Понятие функции, методика изучения в курсе математики средней школы

математика функция геометрический Функция — одно из фундаментальных понятий ШКМ. Она ярко показывает изменчивость и динамичность действительного мира, взаимообусловленность реальных объектов и явлений.

Функциональная линия понятия функции является основной в ШКМ. Она определяет стиль её изучения в курсе алгебры и начала анализа и с её помощью можно установить разнообразные связи в обучении.

Понятие функции немыслимо вводить без большой подготовительной работы. Подготовительная работа проводится с 1-го по 6-ые классы. В начальных классах учитель обращает внимание учащихся на изменение результатов арифметических операций (действий) при изменении их компонентов.

Смысл понятия «соответствие» должен войти в сознание учащихся уже в начальных классах через выполнение различных упражнений и через организацию игр. В 5−6 классах функциональная пропедевтика осуществляется с помощью различных вычислений, буквенных выражений, исследования и чтения графиков.

Пример:

• 1)Найти значение выражения при x=0,1,2,3,4,…
• 2)Заполнить таблицу:

Сделать вывод.

В 5−6 классах ученики должны усвоить то, что каждая формула выражает зависимость между переменными, входящими в неё. В этих классах — при расширении понятия числа, изучении тождественных преобразований, овладении методом решения уравнений и неравенств, и др.

В 5−6 классах учащиеся знакомятся с понятиями координат точки на числовой прямой, координатной плоскости, строят диаграммы и графики. Через выполнение различных упражнений в неявном виде проводится работа по изучению свойств графиков, ставятся вопросы по определению промежутков возрастания и убывания, определяются значения выражения по заданному аргументу, но термин функция не употребляется.

2. Функциональная линия в ШКМ является ведущей, однако в её реализации выделяются две наиболее резко различающиеся методические трактовки: генетическая и логическая.

Генетическая трактовка основана на разработке таких понятий как переменная величина; декартова система координат на плоскости; формула, выражающая какую-либо одну переменную через комбинацию других переменных.

Эти понятия вошли в математику в ходе её исторического прошлого вплоть до середины XIX века. Генетическое развертывание понятия функции обладает рядом достоинств, в котором подчеркивается Динамический аспект функциональной зависимости. Усматривается «модельный характер» понятия функции относительно изучения явлений природы. Данная трактовка увязывается с остальным содержанием курса алгебры, поскольку большинство функций, используемых в ней выражается аналитически или таблично.

Генетическая трактовка понятия функции содержит так называемые ограничительные черты. К существенным ограничениям можно отнести то, что переменная, при некотором подходе, всегда неявно (или явно) предполагается пробегающей непрерывный ряд числовых значений. Поэтому понятие функции связано с функциями одного числового аргумента.

Рассмотрим пример генетического подхода:

• -каждому значению х из некоторого множества чисел сопоставляется по определенному правилу одно число у, где у — функция от х ;
• -зависимость переменной у от переменной х называется функцией, где каждому значению х соответствует единственное значение у.
• -числовой функцией с областью определения Д называется соответствие, при котором каждому числу х из множества Д сопоставляется по некоторому правилу число у

Логическая трактовка понятия функции. Здесь функция выступает как частный случай соответствия отношения между множествами, удовлетворяющего условиям функциональности. Исходным этапом изучения понятия функции здесь является вывод из понятия отношения. Реализация логического подхода требует иллюстрации понятия функции при помощи разнообразных средств, язык школьной математики значительно обогащается. Кроме того, что функция может задаваться формулой и таблицей, она может быть задана перечислением пар, стрелками, использованием не только числового, но и геометрического материала. Основным достоинством такой трактовки понятия функции является возможность обобщения понятия и установление разнообразных связей в обучении математике. В ШКМ понятие функции связывается с числовыми функциями. Примером логического подхода трактовки понятия функции является ее определение на теоретико-множественной основе.

Определение отношение между элементами 2-х множеств, при котором каждому элементу 1-го множества соответствует не более одного элемента из 2-го множества, называется функцией (раньше использовалось слово «соответствие»).

Определение функция — это отношение, если оно не содержит пар с одинаковыми первыми элементами.

• — функция
• — не является функцией

Рассматривая два различных подхода в понятии функции, можно сделать следующий вывод:

при формировании понятия функции генетический подход оказывается недостаточным, логический же вывод обнаруживает определенную избыточность. При введении понятия функции различия в трактовках функции проявляются с наибольшей резкостью. Затем эти различия постепенно стираются, так как в курсе алгебры и начал анализа изучается не само понятие, а в основном конкретно заданные функции и классы функций, их разнообразные приложения в задачах естесвознания и общественного производства. В обучении математике при формировании понятия функции выявляются 4 основных компонента в составе функциональной линии, а именно:

— представление о функциональной зависимости переменных.

величин в реальных процессах и в математике;

• — представление о функции как о соответствии, изучение области определения и области значении функции, образование пар;
• — построение и использование графиков функций, исследование функций;
• — вычисление значений функций, определенных различными способами.

Все вышеназванные компоненты взаимосвязаны и находятся во взаимодействии. В процессе изучения в курсе алгебры ведущим является функциональный компонент, хотя в определении может быть зафиксирован иной подход. При организации работы над определением вводятся и другие компоненты, проявляющиеся в различных способах функциональной зависимости и ее графического представления.

Введение

понятия функции Это длительный процесс, совершается лишь на этапе всех введенных понятий (синтезе). Основной путь введения понятия функции идет в направлении упорядочения имеющихся у учащихся представления о функции и развертывании понятий, специфических для функциональных линий, а именно:

• -способы задания;
• -общие свойства функции;
• -их графическое истолкование.

В реализации этого методического подхода важное место отводится усвоению учащимися существенной идеи, входящей в понятие функции. Это однозначность и соответствие аргумента и определения по его значению значения функции, поэтому на 1-е место выдвигается задание функции формулой. Все остальные способы задания функции играют подчиненную роль.

Пример: таблицы используются для расчетов, графики для наглядности. Все сказанное составляет необходимый методический прием при введении понятия.

Методические аспекты изучения отдельных функций Наряду с раскрытием определения понятия функции и уточнением общих функциональных представлений введение понятия функции требует рассмотрения конкретных примеров функций. Приэтом учитель должен понимать, что сочетание изучения общих понятий функции с рассмотрением конкретных функций является трудным в методическом отношении. Большинство функций, изучаемых в школе, образуют классы: линейной, квадратичной, степенной функций, кроме этого изучаются функции, которые не входят в классы:. Методика изучения отдельных функций состоит в сопоставлениичерт, специфичных для функций непосредственно с общим предсиавлением о функции. Методика изучения класса функций выделяет такие аспекты:

• 1) изучения данной функции как члена класса;
• 2) изучение свойств класса на примере данных функций;

Независимо от указанного деления функций в школьном курсе математики все они изучаются по одной методической схеме:

• — рассмотрение конкретной ситуации или задачи, приводящей к данной функции;
• — формируется определение данной функции и дается запись функции формулой, проводится исследование входящих в эту формулу параметров;
• — строится и изучается график функции, устанавливается влияние параметров на характер изображения функции;
• — исследование функций проводится на следующих свойств: Д (х), Е (х), возрастание и убывание функции, нули функции и др. ;
• — изучение свойств функции используется при решении задач, в частности решении уравнений и неравенств.