Геодезические преобразования почти контактных метрических многообразий

Впервые задача о геодезическом отображении поверхностей была поставлена итальянским геометром Э. Бельтрами в 1865 году [26], [27]. Им была рассмотрена и решена задача отображения поверхности на плоскость при котором геодезические кривые переходят в прямые (то есть в геодезические на плоскости). Теория отображений исевдоримановых пространств, при которых сохраняются геодезические, является одним из старейших направлений исследований в римановой геометрии, истоки которого лежат в трудах Т. Леви-Чивита [37], Т. Томаса[41], Г. Вейля [43]. Т. Леви-Чивита пришел к общей проблеме геодезических отображений римановых пространств при изучении уравнений динамики. Как известно, движение некоторых типов механических систем, многие процессы в гравитационных и электромагнитных полях, в сплошной среде протекают по траекториям, которые можно рассматривать как геодезические линии аффинно связного или риманова пространства, определяемого энергетическим режимом, при котором протекает процесс, если внешние силы отсутствуют, или по кривым, вектор кривизны которых представляют собою вектор обобщенных внешних сил. Степень подвижности римановых пространств относительно геодезических отображений характеризует тот произвол, которым мы можем распоряжаться при выборе модели данного динамического процесса, а также с целью его оптимизации. Поэтому сохраняется актуальность задачи изучения внутренних тензорных характеристик римановых пространств, допускающих или не допускающих локальные или глобальные нетривиальные геодезические отображения, в частности римановых пространств, снабженных дополнительной структурой.

Исследования показывают, что зачастую дополнительные структуры римановых пространств обладают свойством геодезической жесткости, то есть не допускают нетривиальных геодезических преобразований, сохраняющих структуры. Классическим результатом в этом направлении является результат Уэстлейка [42] и Яно [44], согласно которому келе-рово многообразие не допускает геодезических отображений, сохраняющих комплексную структуру. И в работе [1] Х. М. Абоуда выделены классы Грея-Хервелы почти эрмитовых многообразий, которые не допускают нетривиальных голоморфно-геодезических преобразований (геодезические преобразования, сохраняющие структурный эндоморфизм). В настоящее время активно исследуются римановы многообразия, наделенные почти контактной метрической структурой. Поэтому получение контактного аналога известного результата Уэстлейка и Яио весьма актуально.

Напомним, что теория почти контактных метрических структур занимает важное место в современных дифференциальногеометрических исследованиях и является естественным обобщением так называемой контактной геометрии, имеющей многочисленные приложения в современной математической физике, например, в классической механике и теории геометрического квантования, теории супергравитации, теории Ка-луцыКлейна и т. д.

Уже более сорока лет почти контактные многообразия являются предметом интенсивного исследования ученых-геометров. Изучение этого типа многообразий с точки зрения их дифференциально-геометрических структур началось с появлением основополагающих работ Чженя [31], Дж. Грея[32], С. Сасаки[39]. В 1953 году Чжень обнаружил, что контактное многообразие допускает С?-структуру со структурной группой {е} х 11(п). Многообразия, допускающие такую структуру, Дж. Грей назвал почти контактными многообразиями. Сасаки заметил [39], что такая (^-структура порождает тройку {Ф, ту}, где Ф-тензор типа (1,1), называемый структурным оператором, вектор, т}—ковектор, называемые характеристическим вектором и контактной формой структуры соответственно. Эта тройка обладает свойствами: г)(£) = 1, Ф2 = —гс1 + 77 0 из которых легко вывести, что Ф (£) = 0и7уоФ = 0. Кроме того, исходя из произвольной римановой метрики Н на таком многообразии, он построил риманову метрику (Х, У) = Н (ФХ, ФУ) + Н{Ф2Х, Ф2У) + г}(Х)т)(У), дополняющую {Ф, 77} до почти контактной метрической структуры [39]. Почти контактные метрические структуры тесно связаны с почти эрмитовыми структурами. Например, если (М, Ф,^, г}, д)—почти контактное метрическое многообразие, то на многообразии Мх Л канонически индуцируется почти эрмитова структура [30]. Основные классы почти контактных метрических структур приведены в работе В. Ф. Кириченко [7]. Среди ЛС-структур наиболее интенсивно изучены косимплектические.

29] и сасакиевы [30] структуры. В настоящее время важные результаты были получены для структур Кенмоцу [9]. В значительной мере теория геодезических преобразований опирается на исследовании проективных инвариантов. В случае, когда псевдориманово многообразие наделено дополнительной структурой, число таких инвариантов увеличивается, и теория геодезических преобразований обогащается новыми аспектами. Насколько известно автору, проективные свойства АС-многообразий практически не изучались.

Так как дополнительные структуры римановых пространств в основном обладают свойством геодезической жесткости, многие исследователи обращались к различным обобщениям теории геодезических отображений. Наиболее известными из них являются теория (п — 2)—проективных пространств (В.Ф.Каган [4]), конциркулярная геометрия (К. Яно [45]) и теория голоморфно-проективных отображений келеровых многообразий, то есть отображений при которых сохраняются почти геодезические специального вида (так называемые планарные кривые) и комплексная структура келерова многообразия (Т. Оцуки, Я. Тасиро [38]). Фундаментальный вклад в развитие теории голоморфно-проективных отображений был внесен Одесской геометрической школой (напр., Н. С. Синюков [22], В. В. Домашев [3], Й. Микеш, [18]). В основном все исследования по этой проблематике велись почти исключительно в рамках геометрии келеровых многообразий. Но в работах A.B. Никифоровой [19], В.Ф. Кириченко[11] были рассмотрены голоморфно-проективные преобразования почти эрмитовых многообразий и обобщенных почти эрмитовых многообразий соответственно.

В 1963 году Н. С. Синюков обобщил проблематику, связанную с понятием (п — 2)—проективным пространства. Была поставлена проблема такого отображения одного пространства с аффинной связностью на другое пространство, при котором каждая геодезическая кривая первого переходит в так называемую почти геодезическую кривую (2-геодезическую в терминологии С.Г. Лейко) [23]. Как оказалось, (п — 2)-проективные пространства характеризуются тем, что допускают почти геодезическое отображение на плоское пространство. Также Н. С. Синюков доказал существование трех типов почти геодезических отображений щ, 7Г2, яз и исследовал их. С.Г. Лейко[1б] продолжил исследование в этом направлении и ввел понятие р-геодезических отображений пространств с аффинной связностью без кручения. Среди этих отображений он выделил специальные р-геодезические отображения так называемых линейных типов. Как оказалось, отображения П2 и 7Г3 являются 2-геодезическими отображениями первого и второго линейного типа. К отображению пч относятся голоморфно проективные отображения келеровых пространств с сохранением комплексной структуры. Специальным случаем теории почти геодезических отображений 7Гз является конциркулярная геометрия.

После приведенного обзора видно, что геодезические преобразования почти контактных метрических структур представляют интерес с точки зрения дифференциальной геометрии.

Цель диссертационной работы состоит в изучении геодезических преобразований почти контактных метрических многообразий. В соответствии с целью выделены основные задачи:

1. Вычислить структурные тензоры почти контактных метрических структур в безиндексной форме.

2. На основе структурных уравнений косимплектических, сасакиевых многообразий и многообразий Кенмоцу вычислить выражения классических тензоров этих многообразий на пространстве присоединенной Сестру ктуры.

3. Исследовать геометрический смысл обращения в нуль проективных инвариантов косимплектических, сасакиевых многообразий и многообразий Кенмоцу.

4. Найти объекты, инвариантные относительно контактно-геодезических преобразований почти контактных метрических структур.

5. Выяснить, допускают ли косимплектические, сасакиевы многообразия и многообразия Кенмоцу нетривиальные контактно-геодазические преобразования.

6. Найти объекты, инвариантные относительно контактно 2-геодезических преобразований линейного типа почти контактных метрических структур.

Основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Выделим основные из них:

1. Получен явный вид пяти структурных тензоров почти контактной метрической структуры.

2. Вычислены выражения классических тензоров косимплектических, сасакиевых многообразий на пространстве присоединенной (^-структуры.

3. Вычислен тензор проективной кривизны косимплектических, сасакиевых многообразий и многообразий Кенмоцу. Найдены условия проективной плоскости косимплектических, сасакиевых многообразий и многообразий Кенмоцу.

4. Изучен геометрический смысл обращения в нуль проективных инвариантов косимплектических, сасакиевых многообразий и многообразий Кенмоцу.

5. Получены инварианты контактно-геодезических преобразований почти контактной метрической структуры.

6. Доказано, что косимплектические, сасакиевы многообразия и многообразия Кенмоцу не допускают нетривиальных контактно-геодезических преобразований.

7. Получен инвариант контактно 2-геодезического преобразования линейного типа почти контактных метрических многообразий.

Результаты работы получены систематическим использованием метода присоединенных С-структур в сочетании с методом инвариантного исчисления Кошуля.

Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения, геодезических преобразований почти контактных метрических многообразий, геометрии почти контактных метрических многообразий и чтения специальных курсов в высших учебных заведений.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Научной сессии МПГУ по итогам научно-исследовательской работы за 2005 год (2006 г., Москва) — на Международной научной конференции «Колмогоровские чтеиия-Ш» (2005г., Ярославль) — на Международной конференции «Геометрия в 0дессе-2006п (2006г., Одесса) — на Международной научной конференции «Лаптевские чтения-2006» (2006 г., Москва, МГУ).

Основное содержание диссертации отражено в 86 страницах. Диссертация состоит из введения, четырех глав, состоящих из 16 параграфов и списка литературы.

Список литературы

содержит 56 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

1. Абоуд Х. М. Голоморфно-геодезические преобразования почти эрмитовых многообразий. Дисс. .к.ф.-м.н.,—М.: МПГУ, 2002.

2. Бессе А. Многообразия Эйнштейна.т. 1−2/Бессе А.—М.: Мир, 1990. -704с.

3. Домашев В. В., Микеш Й. К теории голоморфно-проективных отображений келеровых пространств./Домашев В.В., Микеш Й.// Матем. заметки.—1978.—Т.23, № 2, с.297−304.

4. Каган В. Ф. Субпроективные пространства./Каган В.Ф.—М., Физ-матгиз, 1961.—220с.

5. Картан Э. Риманова геометрия в ортогональном репере./Картан Э. -М: Мир, 1960,—94с.

6. Кириченко В. Ф. Дифференциальная геометрия К-пространств /Кириченко В.Ф.// Итоги науки и техники./ВИНИТИ АН СССР-Т.8: Проблемы геометрии.-М., 1977; с.139−161.

7. Кириченко В. Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях./Кириченко В.Ф.—М., МПГУ, 2003—495с.

8. Кириченко В. Ф. Аксиома Ф-голоморфных плоскостей в контактной геометрии./Кириченко В.Ф.//Изв. АН СССР. Сер.матем. 48.— 1984 № 4, с.711−739.

9. Кириченко В. Ф, Обобщенные классы Грея-Хервеллы и голоморфно-проективные преобразования обобщенных почти эрмитовыхструктур./Кириченко В.Ф. // Доклады РАН.—2005.—Т.69, № 5, с.107−132.

10. Кириченко В. Ф., Рустанов А. Р. Дифференциальная геометрия ква-зисасакиевых многообразий./Кириченко В.Ф., Рустанов А.Р.// Мат. сборник,—2002.—№ 193:8, с. 1173−1201.

11. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т.1./ Кобаяси Ш., Номидзу К-М.: Наука, 1981.—344с.

12. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т.2. /Кобаяси Ш., Номидзу К. -М.: Наука, 1981;416с.

13. Лейко С. Г. Линейные р-геодезические диффеоморфизмы многообразий с аффинной связностью. // Изв. высших, уч. заведений.— 1982.—Ж), с.80−83.

14. Лейко С. Г. Дифференциальная геометрия обобщенно-геодезических отображений многообразий и их касательных расслоений.Дисс. .доктор.ф.-м.н.—Одесса: ОГУ, 1994.

15. Лихнерович А. Теория связностей в целом и группы голономий./ Лихнерович А.—М.: Платон, 1997. —216с.

16. Микеш Й. О голоморфно-проективных отображениях келеровых пространств. /Микеш Й.//Укр. геометрическмй сб.(Харьков) — 1980—вып.23, с.90−98.

17. Никифорова A.B. Голоморфно-проективные преобразованияпочти эрмитовых многообразий. Дисс. .к.ф.-м.н., —М.: МПГУ, 2002.

18. Радулович Ж. Микеш Й. Геодезические отображения конформно-келеровых пространств./Рарупотч Ж. Микеш Й.// Изв. ВУЗов, Математика.—994—№ 3(328), с. 50−54.

19. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный ана-лмз./Рашевский П.К.—М.: Гос. изд-во технико-теоретич. литературы, 1953,-635 с.

20. Синюков Н. С. Геодезические отображения римановых пространств./Синюков Н.С. —М., Наука, 1979.—256с.

21. Синюков Н. С. Почти геодезические отображения аффиносвязных и римановых пространств./Синюков Н.С.//Итоги науки и техники./ ВИНИТИ АН СССРТ.13:Проблемы геометрии.-М., 1982— е.3−26.

22. Стернберг С. Лекции по дифференцильной геометрии./Стернберг С.-М.: Мир, 1976.

23. Умнова С. В. Геометрия многообразий Кенмоцу и их обобщений. Дисс. .к.ф.-м.н., М.: МПГУ, 2002.

24. Beltrami Е. Risoluzione del ргоЫета г riportari г punti di una superficie sopra un piano in modo che le linee geodeche vengano rappresentate da linee rette. fBeltrami E.// Annli di Matematica.— 1865.-1, №.

25. Beltrami E. Theoria foundamentable degle spazii di curvature constate./Beltrami E.//Annli di Matematica.-1902.-2, № 2.-c.232−255.

26. Bishop R.L., O’Neil В., Manifolds of negative curvature./ Bishop R.L.// TYans. Amer. Math. Soc. 145(1969), 1−50.

27. Blair D.E., The theory of quasi-Sasakian structure./Blair D.E.//J. Diff. Geom 1(1967), p.333−345.

28. Blair D.E., Contact manifolds in Riemannian geometry./Blair D.E.// Lecture Notes Math. 509, 1976, p. 1−146.

29. Chern S.-S, Pseudo-groupes continus infinis./Chern S.-S//Colloq. Internat. Center nat. Rech.scient.52, Strasbourg, 1953, Paris, 1953, p.119−136.

30. Gray J.W. Some global properties of contact structure./Gray J.W.//Ann. Maht., 1959, 69,№ 2, p.421−450.

31. Goldberg S., Totally geodesic hypersurfaces of Kaehler manifolds./ Goldberg S.//Pacific J. Math. 27, № 2(1968), p.275−281.

32. Goldberg S., Yano K., Integrability of almost cosymplectic structures./Goldberg S., Yano K.// Pacif. J. Math., 1969, 31, № 2, p. 373−382.

33. Kenmotsu K., A class of almost contact Riemannian manifolds./Kenmotsu K.//T6hoku Math. J. 24, 1972, p.93−103.

34. Kirichenko V.F., Generalized quasi-Kaehlerian manifolds and axioms of CR-submanifolds in generalized Hermitian geometry, ///Kirichenko V.F.//Geometriae Dedicata 52, 1994, p.53−85.

35. Levi-Civita T. Sulle transformation delle equazioni dinamiche./Levi-Civita T.//Ann. Math. Milano, Ser.2, 24, 1894, p.255−300.

36. Otsuki T., Tashiro Y. On curves in Kahlerian spaces./Otsuki T., Tashiro Y.//Math. J. Okayma univ., 4, № 1(1954), p.57−78.

37. Sasaki S. On differentiate manifolds with certain structures which are closely related to almost contact structures. //Sasaki S.//Tohoku Math. J., 1960, 12, № 3, p.459−476.

38. Sasaki S., Hatakeyana Y. On dijferentiable manifolds with certain structures which are closely related to almost contact structure ///Sasaki S., Hatakeyana Y.// Tohoku Math. J. 13,(1961), p.281−294.

39. Thomas T.Y. On projective and equiprojective geometries of paths/Thomas T.Y.//PWC Nat. Acad. Sei. USA 11, 1925, p.198−203.

40. Westlake W.J. Hermitian spaces in geodesic correspondence./Westlake W.J.//Proc. AMS, 5,№ 2, 1954, p.301−303.

41. Weyl H. Zur Infinitesimalgeometrie Einordnung der projectiven und der conforrnen Auffassung./Weyl H.//Gottingen Nachr. 1921, p.99−112.

42. Yano K. Sur la correspondence projective entre deux espaces pseudo-hermitens/Yano K.//C.R. Acad. Sei. Paris, 239,1956, p.1346−1348.

43. Дондукова H.H. Тензор проективной кривизны сасакиевых многообразий./ Донду кова Н.Н.//Моск.пед.гос.ун-т.-М., 2005.-Деп. в ВИНИТИ 12.10.2005.№ 1302−2005;16с.

44. Дондукова H.H., Контактно-геодезические преобразования структурных тензоров почти контактных метрических многообразий./ Дондукова Н.Н.//Моск.пед.гос.ун-т.-М., 2005.-Деп. в ВИНИТИ 12.10.2005.№ 1303−2005;14с.

45. Дондукова H.H. Тензор проективной кривизны многообразий Кен-моцу./Дрирукова Н.Н.//Моск.пед.гос.ун-т.-М., 2005.-Деп. в ВИНИТИ 12.10.2005.М304−2005;9с.

46. Дондукова H.H. Тензор проективной кривизны косимплектиче-ских многообразий./Дондукова Н.Н.//Моск.пед.гос.ун-т.-М., 2005.-Деп. в ВИНИТИ 12.10.2005.Ш305−2005;14с.

47. Дондукова H.H. Контактно-геодезические преобразования сасакиевых многообразий./Дондукова H.H.// Сборник трудов II Международной научной конференции «Математика. Образование. Культура. «Часть 1—Тольятти, ТГУ, 2005.-C.21−24.

48. Дондукова H.H. Об одном классе геодезических преобразований сасакиевых структур./flpupyкова H.H.// Труды третьих Колмого-ровских чтений.—Ярославль, ЯГПУ 2005.-е. 170−174.

49. Дондукова H.H. Контактно 2-геодезические преобразования первого линейного типа почти контактных метрических структур./Донду кова H.H.// Некоторые вопросы математики, информатики и методики их преподавания.—М.: Прометей, МПГУ, 2006.— с.75−77.

50. Дондукова H.H. О проективных инвариантах многообразий Кен-моцу. /Дондукова H.H.// Научные труды МПГУ. Серия: Естественные науки. Сборник статей.—М.: Прометей, МПГУ, 2006 г.— с.70−72.

51. Кириченко В. Ф., Дондукова H.H. Контактно-геодезические преобразования почти контактных метрических структур./ Кириченко В. Ф., Дондукова H.H.// Матем. заметки т.80, № 2(2006), с.209−220, соискателем выполнено 50% работы.