Геометрия многообразий Кенмоцу и их обобщений

Многообразия, которым посвящена настоящая работа, принадлежат классу многообразий, наделенных почти контактной метрической структурой. Теория почти контактных метрических структур занимает важное место в современных дифференциально-геометрических исследованиях и является естественным обобщением так называемой контактной геометрии, имеющей многочисленные приложения в современной математической физике, например, в классической механике и теории геометрического квантования, теории супергравитации Калуцы-Клейна. Кроме того, интерес к теории почти контактных метрических структур объясняется богатством внутреннего содержания самой теории и ее взаимосвязями с другими разделами дифференциальной геометрии, в частности, с теорией гиперповерхностей риманова многообразия.

Уже более сорока лет почти контактные многообразия являются предметом интенсивного исследования ученых-геометров. Изучение этого типа многообразий с точки зрения их дифференциально-геометрических структур началось с появлением основополагающих работ Чженя [20], Дж. Грея [24], Сасаки [33]. В 1953 году Чжень обнаружил, что контактное многообразие допускает G-структуру со структурной группой {e}xU (n). Многообразия, допускающие такую структуру, Дж. Грей назвал почти контактными многообразиями. Сасаки заметил [33], что такая G-структура порождает тройку {Ф,?, т|}, где Ф — тензор типа (1,1), называемый структурным оператором, % -вектор, г) — ковектор, называемые структурным вектором и ковектором соответственно. Эта тройка обладает свойствами: из которых легко вывести, что Ф (£,)=0 и т| оф=0. Кроме того, исходя из произвольной римановой метрики Н на таком многообразии, он построил риманову метрику <�Х, У)=Н (ФХ, Ф?)=Н (Ф2Х, Ф2У)+г|(Х)г|(У), дополняющую {Ф?, г|} до почти контактной метрической структуры [33].

Почти контактные метрические структуры тесно связаны с почти эрмитовыми структурами. Например, если (M, 0,^, ri, g) — почти контактное метрическое многообразие, то на многообразии MxR канонически индуцируется почти эрмитова структура [20]. Если эта почти эрмитова структура интегрируема, то исходная почти контактная метрическая структура называется нормальной. Нормальная контактная метрическая структура называется сасакие-вой структурой [20]. Основные классы почти контактных метрических структур приведены в работе В. Ф. Кириченко [9]. Так, например, наиболее интересными из них с точки зрения дальнейшего изложения являются косимплек-тические структуры, характеризующиеся тождествами УФ=Уг|=0, а также точнейше косимплектические структуры, которые определяются тождествами Ух (Ф)Х=0 и dr)=0. Основной поток многочисленных исследований почти контактных метрических структур [16] связан с сасакиевыми структурами, которые можно охарактеризовать тождеством: Ух (Ф)У=<�Х, У)^-г|(У)ХХ, УеДМ).

Сасакиевы и косимплектические структуры являются своеобразными аналогами келеровых структур в эрмитовой геометрии. Такие структуры индуцируются, например, на вполне омбилических и, соответственно, вполне геодезических гиперповерхностях келеровых многообразий [20], [22].

В 1972 году в работе [26] был введен в рассмотрение класс почти контактных метрических структур, названных в дальнейшем структурами Кен-моцу. Они характеризуются тождеством х (Ф)У=(ФХ, У)^-г|(У)ФХХ, УеДМ), формально похожим на определяющее тождество сасакиевых структур. Но, оказывается, свойства этих структур являются в определенном смысле полярными свойствам сасакиевых структур. Они обладают рядом замечательных свойств. Например, они нормальны и интегрируемы, но не являются контактными, а значит, и сасакиевыми [26]. Структуры Кенмоцу, например, естественно возникают в классификации Танно связных почти контактных метрических многообразий, чья группа автоморфизмов имеет максимальную размерность [36]. Известны примеры структур Кенмоцу на нечетномерных пространствах Лобачевского кривизны (-1). Такие структуры получаются с помощью конструкции перекошенного (warped) произведения CnxfR в смысле Бишопа и О’Нейла [17] комплексного евклидова пространства и вещественной прямой, где f (t)=cel [26], с — ненулевая постоянная.

Кенмоцу доказал [26], что всякое конформно-плоское многообразие Кенмоцу, а также всякое локально симметрическое многообразие Кенмоцу имеет постоянную кривизну (-1) и локально эквивалентно произведению CnxfR в смысле Бишопа и О’Нейла. В работе [26] изучается также постоянство Ф-голоморфной секционной кривизны многообразий рассматриваемого типа, доказана одна из основных теорем: многообразие Кенмоцу постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны является пространством постоянной отрицательной кривизны (-1). Также Кенмоцу указал свойства г-эйнштейновых и эйнштейновых многообразий Кенмоцу, изучал инвариантные подмногообразия и их локальное строение.

Позднее Синха и Шриваштава [34], [35] изучали многообразия Кенмоцу постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны. В их работах указываются свойства тензора Риччи и тензора проективной кривизны таких многообразий, изучаются так называемые полуинвариантные подмногообразия многообразий Кенмоцу.

Кобаяши Минору в работе [28] определяет и исследует свойства контактных нормальных подмногообразий и контактных родовых нормальных подмногообразий в многообразиях Кенмоцу.

В.Ф. Кириченко в работе [10] дает исчерпывающее описание рассматриваемых нами многообразий. В частности, здесь исследуется локальное строение многообразий Кенмоцу. Остановимся подробнее на результатах этой работы. Автор доказал, что если произвести определенное локально конформное преобразование, а структуры Кенмоцу, то преобразованная почти контактная метрическая структура будет являться косимплектической. И обратно, если произвести определенное локально конформное преобразование р косимплектической структуры, то преобразованная почти контактная метрическая структура будет характеризоваться тождеством, определяющим структуру Кенмоцу. Построенное преобразование, а (и обратное к нему преобразование р) является конциркулярным и называется каноническим кон-циркулярным преобразованием структуры Кенмоцу. Таким образом, класс многообразий Кенмоцу совпадает с классом почти контактных метрических многообразий, получаемых из косимплектических многообразий каноническим конциркулярным преобразованием косимплектической структуры. Также в этой работе доказывается, что многообразие Кенмоцу является пространством постоянной кривизны (-1) тогда и только тогда, когда оно канонически конциркулярно многообразию CnxR, снабженному канонической косимплектической структурой. Не существует многообразий Кенмоцу постоянной кривизны, отличной от (-1). Получена полная классификация многообразий Кенмоцу точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны. А именно, доказана следующая теорема: Многообразие Кенмоцу M2n+1 является многообразием точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны тогда и только тогда, когда оно канонически конциркулярно одному из следующих многообразий: 1) CPnxR- 2) CnxR- 3) CH" xR, снабженных канонической косимплектической структурой. При этом оно является многообразием глобально постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны тогда и только тогда, когда оно является многообразием постоянной кривизны (-1), то есть только во втором случае.

Из приведенного обзора видно, что многообразия Кенмоцу представляют интерес с точки зрения дифференциальной геометрии. Настоящая работа посвящена дальнейшему изучению свойств этик многообразий, а также исследованию естественного обобщения многообразий данного типа — так называемых обобщенных многообразий Кенмоцу.

Цель диссертационной работы состоит в изучении геометрии многообразий Кенмоцу и их обобщений.

Основными задачами нашего исследования являются следующие:

1. Получить структурные уравнения многообразий Кенмоцу и на их основе вычислить выражения классических тензоров этих многообразий в А-репере.

2. Исследовать геометрический смысл обращения в нуль основных конформных инвариантов многообразий Кенмоцу.

3. Изучить геометрию обобщенных многообразий Кенмоцу, выделить их частные случаи (так называемые специальные обобщенные многообразия Кенмоцу) и исследовать их свойства.

Основные результаты, полученные в диссертации являются новыми. Выделим основные из них:

1. Изучен геометрический смысл основных конформных инвариантов многообразий Кенмоцу. Доказано, что для многообразий Кенмоцу размерности больше 3 конформно-инвариантными являются свойства эйнштейновости, либо г|-эйнштейновости этих многообразий.

2. Получен критерий точечного постоянства Ф-голоморфной секционной кривизны обобщенных многообразий Кенмоцу. Доказано, что обобщенное многообразие Кенмоцу является многообразием постоянной кривизны тогда и только тогда, когда оно является многообразием Кенмоцу постоянной кривизны (-1).

3. Выделены два класса обобщенных многообразий Кенмоцу, так называемых специальных обобщенных многообразий Кенмоцу I и II рода.

4. Получены критерии точечного постоянства Ф-голоморфной секционной кривизны специальных обобщенных многообразий Кенмоцу, а также критерий глобального постоянства Ф-голоморфной секционной кривизны многообразий этого типа.

5. Исследованы свойства кривизны специальных обобщенных многообразий Кенмоцу II рода, в частности, свойства С-паракелеровых специальных обобщенных многообразий Кенмоцу II родадоказано, что многообразия этого типа являются многообразиями класса RK.

6. Изучено локальное строение специальных обобщенных многообразий Кенмоцу II рода. Получена классификация специальных обобщенных многообразий Кенмоцу II рода точечнопостоянной Ф-голоморфной секционной кривизны.

Результаты работы получены систематическим использованием метода присоединенных G-структур в сочетании с методом инвариантного исчисления Кошуля [30], [3].

Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения геометрии многообразий Кенмоцу и их обобщений.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре по дифференциальной геометрии МПГУ под руководством доктора физико-математических наук, профессора В. Ф. Кириченкона X Международной конференции «Математика. Экономика. Образование.», проходившей в г. Ростов-на-Дону с 27 мая по 2 июня 2002 г.

Основное содержание диссертации отражено в 5 публикациях [38]-[42]. Диссертация состоит из введения, 5 глав, включающих 14 параграфов, и списка литературы. Она изложена на 87 страницах машинописного текста.

Список литературы

содержит 42 наименования работ отечественных и зарубежных авторов.

1. Бессе А. Многообразия Эйнштейна. М.: Мир, 1990. — 704 с.

2. Бишоп Р., Криттенден Р. Геометрия многообразий. М.: Мир, 1967.

3. Громол Д., Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом. М.: Мир, 1970.

4. Картан Э. Риманова геометрия в ортогональном репере. М.: Изд-во МГУ, 1960. — 94 с.

5. Кириченко В. Ф. Дифференциальная геометрия К-пространств // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. Т.8. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1977,139−161.

6. Кириченко В. Ф. Дифференциально-геометрические структуры: Учеб. пособие. 4.1. Тверь: Твер. гос. ун-т, 2001. 142 с.

7. Кириченко В. Ф. Дифференциально-геометрические структуры: Учеб. пособие. 4.2. Тверь: Твер. гос. ун-т, 2001. 110 с.

8. Кириченко В. Ф. К-пространства постоянного типа с индефинитной метрикой// Мат. заметки, т.25, № 2,1981,265~2?8.

9. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т.2. М.: Наука, 1981.-416 с.

10. Лихнерович А. Теория связностей в целом и группы голономии. М.: Платон, 1997.-216 с.

11. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Гос. изд-во технико-теоретич. литературы, 1953, — 635 с.

12. Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. М.: Мир, 1976.

13. Широков А. П. Структуры на дифференцируемых многообразиях // Итоги науки и техники. Алгебра, Топология, Геометрия, М.: ВИНИТИ АН СССР, 1974, № 11, 153−207.

14. Bishop R.L., O’Neill В. Manifolds of negative curvature // Trans. Amer. Math. Soc., 145, 1969, 1−50.

15. Blair D.E. Contact manifolds in Riemannian geometry // Lect. Notes Math., 1976,509.-146.

16. Blair D.E., Showers D.K. Almost contact manifolds with killing structure tensors. II. //J. Different. Geom., 1974, 9, № 4, 577−582.

17. Chern S.-S, Pseudo-groupes continus infinis // Colloq. Internat. Centre nat. Rech. scient. 52, Strasbourg, 1953, Paris, 1953, 119−136.

18. Chinea D., Marrero J.C. Conformal changes of almost cosymplectic manifolds // Demonstratio Mathematica, v. XXV, № 3, 1992, 641−656.

19. Goldberg S., Yano K. Integrability of almost cosymplectic structures // Pacif. J. Math., 1969, 31, № 2, 373−382.

20. Gray A. Curvature identities for Hermitian and almost Hermitian manifolds // Tohoku Math. J., 1976, v.28, № 4, 601−612.

21. Gray J.W. Some global properties of contact structures // Ann. Math., 1959, 69, № 2, 421−450.25.1shihara I. Anti-invariant submanifolds of a Sasakian space form // Kodai Math. J., 1979, v.2, № 2, 171−186.

22. Kenmotsu К. A class of almost contact Riemannian manifolds // Tohoku Math. J., 24, 1972, 93−103.

23. Kiritchenko V.F. Sur la geometrie des varietes approximativement cosymplectiques// C.r. Acad, sci., ser. 1, Paris, 295, 1982, 673−676.

24. Kobayashi M. Submanifolds in Kenmotsu manifolds // Rev. Math. Univ. completense. Madrid, 1991, 4, № 1, 73−95.

25. Kobayashi S. Principal fibre bundles with 1-dimensional toroidal group. Tohoku Math. J., 1956, № 1, 29−45.

26. Koszul J.L. Varietes Kohleriennces // Notes, Sao-Paolo, 1957.31 .Ogine R. On fibering of almost contact manifolds // Kodai Math. Semin. Repts., 1965, 17, № 1,53−62.

27. Rizza G.B. Varieta parakahleriane // Ann. Math. Pure and Appl., 1974, v.98, № 4, 47−61.

28. Sasaki S. On differentiable manifolds with certain structures which are closely related to almost contact structures. I // Tohoku Math. J., 1960, 12, № 3, 459 476.

29. Sinha B. B, Srivastava A.K. Curvatures on Kenmotsu manifolds // Indian J. Pure and Appl. Math., 1991, 22, № 1, 23−28.

30. Sinha B. B, Srivastava A.K. Semi-invariant submanifolds of a Kenmotsu manifold with constant ф-holomorphic sectional curvature II Indian J. Pure and Appl. Math, 1992, 23, № 11, 783−789.

31. Таппо S. The automorphism groups of almost contact Riemannian manifolds. // Tohoku Math. J., 21, 1969, 21−38.

32. Yano K. Concircular geometry, I-IV. Proc. Imp. Acad. Tokyo, 16, 1940, 195 200, 354−360, 442−448, 505−511.

33. Умнова C.B. О геометрии обобщенных многообразий Кенмоцу // МПГУ, М., 2002, Деп. в ВИНИТИ 17.10.02, № 1767-В2002, 20 с. 87.

34. Умнова С. В. О конформных инвариантах многообразий Кенмоцу // X Международная конференция «Математика. Экономика. Образование», Ростов-на-Дону, 2002, 143−144 (тезисы доклада).

35. Умнова С. В. О точечном постоянстве Ф-голоморфной секционной кривизны многообразий Кенмоцу // МПГУ, М., 2002, Деп. в ВИНИТИ 21.03.02, № 514-В2002. 16 с.

36. Umnova S.V. On conformal invariants of Kenmotsu manifolds // Webs and Quasigroups, Tver State Univ., 2002, 155−160.

37. Умнова С. В. О дифференциальной геометрии обобщенных многообразий Кенмоцу // Научные труды МПГУ. Серия: Естеств. науки, М.: (в печати).