Некомпактные римановы пространства с группами голономии G2, Spin (7) и SU (2 (n+1) )

Диссертация посвящена построению и исследованию метрик со специальными группами голономии. В данной диссертации были изучены вопросы существования метрик с группами голономии G.

Группа голономии — это инвариант многообразия (риманова или псевдориманова), являющийся группой Ли и тесно связанный с геометрией данного многообразия. В 1955 году Берже доказал теорему, в которой перечислил все возможные группы голономии риманова многообразия. Среди этого списка выделяются группы (?2 и Spin (7), метрики с соответствующими группами называются исключительными или экзотическими (exceptional). Достаточно долго стоял вопрос о конкретных примерах метрик с данными группами голономии. Теорема существования компактных (определенных на компактном многообразии) экзотических метрик была доказана в 1996 году Джойсом [16]. Доказательство данной теоремы основано на довольно тонком аппарате специальных соболевских пространств, но описать найденные метрики конструкция Джойса не позволяет. Ковалев построил пример метрик с группой голономии на связной сумме двух компактных многообразий, используя теорему о склейке для эллиптических уравнений. Данная теорема также основана на оценках в специальных соболевских пространствах [19]. На данный момент примеры Джойса и Ковалева являются единственными примерами компактных многообразий с исключительными группами голономии..

Интерес к некомпактным примерам возник относительно недавно со стороны математической физики. Было предложено использование некомпактных метрик с группами голономии Зргп{1) в так называемой М-теории. В работах Гиббонса, Лю, Поупа, Светича, Канно и др. был построен ряд новых полных примеров, часть которых является не многообразиями, а орбифолдами. Все эти метрики автоматически являются Риччи-плоскими и асимптотически ведут себя как конусы, либо как произведения конусов на окружности (асимптотически локально конические — АЛ К)..

В частности, в работе [10] Светич, Гибонс, Лю и Поуп исследуют вопрос существования метрик с голономией 5ргп (7) на конусе над семимерной сферой и над пространством Алоффа-Уоллахаони изучают с помощью численных методов полученную систему дифференциальных уравнений и получают некоторые частные решения. В той же работе ведется поиск метрик с голономией б?2 на конусе над Б3×53. Далее, в работе [11] те же авторы строят АЛ К метрику с голономией 5рт (7) на пространстве, вне начальной точки гомеоморфном х СР3×51, где 5'1 — окружность постоянного на бесконечности радиуса, Ж.+ хСР3 — конус над СР3 с нестандартной метрикой. В работе [12] они развивают свои методы и находят новые метрики с другим поведением на бесконечности — найденные метрики определены либо на М8, либо на Е4×54..

В работе [14] Гуков и Спаркс независимо от предыдущего коллектива авторов находят метрики с голономией Брт{7) на М4 — расслоениях над и дают физическую интерпретацию найденным геометрическим структурам в терминах М-теории..

Как нам недавно удалось выяснить, Канно и Ясуи в работе [17] искали метрики с голономией 5ргп (7) на конусе над пространством Алоффа-Уоллаха. В работе [18] они использовали тот факт, что оно расслаивается над СР2 и ими найдено решение (4) в этом частном случае..

С другой стороны, исследование вопроса о существовании некомпактных примеров представляет собственный интерес для геометрии, поскольку нельзя исключить возможность построения дальнейших компактных примеров из некомпактных при помощи конструкции, схожей с конструкцией Куммера..

Первым примером полной римановой метрики с группой голоно-мии БХЦп) явилась метрика Калаби, найденная в [7] в 1979 году. Метрика Калаби строится на пространстве соответствующего линейного комплексного расслоения над произвольным многообразием Кэлера-Эйнштейна Р. В той же работе [7] Калаби исследует гиперкэлеровы метрики, и строит в явном виде полную риманову метрику с группой голономии 5р (т) на Т*СРШ — первый явный пример гиперкэлеровой метрики. Необходимо отметить, что метрики Калаби, были описаны более удобным способом физиками в работах [20] и [9]..

Интерес к явным метрикам со специальными группами голономии и, в частности, к специальным кэлеровым метрикам) достаточно высок, поскольку таких примеров известно мало. Например, Джойс в [16, 8.2.5] высказал гипотезу, что все другие (кроме метрики Кала-би для F ~ СРп~1) AJIE-метрики с группой голономии SU (n) при п > 3 являются «трансцендентными», т. е. не могут быть представлены в алгебраической форме. Отметим сразу, что метрики, которые строятся нами в Главе 3, являются асимптотически коническими (АК), но не являются AJlE-метриками, поэтому наш пример не опровергает гипотезу, высказанную Джойсом. Кроме того, насколько нам известно, построенные метрики являются первым примером непрерывного семейства римановых метрик с группой голономии SU (n), п > 3, задаваемых в явной форме в терминах элементарных функций..

Первая Глава является вводной. В ней мы приводим основные определения и факты, необходимые для дальнейшего изложения. Параграф 1.1 касается групп голономии римановых многообразийв параграфе 1.2 излагаются основные факты о геометрии 3-сасакиевых многообразийпараграф 1.3 содержит определение геометрических структур на орбифолдах. Глава 1 содержит лишь необходимые нам утверждения и не претендует на какую-либо полноту..

Во второй Главе мы приводим общую конструкцию, которая позволяет строить метрики с группой голономии 02 по заданному 3-сасакиеву 7-мерному многообразию М. Рассмотрим 3-сасакиево многообразие М, на нем свободно действует группа порождаемая одним из характеристических полей, фактор-пространство M/S1 = Z — шестимерный орбифолд, обладающий метрикой Кэлёра-Эйнштейна. Конус над Z будет иметь группу голономии если функции, отвечающие за деформацию конусной метрики, удовлетворяют определенной системе нелинейных дифференциальных уравнений и краевым условиям. При этом за деформацию отвечают функции A (t), B (t), C (t), зависящие от радиальной переменной меняющейся вдоль образующей конуса: д = ей2 + А (Ь)тЦ + 77|) + В^)гЦ + 775) + С{гШ 4- т$), (1) где — характеристические 1-формы М, а — формы, аннулирующие 3-сасакиево слоение на М..

Основным результатом параграфа 2.1 является Лемма 2.1: если кватернионно-кэлеров орбифолд О = М/311(2) обладает кэлеровой структурой, то (1) является метрикой с группой голономии (?2 тогда, и только тогда, когда функции А, В, С удовлетворяют системе обыкновенных дифференциальных уравнений л/ 2А2-В2-С2 Л — ВС ' в, = (2) п, С2—2А2—В2 Ь ~ АВ '.

В частности, метрика (1) является Риччи-плоской. Ранее система (2) была получена в [10] в частном случае М = 311(3)/Б1..

Для того, чтобы решение системы (2) было определено на некотором орбифолде либо многообразии, необходимо дополнительное выполнение краевых условий в точке Ц, которые мы формулируем в Лемме 2.2. Эти условия не могут быть выполнены, кроме случая В = С, который приводит нас к функциям, дающим решения, найденные впервые в [6] в случае М = 57 и М = 5⁷(3)/5'1. В случае В = С метрика (1) определена на тотальном пространстве М3-расслоения N над кватернионно-кэлеровым орбифолдом О. Вообще говоря, N является орбифолдом, кроме случая М = 57 и М = 5С/(3)/51..

В параграфе 2.2 мы рассматриваем известные примеры 3-сасакиевых многообразий, построенные в [5] с помощью взвешенного действия окружности на 311(3), и описываем в Лемме 2.3 и Следствии 2.1 топологию твисторного пространства Я, топологически эквивалентного расслоению ЛЛ.

В Главе 3 мы строим в явной, алгебраической форме однопарамет-рическое семейство полных римановых метрик, «соединяющих» ги-перкэлерову метрику Калаби и метрику Калаби с голономией 5С/(4) в пространстве специальных кэлеровых метрик в размерности восемь в случае, когда .Р является многообразием комплексных 3-флагов в С3. В этом случае четырехмерное кватернионно-кэлерово многообразие О, связанное с ^ допускает «расщепление» касательного расслоения, что позволяет ввести дополнительный параметр деформации метрики и решить в элементарных функциях возникающую систему уравнений..

Более точно, пусть М = 5С/(2″)/и {),-2 — пространство Алоффа-Уоллаха со структурой 3-сасакиева 7-мерного многообразия. На М = М х рассмотрим риманову метрику следующего вида: где? — координата на {77^} — ортонормированный корепер на М, согласованный с 3-сасакиевой структурой (подробности в параграфе). Конусную особенность (при Ь = 0) пространства М разрешим следующим образом: затянем на уровне {? = 0} каждую отвечающую ковектору 771 окружность в точку. Полученное многообразие, профак-торизованное по Ъ^ диффеоморфно Н/Ч^ — квадрату канонического комплексного линейного расслоения над пространством флагов в.

С3..

В параграфе 3.2 мы приводим доказательство и уточненную формулировку следующей теоремы:.

Теорема 3.1. При 0 < а < 1 каждая риманова метрика из семейства г-у-а2)(г2+а2Ь 2, г8−2а4(г4−1)-1 2, 2 («2 ,.

Уа — Г8−2а4(г4−1)—1 ШГ г2(г2а2)(г2+а2)'/1 «Г ' V'/2 ^ 113).

4) г2 + а2){гЦ + 4) + (г2 — а2){т, 1 + г?2), является полной гладкой римановой метрикой на Н/с группой голономии 311 (4). При, а — 0 метрика (4) изометрична метрике Ка-лаби [7] с группой голономии 311(4) — при, а = 1 метрика (4) изометрична метрике Калаби [7] с группой голономии Бр (2) С 311(4) на Т*СР2..

Отметим, что метрика (4) в Теореме 3.1 при, а = 0 и, а = 1 имеет форму, отличную от [7]- метрики Калаби в таком виде исследовались в [20] и [9]..

Этот результат получен нами при систематическом изучении метрик вида (3), имеющих группу голономии 5рт (7) методом, разработанным в [1] и применявшемся затем в [22, 2]: метрика (3) строится по произвольному 7-мерному 3-сасакиеву многообразию М и обладает естественной 7)-структурой. В Лемме 3.1 мы показываем, что условие параллельности этой структуры сводится к следующей системе нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений: а, (А2-А3)2-А2 А2(В2+С2).

А2А3 «Г» В2С2 ' А, А2-А2+А2 В2+С2−2А2.

Л2 ~ А1А3 ВС ' л/ - А2+А2-А2 В2+С2—2А2 /ел.

АгА2 ВС ' ^ П> — СА1+ВА2+ВАч {С2-В2)(А2+А3) ~ ВС 2А2А3С '.

Г' — ВАг+САъ+САч (В2-С2)(А2+А3) ~~~ ВС 2 А2А3 В отметим, что система (5) при В = С полностью исследована в [1, 2]). Для получения гладкой метрики (3) необходимо разрешить конусную особенность на М одним из двух способов, получив пространства М. или М.2- Эта схема описывается в параграфе 3.1 диссертации, условия для разрешения конусной особенности в случае Л4ч мы формулируем в Лемме 3.2. Тогда семейство метрик (4) на Л^г/^г получается интегрированием системы (5) при Ач = — А3..

В заключительном параграфе 3.3 приводится доказательство следующей теоремы, завершающей исследование системы (4) в случае пространства М-ч'.

Теорема 3.2. Пусть М — 7-мерное компактное Ъ-сасакиево многообразие, и положим р = 2 или р = 4 в зависимости от того, равен общий слой Ъ-сасакиева слоения М либо 50(3), либо SU (2). Тогда на орбифолде .Мг/^р существуют следующие полные регулярные рима-новы метрики g вида (3) с группой голономии Н С Spin (7):.

1) если 4i (0) = О, -А2(0) = Л3(0) > 0 и. 2А{0) = В2(0) + С2(0), то метрика g из (3) имеет группу голономии SU (4) С Spin (7) и гомотетична одной из метрик семейства (4)i.

2) если Ai (0) = О, -А2(0) = Л3(0) < J3(0) = С (0), то существует регулярная AJIK-метрика g вида (3) с группой голономии Spin (7), найденная в [1]. На бесконечности эти метрики стремятся к произведению конуса над твисторным пространством Z и окружности.

S1..

Более того, любая полная регулярная метрика на пространстве Л^г/^р вида (3) с рассмотренной Spin{7)-структурой и с группой голономии Н С Spin (7) изометрична одной из указанных выше..

Изложение доказательства Теоремы 3.2 построено следующим образом. Сначала находятся все стационарные и условно стационарные точки системы (5) (Леммы 3.4 и 3.5), они определяют асимптотику соответствующих метрик (Лемма 3.6). Далее выясняется, каким начальным точкам Sq отвечают условия Леммы 3.2- необходимые для гладкости метрикидоказывается, что из каждой такой точки выходит ровно одна траектория системы (5) (Лемма 3.7). После этого остается установить, куда сходятся эти траектории. Для этого определяются инвариантные области П и Г системы (5) и устанавливаются полезные для дальнейшего доказательства дифференциальные соотношения вдоль траекторий системы (Лемма 3.8) — эти соотношения показывают монотонность специально подобранных функций вдоль траекторий, что позволяет точно определить их асимптотику.

Предложение 3.1)..

В Главе 4 мы ставим вопрос об обобщении построенного в Главе 3 однопараметрического семейства метрик на случай общей размерности вида 4 т, так как обе метрики Калаби (впервые построенные в [7]) определены не только в размерности восемь, но и во всех размерностях, кратных четырем. Мы даем положительный ответ на данный вопрос и доказываем следующую теорему:.

Теорема 4.1. Следующее семейство состоит из полных, риччи-плоских 4(п + 1)-мерных римановых метрик: г4(г4а4)п (г*-а")" +М1-а*)" +1 «2 I Г2ГГ72 I Г72>>.

Г2 + а2) Еи^Ь + + ^ - «2) + ч?,). где 0<�а<1,г>1. Метрики О о и имеют группы голономии 311(2(п+ 1)) и 8р (п—1), соответственно, и совпадают с многомерными метриками Калаби из [7]. Метрики 0а при 0 < а < 1 имеют группу голономии ?'?/(2(71 + 1)) и при п = 1 совпадают с семейством, построенным в Главе 3. При 0 < а < 1 метрики Оа определены на (п—1)-ой тензорной степени линейного комплексного расслоения над пространством комплексных флагов в С2п+1- метрика С?1 определена на Т*?Рп+1..

1. Базайкин Я. В. О новых примерах полных некомпактных метрик с группой голономии Зрт (7) // Сибирский математический журнал. 2007. Т. 48, № 1. С. 11−32..

2. Berger M. Sur les groupes d’holonomie des varietes a connexion affine et des varieetes Riemanniennes // Bull. Soc. Math. France. 1955. V. 83. P. 279−330..

3. Boyer C.P., Galicki K. 3-Sasakian manifolds // Surveys in differential geometry: essays on Einstein manifolds, Surv. Differ. Geom., VI, Int. Press, Boston, MA. 1999. P. 123−184..

4. Boyer C.P., Galicki K., Mann B.M. The geometry and topology of 3-Sasakian manifolds. J. reine angrew. Math. 455 (1994), P. 183−220..

5. Bryant R.L., Salamon S.L. On the construction of some complete metrics with exceptional holonomy// Duke Math. J. 1989. V. 58, N 3. P. 829−850..

6. Calabi E. Metriques kahleriennes et fibres holomorphes // Ann. Ecol. Norm. Sup. 1979. V. 12. P. 269−294..

7. Cartan E. Sur une classe remarquable d’espaces de Riemann // Bull. Soc. Math. France. 1926. V. 54. P. 214−264, 1927. V. 55. P. 114−134 ou Oeuvres completes, tome I, V. 2. P. 587−659..

8. Cvetic M., Gibbons G.W., Lu H., Pope C.N. Hyper-Kahler Calabi Metrics, L2 Harmonie Forms, Resolved M2-branes, and AdS4/CFT3 Correspondence // Nucl. Phys. B. 2001. V. 617. P. 151−197..

9. Cvetic M., Gibbons G.W., Lu H., Pope C.N. Cohomogeneity one manifolds of Spin (7) and G (2) holonomy// Phys. Rev. D. 2002 V. 65, N 10. P 106 004..

10. Cvetic M., Gibbons G. W., Lu H., Pope C. N. New Complete Noncompact Spin (7) Manifolds // Nucl. Phys. B. 2002. V. 620, N 1−2. P. 29−54..

11. Cvetic M., Gibbons G. W., Lu H., Pope C. N. New Cohomogeneity One Metrics With Spin (7) Holonomy //J. Geom. Phys. 2004. V. 49, N 3−4. P. 350−365..

12. Eschenburg J.H. Inhomogeneous spaces of positive curvature, Diff. Geom. Appl. 2 (1992). P. 123−132..

13. Gukov S., Sparks J. M-Theory on Spin (7) Manifolds // Nucl. Phys. B. 2002. V. 625, N 1−2. P. 3−69..

14. Gray A. Weak holonomy groups. Math. Z. V. 123 (1971). P. 290 300..

15. Joyce D.D. Compact riemannian 8-manifolds with holonomy Spin (7). Invent. Math. 123 (1996), No. 3. P. 507−552..

16. Kanno H., Yasui Y. On Spin (7) holonomy metric based on SU (3)/U (1) // J. Geom. Phys. 2002. V. 43, N 4. P. 293−309..

17. Kanno H., Yasui Y. On Spin (7) holonomy metric based on SU (3)/U (1):II // J. Geom. Phys. 2002. V. 43, N 4. P. 310−326..

18. Kovalev A. Twisted connected sums and special Riemannian holonomy // J. Reine Angew. Math. 2003. V. 565. P. 125−160..

19. Page D., Pope C. Inhomogeneous Einstein metrics on complex line bundles // Classical and Quantum Gravity. 1987. V. 4. P. 213−225.21. de Rham G. Sur la reductibilite d’un espace de Riemann //.

20. Базайкин Я. В., Малькович Е. Г. Метрики с группой голоно-мии (?2, связанные с 3-сасакиевым многообразием // Сибирский математический журнал. 2008. Т. 49, № 1. С. 3−7..

21. Базайкин Я. В., Малькович Е. Г. 7)-структуры на комплексных линейных расслоениях и явные римановы метрики с группой голономии Зи (4) // Математический Сборник. 2011. Т. 202, № 4. С. 3−30..

22. Малькович Е. Г. О новых явных римановых метриках с группой голономии Зи (2(п+ 1)) // Сибирский математический журнал. 2011. Т. 52, № 1. С. 95−99.Comm. Math. Helv. 1952. V. 26. R 328−344.Работы автора по теме диссертации.