Методы одномерной оптимизации

Постановка: требуется оптимизировать х (формальная постановка).

— функция одной переменной.

— целевая функция.

Решение: найти х, при котором принимает оптимальное значение.

• 2 варианта:
  • — минимизировать — задача минимизации;
  • — максимизировать — задача максимизации.

Рассмотрим случай минимизации.

• 2 способа:
  • — аналитический
  • — численный

В аналитическом задается в виде формулы, в численном задается в виде черного ящика, на входе подается х, на выходе значение целевой функции в этой точке.

Пусть функция определена в некоторой области S (), в случае одномерной оптимизации S — интервал :

• 1. точка называется глобальным минимумом, если для
• 2. точка называется строгим глобальным минимумом, если для
• 3. точка называется локальным минимумом, если для
• 4. точка называется строгим локальным минимумом, если для

Следствие: любая точка глобального минимума является локальным минимумом, обратное не верно.

Аналитический способ нахождения локального минимума.

— дифференцируема.

— необходимое условие точки локального минимума.

Численные методы Пусть функция задана на интервале, при этом существует такая точка, что на — монотонно убывает, а на — монотонно возрастает, то функция унимодальная.

а b

Если из того что следует, что, то функция называется монотонно возрастающей. Если из того что следует, что, то функция называется монотонно убывающей.