Метод прогонки решения задачи синтеза оптимальной линейной системы

Выше задача синтеза оптимальной линейной системы методом динамического программирования была сведена к решению матричного уравнения Риккати. Здесь рассматривается еще один метод решения этой задачи, основанный на вариационном методе и прогонке (переносе) граничных условий из одного конца на другой. Этот метод иногда позволяет получить аналитическое выражение для оптимального закона управления и в том случае, когда матричное уравнение Риккати аналитически не удается решить.

Рассмотрим следующую задачу оптимального управления:

Здесь to, ?/, х° фиксированы и для удобства в качестве критерия оптимальности принят интегральный квадратичный функционал, поделенный на 2. Это не скажется на решении задачи.

Составим гамильтониан (принимаем тро = —1):

Запишем уравнения Эйлера-Лагранжа (см. (9.27)):

Из последнего уравнения имеем Подставим это выражение в уравнение объекта:

Представим фундаментальную матрицу в соответствии со структурой уравнения (10.43) в виде Запишем решение уравнения (10.43), используя нормированную фундаментальную матрицу Z (t, to): Z (t, t) = I при любом t из рассматриваемого интервала времени. Согласно формуле (1.9) решение однородного уравнения (10.43), если за начальный момент принять t' € [to,*/], примет вид.

где Z{j — матрицы размерности п х п. Используя это представление и положив t! — tf, решение (10.45) можно записать в виде.

или, после подстановки (10.44),.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Исключим из полученной системы уравнений х (?/):

В результате проведенного преобразования по существу граничное условие из точки tf на временнбй оси переносится в точку t 6 [to, t/]. Подставив выражение для i/> из последнего соотношения в (10.42), получим оптимальный закон управления.

или где Запишем это уравнение совместно с первым уравнением ЭйлераЛагранжа:

Условие трансверсальности принимает вид (см. (9.30)).

Решая ту же самую задачу методом динамического программирования, получили (см. (10.17)).

Сравнивая это соотношение с (10.46), получаем.

При F = 0 формулы (10.46) и (10.47) принимают соответственно вид.

Соотношения (10.47) и (10.49) определяют решение уравнения Риккати (10.18) при F ф 0 и F = 0 соответственно через фундаментальную матрицу системы, состоящей из уравнения объекта и уравнения Эйлера-Лагранжа для сопряженных координат.

Простейшая задача перехвата. Решим изложенным методом прогонки задачу перехвата, несколько отличную от задачи, рассмотренной в [13).

Рис. 10.3. К задаче перехвата.

Пусть цель движется равномерно и прямолинейно на постоянной высоте со скоростью *;_ц. Перехватчик движется с постоянной скоростью v_n. Курсовые углы цели ц и перехватчика q_n (рис. 10.3) достаточно малы:

При указанных допущениях в первом приближении уравнение движения перехватчика можно записать в виде.

где xi — текущее расстояние от перехватчика до траектории движения цели; и_п — угловая скорость перехватчика. Принимая угловую скорость перехватчика за его управление и вводя обозначения q_n = Х2, = м, уравнения перехватчика можно записать в векторной форме

где.

Примем за начальное время to = 0. Время перехвата tf = ro/v_c, v_c — скорость сближения перехватчика и цели. В силу условия (10.50) в первом приближении можем положить промахом будет х(?/). Потребуем, чтобы промах был равен нулю. Тогда граничные условия примут вид

Рассмотрим задачу синтеза оптимального управления с обратной связью при критерии оптимальности

В данном случае имеем Q — ^ ^ J, R = 1. Гамильтониан и уравнения Эйлера-Лагранжа имеют вид.

Условие трансверсальности имеет вид tfa{tf) = 0. Из последнего уравнения Эйлера-Лагранжа находим .

Поэтому задача сводится к определению гр2 ^как функцию х.

Если записать уравнения объекта совместно с уравнениями Эйлера-Лагранжа в виде (10.43), то для матрицы D получим.

Так как матрица D постоянна, то фундаментальная матрица зависит от одного аргумента:

С учетом граничных условий решение объединенной системы можно записать в виде.

Найдем из первых двух уравнений X2{tf) и V’l /)? а затем подставим их в последнее уравнение. Тогда получим.

где.

Найдем фундаментальную матрицу Z®. Так как матрица D постоянна, то имеем Вычислим степени матрицы D:

Подставив эти степени в (10.54), получим.

Подставив эти выражения в (10.52) и (10.53), а затем найденное выражение для гр2 в (10.51), получим оптимальный закон управления.

При е² < 1, разложив экспоненциальные функции в ряд и отбросив члены, содержащие множитель е выше пятой степени, находим.

В исходных переменных это соотношение принимает вид С учетом (10.50) можно записать (см. рис. 10.3)

или, после дифференцирования,.

Используя это соотношение, оптимальный закон управления можно представить в виде.

Это соотношение определяет закон пропорционального сближения с переменным коэффициентом навигации [30].