Особенности изложения учебного материала в школьных учебниках

Ранее мы уже отмечали, что в учебниках геометрии, рекомендованных Министерством образования и науки (А. Д. Александров, Л. С. Атанасян, А. В. Погорелов, И. М. и В. А. Смирновы), принято раздельное изучение геометрии плоскости и пространства и соответственно параллельности и перпендикулярности на плоскости и в пространстве, тогда как в альтернативных учебных пособиях (В. А. Гусев, Г. Г. Левитас, В. В. Орлов) на разных уровнях была реализована идея фузионизма. Кроме того, в различных учебниках и в разное время последовательность изучения этих вопросов была разной, что влияло на отбор теоретического материала и доказательную базу. Так, в 50-е гг. XX в. изучение параллельности на плоскости предшествовало изучению равенства треугольников (у Н. А. и А. А. Глаголевых), в учебниках А. Д. Александрова для старшей школы сначала изучалась перпендикулярность в пространстве, а затем параллельность. Использовались и различные утверждения, эквивалентные аксиоме параллельных (аксиома прямоугольника у А. Д. Александрова, аксиома о сумме углов треугольника, например). В настоящее время в названных учебниках перпендикулярность на плоскости в самостоятельную тему не выделяется, материал рассредоточен по различным темам. При изучении этих вопросов почти не используются геометрические фигуры: параллелограмм, трапеция, параллелепипед, пирамида. Исключение здесь составляет лишь серия учебников А. Д. Александрова. Такая ситуация не позволяет изучать одновременно с отношениями параллельности и перпендикулярности свойства фигур, сужает набор решаемых задач.

Поскольку отношения параллельности и перпендикулярности являются одними из важнейших отношений в геометрии, то при изучении школьного курса имеет место многократное обращение к соответствующим теоретическим фактам (при изучении частных видов многоугольников, многогранников, их поверхностей и объемов и др.), что, с одной стороны, способствует более глубокому освоению данного материала и установлению внутрипредметных связей, а с другой — результативное освоение последующих тем невозможно без усвоения учениками ведущих понятий этих разделов и основных теоретических фактов, поэтому мы считаем целесообразным соединять там, где это возможно, изучение отношений параллельности и перпендикулярности с изучением многоугольников и многогранников.

Кроме названных выше общих особенностей изложения данного материала в школьных учебниках геометрии отметим еще ряд особенностей, характерных для конкретных учебников.

В учебнике Л. С. Атанасяна параллельность двух перпендикуляров к прямой на плоскости устанавливается уже в одном из первых пунктов учебника на основе «перегибания» рисунка. Данный факт не выделен в качестве теоремы существования параллельных прямых, при этом он используется для доказательства признака параллельности прямых при равенстве накрест лежащих углов. Работая с этим признаком, учителю следует, во-первых, аккуратно обосновать принадлежность трех точек одной прямой, во-вторых, обратить внимание школьников на неполноту доказательства (не рассматривается третий случай — тупые накрест лежащие углы, его можно предложить школьникам для самостоятельной работы), в третьих, объяснить, что теорема доказывается с помощью полной индукции: рассматриваются все возможные углы (прямые, тупые, острые), полная индукция встретится ученикам при доказательстве теоремы о величине вписанного угла, в-четвертых, целесообразно сделать разделение углов на внутренние и внешние во всех признаках параллельности прямых, предложив все теоремы с внешними углами для самостоятельного доказательства, а в достаточно подготовленных классах можно предложить для самостоятельного доказательства и все признаки, кроме первого.

Еще одной особенностью учебника является отсутствие в данной теме теории и задач о средней линии треугольника и, соответственно, в теме «Четырехугольники» средней линии трапеции. Ввести свойства средних линий можно, работая со следующими заданиями.

Задача 17.1.

В треугольнике АВС на рис. 17.1 через точку М — середину стороны АВ — проведены прямая МК параллельно АС и прямая МР парал;

Рис. 17.1.

лелыю ВС. Сколько треугольников вы можете найти на рисунке?

Какие еще фигуры вы можете найти на данном рисунке? Назовите их.

Какие треугольники на рис. 17.1 будут равны? Почему? Каким элементом треугольника АВС будет отрезок МК?

Какие теоретические выводы о свойствах этого отрезка можно сделать?

Правильные ответы на поставленные вопросы позволят вам получить определение и свойства средней линии треугольника. Сформулируйте свойство в форме теоремы со словами «Если то …». Выделите в ней разъяснительную часть, условие, заключение. Сформулируйте утверждение, обратное данному.

Задача 17.2.

На рис. 17.2 СЕ = ED, ВС|| КЕ AD. Докажите, что К — середина Л В, что 1.

окажется отрезок КЕ? Можете ли вы Рис. ^.2.

сформулировать какие-либо свойства данного отрезка?

КЕ = ~(ВС + AD). Какой фигурой будет четырехугольник Л BCD? Каким элементом этого четырехугольника окажется отрезок КЕ? Можете ли вы Отметим в заключение, что как теоремы в учебнике не выделены теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках (задачи 385 и 586 соответственно).

В учебнике А. В. Погорелова в параграфе «Основные свойства простейших геометрических фигур» сформулированы определение параллельных прямых и аксиома параллельных, но не рассматривается существование параллельных прямых, так как вопрос о перпендикулярности прямых обсуждается позже. Систематическое изучение параллельности на плоскости происходит в параграфе «Сумма углов треугольника» Неудачно формулируется признак параллельности прямых, в котором условие дано в дизъюнктивной форме: «если внутренние накрест лежащие углы … или сумма …, то …». В такой же форме дано и заключение теоремы о свойствах параллельных прямых. Целесообразно разделить эти теоремы на несколько утверждений, а также рассмотреть кроме внутренних внешние углы. В эти теоремы автор не включил равенство соответственных углов.

В учебнике А. Д. Александрова возможность классификации взаимного положения прямых появляется уже в первой главе учебника, отношения перпендикулярности и параллельности связаны с проблемой построений. В контексте решения задачи о построении треугольника по стороне и двум углам возникает и аксиома параллельных (при исследовании возможности построений). Такой подход позволяет рассматривать данный вопрос в историческом контексте. При изучении параллельности появляется и прямоугольник с его свойствами. Отметим, что в ряде изданий учебников данного авторского коллектива вместо аксиомы параллельности в традиционной формулировке была приведена аксиома прямоугольника. Учитель, работающий по другим учебникам геометрии, может использовать данный материал в качестве дополнительного для демонстрации возможности выбора различных аксиом при построении геометрической теории, для организации микроисследований учениками, проявляющими интерес к теоретической деятельности в геометрии.

Кроме того, отметим, что основной теоретический материал отрабатывается па заданиях по готовым чертежам. Соответствующие задания также следует использовать при работе по другим учебникам геометрии.

Еще одной особенностью является определение прямого угла как угла, равного смежному. Этот пример можно также использовать для демонстрации возможности различных определений одного и того же понятия.

В учебнике И. М. и В. А. Смирновых есть отдельная глава «Параллельность», в которой рассматривается не только параллельность прямых, но и четырехугольники: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, рассматривается средняя линия треугольника, доказывается теорема Фалеса. Такой подход, при котором свойства параллельных прямых почти сразу используются для получения новых теоретических результатов, способствует реализации более тесных внутрипредметных связей учебного материала. Еще одна особенность изложения состоит в том, что в качестве теоремы формулируется один признак (одно свойство) параллельности, а остальные приводятся в виде следствий. Это обеспечивает ученикам возможность самостоятельного поиска обоснований данных утверждений.

Отметим, что во всех упомянутых выше учебниках геометрии 7—9-х классов перпендикулярность прямых в отдельный раздел не выделена, определения и утверждения распределены по всему тексту учебников.

Изложение параллельности и перпендикулярности в пространстве в учебниках 10—11-х классов традиционно. Сначала рассматривается параллельность, а затем перпендикулярность. Исключение составляют лишь учебники А. Д. Александрова, где после изложения вопроса о взаимном положении прямых в пространстве вопросы параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей рассматриваются во взаимосвязи.

Перейдем теперь к конкретным методическим рекомендациям по изучению данных отношений. Покажем при этом и возможности организации самостоятельной познавательной деятельности школьников.