Конформно-плоские метрики и псевдоевклидово пространство

Конформная геометрия, и в частности теория конформно-плоских пространств, занимает одну из ключевых позиций в современных математических исследованиях. Эта область исследований оказалась на стыке таких интенсивно развивающихся разделов математики, как геометрия пространства Лобачевского, псевдоевклидова геометрия, теория римановых пространств, теория вещественных функций, а также ультрасовременных физических теорий.

Важную роль в этой теории играют обобщенные (слабо регулярные) конформно-плоские метрики с особенностями. Связано это с общим гносе-логическим принципом утверждающим, что основная информация об объекте исследований, как правило, может быть извлечена из его особенностей. Кроме того в исследованиях последних десятилетий по римановой геометрии ведущую роль стали играть нерегулярные обобщенные рпмановы пространства.

В данной работе развивается новый подход к решению задач теории многомерных слабо регулярных конформно-плоских метрик, основанный на исследовании внешней геометрии поверхностей псевдоевклидова и гиперболического пространства, технике интегральных представлений Ю.Г. Ре-шетняка и методах теории потенциала.

Конформно-плоские метрики и псевдоевклидова геометрия.

По своим функциональным свойствам конформно-плоские метрики можно рассматривать как объекты псевдоевклидова пространства. Это следует во-первых из того, что группа мебиусовых преобразований изоморфна группе Лоренца преобразований псевдоевклидова пространства Минков-ского, во-вторых имеется непосредственное вложение конформно-плоской метрики заданной на сфере в изотропный конус пространства Минков-ского. Конструкция этого вложения известна давно [11], но эффективно использоваться начала лишь сравнительно недавно [25]. Вероятно, первое.

— 4 эффектное применение было дано Н. Кюйпером при описании конформно-плоских многообразий, имеющих компактное накрывающее пространство [56], [57].

Пусть 5П — единичная сфера с центром в начале координат евклидова арифметического пространства Яп+1, а метрика задана в виде с1×2 =.

2 М ж € Бп С Я п+1.

Обозначим через М" +2 = х — псевдоевклидово пространство, скалярный квадрат вектора т = (х, () Е Мп+2 в котором равен (и-)2 = х где ||-г||2 — скалярный квадрат вектора х? Лп. Обозначим через С'+ = {(?с, С)?: \х\2 — (2 — О, С > 0} ~ изотропный конус (верхнюю половину). Отображение, задаваемое формулой х Iх.

1) есть изометрическое вложение.

Мебиусову преобразованию сферы 5″ соответствует «вращение» поверхности ^ = //(5'") на конусе С+ под действием псевдоортогональной группы Ож~(п + 1,1), т. е. тех псевдоортогональных преобразований Яп+2, которые переводя т С+ в себя и сохраняют ориентацию. Таким образом, изучение внутренней геометрии конформно-плоского пространства {5п, с/б'2} можно свести к изучению внешней геометрии поверхности ^ С С+.

Конформно-плоские метрики и теория потенциала.

При изучении обобщенных римановых пространств основным методом исследований является синтетический метод, предложенный А. Д. Александровым и впоследствии развитый его учениками. Наряду с этим в исследованиях Ю. Г. Решетника [84], [85], [86], [79] по двумерным многообразиям ограниченной кривизны был предложен альтернативный — аналитический метод, основанный на конформном представлении таких метрик.

— 5.

В этих работах изучался двумерный интеграл ^ У nxуйцу, где ж, у точки плоскости К2, (1ру вполне аддитивная функция на плоскости. Оказалось, что ему можно сопоставить двумерное многообразие ограниченной кривизны в смысле определения А. Д. Александрова [6]. Функция, а в этом случае будет определять линейный элемент (метрику) многообразия по формуле в2 = е2<�тЖс2, (2) а заряд будет интегральной кривизной многообразия. При этом функция, а является ¿—субгармонической функцией, т. е. представима в виде разности двух субгармонических функций. На заряд с1ру накладываются определенные ограничения, следующие из геометрических соображений.

Пример. Пусть мера с1ру сосредоточена в конечном числе точек, лежащих на окружности или на прямой, и = 47 г. Круг с метрикой (2), ограниченный этой окружностью, будет изометричен выпуклому многоугольнику на плоскости. Если рассматривать метрику на всей расширенной плоскости К1, то получится дважды накрытый многоугольник.

На этом пути была выявлена глубокая связь теории двумерных многообразий ограниченной кривизны с теорией функций и теорией потенциала.

Естественное продолжение этого направления исследований — изучение слабо регулярных многомерных конформно-плоских метрик. В работе [98] был определен класс Р2 полунепрерывных сверху функций, соответствующий многомерным конформно-плоским метрикам неотрицательной кривизны. Функция, а принадлежит классу Р2, если она является субгармонической на любой двумерной плоскости, причем это свойство сохраняется при мебиусовых преобразованиях метрики. Класс функций Р2(0) — можно рассматривать как вещественный аналог плюрисубгармонических функций [60], [49]. Для четной размерности верно включение С Р8Н (0).

— 6.

Теория функций Р5Я (.0) хорошо развита и имеет многочисленные приложения [60], [49], [111].

Интегральные представления Ю. Г. Решетника.

Мощным универсальным средством аналитических исследований в анализе и геометрии является метод интегральных представлений Ю.Г. Ре-шетняка [81]. Суть метода в том, что системе дифференциальных операторов с условием полной интегрируемости сопоставляется интегральное представление функции, в частности, таким образом могут быть получены классические интегральные представления функции через ее производные, установленные С. Л. Соболевым. В геометрии вполне интегрируемые системы встречаются весьма часто, поэтому очевидна важность этих интегральных представлений для геометрических исследований, особенно в задачах на устойчивость, при изучении обобщенных слабо регулярных пространств.

Используя этот метод, Ю. Г. Решетняк доказал устойчивость в теореме Лиувиля, а С. К. Водопьянов — устойчивость в теореме Дарбу. Отметим, что обе проблемы были поставлены М. А. Лаврентьевым. Несмотря на глубину полученных результатов ясно, что ими приложения этого метода не исчерпываются.

Краткое описание содержания диссертации.

Основной целью диссертации является выработка новых подходов к изучению слабо регулярных многомерных конформно-плоских метрик: метода, основанного на исследовании внешней геометрии поверхностей псевдоевклидова и гиперболического пространства, техники интегральных неравенств и методов теории потенциала, техники интегральных представлений Ю. Г. Решетняка. Эти подходы оказались эффективными также при исследовании некоторых общих проблем геометрии римановых пространств. Так, например, получены новые оценки для коэффицента квазиконформ.

— I ности отображения области риманова пространства на евклидову область через тензора Вейля и Схоутена-Вейля, а также оценки коэффициента ква-зиизометричности отображения области риманова пространства на евклидову область через интегральную норму тензора кривизны, что дает ответ на проблему, поставленную Ю. Г. Решетником в рамках общей программы построения обобщенных римановых пространств ограниченной интегральной кривизны. Указаны другие применения, связанные с изометричными погружениями двумерных и многомерных конформно-плоских метрик.

В главе 1 предложен новый подход к исследованию многомерной конформно-плоской метрики ограниченной кривизны, определенной на всей гг-мерной сфере Яп: з2 = х е (3) где /(ж) функция, задающая метрику. Вводится понятие одномерной секционной кривизны [92].

Определение. Одномерной секционной кривизной конформно-плоской метрики (3) в точке х в направлении вектора? называется величина где |У/| модуль градиента f в В!1, — вторая производная по направлению? в К11.

Риманова кривизна двумерной площадки ?1 А ?2, образованной двумя единичными взаимно ортогональными векторами, равна сумме л 6) = /<:(&)+ #(&). (5).

Лемма (Лемма 1.1.1.). При п > 3 одномерная секционная кривизна имеет внутренний смысл и не зависит от выбора конформной системы координат.

Заметим, что при п = 3 одномерная секционная кривизна корректно определена для произвольного риманова пространства. В случае п = 2,.

— 8 одномерная секционная кривизна перестает быть локальным внутренним инвариантом, т. е. при конформных преобразованиях, отличных от мебиу-совых, она меняется. Но глобально она по-прежнему корректно определена (конформные преобразования двумерной сферы — мебиусовы).

В лемме 1.1.2. устанавливается, что ограниченность римановой кривизны эквивалентна ограниченности одномерной секционной кривизны для конформно-плоской метрики при п > 3. Далее вводится важная для дальнейших построений конструкция канонического изометричного вложения конформно-плоской метрики в изотропный конус пространства Минков-ского (1.1.8). Метрике йв2 = <1×2/р (х) соответствует пространственно-подобная поверхность ^ = 1/{Зп) С С+. Метрикам постоянной кривизны соответствуют сечения конуса гиперплоскостями, т. е. конические сечения. Для любого числа к в каждой точке поверхности ^ = //(?") определено касательное с ней коническое сечение кривизны к.

В терминах внешней геометрии канонического вложения ^ = //(5П) конформно-плоской метрики в теоремах 1.2.1, 1.2.2, 1.2.3 даются критерии ограниченности одномерной секционной кривизны снизу.

Теорема (Теорема 1.2.1.). Пусть конформно плоская метрика? х2/р (х) такова, что ее одномерная секционная кривизна ограничена снизу т > I и функция /? С2. Тогда для любой точки хо? справедливо неравенство.

М > /о (*)> где /0к (.т) — касательная метрика в точке кривизны к, и неравенство справедливо во всей области определения.

Замечание. Геометрически теорема 1.2.1 утверждает, что поверхностьР С С+ целиком лежит по одну сторону (ниже) конического сечения, определяющего метрику (х).

Теорема (Теорема 1.2.3.). Одномерная секционная кривизна конформно-плоской метрики на сфере ограничена снизу числом к/2 тогда и только.

— 9 тогда, когда для любых трех точек х, Х2, жз сферы выполняется неравенство, а + Ь + с)(а + Ь — с)(а — 6 + с)(-а + 6 + с) > ка2Ъ2с2, где, а хг р2 ~ ХЗ кз — X] у/7Щ7Щ' х/ТыТЩ л/7[хШЫ] хордовые расстояния между соответствующими точками в псевдоевклидовом пространстве Мп+2.

Замечание. В элементарной геометрии данное неравенство при к > О означает, что радиус описанной окружности вокруг треугольника со сторонами а, Ъ, с меньше или равен 1 /л/к.

Замечание. При к = О данное неравенство равносильно неравенству треугольника и может быть переписано в виде условия на функцию /(х).

У7м < л/ты.

1X2 ~ X х — Х\ Х2 ~ XЛ х2 — XI где х, х, Х2 ~ произвольные точки сферы.

Затем изучаются метрики с ограниченной, по абсолютной величине, одномерной секционной кривизной. Теорема 1.3.1, в терминах внешней геометрии канонического вложения конформно-плоской метрики, дает критерий ограниченности одномерной секционной кривизны конформно-плоской метрики.

Теорема (Теорема 1.3.1). Пусть конформно плоская метрика йз2 = с1×2/р (х) на сфере такова, что ее одномерная секционная кривизна ограничена сверху и снизу,.

Кг / К ~2 — — 2' и / Е С2. Тогда для любой точки хо Е справедливо неравенство.

М < /о (*.

— 10 для всех х Е 5″ (область определения?? Ц,{х) совпадает со сферой, так как к > о-.

Замечание. Геометрически теорема 1.3.1. утверждает, что поверхность .Р С С+ целиком лежит по одну сторону (выше) конического сечения, определяющего льетрику и ниже конического сечения, определяющего метрику.

В теореме 1.3.2 доказывается, что метрики ограниченной снизу одномерной секционной кривизны задаются с помощью (^-выпуклых функций, впервые введенных А. Д. Александровым [7]. В теореме 1.3.3 установлено, что конформно-плоская метрика ограниченной кривизны в смысле А. Д. Александрова задается с помощью функции класса С1'1. Это дополняет известный результат И. Г. Николаева [69] о том, что обобщенные ри-мановы пространства ограниченной кривизны по А. Д. Александрову имеют метрический тензор гладкости С1, а, 0 < а < 1.

Далее определяется конструкция, сопоставляющая регулярной конформно-плоской метрике на сфере множество Qf (поверхность) пространства Лобачевского.

Пусть ¿-Ь2 = (1×2/р{х) — конформно-плоская метрика на сфере б1″, ^ = //(5П) С С+ - соответствующая ей пространственно подобная поверхность. Фиксируем число к > 0 и проведем через точку то = 1/(хо)? Р гиперплоскость в М" +2, содержащую в себе касательную плоскость и касающуюся гиперболоида.

Обозначим через рк (хо) Е Нк точку касания этой гиперплоскости, соответственно =рл'(5п) образ сферы в пространстве Лобачевского Нк.

В теоремах 1.4.1 и 1.4.2 в терминах множества Qf описаны конформно-плоские метрики ограниченной одномерной кривизны. В частности, устанавливается взаимно однозначное соответствие между выпуклыми множествами пространства Лобачевского Нк и конформно-плоскими метрика.

— 11 ми на вп, одномерная секционная кривизна которых удовлетворяет условию.

Это позволяет для исследования конформно-плоских метрик применить весь богатый арсенал теории внешней геометрии выпуклых поверхностей разработанный A.B. Погореловым [75] и его научной школой.

Обратное построение конформно-плоской метрики по поверхности Q С Нк происходит по следующему алгоритму. Фиксируем поле нормалей {е?г+1} к поверхности Q, и из каждой точки w Е Q выпускаем нормаль к Q. Каждая такая нормаль задает луч в пространстве Минковского Мп+2 с началом в точке w е Q, направляющий вектор которого совпадает с данной нормалью. Пересечение конуса С<+ с поверхностью, образованной этими лучами, будет искомой поверхностью F, задающей конформно-плоскую метрику.

В пункте 1.5 определяется полярное преобразование конформно-плоских метрик — аналог преобразования Лежандра или поляры выпуклого множества [102]. Используя это преобразование, в теореме 1.5.4 получена явная формула для главных кривизн поверхности Qf в пространстве Нк где к} главные одномерные секционные кривизны конформно-плоской метрики.

Замечание. Всякой 1-мерной регулярной поверхности С Щ+1 пространства Лобачевского кривизны (-к) соответствует конформно-плоская метрика у которой (п — /) главных однолшрных секционных кривизн равны.

Используя теорию k-седловых поверхностей, созданную С.З. Шефе-лем [115], или теорию к-параболических поверхностей, принадлежащую A.A. Борисенко [16], можно конструировать конформно-плоские метрики с наперед заданными свойствами на кривизну. Например, цилиндрическим кт< к 2 к > 0. к/2.

— 12 поверхностям [17] пространства Лобачевского будут соответствовать конформно-плоские метрики имеющие к одинаковых, постоянных, отрицательных главных значений одномерной секционной кривизны.

В главе 2 введен новый класс конформно-плоских метрик неотрицательной^{-мерной} секционной кривизны, естественным образом обобщающих на вещественный случай понятие плюрисубгармонических функций [60]. Исследованы свойства этих метрик.

В теореме 2.1.1. доказывается, что метрика класса С2 будет неотрицательной^{-мерной} секционной кривизны если и только если ее сужение на любую^{-мерную} плоскость есть метрика неотрицательной скалярной кривизны. Причем это свойство сохраняется при любом мебиусовом преобразовании. Если к = 2 и метрика задана в виде йз2 = то условие неотрицательности скалярной кривизны метрики, полученной сужением на двумерную плоскость тг, равносильно неотрицательности лапласиана Дя-а > 0 сужения функции, а на плоскость 7 Г.

Ослабляя требование на гладкость функции, а получаем следующий класс функций Р^ введенный в работе [98], который сопоставим конформно-плоским метрикам неотрицательной кривизны.

Определение. Полунепрерывная сверху в области Г) функция, а принадлежит классу Р'2(Р>) — если.

1) для любой плоскости п сужение функции аж — субгармоническая функция,.

2) свойство 1) сохраняется при любом мебиусовом преобразовании.

Аналогично определяется класс функций 2 < к < п. Заметим, что в этом случае скалярная кривизна выражается через лапласиан функции /, задающей метрику по формуле.

— 13 где / =.

В первом параграфе главы доказаны некоторые свойства функций класса Рк (Р>). В теореме 2.1.2 установлено, что множество функций — является выпуклым и замкнутым относительно взятия максимума конечного числа функций.

Теорема (Теорема 2.1.2). Если о{х), сг2(ж) — функции класса Р2(1)), то тах{о-1.о-2} € Р2^) и [(1 — Л)^ + А<72]? ^(Р) — где 0 < А < 1.

Следствие. Пусть Н (х) > 0 — усредняющие ядро радиуса 6. Тогда если, а Е Р2&-), тоа*}ге Р2(Д0> = {х Е В: р (х, СП) > 6}, где.

— свертка функций.

Теорема 2.1.3 позволяет строить различные примеры функций класса Р2.

Теорема (Теорема 2.1.3). Пусть /: [—оо,+оо) —"• [—оо,+оо) неубывающая выпуклая вниз функция такая, что |/(?) — /(з) | < — 5'|. Тогда для любой функции, а Е А (^), композиция функций / • сг Е Р2(1)).

Сферически симметричные функции из Р2 можно полностью описать.

Теорема (Теорема 2.1.4). Если и Е Р2(Р") и функция, а сферически симметрична, т. е. а (х) = <£>(|ж|), то неотрицательная, неубывающая, ограниченная числом 2.

Заметим, что это свойство позволяет разделять классы функций PSH (плюрисубгармонические) и Р2- так как, если, а Е PSH, то h (r, a) неота * h)(х) где 1г: [0, +оо) —>¦ [0,2] - неубывающая функция. Следствие. Для произвольной функции о Е Р2(РП) — функция.

14 рицателъна и будет просто неубывающей (даже если требовать субгармоничность функции, а на всех двумерных плоскостях ж, а не только на голоморфных).

Пусть к > 0. Определим подмножество Р^Б) множества Р2(И):

Тогда для функции, а? Р^Р) в каждой точке х? Б и в каждом направ лении? выполняются.

Заметим, что эти неравенства на одномерную секционную кривизну нельзя понимать буквально, так как функция, а не обязана быть два раза дифференцируемой. Поэтому эти неравенства надо понимать в обобщенном смысле (см. главу 5). В силу теоремы 1.3.3. условие ¡-/^(ж.^)! < | влечет, что сг? С1'1 (?>) там, где, а > — оо. Из формулы для кривизны следует, что Р?{Р) = + 1п т/к, т. е. эти классы функций отличаются на константу. Кроме того, очевидно Р2К1(1)) С Р22{Р>) при 0 < /м < К2- Из теоремы 1.4.2. следует теорема:

Теорема (Теорема 2.1.7). Имеется взаимно одназначное соответствие между метриками класса Р^в71) и выпуклыми поверхностями неотрицательной кривизны в пространстве Лобачевского Н.

Выпуклые поверхности положительной кривизны иногда называют супервыпуклыми. Они являются предметом интересных исследований [26].

Принадлежность, а? гарантирует неотрицательность кривизны метрики ¿-я1 = е~2а (-х'] (Ьх1 в смысле А. Д. Александрова. Воспользуемся определением В. Н. Берестовского.

Определение ([13]). Метрическое пространство X с внутренней метрикой р имеет кривизну > к, если для каждой точки х? X найдется открытое множество V С X, содержащее точку х, такое, что каждая к 2.

15 четверка точек {а. Ь. с, с1} из V изометрично вкладывается (как метрическое пространство с индуцированной метрикой) в Зт (пространственная форма) для некоторого т > к. Каждое такое множество II называется областью кривизны > к.

Теорема (Теорема 2.1.7). Пусть, а Е Р2 (Пп) Г) С (Кп). Тогда метрическое пространство Вп с внутренней метрикой ра имеет неотрицательную кривизну.

В главе 1 была указана характеристика функций из Р{Р) в виде неравенства, связывающего значения функции и в трех точках. Во втором параграфе главы 2 получено обобщение этого свойства на функции класса.

Теорема (Теорема 2.2.1.). Пусть, а Е Ръф), 5 С Р> - окружность, точка г Е О такая, что часть сферы, ограниченная 5 и содержащая точку г, принадлежит Б. Тогда где &0, Е 5 ближайшая и дальняя, относительно г, точки окружности Б. г — радиус Б, (И — элемент длины Б.

Замечание. Если 5 С В — прямая, то неравенство принимает вид.

Из теоремы 2.2.3 следует некоторый аналог метода выметания [59] из теории потенциала для функций, а класса Р2.

Замечание (Замечание 2.2.10.). Пусть, а Е Р-2{Т)), 5 СС — окружность, содержащаяся в D вместе с некоторой двумерной сферой, проходящей через нее. Тогда на 5 определена мера? V такая, что в, V [5] = 1 и.

А (1>), к > 2. 2 г <�т{г)сИ |г—/|2.

16 где г — радиус Б, &-о, Ь — ближайшая и дальняя по отношению к х точки 5. В силу теоремы 2.1.2. эта формула задает функцию от г, принадлежащую классу /" 2 •.

Пусть в частности Б = 5? г, а мера с///, определенная на окружности 5, оказалась сосредоточенной в конечном числе точек. Тогда конформно-плоское риманово многообразие, определенное функцией (6), представляет собой прямое произведение плоского выпуклого многоугольника на сферу 5П~2, у которого граница факторизована таким образом, чтобы получилась граница выпуклого многоугольника (при п — 2 = 0, это будет дважды накрытый плоский многоугольник).

Справедливо некоторое обобщение теоремы 2.2.1. на случай произвольной замкнутой кривой:

Теорема (Теорема 2.2.5.). Пусть, а? Рг (^)? М — двумерная пленка с краем дМ в Б. Тогда где Ам{с) ~ оператор Лапласа-Белътрами сужения функции, а на М, Н вектор средней кривизны М. Если 7] - решение уравнения то а (х) < 1](х) при х? М.

В параграфе 3 главы 2 рассматриваются свойства гипергармонической функции (решения уравнения Лапласа в пространстве Лобачевского) граничные значения которой есть функция на абсолюте из класса Р^В?1).

В параграфе 4 исследуются свойства функций класса Рч, определенных на всей сфере Яп. Условно их можно назвать свойствами «в целом» .

Теорема (Теорема 2.4.1). Пусть, а Е Рч (Яп), п > 3. Тогда для любой окружности Б1 С Яп и любой точки х Е 511 верно неравенство.

ДмМ + н? > о,.

ДмЫ + |#|2 = о, //1дм = о Iдм ,.

— 17 где г — радиус окружности, йI — элемент длины. Причем неравенство точное и достигается для функции вида.

12 1 а (х) — 1п х — хо, хо Е 5 .

Теорема (Теорема 2.4.2). Пусть, а Е, А п > 3. Тогда для любой прялюй Ь С Вп верно неравенство.

I / х (ж — ¿-У2 + а2 1 а Г сг (в) (¡-я.. ^ вир (7 (х) — 1п ^-? < - / -Ч-V* Е Я, а > 0.

Причем, неравенство точное и достигается для функции вида, а (х) = 1п х — д’о|, жо Е Ь.

В параграфе 5 главы 2 исследуются локальные свойства функций класса Ръф). Введем некоторые характеристики роста функции, а Е Ръ^).

Определение. Положим х, г, а) =- / а (х + ги) йии,.

А (х, г, а) = ] I а{у)йу, где б*" -1 С Вп единичная сфера, В (х, г) — шар с центром в точке х Е радиуса г. Число В (х./г) = и! п-1Гп/п — равно объему В (х, г), ~ площадь 5тг~1- и Е б1″ -1, 0 < г < р (х, дВ). Число р{х, дВ) — равно расстоянию от внутренней точки ж Е И до границы дВ.

Теорема (Теорема 2.5.1). Если, а Е Р^Ш), то функции {х, г, <т) и А{х1г1а) являются возрастающими функциями от г и выпуклыми функциями от 1п (г)7 причем где, А: [0, +оо) —> [0,2] - неубывающая функция. Определение. Пусть, а Е Р2(Р), г Е В. Назовем предел с^(<�т, г) = Нгп^/г (г, оо), порядком функции, а в точке г.

— 18.

Теорема (Теорема 2.5.2). Пусть, а Е Ръ^), и 7г2 — двумерные плоскости проходящие через точку г Е В. Тогда йед ((тОП7Т1,г) = ?ед{аОПП2, г).

Следствие. Пусть, а Е Р-2{Т)), тт и? Г2 — произвольные плоскости, проходящие через точку г Е Р, размерности к и к^. Тогда.

1ед (аПГ[7Т11г) = с1ед (аОП7Г2, г).

Лемма (Лемма 2.5.2). Пусть п = 2р, а — сферически симметричная функция а (х) = ср (х), где м = / ^.

Функция К класса С1 при I > 0 и непрерывна при Ь = 0. Тогда интегральная кривизна шарового пояса в конформно-плоской метрике (1з2 — е~2а (1×2 равна г п = ^р~Г (2Н{1) — л2(*))р" 1 ti (t)dt, где О — замкнутая 2р-форма, представляющая характеристический класс Эйлера [72] равная.

— IV.

О =.

V £и г ОА • • • A Q.

22ртгрр

Следствие. В условиях леммы интегральная кривизна конформно-плоской метрики, сосредоточенная в начале координат, равна Яр (Н (0 + 0)). Здесь Лр (/г) полином от /г степени (2р — 1) определенный формулой.

ДР (Л) = (2р~1)'1 Г (2х — х2) р'1 с1х.

2p-WJo.

В параграфе 6 главы 2 изучаются особые точки функций класса P-2(D).

Теорема (Теорема 2.6.1). Пусть функция Ф равна 1 в окрестности нуля, функция, а Е Р2(D), xq Е D. Тогда предел lim^o fG о'(х)ф?(х — xq) dx существует и конечен в том и только том случае, когда функция h (t) = h (t, x0,00) удовлетворяет условию Дини h (t), at < 00, для некоторого? q > 0. п.

— 19.

При этом Щ а (х)1р?(х — хь) йх — а (х0) = 'с J о ?

П +.

Г1 [%") — л (о)] (1 — ФМ) и. и.

Замечание. Независимо от выбора функции Ф существует конечный или бесконечный предел Ит?->о а (х)ф?(х — хо) с1х = а (хо). Следовательно, если о Е Р^Р), то сг (жо) > —оо в том и только том случае, когда функция Ъ{Ь) = Н (Ь, хо, оо) удовлетворяет условию Лини.

В главе 3 собраны результаты по устойчивости для конформно-плоских метрик и для римановых метрик. Во всех полученных оценках использовалась интегральная норма кривизны.

В первом параграфе главы 3 доказывается устойчивость в теореме Шура для конформно-плоских метрик [95]. Другими словами, если конформно-плоская метрика в каждой точке имеет «почти» постоянную кривизну, то и в целом эта метрика мало отличается от метрики постоянной кривизны. Получена равномерная оценка отклонения в теореме Шура для многомерной конформно-плоской метрики от метрики постоянной кривизны через интегральную норму девиатора тензора кривизны Риччи. Использованная при этом техника интегральных представлений Ю. Г. Решетняка позволяет утверждать, что в принципиальном отношении эта оценка оптимальна.

Отметим работы [39], [40], [41], [42], [43], в которых было показано, что без определенных требований на риманово многообразие, вообще говоря, устойчивости в теореме Шура нет. С другой стороны в работах [70], [71], на основе результатов М. Сготоуа о компактности семейств римановых многообразий, устойчивость в теореме Шура для компактного риманова многообразия была все же установлена. Основное отличие теоремы 3.1.1 от указанных выше общих результатов состоит в указании явных формул для оценок отклонения метрики от метрики постоянной кривизны. Кроме того, не требуются те ограничения на метрику, которые связаны с теоремой М. Сготоуа.

— 20.

Пусть Б С Вп — область в п — мерном евклидовом пространстве Вг звездная относительно шара В0 С Б. В области Б задана конформно плоская метрика ¿-з2 = с? ж2//2(ж), где /(ж) > 0 — функция класса С'2(Б). Обозначим через 1.

Б кг — -~ (Rki—'9кг п — z п.

1 (d2f д/^- дхкдхг п девиатор тензора Риччи для данной метрики. Теорема Шура утверждает, что равенство Т^ = 0 влечет постоянство кривизны конформно-плоской метрики.

Введем интегральную характеристику «непостоянства» кривизны метрики.

Т —.

— L П.

ТцТы]рГ2 Vadx L.

— г* дхкдх{.

ID.

А/ п.

2 Р/2.

Ы I fp~ndx где TkiTkl — квадрат тензора Т,^Jgdx — элемент объема.

Теорема (Теорема 3.1.1). Пусть г — радиус шара Во и область Б содержится в шаре радиуса В с центром, совпадающим с центром Bq. Положим М — maxf (x), т = min f (x). Тогда существует метрика dx2/g2(x хED ' xtD постоянной кривизны на Б такая, что.

2—.

1 д (х.

С *) * г / т.

Т, pi при р > п. х) — д (х) I < С' {В)2^рТрМ^, при п/2 < р < п, где константы С. С' зависят только от п.

Во втором параграфе главы 3 предложена новая конструкция квазиизометрического отображения двумерного многообразия ограниченной кривизны в смысле А. Д. Александрова в многообразие постоянной кривизны, указаны оценки коэффициента квазиизометричности через вариацию.

21 вполне аддитивной функции кривизны метрики [109]. При этом использовался классический метод А. Д. Александрова «разрезания» и «склейки» .

Пусть (М, р) — двумерное многообразие ограниченной кривизны в смысле А. Д. Александрова [6], [79], р — внутренняя метрика на М. Через В (а, г) обозначим замкнутый шар в (М, р) с центром в точке, а и радиуса г. На кольце Борелевских подмножеств М определены вполне аддитивные функции и и 5, равные соответственно кривизне и площади данного подмножества. Для кривых на М определен правый (левый) поворот т. Фиксируем константу К и рассмотрим разность и к = со — Кя, которая также будет вполне аддитивной функцией.

Обозначим через иУ^ и и^ ее положительную и отрицательную часть. Положим сОк = +.

Через Б к обозначим сферу радиуса 1/[К (при К > 0), евклидову плоскость (при К — 0) и плоскость Лобачевского с гауссовой кривизной К (при К < 0). Основной результат содержится в теореме 3.2.1.

Теорема (Теорема 3.2.1). Пусть Р С М — многоугольник, гомеоморф-ный замкнутому кругу, Р — внутренность Р, аг- - стороны Р. Если выполнено одно из следующих условий: u%{Q) + Ks (Q) < тг при К > 0, то существует отображение F: Р —> Sk, являющееся локальной квази изометрией с коэффициентом квазиизометрии.

Локальная квазиизомегприя означает выполнение неравенства.

F (y)-F (x), Г 2ч q < 1—-г^-р—— < q, для любых ж, у G В (а, oq), у — х где, а £Р, 5 = р (а, дР) — расстояние от, а до границы дР, |F (y) — F (x) — расстояние между F (y) и F (x) во внутренней метрике на Sk, у — х = р (х, у). lv+{Q) < ж при К < 0,.

Отметим связь данной задачи с теоремой о конусе Ю. Г. Решетняка [87], [77] (см. также [12]). Из других близких по теме работ отметим [46], и решение П. Л. Чебышевым картографической проблемы [51].

В параграфе 3 главы 4 изучаются общие римановы пространства. Ю. Г. Решетняком в 70-тых годах была поставлена проблема нахождения оценок отклонения риманового пространства от пространства постоянной кривизны, в которых использовалась бы интегральная норма кривизны. Данная проблема возникла в связи с общей программой построения обобщенных римановых пространств ограниченной интегральной кривизны. В теореме 3.3.1 указана оценка коэффициента локальной квазиизометрич-ности риманова пространства пространству Евклида, в которой используется интегральная норма кривизны [91]. При доказательстве использовалось интегральное представление для дифференциальных форм — следствие интегральных представлений Ю. Г. Решетняка.

Пусть 1п = {(.г1,., ж")? Л": 0 < < 1} - куб в п-мерном арифметическом евклидовом пространстве Яп, йв2 = т) ё, хг (1хЗ — риманова метрика на кубе Р. Будем предполагать, что д^{х) — функции класса С°°. Обозначим через га, М наилучшие константы, для которых выполняются неравенства.

Здесь Яф1 — тензор кривизны, л[д (1х — элемент объема риманова простран ства, р > 1.

Теорема (Теорема 3.3.1). Пусть р > п. Тогда существует гладкое ото т2ь2 < дфУ^ < М2М2, /х? Г, Уг- = (у1,.. , г/1)? Я п.

Положим.

1/р

— 23 бражение Р: 1п —"¦ К12 такое, что.

— 1.

М3 т1+р

С (п, р) В, р, € г., УУ е ТХ{Г), дг](х)ь1уэ}½ где С (п, р) — константа, зависящая только от п и р.

Имеется большое число работ, посвященных устойчивости топологии и метрики пространственных форм при изменении кривизны. Подробный обзор, сделанный Ю. Д. Бураго, можно найти в [120]. В этих работах отклонение тензора кривизны измерялось в равномерной чебышевской норме. В последующие годы появились другие варианты подобных оценок [73], [74]. Основное отличие теоремы 3.3.1 от этих результатов состоит в указании явных формул для оценок отклонения метрики от метрики постоянной кривизны, а также в более простом и прямолинейном методе доказательства, что позволяет надеяться на еще скрытые возможности этого метода.

Вопросы устойчивости метрики изучались многими авторами. В основном изучались общие римановы пространства [88], [39], [70], при этом, за редким исключением (см. [20], [81]), оценки имели качественный характер. Ограничение лишь конформно-плоскими метриками позволяет часто получать более точные оценки и более детальную информацию, которую иногда возможно перенести и на общие римановы пространства. В параграфе 4 главы 3 приведены некоторые оценки для конформно плоских-пространств, основанные на их представлении выпуклыми множествами в гиперболическом пространстве.

В главе 4 изучается нормальная и общая конформная связность Карта-на [24], [54], [3]. На ее основе в третьем параграфе определяется развертка кривой в псевдоевклидово пространство Минковского [105]. Исследуется поведение связности и развертки при поточечной конформной деформации метрики. Определяются конформно-плоские кривые (аналог окружностей в евклидовом пространстве).

В параграфе 4.4, на основе конформной развертки кривой, строится локальное отображение риманова пространства на конформно-плоское. Ука.

— 24 зываются оценки сверху коэффициента квазиконформности отображения через норму тензора Вейля и его дивергенции (теорема 4.4.1).

Теорема (Теорема 4.4.1). Пусть хо Е Мп — точка рильанова пространства {М, г/52}, В = В (хо, г) — шар с центром в точке и радиуса г (меньшего радиуса инъективности в точке хо). Тогда существует отображение X: х Е В —> г (х) Е С+ являющееся квазиизомегприей, т. е. такое, что.

1 — /i)||< \dz\ < (1 + /?)||d:c||, где величины ||5||, ЦИ^Ц, ||А|| находятся из формул.

5|| = max \S (u, w) |L \W\ = max \W (u, w)\,.

A = max \A (u te[o, i], u максимум берется на геодезической [x.xq], х Е В, и — единичный касательный вектор, w — произвольный единичный ортогональный к нему вектор.

Замечание. Для п — 3 тензор Вейля тождественно равен нулю, а тензор Схоутена есть конформный инвариант. Формула для рь примет вид ехр (3(1 + £"М|))-1 3(1 + L2||AJJ) '.

При п > 4 тензор Схоутена уже не является конформным инвариантом.

Замечание. Для п > 4 тензор Схоутена есть дивергенция тензора Вейля. Пространства, для которых тензор Схоутена тождественно равен нулю, называются пространствами с гармоническим тензором Вейля [Ц].

Теорема (Теорема 4.4.2). В условиях теоремы 4−4-1 определено отображение /: х Е В —> f (x) Е Sn с ограниченным искажением, причем для коэффициента квазиконформности f имеется оценка 1.

K (f)<

1 — /г'.

— 25 где ?1 — находится по указанной выше формуле.

Отметим в связи с этой теоремой тонкие результаты [81], [68], касающиеся дифференцируемое&tradeотображения римановых пространств, конформного в точке. На основе конформной развертки «окружностей» строится конформно-нормальная система координат (теорема 4.5.1), которая позволяет естественным образом выделить конформно-плоскую составляющую метрики. Конформно-плоская аппроксимация общих римановых метрик интересна тем, что позволяет «выделить» ту часть «геометрии», которая «контролируется «тензором Риччи. В теореме 4.6.1 дана другая, более геометричная, интерпретация конформной развертки кривой рима-нова пространства [107].

В главе 6 получены оценки коэффициента квазиконформности области евклидова пространства через кривизну квазигиперболической метрики этой области, что обобщает соответствующий результат Геринга о коэффициенте квазиконформности бесконечного цилиндра [34]. В данной главе приведены результаты работы [110].

Пусть В С Вп область в п — мерном арифметическом евклидовом пространстве Л", т. е. открытое связное множество. В области В определена липшицева функция р (х) = р (х, дВ), где р (х, дВ) — расстояние от точки х Е В до границы дВ. Рассмотрим в области В метрику, задаваемую элементом длины.

Метрики такого вида называются квазигиперболическими. Они находят многочисленные применения в анализе [33] - [35], [55], [117].

Пусть / Е С'2(В), х Е В,? Е В11 ~ единичный вектор. Одномерная секционная кривизна конформно-плоской метрики йв = в точке х в.

26 направлении вектора? равна.

Щ) = МIV/!2 где |V/] модуль градиента / в Вп, — вторая производная по направле^ нию? в Я11. Риманова кривизна двумерной площадки ?1 А ?2 равна.

Квазигиперболическая метрика в общем случае не принадлежит классу С2. Поэтому использовать указанную выше формулу для секционной кривизны непосредственно нельзя. О кривизне метрики можно говорить лишь в некотором обобщенном смысле (см. [5], [13]).

В данной главе определено, что означают в обобщенном смысле неравенства для одномерной секционной кривизны в случае, когда / - липшицева функция.

В терминах обобщенной одномерной секционной кривизны квазигиперболической метрики можно дать критерий выпуклости области В.

Теорема (Теорема 5.1.1). Для того, чтобы область Б была выпуклой, необходимо и достаточно, чтобы одномерная секционная кривизна удовлетворяла неравенству К{() < —½ (в обобщенном смысле).

Теорема 5.1.1 частично обобщается на случай <5-прикасаемого (5-обкатываемого) множества в Яп [83]. Обозначим через В (а, 5) С Вп открытый шар в Яп с центром в точке, а? В71 и радиуса 5 > 0, а через В[а, 5] - соответственно замкнутый шар.

Определение. Область В С Вп называется внешне 6-прикасаемой, если для любой точки х Е 'дБ существует шар В{а, 6) С ВпВ такой, что х е В[а, <5] П сШ.

— 27.

Теорема (Теорема 5.1.2). Пусть область В внешне 6-прикасаема, р (х) = р (х, дВ). Тогда на подмножестве В$ = {л:? В: р (х, дВ) < квазигиперболическая метрика илгеет неположительную одномерную секционную кривизну в обобщенном смысле, причем.

— 6 + р (х) 2.

Квазигиперболическая метрика не инвариантно связана с областью В при мебиусовых преобразованиях ТТ. В данной главе указана конструкция двух конформно-плоских метрик, которые зависят инвариантно от области В при мебиусовых преобразованиях Вп. Соответствующие конформно-плоские метрики ттгг в области В названы верхней и нижней квазиметлв (х) рикой Пуанкаре для области В (определение 5.1.2).

Теорема (Теорема 5.1.3). Функция Х^{х) принадлежит С¡-^ на множестве В. Конформно-плоская метрика Д''ч имеет обобщенную одномерную.

Ад (ж) секционную кривизну и Ш) < причем в каждой точке по крайне мере одна из главных одномерных секционных кривизн равна —½.

Теорема (Теорема 5.1.4). Функция Х^х) принадлежите^ на множестве В. Конформно-плоская лгетрика —Кимеет обобщенную одномерную.

Лп (Х) секционную кривизну и.

Щ)< 1.

Теорема (Теорема 5.1.5). Пусть при некотором мебиусовом преобразовании Яп область В становится выпуклым лтожеством. Тогда конформно-плоская метрика ттгг имеет в области В одномерную секционную кривизну, удовлетворяющую условию К (Л) < о.

Непосредственно вычислить кривизну квазиметрики Пуанкаре удается лишь для сравнительно простых областей. В пункте 5.7 выводится форму.

28 ла для кривизны каналовых областей — объединения однопараметрического семейства шаров.

Определение. Каналовой областью (К-областъю) в евклидовом пространстве назовем объединение однопараметрического семейства шаров: где {р1 Е: ? Е [а, 6]} - кривая, {гг > 0: ? Е [а,^]} - функция на кривой зованная длиной дуги з Е [0,?]- г (в) — положительная функция на кривой класса С2. Тогда максимальное значение одномерной секционной кривизны квазиметрики Пуанкаре К-области равно.

Здесь к (б) ~ кривизна кривой в точке я Е [0,1/].

Определение. Отображение /: Б —>¦ Яп называется отображением с ограниченным искажением /81]-[82'], если оно удовлетворяет следующим условиям:

1) отображение / непрерывно;

2) / принадлежит классу Ш11ос{Б), функция не меняет знака на множестве Б и существует число > 1 такое, что почти всюду в Б выполняется неравенство.

Наименьшее из чисел Ц, для которых это неравенство выполняется для почти всех х Е Б, обозначается символом или просто) и называется коэффициентом квазиконформности.

Теорема (Теорема 5.1.7). Пусть п > 2 и область В С Бп является объединением конечного числа К-обласгпей. Предположим, что одномерная.

В = и{В (рип)-Ае[а1Ъ]}1.

Теорема (Теорема 5.1.6). Пусть {р (з)} - кривая класса С2 параметри.

— 29 секционная кривизнаПуанкаре ds = Л 1 строго меньше л0[х).

½. т. е. sup К (£) = —6, 0<5<1. d v 7 2.

Тогда существует накрывающее отображение с ограниченным искажением.

Замечание. При п = 2 теорема верна для областей любого типа.

В главе 7 предложена общая схема исследования квазиомбилических поверхностей пространства постоянной кривизны.

Связь между конформно-плоскими метриками и квазиомбилическими поверхностями изучалась многими авторами, начиная с работ Э. Карта-на. В работе [114] в частности установлено, что квазиомбилическая поверхность в конформно-плоском пространстве имеет конформно-плоскую метрику. В работе [67] доказано обратное утверждение, если поверхность имеет конформно-плоскую метрику, то при п > 4 и р < min {4, п — 3} поверхность является квазиомбилической. При п < 3 возможны погружения конформно-плоской метрики не являющиеся квазиомбилическими поверхностями [118], [119].

В первом параграфе главы изложены результаты работы [103].

Теорема (Теорема 6.1.1). Пусть F С С+ пространственно подобная поверхность соответствующая конформно-плоской метрике, у которой квадратичная форма (1.5.14) имеет ровно (п — р)-кратное собственное значение (п — р > 2). Тогда F есть огибающая р-параметрического семейства поверхностей вида.

I (w)2 = 0.

I ( > = -1 где q пробегает поверхность Q в Мп+2 размерности р.

— 30.

Следствие. При р < п — 1 получаем необходимое условие погружаемости конформно-плоской метрики в виде квазиомбилической поверхности, именно, квадратичная форма (1.5.14) должна иметь собственное значение, А кратности (п — р) большее или равное числа /с/2.

Пусть йз2 — (1×2/р (х) — конформно плоская метрика на двумерной сфере 52, где /(.г) > 0, /? С2. Обозначим через ко — минимум гауссовой кривизны данной метрики <1з2. Тогда при к < ко из общих результатов А. Л. Александрова [4] следует существование изометричного вложения данной метрики в пространство постоянной кривизны к в виде выпуклой поверхности. При к ——оо в пределе получим изометричное вложение в изотропный конус пространс тва Минковского.

Цель пункта 6.2 — дать аналитическое описание этого предельного перехода [92].

Теорема (Теорема 6.2.1). Пусть в круге Б задана метрика с?52 = йг2 / р (г), где / Е р > 2. Тогда определены ряды р =^о + щ + А292 Н——, т = то + Аи>1 + А2и>2 + • ¦ •, равномерно сходящиеся в И 1р{Б) для достаточно малого значения параметра А. При этом функции /г = л/Х (р 4- 1/У% и = Zwp дают среднюю кривизну и девиатор второй квадратичной формы изометричного погружения метрики ¿-в2 в пространство Лобачевского кривизны (—1 /л/А).

Получившиеся аналитическое разложение по параметру, А может представить интерес при изучении жесткости погружения в зависимости от кривизны объемлящего пространства.

Автор благодарен своему научному консультанту и учителю профессору Ю. Г. Решетняку, оказавшему решающие влияние на выбор научных интересов, за постоянное внимание и поддержку.

1. Akivis М.А., Goldberg V.V. On geometry of hypersurfaces of a pseudoconformal space of Lorentzian signature// Journal of Geometry and Physics, 26 (1998), P. 112−126.

2. Akivis M.A., Goldberg V.V. A conformal differential invariant and the conformal rigity of hypersurfaces// Proceedings of the american mathematical society, 125, N 8. (1997), P. 2415−2424.

3. Akivis M.A., Konnov V. V. Sense local aspects of the theory of conformal structure// Russian Math. Surveys, 48 (1993), C. 3~40.

4. Александров А. Д. Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей.-М.: Гостехиздатп, 1948, 387 с.

5. Александров А. Д., Берестовский В. Н., Николаев И. Г. Обобщенные ри-мановы пространства// Успехи мат. наук. 1986. — 41, вып. 3 — С. 344.

6. Александров А. Д., Залгаллер В. А. Двумерные многообразия ограниченной кривизны// Тр. Матем. института им. В. А. Стеклова Т.63, Москва: 1962.

7. Александров А. Д. О поверхностях, представимых в виде разности выпуклых функций// Изв. АН КазССР Сер. математика и механика. -1949. вып. 3 С. 3−20.

8. Алъфорс Л. Преобразования Мебиуса в многомерном пространствеМ.: Мир, 1986, 112 с.- 216.

9. Альфорс Л. Лекции по квазиконформным отображениям.- М.: Наука, 1969, 134 с.

10. Arsove, MaynardHuber, Alfred,. Local behavior of subharmonic functions .//Indiana Univ. Math. J. 22, (1973), P. 1191−1199.

11. Asperti A.C., Dajczer M. Conformally fiat Riemannian manifolds as hypersurfaces of the light cone// Canad. Math. Bull. 1989. V. 32, N 3. P. 281−285.

12. Белинский С. П. Об одном отображении конуса на многогранник для плоскости Лобачевского// Сиб. мат. журн., 16 (1975), 2, С. 203−211.

13. Berestovskvj, V.N. Spaces with bounded curvature and distance geometry// Sib. Math. J., 27 (1986), pp. 8−19.

14. Besse A.L. Einstein Manifolds Erg. Math. Grenzgeb. 10, Berlm-Heidelberg-New York 1987,.

15. Blair D.E., Wilker J.B. When does inversion preserve convexity?// Kodai Math. .J., vol.6, (1983), no 2., P. 186−192.

16. Борисенко A.A. О многомерных параболических поверхностях в Евклидовом пространстве// Укр. геометр, сб., 25 (1982), С. 3−5.

17. Борисенко А. А. О цилиндрических многомерных поверхностях в пространстве Лобаческого// Укр. геометр, сб., 33 (1990), С. 18−27.

18. Брело М. Основы классической теории потенциала. М.: Мир, 1964> с.

19. Burago, Yu.- Grom. ov, М.- PereVman, G. A. D. Alexandrov spaces with curvature bounded below// Usp. Mat. Nauk, 47 (1992), № 2(284), C. 351.

20. Бурова H.A. Сравнение метрики выпуклой поверхности с метрикой сферы// Сиб. мат. журн., 23 (1982), по. 4, С. 166−172.

21. С art an Е. Lecous sur la Geometrie des Espaces de Riemann P.- Gauthier-Villars, (1928), 242 c.

22. Cartan E. Les espaces a connection conforme// Ann. Soc. Po. Math., 2 (1923), P. 171−221.

23. Картан Э. Теория конечных непрерывных групп и дифференциальная геометрия, изложенные методом подвижного репераИзд. Московского ун та, 1963, 363 с.

24. Картан Э. Пространства аффинной, проективной и конформной связности. Казань, Из-во Казанского университета, 1962, 224 с.

25. Кантор Б. Е., Франгулов С. А. Об изометричном погружении двумерных римановых многообразий в псевдоевклидово пространство// Мат. заметки .- 1984. Т.36, № 3. С. 447−455.

26. Alexander, Stephanie В.- Currier, Robert J. Non-negatively curved hypersurfaces of hyperbolic space and subharmonic functions// J. bond. Math. Soc., II. Ser. 41, No.2, 347−360 (1990).

27. Демьянов В. Ф., Рубинов A.M. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление, М.: Наука, 1990, 432 с.

28. Do Carmo Manfredo P., Dajczer Marcos, Mercuri Francesco Compact conformally flat hypersurfaces// Trans. Am. Math. Soc. 288, (1985) P. 189−203.

29. Дулов С. И. Дифференцируемость по направлениям функции расстояния// Магпем. сб., 186 (1995), по. 3, С. 29−52.

30. Дулов С. И. Субдифференцируемость и супердифференцируемость функции расстояния// Математические заметки, 61 (1997), по. 4, С. 530−542.

31. Essen, М., Наутап, W.K., Huber, A. Slowly growing subharmonic functions. I// Comment. Math. Helv., 52 (1977), P. 329−356.

32. Folland G.B. Weyl manifolds// J. Differ. Geom., 4 (1970), С. Ц5−153. 218.

33. Gehring F.W. and Palka P.P.Quasiconformally homogeneous// Journal D’Analyse Math’ernatique, vol.30, (1976), P. 172−199.

34. Gehring F.W. and Vaisala J. The coefficients of quasiconformality of domains in space// Acta Math. 1Ц, (1965), P .1−70.

35. Gehring, F. W.- Hag, K.- Martio, O. Quasihyperbolic geodesies in John domains// Math. Scand. 65, No. l, (1989) P. 75−92.

36. Гилбарг Д., Трудингер H. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядкаМ.: Высш. шк. 1989,463 с.

37. Голъдштейн В. М., Решетняк К).Г.

Введение

в теорию функций с обобщенными производными и квазиконформные отображения.- М.: Наука, 1983, 284 с.

38. Gray A., Vonhecke L. The volumes of tubes about curves in a Riemannian manifold// Proc. London Math. Soc., 44 (1982), no. 2. P. 215−243.

39. Грибков И. В. Многомерные задачи о корректности теоремы Шура// Математический сборник. Т. 120, (1983). № 3, С. 426−440.

40. Gribkov I. V. The multidimensional problem of the correctness of Schur’s theorem// Math. USSR, Sb. 48, 423−436 (1984).

41. Gribkov I. V. The problem of the correctness of Schur’s theorem// Math. USSR, Sb. 44, 471−481 (1983).

42. Gribkov I. V. The problem of the correctness of Schur’s theorem// Mat. Sb., Nov. Ser. 116(158), 527−538 (1981).

43. Gribkov I. V. The incorrectness of Schur’s theorem// Sov. Math., Dokl. 21, 922−925 (1980).

44. Griffiths P. On Cartan method of Lie groups and moving frames as applied to existence and uniqueness questions in differential geometry// Duke J. Math., 41 (1974), P. 775−814.

45. Gromov M., Lafontaine J., Pansu P. Structures metriques pour les vamtes Riemanniennes// Cedic/Fernand Nathan, Pans, 1981.

46. Гуревич В. Л. Устойчивость пространств постоянной кривизны// Дифференциальная геометрия пространств с фундаментальной группой. -Иркутск, 1986. С. 62−74.

47. Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функцииМ.: Мир, 1980,.

48. Негпопеп, JuhaRohde, Stejfen The Gehring-Hayman inequality for quasihyperbolic geodesies// Math. Proc. Camb. Philos. Soc. 1Ц, No.3, (1993), P. 393−405.

49. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производнымиМ.: Мир, 1986. -Т. 1: Теория распределений и анализ Фурье.

50. Herron, David A.- Koskela, Pekka Conformal capacity and the quasihyperbolic metric// Indiana Univ. Math., J. 45, No.2, (1996), P. 333−359.

51. Каган В. Ф. Основы теории поверхностей в тензорном изложении. Ч. 2. М.: Гостехиздат, 1948, 407 с.

52. Kim, Seong-AMinda, David The hyperbolic and quasihyperbolic metrics in convex regions// J. Anal. 1, (1993), P. 109−118.

53. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ, М.: Наука, 1988, 280 с.

54. Кобаяси Ш. Группы преобразований в дифференциальной геометрии, М. Наука, 1986, 224 с.

55. Kuiper N.H. On conformally-flat spaces in large// Ann. of Math. (2) 1949. V. 50. P. 916−924.

56. Kuiper N.H. On compact conformally Euclidean spaces of dimention ?2// Ann. of Math. (2) 1950. V. 52. P. 478−490.

57. Lancaster C.M., On conformally Euclideann space of class one. Doct. diss. Univ. Saskatchewan, (1967), 100p., Dissert. Abstrs. 1968, B28, № 10, 4202.

58. Ландкоф H.C. Основы современной теории потенциала. М.: Наука, 1966, 515 с.

59. Лелон Л., Груман Л. Целые функции многих комплексных переменныхМ.: Мир. 1989, 350 с.

60. Либ д., Лосс М. АнализНовосибирск: Научная книга, 1998, 257 с.

61. Martin, Gaven J. Quasiconformal and bi-Lipschitz homeomorphisms, uniform domains and the quasihyperbolic metric// Trans. Am. Math. Soc.292, (1985), P. 169−191.

62. Martin, Gaven J.- Osgood, Brad G. The quasihyperbolic metric and associated estimates on the hyperbolic metric// J. Anal. Math. 4*1, (1986), P. 37−53.

63. Martio, 0. F-harmonic measures, quasihyperbolic distance and Milloux’s problem// Ann. Acad. Set. Fenn., Ser. A I, Math. 12, (1987), P. 151−162.

64. Мазаев Е. Д., Один критерий квазиомбиличности// Сиб. мат. журн.-1983.-Т. 24, № 6, С. 87−95.

65. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производныхМ.: Высш. шк. 1977,.

66. Moor D., Conformally flat Riemannian submanifolds of codimension 4// «C. r. Aoud. sciv, AB287, (1978), no 8., A655-A657. 221.

67. Николаев И. Г., Шефелъ С. З. Дифференциальные свойства отображений конформных в точке// Сиб. мат. журн., 21 (1986), 1, С. 132-Ц2.

68. Николаев И. Г. О гладкости метрики пространств с двусторонне ограниченной по А. Д. Александрову кривизной// Сиб. мат. журн., 241 983), 2, С. 1Ц-132.

69. Nikolaev I.G. Stability problems in a theorem of F. Schur// Comment. Math. H eh. 70, No. 2, 210−234 (1995).

70. Nikolaev I. G. Notes on a theorem of Schur: generalization to metric spaces, stability preprint, MA XPL A NCRINS TITUT FUR MATHEMATIK, (1991), 54 p.

71. III. Кобаяси, К. Номидзу. Основы дифференциальной геометрии, Т.2, М. Наука, 1981.

72. Petersen P., Shteingold S. and, We% G. Comparison geometry with integral curvature bounds// Geom. Fund. Anal. 7 (1997), P. 1011−1030.

73. Petersen P., Sprouse C. Integral curvature bounds, distance estimates and applications//,/. Dtff. Geom. 50 (1998), P. 269−298.

74. Погорелое А. В. Внешняя геометрия выпуклых поверхностейM.: Наука, 1969, 759 с.

75. Ravmdra S.К. Curvature structures and conformai transformation// J. Diff. geometry 1969. -N4. P. 425−451.

76. Решетняк К).P. Об одном специальном отображении конуса в многообразие ограниченной кривизны// Сиб. мат. журн.-1962.-Т. 3, № 2,С. 256−272.

77. Решетняк Ю. Р. Нерастягивающие отображения в пространстве кривизны, не большей К// Сиб. мат. журн.-1968.-Т. 9, № 4, С. 918−927.

78. Решетняк Ю. Г. Двумерные многообразия ограниченной кривизны// Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Соврем, проблем, магпем. Фундам. направления. 1989. 70. С. 7−189.

79. Reshetnyak Yu.G. On the liffting of the non-regular patli in the bundle manifold and its applications// Siberian Math. jour., 16 (1975), no. 3, P. 588−598.

80. Решетняк Ю. Г. Теоремы устойчивости в геометрии и анализе. -Новосибирск: Издательство Института математики, 1996, 424 с.

81. Решетняк Ю. Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. -Новосибирск: Наука, 1982, 229 с.

82. Решетняк Ю. Г. Об одном обобщении выпуклых поверхностей// Математический сборник, Т.40(82). (1956), С. 381−398.

83. Решетняк Ю. Г. Исследование многообразий ограниченной кривизны посредством изотермических координат// Изв. Сиб. отд-ния Ан СССР.-1959.-Т. 10. С. 15−28.

84. Решетняк Ю. Г. Изотермические координаты на многообразиях ограниченной кривизны. I// Сиб. мат. журн.-1960.-Т. 1, № 1, С. 88−116.

85. Решетняк Ю. Г. Изотермические координаты на многообразиях ограниченной кривизны. II// Сиб. мат. журн.-1960.-Т. 1, № 2, С. 248−276.

86. Решетняк Ю. Г. Об одном специальном отображении конуса на многогранник// Матем. сбор. -1961.-Т. 53, М 1, С. 39−52.

87. Ruh Ernst A. Riemannian manifolds with bounded curvature ratio// J. Differ. Geom. Vol. 17, (1982), № 4. C. 643−653.

88. Славский В. В. Оценки снизу вариаций поверхности, близкой к заданной// Теория функций и ее приложения. Межвуз. сборник научных трудов. Издание КГУ, Кемерово, (1985), С. 68−72.

89. Славский В. В. Выпуклые множества пространства Лобачевского и конформно плоские метрики на сфере// Тезисы докладов Всесоюзной школы оптимального управления, геометрии и анализа Издание КГУ, Кемерово, 1986 г.

90. Славский В. В. Об устойчивости евклидовой структуры при малой интегральной кривизне// Сиб. матем. ж.-1986. -Т.27, № 5, С. 166−172.

91. Славский В. В. Конформно плоские метрики ограниченной кривизны на п-мерной сфере// Исследования по геометрии «в целом» и математическому анализу. Новосибирск: Наука, 1987, — Т.9. — С. 183−199.

92. Славский В. В. Конформно плоские метрики класса 2// Тезисы конференции молодых ученых Сибири и Дальнего востока, Издание ИГУ, Новосибирск, (1987), С. 76−79.

93. Славский В. В. Устойчивость двумерных многообразий постоянной кривизны// В кн: Всесоюзная конференции по геометрии «в целом», Новосибирск, 1987 г.

94. Славский В. В. Устойчивость в теореме Шура для конформноплос-ких метрик // Меж.вуз.сб. «Геометрия и топология однородных пространств» г. Барнаул, 1988. С. 86−91.

95. Славский В. В. Интегральные неравенства для конформно плоских метрик// Тезисы II конференции молодых ученых Сибири и Дальнего востока, Издание НГУ, Новосибирск, (1988), С. 123−125.

96. Славский В. В. Обобщенные конформно плоские метрики// В кн: 9 -всесоюзная геометрическая конференция, Кишинев, (1988), 386 с.

97. Славский В. В. Конформно плоские метрики неотрицательной кривизны// Сиб. мат. журн., 30 (1989), по. 5, С. 187−201.

98. Славский В. В. Дискретный аналог конформных преобразований// Третья сибирская школа по алгебре и анализу. Межвуз. сборник научных трудов. Иркутск, (1990), С. 27−31.

99. Slavskij V.V. On an inequality of Yu. G. Reshetnyak// Geometry of multidimensional spaces. Work collection. Barnaul: Izd. Altajskogo Univ. (1991). P. 72−81.

100. Славский В. В. Применение псевдоевклидовой геометрии при изучении римановых пространств// Тезисы докладов международной конференции ИНПРИМ-94, Новосибирск, 1994 г.

101. Slavskii V. V. Conformally flat metrics and the geometry of the pseudo-Euclidean space// Siberian Math, jour., 35 (1994), no¦ P. 674−682.

102. Славский В. В. Конформно плоская метрика опорная к римановой метрике в точке// Международная конференция по геометрии «в целом», Черкассы, (1995), С. 79−80.

103. Slavskii V. V. Conformai development of the curve on the Riemannian manifold in the Minkowski space// Sib. Math. Zh. 37, No.3, (1996), P. 591−613.

104. Славский В. В. Об одном свойстве ¿—обкатываемых областей в Rn// Вторая Сибирская геометрическая конференция, (1996), С. 75−76.

105. Slavskii V.V. On a theorem of Fermi// Commentat. Math. Univ. Carol. 37, N0.4, (1996). P. 867−872.

106. Славский В. В. Представление конформно-плоской метрики с помощью опорных функций в пространстве Лобачевского// В кн: Второй Сибирский Конгресс по Прикладной и Индустриальной Математике (ИНПРИМ-96), Новосибирск, 1996 г. 107с.

107. Slavskii V.V. Local stability of two-dimensional manifolds of constant curvature in the class of manifolds of bounded curvature// Sib. Mat. Zh. 38, N0.4, (1997), P. 892−896.

108. Slavskii V. V. Конформно плоские липшицевы метрики// International Conference Dedicated to the 90th Anniversary of L.S.Pontryagin (1998), 126c.

109. Славский В. В. Оценка коэффициента квазиконформности области через кривизну квазигиперболической метрики// Сиб. матем. ж.-1999. -Т.40, № 4. С. 947−965.

110. Садулаев А. Нлюрисубгармонические функции// Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Соврем, проблелг. матем. Фундам. направления. 8 (1985), С. 65−111.

111. Сантало Л. Интегральная геометрия и геометрические вероятности. -М.: Наука, 1983, 360 с.

112. Дж. Шварц. Дифференциальная геометрия и топология. -М. Мир, 1910.

113. Sen R.N., Conformally Euclideann space of class one// Indian J.Math., vol.6, (1964), no 2., P. 93−103.

114. Шефелъ С. З. О двух классах fc-мерных поверхностей в п-мерном евклидовом пространстве// Сиб. матем. ж.-1969. -Т.10, № 2, С. 459 467.

115. Стернберг А. Лекции по дифференциальной геометрии. -Москва: Мир, 1970, 410 с.

116. Троценко Д. А. Свойства областей с негладкой границей // Сиб. мат. журн., 22 (1981), по. 4, С. 221−224.

117. Вильяме М., Об изотермических подмногообразиях в конформно-плоском пространстве// Изв. АН ЭССР Физ. Мат., (1987), Т. 36, № 3., С. 189−203. 226.

118. Вильяме М., Конформно евклидовы гиперповерхности с тремя различными главными кривизнами в Е4// Изв. АН ЭССР Физ. Мат., 1986), Т. 35, № 4. С. 357−366.

119. Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны. -М.: Наука, 1982, 480 с.

120. А. Wald. Begrundung einer koordinatenlosen Differentialgeometrie der Flachen// Ergebnissse eines mathematischen Kolloquium. s 7 (1935), pp. 24−46.

121. Wang C.P. Moebius geometry of submanifolds in Sn// Manuseripta math., 96, (1998), P. 517−534.

122. Уэрмер Дж. Теория потенциала. -М.: Мир, 1980, 134 с.

123. Weyl Н. Gravitation und Elektrizitat// S. В. Preuss. Akad. Wiss. Berlin, 1918, e. 465−480.

124. Xiao, Jia Bergman, quasihyperbolic metrics and Bloch-kernel functions of bounded domains// Nat. Sei. J. Huaihua Teach. Coll. 8, No. l, (1989), P. 12−20.