Показатели вариации

Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО «Уфимский государственный авиационный технический университет»

Филиал УГАТУ в г. Белорецке Кафедра автоматизированных систем управления

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к курсовому проекту по дисциплине «Статистика»

Группа ПИЭ-205д Студент Ахмедьянова Э.Х.

Преподаватель Полякова Е.А.

Белорецк-2011

Исходные данные

Исходные данные, расположенные по возрастанию

Задачи

Задача 1.

Вычислите показатели вариации по каждой из выборок X, Y, Z:

­ среднее арифметическое;

­ моду;

­ медиану;

­ размах вариации;

­ дисперсию;

­ стандартное отклонение;

­ среднее линейное отклонение;

­ коэффициенты осцилляции и вариации.

Решение по выборке X:

Расчет показателей вариации:

1) Среднее арифметическое:

;

971/30=32,37

2) Мода:

Чтобы найти моду сгруппируем исходные данные по возрастанию:

27 27 27 27 28 28 29 29 29 29 29 29 31 32 32 32 33 33 35 35 35 35 36 36 36 37 38 39 39 39.

Мо=arg max ni

Xi

29.

3) Медиана:

Т.к. объем выборки N=30 четное число, то значение медианы находиться:

Ме = хn/2+ хn/2+1,2

33,5

4) Размах вариации:

R=xmax-xmin, Rx=39−27=12

5) Дисперсия:

Dx=477,1/29=16,45

6) Стандартное отклонение:

7) Среднее линейное отклонение:

8) Коэффициент осцилляции:

9) Линейный коэффициент вариации:

10) Расчет показателей вариации:

Решение по выборке Y:

Расчет показателей вариации:

1) Среднее арифметическое:

;

— 2631/30=-87,7

2) Мода:

Чтобы найти моду сгруппируем исходные данные по возрастанию:

105 — 101 — 100 — 100 — 100 — 98 — 97 — 97 — 96 — 95 — 93 — 93 — 92 — 89 — 89 — 89 — 88 — 88 — 87 — 86 — 82 — 82 — 81 — 79 — 75 — 73 — 73 — 71 — 68 — 64.

Мо=arg max ni

yi

— 100, -89

3) Медиана:

Т.к. объем выборки N=30 четное число, то значение медианы находиться:

Ме = yn/2+ yn/2+1,2

— 90

4) Размах вариации:

R=ymax-ymin,

Ry=-64- (-105) =41

5) Дисперсия:

Dy=3422,5/29=118,02

6) Стандартное отклонение:

7) Среднее линейное отклонение:

8) Коэффициент осцилляции:

9) Линейный коэффициент вариации:

10) Расчет показателей вариации:

Решение по выборке Z:

Расчет показателей вариации:

1) Среднее арифметическое:

;

— 545/30=-18,17

2) Мода:

Чтобы найти моду сгруппируем исходные данные по возрастанию:

72 — 62 — 57 — 56 — 51 — 51 — 50 — 49 — 48 — 38 — 38 — 30 — 27 — 26 — 26 — 25 — 25 — 23 — 20 — 16 10 11 14 14 16 20 28 38 45 49.

Мо=arg max ni

Zi

— 51, -38, -26, -25, 14.

3) Медиана:

Т.к. объем выборки N=30 четное число, то значение медианы находиться:

Ме = zn/2+ zn/2+1,2

— 26

4) Размах вариации:

R=zmax-zmin,

Rz=49- (-72) =121

5) Дисперсия:

Dz=34 146,2/29=1177,46

6) Стандартное отклонение:

7) Среднее линейное отклонение:

8) Коэффициент осцилляции:

9) Линейный коэффициент вариации:

10) Расчет показателей вариации:

Задача 2.

По каждой из выборок X, Y, Z:

­ проведите группировку данных по интервалам равной длины;

­ составьте вариационный ряд;

­ вычислите относительные частоты и накопленные частости;

­ постройте полигон, гистограмму и кумуляту;

­ нанесите на график кумуляты график накопленных частот без группировки.

Решение:

Вариационный ряд — это значение признака (или интервалы значений) и их частоты.

Частости — относительные частоты, выраженные в процентах:

ni (%) =ni/n*100%.

Накопленные (кумулятивные) частости:

I

Ki=? nj.

J=1

Гистограмма — столбиковая диаграмма частот. Основание каждого прямоугольника соответствует интервалу группировки. Высота столбика — частость.

Полигон частот — изображение вариационного ряда с помощью ломанной линии.

показатель вариация группировка вариационный Кумулята — изображение накопленных частостей, обычно в виде ломанной линии.

k=1+3,32*lg n,

где k-число групп, n-объем выборки.

k=1+3,32*lg 30= 1+3,32*1,47 712= 1+4,9= 5,9

Группировка данных X:

Группировка данных Y:

Группировка данных Z:

Задача 3.

По сгруппированным данным и графикам определите:

­ среднее арифметическое;

­ моду;

­ медиану.

Решение:

Среднее значение:

Расчет среднего значения X:

=958/30=31,9

Из графиков найдем: =28,05 ,=32

Расчет среднего значения Y:

=-2632/30=-87,7

Из графиков найдем: =-94,7, =-89

Расчет среднего значения Z:

=-522/30= - 17,4

Из графиков найдем: =-24,5, =-26

Задача 4.

Постройте корреляционное поле. Проведите группировку X и Y, используя X как группировочный признак. Вычислите условные средние ,. Нанесите линию эмпирической регрессии на корреляционное поле.

Решение:

Корреляционное поле — это графическое изображение исходных данных.

Группировка данных — это деление совокупности на группы единиц по какому-либо признаку.

Условное среднее значение — это среднее значение одного признака при условии, что другой признак принимает заранее заданное фиксированное значение.

k

? yi

i=1

Yx=м (y¦x=X) ?, xi=X.

k

Условные средние:

?= - 68−71−64−75−79−81−73−82−73−82−89−87= - 924

=-924/12=-77

?=-86

=-86

?=-89−88−93−88−89= - 447

=-447/5=-89,4

?= - 92−93−105−100= - 390

=-390/4=-97,5

?= - 96−98−97−95= - 386

=-386/4=-96,5

?=-97−100−100−101=-398

=-398/4=-99,5

?= - 48−51−56−23+14−72−50−25+16+28+20−38= - 285

=-285/12=-23,75

?=45

=45

?=-38−49−57−26+49=-121

=-121/5=24,2

?=-26+14−62+11=-63

=-63/4=-15,75

?=-38−51−25−20=-58

=-58/4=-14,5

?=10−27−16−30=-63

=-63/4=-15,75

Задача 5.

Найдите предельную ошибку выборки X, Y, Z; постройте доверительные интервалы для среднего, дисперсии и стандартного отклонения генеральной совокупности при доверительной вероятности p=68%; 95%; 99,7%. Решение:

Ошибка выборочного наблюдения рассчитывается по формуле:

? = t * ,

Стандартное отклонение выборочного среднего составляет:

= .

Коэффициенты доверия по распределению Стьюдента:

t=t

t= t1+ (t2-t1) / (p2-p1) * (p-p1)

=

=

=

Найдем предельные ошибки выборки используя таблицу распределения Стьюдента.

Коэффициенты доверия по распределению Стьюдента:

При р=68%

При р=95%

При р=0,997

Предельные ошибки выборки:

Доверительный интервал для генерального среднего:

При р=68%

При р=95%

При р=99,7%

Доверительные интервалы для генеральной дисперсии:

где

Квантили распределения Пирсона:

При р=68%

При р=95%

При р=99,7%

Доверительный интервал для среднеквадратичного отклонения:

При р=68%

При р=95%

При р=99,7%

Задача 6.

Постройте доверительные интервалы для генерального среднего мх, му, мz при доверительной вероятности р =68%; 95%; 99,7% упрощенным способом: «одна/две/три сигмы» .

Решение.

При р=68%

При р=95%

При р=99,7%

Задача 7.

При уровне значимости б = 32%; 0,5%; 0,3% проверьте гипотезы:

уІх = уІy;

мx = мy;

Решение.

Проверка статистических гипотез основана на использовании стандартных распределений. Изучаемый статистический показатель преобразуется к случайной величине с известным стандартным законом распределения. Затем задается вероятность, по которой находят квантиль.

Гипотеза о равенстве дисперсий :

— гипотеза не верна при 32%;

— гипотеза не верна при 5%;

— гипотеза не верна при 0,3%.

Гипотеза о равенстве средних мx = мy:

При 32%

> - значит, гипотезу отвергаем.

При 5%:

> - значит, гипотезу отвергаем.

При 0,3%:

> - значит, гипотезу отвергаем.

Гипотеза о среднем значении :

— гипотезу отвергаем при 32%.

— гипотезу отвергаем при 5%.

— гипотезу отвергаем при 0,3%.

Задача 8.

Определите линейные коэффициенты корреляции ryx и rzx. Сделайте выводы о тесноте линейной связи между признаками.

Решение.

Расчеты для определения ryx:

=

¦r¦>0,7 — существенная линейная зависимость.

Расчеты для определения :

¦r¦<0,3 — слабая, несущественная линейная зависимость.

Задача 9.

Вычислите коэффициенты корреляции рангов Спирмена и Кендалла Y (X) и Z (X), Сделайте вывод о тесноте связи.

Решение.

Коэффициент корреляции рангов Спирмена:

где

Для У (Х)

Расчеты для вычисления коэффициента корреляции рангов Спирмена:

сxy =

Для Z (X)

Расчеты для вычисления коэффициента корреляции рангов Спирмена:

сxz=

Ранговый коэффициент корреляции Кендалла:

й = 2S/n (n-1)

S=P-Q, где Р — число следующих рангов, превышающих эту величину, а Q — это число следующих рангов, меньших выбранного.

Для У (Х)

Расчеты для вычисления рангового коэффициента корреляции Кендалла:

S =30−394=-364

й =

Для Z (X)

Расчеты для вычисления рангового коэффициента корреляции Кендалла:

S =235−195=40

й =

Задача 10.

Постройте уравнения регрессии Y (X), Z (X) графическим способом.

Решение.

При построении линии регрессии на корреляционном поле проводят линию регрессии по местам сгущения точек.

На линии регрессии выбирают две точки, ближе к краям диапазона значений. Затем составляем систему уравнений — два уравнения с двумя неизвестными:

Из построенной линии регрессии по Y (X) получим:

(x1; y1) = (27; - 72);

(x2; y2) = (38; - 105).

y= 9−3*x.

Из построенной линии регрессии по Z (X) получим:

(x1; z1) = (27; 34);

(x2; z2) = (34; - 68).

z=428,2−14,6*x.

Задача 11.

С помощью метода наименьших квадратов (МНК) постройте уравнения регрессии Y (X), Z (X), Нанесите линии регрессии на корреляционное поле,

Решение.

Построение парной линейной регрессии по МНК сводится к решению системы нормальных уравнений.

Для уравнения y=a+b•x

Нужно решить следующую систему:

Из нее следует, что

Расчет значений

Для Y (X)

Итак, y=-8,07−2,46x

Для построения графика возьмем две точки с координатами (35; - 94) и

(28; - 77)

Для X (Y)

x=a+b*y, где

Итак, x=2,57−0,34y

Для построения графика возьмем две точки с координатами (27; - 72) и

(36,5; - 100)

Для Z (X)

z=a+b*x, где

Итак, z=-50,22+0,99x

Для построения графика возьмем две точки с координатами (27; - 23,5) и (30; - 20,5)

Для X (Z)

x=a+b*z, где

Итак, x=32,37+0,014z

Для построения графика возьмем две точки с координатами (31,7; 20) и (32,6; - 1)

Задача 12.

После определения коэффициентов корреляции и построения уравнения регрессии разными способами провести сравнение полученных оценок и построенных графиков.

Решение:

Из построенного графика Y (X) видно, что зависимость обратная (угловой коэффициент отрицательный) и сильная, что подтверждают вычисления 0,87 (из зад.8).

Из построенного графика Z (X) видно, что зависимость прямая и слабая, что подтверждают вычисления 0,11 (из зад.8).

Задача 13.

Проведите сглаживание ряда динамики Gt с помощью простой и взвешенной скользящей средней, а также скользящей медианы по трем, пяти и двенадцати точкам, Постройте графики исходного ряда динамики (ИРД) и сглаженных рядов следующим образом,

­ ИРД, ССП (3), ССВ (3), СМ (3);

­ ИРД, ССП (5), ССВ (5), СМ (5);

­ ИРД, ССП (12), ССВ (12), СМ (12).

Решение.

Простая скользящая средняя

— по 3 точкам.

Скользящая средняя взвешенная

— по 3 точкам.

Расчеты:

Простая скользящая средняя

— по 5 точкам.

Скользящая средняя взвешенная

— по 5 точкам.

Скользящая медиана — по 5 точкам.

Расчеты:

Простая скользящая средняя

— по 12 точкам.

Скользящая средняя взвешенная

— по 12 точкам.

Скользящая медиана — по 12 точкам.

Расчеты:

Задача 14.

Вычислите показатели динамики для ряда G:

­ средний уровень ряда динамики;

­ абсолютный прирост;

­ темп (коэффициент) роста;

­ темп прироста;

­ средний абсолютный прирост;

­ средний темп (коэффициент) роста;

­ средний темп прироста.

Решение.

Средний уровень:

,

Абсолютный прирост:

— цепной

— базисный

Коэффициент роста:

— цепной

— базисный

Темп роста:

— цепной

— базисный

Темп прироста:

Расчеты абсолютного прироста, коэффициента роста и темпа роста:

Средние показатели вычисляют по цепным показателям динамики.

Средний абсолютный прирост:

=

Средний коэффициент роста:

Средний темп роста:

%

Средний темп прироста:

Задача 15.

Постройте уравнение тренда с помощью МНК двумя способами и нанесите линию тренда на график исходного ряда динамики, Определите величину остаточной дисперсии.

Решение.

Уравнение тренда строят методами регрессионного анализа. Линейный тренд описывается с помощью линейного уравнения относительно времени:

G (t) =a +b•t,

Первый способ:

Решение системы нормальных уравнений по МНК:

Расчеты для решения системы нормальных уравнений по МНК:

G=50,4+0,65*t

Второй способ:

Решение системы нормальных уравнений:

Где

Расчеты для решения системы нормальных уравнений:

Расчет значений:

y=60,5+0,65t

Расчеты для вычисления остаточной дисперсии: