Ценовой риск, дюрация и выпуклость

Доходность измеряет относительную стоимость выпуска, но приобретение дешевого выпуска или продажа дорогого еще не гарантирует прибыли. Трейдерам также необходимы количественные показатели рыночного риска. Ценовой риск (Price risk), дюрация (Duration) и выпуклость (Convexity) измеряют чувствительность изменения цены и, следовательно, финансовых результатов к изменениям доходности. Инвесторы используют эти показатели в качестве сигнала опасности, дилеры — для защиты собственных позиций от колебаний доходности.

Цеповой риск (также известный как рублевая дюрация) — это степень изменения цены на единицу изменения доходности.

На рис. 5.2 проиллюстрирована скорость изменения цены по отношению к изменению доходности для 30-летней облигации с купонной ставкой 8.

Рис. 5.2. Цена и ценовой риск как функция доходности

Три выделенных отрезка на рис. 5.2 — касательные к кривой цена—доходность в точках со значениями доходности 9, 12 и 15%. Каждый из этих касательных отрезков соответствует 1%-му изменению доходности (на 0,5% в обе стороны от этих трех уровней) вдоль оси х. Заметим, однако, что углы наклона этих трех касательных разные. Это показывает, что изменение цены для заданного изменения доходности зависит от уровня доходности. Изменение доходности с 8,5 до 9,5% приводит к понижению цены на 9,30 пункта, тогда как изменение доходности с 14,5 до 15,5% вызывает уменьшение цены только на 3,68 пункта. Ценовой риск.

Используя взаимосвязь цена—доходность, показанную на рис. 5.2, можно оценить ценовой риск для 30-летней облигации с 8%-ным купоном при доходности примерно 5,67 [- (-5,67 пункта)/1% = 5,67]. В этом примере 1%-ное увеличение доходности вызывает уменьшение цены на 5,67 пункта. Поскольку цена всегда снижается с ростом доходности, то знак «-» в формуле всегда дает.

Рис. 53. Ценовой риск как функция доходности.

положительное значение ценового риска. Обычно ценовой риск выражают в форме изменения цены на 1% изменения доходности.

Ценовой риск чувствителен к уровню доходности, при которой был рассчитан. Это особенно верно для долгосрочных облигаций. На рис. 5.3 представлен ценовой риск для 30-летней облигации с 8%-ным купоном как функция доходности облигации.

Ценовой риск убывает с увеличением доходности. Три точки, выделенные на рисунке, демонстрируют ценовой риск, соответствующий доходности 9, 12 и 15%. В частности, при доходности 12% увеличение доходности на 1% приводит к уменьшению ценового риска на 0,88 пункта.

Скорость изменения наклона кривой цена—доходность называется выпуклостью.

Выпуклость всегда положительна. Скорость изменения цены по отношению к доходности уменьшается (становится «менее» отрицательной) с ростом доходности.

Ценовой риск — это скорость изменения цены облигации, а выпуклость — ускорение.

Уже давно портфельные менеджеры поняли, что риск держателя облигации не пропорционален сроку до йогашения. Платежи в отдаленном будущем в меньшей степени учитываются в цене облигации, чем ближайшие выплаты. Позиция 1 млн руб. по 30-летней облигации менее подвержена изменением в доходности, чем позиция 15 млн долл, но двухлетним облигациям. Если речь идет не об облигациях с нулевым купоном, то инвесторы не должны ждать до погашения, чтобы получить денежные платежи. Так, например, можно сказать, что денежные потоки, но облигациям инвестируются менее чем на 30 лет, имея в виду, что процентные платежи по такой облигации производятся ранее наступления даты погашения.

Фредерик Маколей ввел понятие дюрации (Duration), чтобы получить лучшую, чем срок до погашения, оценку продолжительности инвестирования в облигацию и, таким образом, оценку риска по прибыли для держателя облигации. Он определил дюрацию как средневзвешенный срок до погашения всех компонентов облигации, каждый из которых взвешивается, но своей приведенной стоимости. Тогда дюрация Маколея для двухлетней облигации^[1] равна 1,89, что почти совпадает со сроком погашения. Дюрация Маколея для 30-летней облигации равна 11,76. Что касается облигации с нулевым купоном, то дюрация Маколея всегда совпадает с их сроком до погашения.

Некоторые портфельные менеджеры используют дюрацию Маколея для измерения риска. Менеджер портфеля, состоящего из корпоративных облигаций с низким рейтингом («бросовых» — junk), идет на наибольший кредитный риск и поэтому хочет, чтобы тот отрезок времени, в течение которого он инвестирует в «бросовые» облигации, как раз пришелся на время, когда эмитент продолжает осуществлять процентные платежи и выплаты основной суммы долга. Трейдеры, которые не занимают долгосрочных позиций, используют модифицированную дюрацию (Modified duration) — меру риска, которая непосредственно преобразуется в движение цены и финансовый результат. Когда трейдеры говорят о дюрации, они имеют в виду модифицированную дюрацию. Мы также используем термин «дюрация» в этом смысле.

Модифицированная дюрация измеряет степень изменения цены выпуска в процентах (с учетом накопленного купонного дохода) по отношению к изменению доходности. В то время как ценовой риск измеряет движение цены в процентах от номинала, дюрация измеряет движение цены в процентах от суммы инвестиций¹.

Следовательно, дюрация — это просто ценовой риск, деленный на цену облигации, выраженный в процентах (т.е. умноженный на 100):

где D_M — модифицированная дюрация.

Для большинства выпусков значение модифицированной дюрации не сильно отличается от значения дюрации Маколея^{1[2][3]. Например, дюрация для рассмотренной нами двухлетней облигации равна 1,82, а для 30-летней — 11,31. Эти величины показывают, что цена двухлетней облигации уменьшается на 1,82% при увеличении доходности на 1%, в то время как цена 30-летней облигации уменьшится на 11,31% при каждом увеличении доходности на 1%. Однако эти оценки верны только при малых изменениях доходности, так как дюрация сама — функция доходности.}

Трейдеры часто предпочитают исходить из абсолютного изменения цены облигации (ценового риска), а не из относительного изменения цены (дюрации). Они оценивают свои позиции с точки зрения номинальной стоимости. Например, трейдер говорит: «Я в длинной позиции по облигациям на 10 млн долл.», даже если цена облигаций составляет лишь 90. Инвесторы же, которые обычно оценивают свои позиции с точки зрения инвестированных денег (номинальная стоимость, умноженная на цену и деленная на 100), считают, что удобнее работать с относительным изменением цены.

С точки зрения спекулянтов большая дюрация — положительный факт. Она усиливает влияние любого заданного явления на финансовый результат. Рассмотрим 100 долл., инвестированных в выпуск с низкой дюрацией (например, в 30-летние облигации с тем же 8%-ным купоном и дюрацией 11,31). Можем объединить приближенную формулу изменения цены как функцию изменения доходности.

Так как.

а.

то.

и.

Мы видим, что при одинаковых изменениях доходности позиция с высоким ценовым риском или с большой дюрацией будет соответствовать большим изменениям цены и финансовых результатов, чем позиция с тем же объемом по номиналу, но с низким ценовым риском или низкой дюрацией. Отношение ценовых рисков двух выпусков будет таким же, как отношение прибылей (или убытков), которые предполагает получить трейдер для позиций одинакового размера при одинаковых изменениях доходности.

Например, если цены двухи 30-летних облигаций равны номиналу, то уменьшение доходности каждого выпуска на 10 базисных пунктов вызовет приблизительно следующие изменения цен:

Видно, что при одинаковых изменениях доходности позиция по 30-летним облигациям с высокой дюрацией приносит прибыль (или убыток), которая в 6,3 раза.

(1,13/0,18 = 6,3) больше прибыли (или убытка) от позиции по двухлетним облигациям с низкой дюрацией.

Выбирая ту или иную позицию, трейдеры должны также учитывать издержки финансирования. Согласно предыдущему расчету, трейдер подвергается одному и тому же риску с точки зрения финансового результата по двухлетним облигациям на 6,3 млн долл., как и по 30-летним на 1 млн долл. Если трейдер предполагает, что доходности двухи 30-летних облигаций будут изменяться одинаково, то он предпочтет купить на 1 млн долл. 30-летние облигации.

Инвесторы, которые платят за облигации наличными, получают возможность с помощью выпусков с высокой дюрацией участвовать в более крупной игре. Цены выпусков с высокой дюрацией более чувствительны к изменениям доходности, чем цены выпусков с низкой дюрацией. Некоторым участникам нравится использовать в своих сделках «рычаг». Поэтому они охотно выплачивают премию за выпуски с высокой дюрацией, такие, как «зеро». В результате выпуски с большой дюрацией часто продаются с более низкой доходностью, чем выпуски с низкой дюрацией и аналогичным сроком до погашения.

Ценовой риск и дюрация не идентичны. Когда новый выпуск выставляется на аукцион (и его цена близка к номиналу), то ценовой риск и дюрация близки по значениям. Позже, когда доходность выпуска отклоняется от купонной ставки, ценовой риск и дюрация тоже расходятся в значениях. Напомним, что ценовой риск измеряет движение цен по отношению к номиналу, а дюрация — по отношению к инвестированной сумме денег.

Па рис. 5.4 изображены ценовой риск и дюрация как функции доходности для 30-летней облигации с 8%-ным купоном.

Значения ценового риска и дюрации равны только тогда, когда доходность по облигации совпадает с купонной ставкой, а цена равна номиналу. Цена облигации падает с ростом доходности. Это приводит к увеличению дюрации по отношению к ценовому риску, так как дюрация — это ценовой риск, деленный на цену (теперь меньшую). Вообще дюрация ближе к линейной функции¹, чем ценовой риск, поскольку дюрация учитывает изменения в цене.

Линейное уравнение имеет вид у = ах + Ь, где а и b — константы.

Рис. 5.4. Ценовой риск и модифицированная дюрация как функция доходности (30-летняя облигация с купоном 8%)

Понять движение цен облигаций проще в терминах ценового риска, чем в терминах дюрации. Иногда аналитики ценовой риск называют долларовой дюрацией или используют для него обозначение, принятое в дифференциальном исчислении, — ЪР/ЪY. Те же аналитики котируют ценовой риск в ценовых пунктах в расчете на 1%-ное изменение доходности. Трейдеры, в свою очередь, как правило, озабочены значительно меньшими изменениями доходности и поэтому оценивают ценовой риск в расчете на базисный пункт (Ьр). Ценовой риск, деленный на 100, известен как «значение 01» (The value of an 01). Иными словами,.

Эта формула представляет значение ценового риска в десятичной форме, но трейдеры часто котируют риск в 32 долях.

Ценовой риск, дюрация и выпуклость — это показатели, чувствительные к сроку до погашения и купонной ставке. Следовательно, трейдер может получить максимальный финансовый рычаг, выбирая выпуск с подходящим сроком до погашения и купоном.

Па рис. 5.5 иллюстрируется чувствительность ценового риска к сроку до погашения и купонной ставке для особого случая: облигации, цена которой остается равной номиналу. Для этого доходность облигации должна оставаться.

Рис. 5.5. Ценовой риск как функция срока до погашения.

и купона равной купонной ставке по мере приближения срока погашения облигации.

Если Р = 100, то D = Rpy и в этом случае дюрация равна ценовому риску.

Когда срок до погашения равен нулю, ценовой риск тоже равен нулю. Это естественно, так как цена зафиксирована на уровне номинала. В некоторой точке спектра сроков до погашения ценовой риск становится практически постоянным, несмотря на то, что срок до погашения продолжает увеличиваться. Это происходит потому, что отдаленные по времени денежные потоки имеют небольшую приведенную стоимость.

В частном случае, когда доходность облигации всегда равна ее купонной ставке, ценовой риск для 16%-го выпуска по мере роста срока до погашения приближается к половине ценового риска для 8%-го выпуска, т. е. в точности к отношению купонных ставок двух выпусков. Ценовые риски для двух выпусков сближаются, но мере уменьшения срока до погашения, становясь равными нулю при погашении. Этот факт хорошо виден на примере высокого ценового риска (или, как обычно говорят, высокой дюрации) по долгосрочным выпускам с высокой купонной ставкой. Суммируя сказанное получаем правило.

ПРАВИЛО 6. Если доходность облигации равна ее купонной ставке, ценовой риск и дюрация облигации растут по мере увеличения срока до погашения.

Эго правило особенно верно в отношении текущих выпусков, которые в основном продают с доходностями, близкими к купонной ставке.

Если доходность выпуска существенно отличается от его купонной ставки, то цена выпуска значительно меняется со временем и зависит от изменения доходности. Благодаря разнице между доходностью и купоном, обычно наибольшей для «зеро», они становятся особенно привлекательными для инвесторов и спекулянтов.

Аналитики часто предпочитают работать с таким показателем, как изменение ценового риска на единицу номинала облигации. Этот показатель называется долларовой выпуклостью (Dollar convexity). Долларовая выпуклость — это величина изменения ценового риска по отношению к доходности.

В то время как выпуклость измеряет изменение ценового риска в процентах от цены облигации, долларовая выпуклость измеряет изменение ценового риска, но отношению к номиналу облигации. Долларовая выпуклость относится к ценовому риску так же, как выпуклость — к дюрации. В любых единицах выпуклость — это функция уровня доходности. Долларовая выпуклость C_D определяется так:

Цены облигаций «зеро» особенно сильно притягиваются к номиналу, для них также характерен график ценового риска с «горбом» причем расположение «горба» зависит от доходности. Так как дюрация равна ценовому риску, деленному на цену, то можно было бы ожидать, что график дюрации (как функция срока до погашения) будет иметь довольно сложный вид. Однако это не так — на рис. 5.6 мы видим прямую линию. Мы приходим к следующему правилу.

ПРАВИЛО 7. Если купонная ставка выпуска равна нулю, то модифицированная дюрация линейно растет вместе со сроком до погашения.

Рис. 5.6. Цена и модифицированная дюрация как функция срока до погашения облигации

Ценовой риск, дюрация и выпуклость — это просто числа, с помощью которых трейдер переводит изменения доходности в изменения цены. Приведем достаточно быстрый способ определения новой цены облигации (как результат изменения доходности) при заданных значениях ценового риска и долларовой выпуклости¹.

Пусть У — начальная доходность Y (в десятичном виде);

А У — изменение доходности;

R_p(Y) — ценовой риск при начальной доходности У;

D_M (У) — модифицированная дюрация при начальной доходности У;

C_d(Y) — долларовая выпуклость при начальной доходности У;

C_X(Y) — выпуклость при начальной доходности (У);

Р (У) — цена при начальной доходности (У);

АР — изменение цены, вызванное изменением доходности на, А У;

Р (У + AY) — цена при новой доходности (У + А У).

Тогда.

Для тех, кто знаком с дифференциальным исчислением, заметим, что мы пользуемся несколькими первыми членами ряда Макларена.

откуда

Кроме того, изменение цены (ДР) может быть выражено как функция дюрации и выпуклости.

Аппроксимация изменения цены как функция изменения доходности в терминах дюрации и выпуклости:

Пример 5.5. Требуется определить цену 30-летней облигации с 8%-ным купоном после 1%-го изменения доходности. При начальной доходности 12% имеем:

Теперь можно оценить изменение цены облигации при изменении доходности с 12 до 13%, используя уравнение, где изменение цены выражено через изменение доходности, ценовой риск и долларовую выпуклость, получим.

и, следовательно,.

Новая цена при доходности 13% — только приближение, хотя и довольно точное. Точная цена облигации при доходности 13% равна 62,42 (этот результат получен с помощью полной формулы цена—доходность), так что разница составляет всего лишь 1/32 при изменении доходности на 1%.

Заметим, что АР, получаемое приближенно с помощью двух приведенных уравнений, верно только при каждой заданной доходности Y. В следующих разделах мы в этой связи для краткости будем опускать параметр Y, хотя зависимость от него, разумеется, сохраняется.

Иногда трейдеры желают воспользоваться линейной аппроксимацией изменения цены облигации как функции изменения доходности. В этом случае используется сокра-

щенный вариант формулы Р, где опускается слагаемое выпуклости. Получаем.

или.

Использование линейной аппроксимации означает для трейдера, что расчеты неточны. Если он применит укороченный вариант формулы, то получит следующее значение цены облигации при 13%-ной доходности:

Выходит, что при отбрасывании слагаемого выпуклости вычисление дает ошибку в 0,41, или почти в полпункта. Однако при малых изменениях доходности линейная аппроксимация соотношения цена — доходность оказывается достаточно точной для большинства нужд трейдеров. Разумеется, приведенные уравнения нельзя использовать, если одновременно изменяются и другие переменные (помимо доходности), например, когда прошло много времени.

• [1] Предполагается, что двухи 30-летняя облигации имеют купоннуюставку и доходность 8%.
• [2] Без учета накопленного купонного дохода.
• [3] Однако дюрацию Маколея, вообще говоря, нельзя заменить модифицированной дюрацией, и наоборот. Для ряда ценных бумаг (например,"зеро") их значения различаются очень сильно.