Параллельный колебательный контур основного вида

Ранее было установлено, что идеализированные цепи, схемы которых приведены на рис. 3.23, б и 3.34, б, являются дуальными. Поэтому при рассмотрении процессов в параллельном колебательном контуре основного вида с помощью простейшей схемы замещения (см. рис. 3.34, б) можно использовать все выражения, полученные для последовательного колебательного контура, произведя в них взаимные замены токов и напряжений, сопротивлений и проводимостей, емкостей и индуктивностей. Действительно, выражения для комплексной входной проводимости параллельной RLC-це- пи (2.100) и комплексного входного сопротивления последовательной RLC-цеии (2.96) имеют одинаковую структуру и могут быть получены одно из другого путем упомянутых замен. На резонансной частоте (со = со_р) мнимая составляющая входной проводимости параллельной RLC-цеии должна быть равна нулю:

Решая уравнение (3.78), находим, что резонансная частота параллельного колебательного контура со_р совпадает с резонансной частотой последовательного контура (о₀> составленного из тех же элементов:

На резонансной частоте полные проводимости емкости.

и индуктивности.

равны характеристической проводимости параллельного колебательного контура ст, которая является величиной, обратной характеристическому сопротивлению контура р (выражения для характеристических сопротивлений параллельного и последовательного колебательных контуров совпадают). Как очевидно из векторных диаграмм параллельной /?1С-цепи (см. рис. 2.23, в), при со = со_р действующее значение тока емкости равно действующему значению тока индуктивности: 1_С = I/ = a U, а входной ток контура (ток нсразветвленной части параллельной /vIC-цепи) равен току проводимости: I = I_G = GU.

Отношение действующего значения тока реактивного элемента к входному току параллельного колебательного контура на резонансной частоте называется добротностью параллельного колебательного контура-.

Выражение (3.79) имеет такую же структуру, как и выражение (3.32), и может быть получено из него заменой сопротивления потерь R и характеристического сопротивления р последовательного контура на проводимость потерь G и характеристическую проводимость о параллельного контура.

Из выражения (3.79) следует, что с увеличением проводимости потерь добротность параллельного колебательного контура падает. Таким же образом на добротность контура влияют внутренняя проводимость источника энергии G, и проводимость нагрузки G_u, подключенная к зажимам контура 1 — Г (рис. 3.35). Добротность параллельного колеба;

Рис. 335. К определению эквивалентной добротности параллельного колебательного контура

тельного контура с учетом внутренней проводимости источника Gj и проводимости нагрузки G_H определяется выражением.

где Q — добротность параллельного контура без учета G, и G".

Таким образом, для повышения эквивалентной добротности параллельного колебательного контура желательно, чтобы проводимости источника энергии и нагрузки были бы близки к нулю, т. е. чтобы свойства источника энергии, к которому подключен контур, приближались к свойствам идеального источника тока, а сопротивление нагрузки контура было бы бесконечно большим.

При исследовании комплексных частотных характеристик параллельного контура внешнее воздействие на контур обычно задают в виде тока идеального источника тока, подключенного к зажимам 1 — Г, а в качестве реакции контура рассматривают напряжение и = U на этих же зажимах (см. рис. 3.34, б). В ряде случаев в качестве реакции контура рассматривают ток емкости ic г= 1с или ток индуктивности i_L = I_L. Следовательно, параллельный колебательный контур, подобно последовательному, обладает как входными, так и передаточными характеристиками.

К входным характеристикам параллельного колебательного контура относится его комплексное входное сопротивление в режиме холостого хода (G, = 0).

Выражения для нормированного модуля и аргумента комплексного входного сопротивления параллельного колебательного контура.

полностью совпадают с выражениями (3.54) для нормированного модуля и аргумента комплексной входной проводимости последовательного колебательного контура. Следовательно, нормированные АЧХ и ФЧХ входного сопротивления параллельного колебательного контура совпадают с соответствующими характеристиками входной проводимости последовательного колебательного контура (см. рис. 3.28, 3.29).

На частоте резонанса токов со = со_р входное сопротивление параллельного колебательного контура имеет чисто резистивный характер (ср = 0), а модуль входного сопротивления достигает максимального значения:

На частотах ниже резонансной входное сопротивление контура имеет резистивно-индуктивный характер (0 < (р < л/2), а па частотах выше резонансной — резистивно-емкостный (-л/2 < ср <0).

Можно показать, что выражения для коэффициентов передачи параллельного колебательного контура по току G_c(со) и G_f (со) совпадают с выражениями для коэффициентов передачи последовательного контура по напряжению K_L(со) и К_с(со):

и иллюстрируются теми же кривыми (см. рис. 3.31, а). (При этом напряжению емкости последовательного контура соответствует ток индуктивности параллельного контура, а напряжению индуктивности последовательного контура — ток емкости параллельного.) Все, что ранее говорилось о передаточных характеристиках последовательного контура, справедливо и для передаточных характеристик параллельного контура. В частности, при высокой добротности контура на частотах, близких к резонансной G_L(со) ~ Gc (co) ~ QZ (w).

В связи с тем, что нормированные входные и передаточные характеристики последовательного и параллельного колебательных контуров совпадают, их избирательные свойства одинаковы. Полоса пропускания параллельного колебательного контура, если пренебречь внутренней проводимостью источника и проводимостью нагрузки, определяется выражением (3.69). Если необходимо учесть влияние проводимости нагрузки и внутренней проводимости источника энергии на избирательные свойства контура, то вместо Q в выражение (3.69) подставляют эквивалентную добротность Q,_K, рассчитываемую с помощью выражения (3.80).

Таким образом, применение простейшей схемы замещения параллельного колебательного контура позволяет существенно упростить процесс рассмотрения его свойств путем использования соответствующих выражений, полученных при исследовании последовательного колебательного контура. Однако непосредственное применение этих выражений на практике, в частности выражений (3.79), (3.80) и (3.83), в значительной степени затруднено в связи с тем, что в них входит проводимость потерь контура G, которая зависит от частоты. (Напомним, что проводимость потерь контура G определяется выражением (3.77), причем с учетом соотношений (3.23) она практически совпадает с величиной, обратной сопротивлению потерь индуктивной катушки в параллельной схеме замещения (3.20).) Этого недостатка лишены выражения для сопротивления контура на резонансной частоте и добротности, полученные с помощью схемы замещения рис. 3.36, а, в которой индуктивная катушка и конденсатор представлены последовательными схемами замещения.

Используя эту схему, найдем комплексное входное сопротивление параллельного колебательного контура.

Ограничимся, как и ранее, случаем, когда элементы контура имеют высокую добротность (co_pL «K/w l/(_W|)Q"*c,). а частота внешнего воздействия ненамного отличается от.

Рис. 3.36. Схема замещения параллельного колебательного контура основного вида, полученные при использовании последовательных схем замещения элементов

резонансной (ш ~ со_р). Тогда выражение (3.84) можно преобразовать к более простому виду:

где р = VZ/C и R = R_{Luk i} + R С поел ~ характеристическое сопротивление и сопротивление потерь последовательного контура, составленного из тех же элементов, что и рассматриваемый параллельный контур, или, точнее, характеристическое сопротивление и сопротивление потерь одиночного колебательного контура (см. рис. 3.19). С учетом соотношений (3.23) можно считать, что сопротивление R практически равно R_Lm)c;i и не зависит от частоты. Таким образом, эквивалентная схема, приведенная на рис. 3.36, а, в большинстве важных для практики случаев может быть заменена более простой схемой (рис. 3.36, 6), в которую входят те же элементы, что и в эквивалентную схему последовательного колебательного контура, причем параметры элементов можно считать не зависящими от частоты.

На резонансной частоте мнимая составляющая комплексного входного сопротивления контура должна быть равна нулю, что возможно только в том случае, когда мнимая составляющая знаменателя выражения (3.85) равна нулю:

Из выражения (3.86) следует, что условие резонанса токов в параллельном колебательном контуре при высокой добротности элементов имеет такой же вид, как условие резонанса напряжений в последовательном колебательном контуре (3.26), и, следовательно, частота резонанса токов совпадает с резонансной частотой последовательного контура, составленного из тех же элементов:

Если элементы контура имеют невысокую добротность, для определения частоты резонанса токов необходимо приравнять нулю мнимую составляющую входного сопротивления, определяемую из выражения (3.84). При этом частота резонанса токов несколько отличается от резонансной частоты последовательного контура:

однако при р /??_ноел и р R_Cnocjl этим различием можно пренебречь.

Как отмечалось выше, характеристическое сопротивление параллельного контура, равное абсолютному значению мнимых составляющих сопротивлений ветвей контура на резонансной частоте, определяется тем же выражением, что и характеристическое сопротивление последовательного контура:

Входное сопротивление параллельного колебательного контура на резонансной частоте R₀ {резонансное сопротивление контура) имеет чисто резистивный характер и, как следует из соотношения (3.85), может быть найдено с помощью выражения.

Следовательно, ток i и напряжение и на зажимах 1 — 1' (см. рис. 3.36, б) на резонансной частоте совпадают, но фазе, а их действующие значения /₀ = /|_Со=_Со_1>> ⁼ ?^L=(o_p связаны между собой соотношением {/₀ = /?₀/₀ = р²/о/й.

Действующие значения токов ветвей контура на резонансной частоте имеют одинаковые значения:

Используя выражение (3.89), находим добротность параллельного колебательного контура:

Таким образом, добротность параллельного колебательного контура основного вида совпадает с добротностью последовательного колебательного контура, составленного из тех же элементов.

Аналогичный результат может быть получен и из соотношения (3.42), пригодного для определения добротности любых колебательных систем.

С учетом выражений (3.88) и (3.90) представим комплексное сопротивление параллельного контура в следующем виде:

Из сравнения выражений (3.54), (3.81), (3.82) и (3.91) следует, что зависимость комплексного входного сопротивления параллельного колебательного контура от частоты определяется обобщенными АЧХ и ФЧХ входной проводимости последовательного колебательного контура К (?,) и Э (?,) {составленного из тех же элементов, что и рассматриваемый параллельный контур).

Применение последовательных схем замещения элементов позволяет получать более удобные выражения для добротности и резонансного сопротивления параллельного колебательного контура, не содержащие частотно-зависимых членов.