Аналоговые фильтры. 
Электроника. 
Математические основы обработки сигналов

Задача фильтрации. — Понятие фильтра. — Базисные фильтры и их идеальные частотные характеристики. — Задача аппроксимации. — Типовые фильтры нижних частот. — Фильтры Баттерворта и их свойства. — Фильтры Чебышева первого рода и их свойства. — Денормирование и трансформация фильтров. — Примеры расчета фильтров

Задача фильтрации. Базисные фильтры и их идеальные частотные характеристики

Под фильтрацией понимают такое преобразование сигнала, при котором его определенные полезные особенности сохраняются, а нежелательные свойства подавляются. Осуществляется фильтрация при помощи фильтра, представляющего собой динамическую систему с определенными свойствами.

С помощью фильтрации решают многочисленные задачи, возникающие на практике, в том числе:

• 1) подавление шумов, маскирующих сигнал;
• 2) устранение искажения сигнала, вызванного несовершенством канала передачи или погрешностью измерения;
• 3) разделение двух или более различных сигналов, которые были преднамеренно смешены для того, чтобы в максимальной степени использовать канал;
• 4) разложение сигналов на частотные составляющие;
• 5) демодуляция сигналов;
• 6) преобразование дискретных сигналов в аналоговые;
• 7) ограничение полосы частот, занимаемой сигналами.

Фильтрацию можно представить как процесс изменения частотного спектра сигнала в некотором желаемом направлении. Этот процесс может привести к усилению или ослаблению частотных составляющих в некотором диапазоне частот, к подавлению или выделению какойлибо конкретной частотной составляющей и т. п.

Разработка практических методов фильтрации процессов зачастую базируется на следующем принципиальном допущении; спектры полезного сигнала и сигнала помехи не перекрываются. Например, в случае взаимного расположения спектров, показанного на рис. 6.1, а необходимо потребовать, чтобы фильтр пропускал все частотные составляющие в диапазоне [0, со_гр] и подавлял частотные составляющие в диапазоне (со_гр, со).

Задача фильтрации существенно усложняется, если спектры полезного сигнала и сигнала помехи перекрываются (рис. 6.1, б). Здесь нельзя однозначно установить границу между полосой пропускания и полосой задерживания. Смещение границы влево приводит к большему искажению полезного сигнала за счет подавления его высокочастотных составляющих, а смещение вправо — к большему искажению за счет помех. В этом случае ставят и решают задачу поиска оптимального фильтра.

Рис. 6.1 Амплитудные спектры полезного сигнала (1) и помехи (2):

а- с незначительным перекрытием; б — со значительным перекрытием Полоса частот, в которой сигналы пропускаются (усиливаются) фильтром, называется полосой пропускания. Полоса частот, где сигналы подавляются (ослабляются) фильтром, называется полосой задерживания. Частоты, лежащие на границе полос пропускания и задерживания, называются граничными частотами.

В зависимости от взаимного расположения полос пропускания и задерживания различают следующие типы фильтров:

• • фильтры нижних частот (ФНЧ);
• • фильтры верхних частот (ФВЧ);
• • полосовые фильтры (ПФ);
• • заграждающие (режекторные) фильтры (ЗФ).

Перечисленные выше типы фильтров широко применяются при обработке данных и сигналов. Поэтому их часто называют базисными фильтрами. В идеале базисные фильтры должны иметь амплитудночастотные характеристики, представленные на рис. 6.2.

• 1. Идеальный фильтр низких частот должен пропускать все частотные составляющие в диапазоне (0, со_гр) и подавлять частотные составляющие в диапазоне (со_|р,°°) (рис. 6.2, а).
• 2. Идеальный фильтр высоких частот должен иметь обратные характеристики, то есть пропускать частотные составляющие в диапазоне (со, оо) ^и поглощать их в диапазоне (0, со_|р) (рис. 6.2, б).

Рис. 6.2. Идеальные ЛЧХ базисных фильтров

• 3. Полосовой фильтр должен пропускать составляющие с частотами, лежащими в диапазоне (оо_гр|, (о_ф2) и подавлять другие составляющие
• (рис. 6.2, в).
• 4. Заграждающий фильтр должен подавлять составляющие с частотами из диапазона (со_гр|, со_гр2) и пропускать другие составляющие без

изменения (рис. 6.2, г).

Покажем, что реализовать фильтры с идеальными характеристиками нельзя. Рассмотрим идеальный ФНЧ, обобщенную частотную характеристику которого можно записать так:

Частотные характеристики фильтра, построенные по выражению (6.1), показаны на рис. 6.3, а. Применив к (6.1) обратное преобразование Фурье, найдем импульсную переходную функцию идеального ФНЧ.

Импульсная переходная функция h (t) построена на рис. 6.3, б. Как видно, h{t) Ф 0 при t < 0 и тем самым нарушено условие физической реализуемости системы. Идеальный ФНЧ поэтому реализовать нельзя.

Рис. 6.3. Характеристики идеального ФПЧ: а — амплитудно-частотная характеристика; б — импульсная переходная функция.