Реализация связностей с различными размерностями базы и слоя на оснащенных подмногообразиях проективного пространства

Проблема реализации неметрических связностей, ее становление и развитие.

С появлением в 1827 году мемуаров Гаусса «Disquisiones generales circa superficies curvas» («Общие исследования о кривых поверхностях») возникло понятие о внутренней геометрии поверхности. Выяснилось, что длины, углы и площади на поверхности выражаются только через коэффициенты первой квадратичной формы. Выдающимся достижением Гаусса явилось доказательство того факта, что полная кривизна поверхности выражается через коэффициенты первой квадратичной формы и их производные первого и второго порядка. При дальнейшем изучении геометрии, индуцируемой на поверхностях трехмерного евклидова пространства, обнаружилось, что поверхность изометрична двумерному евклидову пространству только в том случае, когда ее полная кривизна равна нулю. А так как для огромного числа поверхностей кривизна отлична от нуля и даже не является величиной постоянной, то геометрия этих поверхностей не является евклидовой. Тот факт, что неевклидовы геометрии существуют и даже допускают реализацию на поверхностях трехмерного евклидова пространства, впервые заметил Б.Риман. Он был первым, кто отчетливо понял, что на поверхностях 3-мерного евклидова пространства реализуется необычайное многообразие различных геометрий. Риман стал изучать всевозможные пространства любого числа измерений, в которых геометрия определяется заданием дифференциальной квадратичной формы или, говоря по-другому, заданием поля метрического тензора. Основы теории таких пространств Б. Риман изложил в знаменитой лекции «Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen» («O гипотезах, лежащих в основании геометрии»), опубликованной в 1868 году уже после его смерти. В том же 1868 году были опубликованы мемуары Э. Бельтрами «Saggio di interpretazione della geometria non-euclidea» («Опыт интерпретации неевклидовой геометрии»), в котором было доказано, что геометрия 2-мерного пространства Лобачевского реализуется на поверхности 3-мерного евклидова пространства, а именно, на псевдосфере. Этим Бельтрами доказал существование геометрии Лобачевского и, по сути, решил задачу погружения 2-мерного пространства Лобачевского в 3-мерное евклидово пространство. В 1871 г. Л. Шлефли [1] поставил задачу реализации геометрии произвольного риманова пространства на поверхности многомерного евклидова пространства и сформулировал теорему о том, что любое «-мерное риманово пространство локально реализуемо на «-мерной поверхности евклидова пространства размерности п (п+1)/2. Однако, доказательство этой теоремы, предложенное самим Шлефли, было не вполне корректным. Строгое доказательство дал М. Жане [2] в 1926 г. В 1927 г. Э. Картан [3] представил изящное доказательство теоремы Шлефли, применив созданную им теорию систем уравнений Пфаффа в инволюции и установил произвол решения.

Вплоть до начала XX столетия изучение римановой геометрии и геометрии неметрических пространств шло независимо друг от друга. Возможность единого подхода ко всем как к метрическим, так и к неметрическим пространствам возникла только в 20-х годах XX века, когда стало ясно, что эти пространства можно рассматривать как частные случаи расслоенных многообразий, на которых задана дифференциально-геометрическая связность. Как это не парадоксально, определение расслоенного пространства появилось позднее — во второй половине 30-х годов 20-го века. До этого понятие расслоения воспринималось интуитивно. Общее определение связности в расслоенном пространстве дал Эресман [4] в 40-х годах прошлого века.

Первоначально в 1917 году Леви-Чивита [5] ввел понятие параллельного переноса векторов в римановом пространстве. Он показал, что параллельный перенос на многообразии определяется объектом, компоненты которого выражаются через компоненты метрического тензора и их производные. Затем в 1918 году Г. Вейль [6] стал изучать пространства, в которых отсутствует метрика, но параллельное перенесение определено посредством задания компонент объекта параллельного перенесения, заданного произвольно. Такое пространство было названо Г. Вейлем пространством аффинной связности. В 1922 году Э. Картан в пяти заметках в парижских «Comptes Rendus» обобщил и уточнил понятие пространства аффинной связности, и одновременно ввел понятие пространства конформной связности. Основы теории пространств аффинной и конформной связности были им развиты и подробно изложены в 1923;1925 годах [7, 8]. В 1924 году Картан [9] ввел понятие пространства проективной связности. Картан [10] также предложил конструкцию, с помощью которой на w-мерной поверхности Ът и-мерного проективного пространства возникает проективная связность. Для этого каждой точке M поверхности Ът сопоставлялась (и-ш-1)-мерная плоскость S"OTj (M), не пересекающаяся с касательной плоскостью TW (M) к поверхности в этой точке. Такое оснащение индуцирует на поверхности (или, говоря точнее, в расслоении касательных реперов) проективную связность. В 1937 г. С. С. Черн [11] сформулировал проблему о возможности погружения проективной связности Ртп с и-мерной базой и я-мерными слоями в проективное пространство размерности N в случае, если N>(n2+2n-l)/2. Однако доказательства этой теоремы Черн не представил. Г. Ф. Лаптев [12] в 1941 г. предложил оснащение, которое индуцирует аффинную связность без кручения на «-мерной поверхности N-мерного аффинного пространства, а именно, каждой точке M /з-мерной поверхности сопоставляется (Ы-и)-мерная плоскость, проходящая через эту точку, и не имеющая с касательной плоскостью ТИ (М) других общих точек. Г. Ф. Лаптев решил задачу погружения пространства аффинной связности Ап, п с «-мерной базой и «-мерными слоями без кручения в N-мерное аффинное пространство, если 1М>(«2+2"-1)/2. Задачей погружения аффинной связности Апт с кручением занимался О. Гальвани [13], который в 1946 г. доказал, что погружение возможно при ТЧ>"2. В 1960 г. А. К. Рыбников [14], значительно уточнил оценку, полученную Гальвани, показав, что погружение возможно при Ы>(п2+4п-4)/2 в случае четного п и при Ы>(п2+Зп-2)/2 в случае нечетного п. А. П. Норден [15] построил оснащение т-мерной поверхности Ът «-мерного проективного пространства, при задании которого на поверхности индуцируется аффинная связность без кручения. При таком оснащении каждой точке М поверхности Ът сопоставлены две плоскости:

1) («-ш)-мерная плоскость проходящая через точку М, и не имеющая с касательной плоскостью Тт (М) других общих точек (нормаль первого рода в смысле Нордена);

2) (т-1)-мерная плоскость Т^^М), лежащая в касательной плоскости и не проходящая через точку М (нормаль второго рода в смысле Нордена).

В вышеупомянутых работах, опубликованных в период с 1937 г. по 1960 г. рассматривались задачи реализации связностей в расслоениях с одинаковыми размерностями базы и слоя. Начало изучению геометрии расслоенных пространств с различными размерностями базы и слоя было положено работами Г. Ф. Лаптева и Н. М. Остиану [16, 17], опубликованными в 1971 г. Они рассматривали распределение т-мерных линейных элементов, то есть поле т-мерных подпространств, расположенных в «-мерных слоях расслоения проективной структуры над «-мерной базой. Появилась возможность рассматривать связности в таких расслоениях. Задача погружения пространства проективной связности с различными размерностями базы и слоя была поставлена и решена С. И. Соколовской [18, 19, 20]. Ниже, при изложении содержания, мы будем говорить об этом подробнее.

Научная новизна. С появлением работы Л. Шлефли [1] стало ясно, что решение проблемы реализации является одним из основных направлений геометрических исследований. В настоящей работе впервые ставится и решается задача реализации связностей с различными размерностями базы и слоя.

Цель диссертационной работы состоит в решении задач погружения связностей с различными размерностями базы и слоя в проективное пространство.

Основными задачами нашего исследования являются следующие:

1. Описать главные расслоенные пространства с различными размерностями базы и слоя, возникающие в главных расслоенных пространствах проективной структуры с одинаковыми размерностями базы и слоя, и ввести связности в них.

2. Определить связность Бортолотти, как связность в главном расслоенном пространстве с различными размерностями базы и слоя.

3. Предъявить конструкции описанных связностей на многообразиях проективного пространства.

4. Поставить и решить задачи погружения описанных связностей в проективное пространство. Предъявить оценки размерностей объемлющих проективных пространств, в которые можно погрузить каждую из рассматриваемых связностей.

Основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Выделим главные:

1. В диссертации введено новое понятие — понятие связности, заданной в расслоении с различными размерностями базы и слоя. На многообразии Мп как на базе, при задании на нем поля га-мерных центропроективных плоскостей в касательном расслоении к этому многообразию (центр каждой т-мерной плоскости совпадает с точкой многообразия), возникает структура главного расслоенного пространства Р{Мп, Р01т), слоем которого над элементом базы (точкой многообразия Мп) является совокупность проективных т-реперов, расположенных в соответствующей т-мерной плоскости распределения. Связность в Р (Мп, Р01т) введена путем задания объекта связности, компоненты которого удовлетворяют определенным дифференциальным уравнениям. Выделены частные случаи такой связности: связность с полукручением и связность без кручения.

2. Построено оснащение поверхности проективного пространства, реализующее проективную связность с полукручением с различными размерностями базы и слоя на поверхности проективного пространства.

3. Доказано, что всякое пространство проективной связности с полукручением (или без кручения) с^{-мерной} базой и ш-мерными слоями, касательными к базе, можно погрузить в Ы-мерное проективное пространство в случае, когда N > п+т (п-т/2+112). Для случая п—т+1 оценку размерности проективного пространства удалось уточнить, а именно, доказано, что проективную связность с (т+1)-мерной базой и м-мерными слоями без кручения (или с полукручением) можно погрузить в проективное пространство Ри размерности.

2 / т /2 + 2 т +1, т = 2 кт/2 +2т + %, т = 2к-1, кеМ.

4. Показано, что при задании в главном расслоенном пространстве проективной структуры общего типа (когда слои не являются касательными к базе) т-мерных подпространств, расположенных в слоях данного расслоения общего типа, можно ввести структуру главного расслоенного пространства с различными размерностями базы и слоя (размерность слоя меньше размерности базы), в котором путем задания объекта связности, компоненты которого удовлетворяют определенным дифференциальным уравнениям, вводится связность.

5. Доказано, что всякое пространство проективной связности с кручением с я-мерной базой и щ-мерными слоями можно погрузить в N-мерное проективное пространство, если размерность Ы>и+[/г/2](т+2)-1.

6. Введено понятие обобщенной связности Бортолотти как связности в главном расслоенном пространстве с различными размерностями базы и слоя. Выделены частные случаи обобщенной связности Бортолотти: связность Бортолотти и связность Бортолотти в собственном смысле.

7. Предъявлена конструкция, реализующая связность Бортолотти на многообразии проективного пространства.

8. Поставлена и решена задача погружения связности Бортолотти в проективное пространство. Доказано, что всякую связность Бортолотти, заданную в главном расслоенном пространстве, можно погрузить в N-мерное проективное пространство, если N > тп (п-т+)+т (-т)12.

Работа выполнена методом внешних форм Э.КартанаГ.Ф.Лаптева. При исследовании систем дифференциальных уравнений на совместность используется метод Кэлера высечения интегральных элементов [27].

Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в научных исследованиях и при чтении специальных курсов в области дифференциальной геометрии.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Научно-исследовательском семинаре по классической дифференциальной геометрии МГУ им. М. В. Ломоносова под руководством доктора физико-математических наук, профессора Л. Е. Евтушикана Научно-исследовательском семинаре по геометрии в целом МГУ им. М. В. Ломоносова под руководством с.н.с.

Э.Р.Розендорна и профессора И. Х. Сабитована конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Р. Калапсо (июнь 2001 г., Москва) — на конференции «Differential Geometry Colloquium of Renato Calapso» (ноябрь 2001 г., Италия, Мессина).

Основное содержание диссертации отражено в 3 публикациях [18].

20].

Диссертация состоит из введения, 10 параграфов, разделенных на 3 главы, рисунков, таблицы, отражающей конструкцию матрицы, и списка литературы. Она изложена на 105 страницах машинописного текста.

Список литературы

содержит 29 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

1. Schlaefli L. Nota alla Memoria del sig. Beltrami, «Sugli spazii di curvatura costante'7/Агш. di Mat. Рига ed Appl.(2).-1871 .-5.-C.178−193.

2. Janet M. Sur la possibilite de plonger un espace riemannien donne dans un espace euclidien//Ann. Soc. PoL Math.-1926;5.-P.38−43.

3. Cartan E. Sur la possibilite de plonger un espace riemannien donne dans un espace euclidien//Ann. Soc. Polon. Math.-1927.-6, — P. l-7.

4. Ehresmann C. Les connections infinitesimales dans un espace fibre differentiable//Collque de Topologie.-Bruxelles, 1950.-P.29−55.

5. Levi-Civita T. Nozione di parallelismo in varieta qualunque e consequente specificazione geometrica delia curvatura Riemanniana//Rend. Cire. mat. Palermo.-1917.-42.С,-173−205.

6. Weyl H. Raum, Zeit, Materie.-Berlin-1918.

7. Cartan E. Les espaces a connexion conforme//Ann. Soc. Pol. math.-1923.-2.-P.171−221.

8. Cartan E. Sur les varietes a connexion affine et la theorie de la relativite generalisee//Arm. Scient. Ecole Norm. Super.(3), 1923.-40.-P.325−412- 1924.-41.-P.1−25- 1925.-42.-P. 17−88.

9. Cartan E. Sur les varietes a connexion projective//Bull. Soc. Math. France,-1924.-52.C.205−421.

10. Cartan E. Les espaces a connexion projective//Tp. Семинара по векторному и тензорному анализу. МГУ. M., 1937.-4.-С. 147−159.

11. Chern Shing-Shen. Sur la possibilite de plonger un espace a connexion projective donne dans un espace projectif// Bull. Sci. Math.-1937.-61.-11.-C.234−243.

12. Лаптев Г. Ф. О внутренних геометриях многообразий, вмещенных в многомерное аффинное пространство. Канд. Дис.-М,-1941.

13. Galvani О. La realisation des connexions ponctuelles affines at la geometrie des groupes de Lie//J. Math. Pures et Appl.-1946.-25.-C.209−239.

14. Рыбников A.K. О погружении пространства аффинной связности с кручением в аффинное пространство//Вестн. Моск. ун-та. Мат, мех-1960.-1.-С.З-15 (РЖМат, 1961, 5А476).

15. Норден А. П. Аффинная связность на поверхности проективного пространства.//Мат. С6.-1947.-20.-2,263−281.

16. Лаптев Г. Ф., Остиану Н. М. Распределения /и-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности.1//Тр. геометр, семинара. ВИНИТИ АН СССР. 1971, — 3, — С.49−94.

17. Остиану Н. М. Распределение /w-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. П// Тр. геометр, семинара. ВИНИТИ АН СССР. -1971.-3.-С.95−114.

18. Соколовская С. И. О погружении проективной связности без кручения в проективное пространство.//Дифф. геометр, многообразий фигур. -1992.-ВЫП. 23.-С.88−94.

19. Соколовская С. И. О погружении пространства проективной связности с различными размерностями базы и слоя в проективное пространство.//Известия вузов. Математика. -1992. -10. -С.47−53.

20. Соколовская С. И. О связностях, индуцируемых на поверхностях проективного пространства оснащением Бортолотти. //Фундаментальная и прикладная математика. -2001. том 7. № 2. -С.621−625.

21. Speranza F. Determinazione di connessioni prospettive//Boll. Unione Mat. Ital.(3).-1963.-18.-2.-C. 101−107.

22. Близникас В. И. Некоторые вопросы геометрии гиперкомплексов прямых//Тр. геометр. Семинара// Ин-т научн. и техн инф. АН СССР,-1974.-6.-С.43−111(РЖМат, 1975ДА715).

23. Лумисте Ю. Г. Индуцированные связности в погруженных проективных и аффинных расслоениях//Уч. зап. Тартуск. гос. ун-та.-1965.-177.-С.6−42.

24. Bortolotti Е. Connessioni nelle varieta luogo di spaziapplicazione alia geometria metrica differenziale delle congruente di rette//Rend Semin. Fac. Sei. Univ. Cagliari,-1933.-3.-C.81−89.

25. Столяров A.B. Двойственные линейные связности на оснащенных многообразиях пространства проективной связности.//Проблемы геометрии. ВИНИТИ, — 1977.-8.-С.25−46(РЖМат, 1978,1А657).

26. Лаптев Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии.// Тр. геометр, семинара. ВИНИТИ АН СССР.-1966. 1.-С.139−189 (РЖМат, 1967, 6А382).

27. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии//ГИТТЛ, 1948.

28. Лаптев Г. Ф. Структурные уравнения главного расслоенного многообразия.// Тр. геометр. Семинара. ВИНИТИ АН СССР, — 1969. 2.-С.161−178.

29. Иванов В. Г. Пространства с обобщенным параллелизмом. Геометрия погруженных многообразий// Сб. тр.-М, 1978.-С.47−54 (РЖМат, 1979ДА724).