Геометрия цилиндрических семейств плоскостей

Дифференциальная геометрия сипараметрических семейств п, -мерных плоскостей в различных однородных пространствах развивается с тридцатых годов двадцатого столетия. Обзор работ, опубликованных до 1975 года, имеется в статьях /3/ Р.М.Гейдель-мана, /8/ Ю. Г. Лумисте.

Аффинная дифференциальная геометрия линейчатых поверхностей, конгруэнций и комплексов прямых трехмерного пространства достигла широкого развития. Геометрия линейчатых многообразий трехмерных аффинных, центроаффинных и эквиаффинных пространств освещена в обзорной статье /34/ Р. Н. Щербакова.

В работе /19/ Д. К. Петрушкевичюте рассмотрела дифференциальную геометрию комплекса прямых четырехмерного аффинного пространства. Найден ряд геометрических объектов, связанных с дифференциальными окрестностями первого и второго порядка комплекса. Эти объекты определяют гиперплоскость, точку и гиперповерхность третьего порядка, инвариантно связанных с прямой комплекса.

В работе /12/ Ю. Г. Лумисте рассмотрел аффинную теорию CLпараметрических семейств прямых, которые можно также трактовать как (а+ Омерные линейчатые поверхности VQ+f в, А п. (a-t { < rv) # Это семейство оснащено следующим образом: к каждой его прямой ^ инвариантно присоединена проходящая через ^ (н- #)-мерная плоскость. Тогда на каждой прямой & семейства существует сс точек (вещественных, мнимо сопряженных или совпадающих), которые при смещении прямой в некоторой двумерной поверхности инфинитезимально не выходят из этой («-замерной плоскости. Эти точки Ю. Г. Думисте назвал квазифокусами, а соответствующие линейчатые двумерные поверхности — квазиторсами.

При наличии такого оснащения на прямой определяется аффинно-инвариантный центр".

Ю.Г.Лумисте в /9/ и /10/ рассматривает инвариантные оснащения конгруэнции плоскостей аффинного пространства.

В 1966 г. вышла работа /2/ Л. Я. Березиной. В пмерном аффинном пространстве рассматривается семейство гпмерных плоскостей Z., зависящих от р параметров, с каждой плоскостью К связана инвариантная (п-пг)-мерная плоскость TJ, не даёющая общих направлений с Z .

Работа выполнена с применением метода подвижного репера Картана и по своей методике примыкает к работам Московской геометрической школы, то есть семейство? относится к аффинному реперу, первые ш векторов которого расположены в плоскости Z, а плоскость К определяется через объекты, появляющиеся при продолжении основной системы.

Применяются конечные допустимые преобразования репера, которые разлагаются на элементарные преобразования. Часть этих элементарных составляющих фиксируется, чем в плоскости 21 либо 21' выделяются инвариантные подплоскости. Остальные элементарные преобразования остаются свободными, так что решение дается в «полуканоническом» репере. При оставшихся свободных преобразованиях все объекты являются тензорами. Наличие большого числа тензоров дает возможность развернуть геометрию семейств плоское*-тей, проведена классификация семейств плоскостей.

В.К.Бондаренко в /I/ проводит частичную канонизацию репера на V-n-2 в эквиаффинной геометрии, отнеся репер к системе подмногообразий в Vn-o. Исследуются некоторые частные классы этих систем.

Линейчатые Vm рассматриваются в работах Ю. Г. Лумисте /II/ и (при т. — 3, п = 4) Русчора /21/. В /II/ в предположении, что для подмногообразия Vn-i ^ бесконечно удаленных точек прямолинейных образующих Vm построена нормаль 1-го рода, вводятся понятия квазифокуса, центра, В случае Vm ранга га- 1 строится (т-1)-направление, дополняющие направление образующей в касательном к Vm подпространстве. В /21/ даются в аффинном изложении результаты о связях между строением семейства касательных к гиперплоскостей вдоль образующей и наличием фокусов на образующей.

Т.П.Романькова в своих работах /22,23/ изучает в центроаф-финном пространстве (п~ -параметрические семейства (конгруэнции) прямых, кавдая прямая которого несет tt — 1 различных вещественных фокусов. В такой конгруэнции выделяются центроаф-финно инвариантные линейчатые поверхности. Во второй работе дано оснащение конгруэнции прямых (п- 2) -плоскостью П и2, пересекающей луч ее в некоторой точке JUL.

В /17/ Р. А. Лукина для 2 -семейства прямых построила канонический репер, дала геометрическую характеристику векторов и некоторых инвариантов этого репера.

Русчорэ С, — в /24/ вводит понятие числовой функции, характеризующей частичный параллелизм в Srt. Он называет смешанным линейным многообразием пару, состоящую из собственного пространства $ и несобственного пространства Л — 9 при условии, что размерности 4 и $ отличаются на единицу (или одно из этих подпространств пусто). Размерность Л определяется равенством dW — mox (d[S]9 cfl**]). Для двух смешанных многообразий вводится числовая характеристика их меры параллелизма г dL$n%] + I л причем = I отвечает случаю полного параллелизма, а = 0 -для непараллельных подпространств.

Это понятие частичной параллельности русчора С. использует в дальнейшем для изучения различных соответствий /25−28/.

Ю.Е.Пензов в /20/ дает определение параллельности тплоскостей в следующем виде. Пусть в гимерном аффинном пространстве даны две плоскости и JLг размерностей nti и с направляющими линейными пространствами Vj и V2 соответственно, Тогда 3L, и 1iz называются параллельными, если они не пересекаются и размерность S пересечения их направляющих пространств больше или равна единице:

XtJI Tiz ^ (Ti, 0 Ti2 = gf д ditn (v 1)).

Отношение S/m< называется степенью параллельности. Если степень параллельности равна I, то 31 i полностью параллельна 312 #.

Ранее перечисленных авторов П. А. Широков в /33/ ввел понятие параллельных плоскостей следующим образом. Если векторные подпространства II% и Vs плоскостей Е ^ и Е s (z < s) имеют р общих независимых направлений, то плоскости и Ь5 называются р/zпараллельнымидробь рназывается степенью параллельности этих плоскостей. В этом случае векторы и/., и * и векторных подпространств Uz и Vs определяют.

Sр независимых направлений. Так как независимых направлений не может быть больше ft, то + s-n-. Таким образом, если 2 + «то векторы Uг j-не независимы, и степень параллельности плоскостей Иг и Rs отлична от нуля. Если р ~ Z, то плоскости и ts полностью параллельны, или просто параллельны.

Установлен критерий параллельности двух плоскостей. Если V-ранг системы uu. t ТУи., lhs, то плоскости и Zs имеют Z+ SV общих независимых направлений, т. е. степень параллельности (приГ^ S) равна г + S-V/2 .

Беря за основу рассмотренное определение параллельности плоскостей, запишем его в таком виде. Пусть в две плоскости и заданы уравнениями.

1? = Z, + t nvd, ot = i, k ,.

R — VT^ , — /77.

Условие Rfl ПрII здесь и ниже Rll II означает ранг матрицы) выполняется только тогда, когда плоскости пересекаются. При этом размерность их пересечения совпадает с размерностью к + I — fclm*, щ\ ft их направляющих векторных подпространств = L где L — символ линейной оболочки.

Определение. Непересекающиеся плоскости Я^ и ^ называются рпараллельными, если их векторные подпространства и У^ имеют пересечение размерности р. Условия рпараллельности плоскостей и ^ будут, таким образом, состоять из условия.

ПрН = кчt-p (0.1) рмерного пересечения направляющих подпространств и условия.

Rl? К (0.2) непересечения плоскостей" Введем число.

Н = к +? — и.

Если c/i-m Vkf) V? — Н, то ^ Л, поэтому индекс параллельности р изменяется в пределах тах (0,Н) < р ^ tttin,(k9 ?). (0.3).

В соотношении (0.1) для матрицы порядка (к+ С) хrt имеем ранг, равный 1<+ Iр, следовательно, это соотношение накладывает.

QpS[c к+е)-(к+ гp) j[" — (ь е-р)] =р (р-л>о.4) условий на координаты векторов, Лр. Каждое из этих условий является условием равенства нулю определителя порядка к+ Е-рь 1 9 окаймляющего базисный определитель порядка к+е-Р .

Если p—min (к, /f), то плоскости называются вполне параллельными. В этом случае меньшее по размерности из подпространств Vfc и Vg является подпространством другого.

Введенная таким образом параллельность использована в /30/ Б. П. Чебышевой при рассмотрении рцилиндров и рцилиндрических семейств плоскостей в с вырожденной метрикой.

В /13/ А. С. Лазарев рассматривает геометрию двумерных поверхностей в К гладкой неминимальной поверхности 14 евклидова 4 — пространства, несущей сопряженную сеть, присоединяет подвижной репер (j^, е£-, ё^), I — 1,2- cL = 3,4, где — ортонормированный базис нормальной плоскости к Vk в ее точке и вектор коллинеарен вектору средней нормали поверхности в точке. Автор изучает поверхность, описанную такой точкой^, что у — +^ёсс * г const * Выделены и рассмотрены случаи параллельности и частичной параллельности Vz и (у) .

В работе /14/ того же автора вводится определение. Гладкие рповерхности Vp и Vp в евклидовом пространстве называются ?/ рпараллельными, если существует гладкое отобра.

Eemef: Vp такое, что dim (Т^ПТ^) = fjzQ tfxeVp. В работе рассмотрен случай? < р. А. С. Лазарев продолжает исследования в работах /15,16/.

В проективном пространстве главным моментом при изучении семейств плоскостей является выявление фокальных и кофокальных свойств этого семейства, т. е. изучаются те семейства плоскостей, каждые две смежные плоскости однопараметрических подсемейств которых или пересекаются, или принадлежат некоторым подпространствам объемлющего проективного пространства. В этом направлении интересные результаты получены С. Е. Карапетяном, Р.М.Гейдельма-ном, Л.3.Кругляковым и их учениками.

Задача рассмотрения фокальных и кофокальных свойств плоскостей, имеющая проективный характер, в аффинном пространстве естественно сводится к нахождению цилиндрических и коцилиндри-ческих свойств этих семейств. Этим и объясняется актуальность данной диссертационной работы, которая состоит из введения и двух глав.

1. Бондаренко В. К. О поверхности в + 2 — Тр. /Томск.-ун-т, 1968, т.196, с.119−125.

2. Березина Л. Я. Аффинная теория многомерных плоскостей.-Тр./Рижск. ин~т инженеров гражд. авиации, 1966, вып.8, с. 153.

3. Гейдельман P.M. Дифференциальная геометрия семейств подпространств в многомерных однородных пространствах.- В кн.: Алгебра. Топология. Геометрия, 1965: Итоги науки/ВИНИТИ. М., 1967, с.323−374.

4. Ивлев Е. Т. Пара линейчатых поверхностей в трехмерном проективном пространстве.- В кн.: Докл.науч. конф. по теор. и прикл.вопр. математики и механики.- /Томск, ун-т. Томск, I960, с.50−51.

5. Кругляков Л. З. Основы проективно-дифференциальной геометрии семейств многомерных плоскостей: Учеб. пособие.- Томск, 1980,-109с.

6. Кругляков Л.3. 0 2-семействах прямых в и парах конгруэнций прямых в .- Сиб. мат.яурн., 1963, т.9, Jfe 3, с.554−567.

7. Карапетян С. Е. Проективно-дифференциальная геометрия дву-параметрических семейств прямых и плоскостей четырехмерного пространства.- Изв. АН Арм.ССР. Сер. физ.-мат.наук, 1962, т.15, № 2, с.53−72.

8. Лумисте Ю. Г. Дифференциальная геометрия подмногообразий.-В кн.: Алгебра. Топология. Геометрия: Итоги науки /ВИНИТИ. М., 1975, т.13, с.273−340.

9. Лумисте Ю. Г. Инвариантные оснащения конгруэнции плоскостей аффинного пространства.- Изв.высш.учеб.заведений. Математика. 1965,? 6, с.93−102.

10. Лумисте Ю. Г. Средняя поверхность конгруэнции плоскостей аффинного пространства.- Изв.высш.учеб.заведений. Математика. 1965, J* 5, с.86−98.

11. Лумисте Ю. Г. К теории многообразий плоскостей евклидова пространства.-Тагtu UBikooEt toitnefsecly^YL^BSLm /Тартуск. ун-т, 1966, вып.192, с.12−46.

12. Лумисте Ю. Г. К аффинной дифференциальной геометрии многомерных линейчатых поверхностей.- В кн.: Докл. Ш Сиб. конф. по математике и механике. Томск, 1964, с.195−196.

13. Лазарев А. С. К геометрии двумерных поверхностей в Е^ .В кн.: Геометрия погруженных многообразий. М., 1978, с.55−61.

14. Лазарев А. С. О частично параллельных поверхностях в Еп .- Дифференциальная геометрия многообразия фигур. Калининград, 1979, J6 10, с.121−126.

15. Лазарев А. С. Об одном классе поверхностей, допускающих частично параллельные поверхности.- В кн.: Геометрия погруженных многообразий. М., 1980, с.48−53.

16. Лазарев А. С. О геометрии поверхностей, допускающих частично параллельные поверхности.- В тр.: Дифференциальная геометрия многообразия фигур. Калининград, 1981, № 12, с.40−43.

17. Лукина Р. Ж. 0 2-семействах прямых в 4ёх-мерном центро-аффшном пространстве.- Тр. /Томск, ун-т, 1973, т.246, с.118−132.

18. Майер 0 *6-eometziQ centso aj-jin е clij-fezentieft des susj-oc&sJnrr. See Unto-. Jose 1954, ?21, с 1- 7?

19. Peizask evcciute ДТ/es l и кътрРек sas к etas mo Qje cfj-fi ntneje гт^ чен. зап. /Вильнюск. ун-т. Математика-физика, I960, т. ЗЗ, J6 19, с.45−50.

20. Пензов Ю. Е. Аналитическая геометрия.- Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1972, — 364с.

21. Rt/sc со г 5. St/2 опр aPassLj-icaijon ctfj-trie cfs hype^bu? J-cc с e s •seoZeQS clans un ?4 — ЪиСвсв. sal Jcaa (. zay. Ле^. 9 1964} аов. So ^3,cio< .

22. Романькова Т. П. О конгруэнции прямых в пмерном центроаффинном пространстве.- Тр. /Томск, ун-т, 1973, т.246, с.98−117.

23. TZusctoz S, Соответствия мевду многообразиями К всмысле Майера. Cozespa п cfenie fniez fomi€u of е стансе iaati 7Z Ы sens JUa^ez. — Jnst. p о Ci i e, А n. Jose sec. o-oe.i&, f9}2, л 3−4, p. 2?-Ъ1 .

24. Хода В., Пидо Д. Методы алгебраической геометрии.Т. 1−2. М.: Изд-во иностр. лит., 1954.

25. Чебншева Б. П. Геометрия цилиндрических семейств плоскостей в пространствес вырожденной метрикой.- Изв.высш.учеб. заведений. Математика, 1974, Л 12, с.77−81.

26. Чупахин Н. П. Цроективно-дафф^енциальная геометрия гиперповерхностей с двумерными плоскши образующими: Автореф. дис. .". канд. физ.-мат.наук.- Томск, 1982. с.

27. Широков П. А., Широков А. П. Аффинная дифференциальная геометрия.- М.: #изматгиз, 1959. 319с.

28. Широков П. А. Тензорное исчисление. Алгебра тензоров.-М.: ГТТИ, 1934. 420с.