему уравнений исследуемой линии в форме А:

Из уравнений (8.96) следует, что экспоненциальную линию без потерь можно рассматривать как взаимный несимметричный четырехполюсник, входное и выходное характеристические сопротивления которого равны соответственно волновому сопротивлению линии в сечении х = 0 и волновому сопротивлению линии в сечении х = I

а характеристическая постоянная передачи — произведению коэффициента распространения на длину линии:

При согласованной нагрузке со стороны зажимов 2 — 2' комплексные коэффициенты передачи линии по напряжению и току в соответствии с выражениями (7.100) и (7.101).

где п (Г) = n (x)_x=i = е ^q,/2 = V ««(())/""(/).

Таким образом, действующее значение напряжения на выходе экспоненциальной линии без потерь при согласованной нагрузке равно действующему значению напряжения на входе линии, умноженному на «(/), а действующее значение тока на выходе линии — действующему значению тока на входе, деленному па п (1). При воздействии па вход линии произвольного напряжения u_x{t) = U (p) операторное изображение напряжения на выходе линии.

Переходя от изображения к оригиналу, устанавливаем, что напряжение на выходе линии м₂(0 ⁼ n (l)u (t — f₀) представляет собой входное напряжение, смещенное во времени на время задержки сигнала в линии.

и умноженное на коэффициент трансформации в конце линии п{1).

Таким образом, экспоненциальная линия без потерь может производить задержку и трансформирование сигналов без их искажения.

Следует отметить, что подобными свойствами обладают также и некоторые другие типы неоднородных линий, что обусловило широкое применение на практике отрезков таких линий для задержки и трансформирования сигналов. Отрезки неоднородных линий используют также для согласования источника энергии с нагрузкой и в качестве фильтров и колебательных систем сверхвысоких частот.