Римановы метрики положительной кривизны Риччи на многообразиях с торическими действиями

Цели и результаты работы.

Целью настоящей работы является построение римановых метрик положительной кривизны Риччи на многообразиях с действием компактного тора Тп.

Одной из важных и интересных проблем римаповой геометрии является задача о’связи свойств кривизны и топологического строения риманова многообразия. Ставший классическим вопрос о топологии римановых многообразий положительной секционной кривизны, как показывает опыт, является весьма сложнымгораздо более слабое свойство положительной скалярной кривизны практически не доставляет геометрических ограничений. Промежуточный вопрос о многообразиях положительной кривизны Риччи представляется в этом свете весьма правильно поставленным: с одной стороны, это свойство значительно слабее свойства положительности секционной кривизны, и известны серии примеровс другой стороны примеров не так уж много и задача представляется нетривиальной.

Классическими примерами многообразий положительной кривизны Риччи являются нормально однородные пространства с конечной фундаментальной группой и их римановы произведения, например Sn, СРп, Sn х Sm.

Более сложные топологические типы впервые были сконструированы Дж. Ша и Д. Янгом [19] в 1991 г. Они построили метрику положительной кривизны Риччи на связных суммах любого числа Sn х Sm при фиксированных п, тп: kSn х Sm Vfc > 1 Vn, m > 2.

Этот результат показал неограниченность чисел Бетти многообразий положительной кривизны Риччи при фиксированной размерности (что находится в контрасте с положительной секционной кривизной).

Подход Дж. Ша и Д. Янга оказался продуктивным. Д. Рейт [22] в 2007 г. обобщил их результат для связных сумм произвольных Snг х Snh:

5Пг х Sm* Vfc > 1 Vrij, тпг >2, пг+тпг = const.

В основе обеих работ лежит метод хирургии с сохранением положительности кривизны Риччи.

На связных суммах двух комплексных проективных пространств:

СР" # ± С Рп известна метрика Нигера [7[ неотрицательной секционной кривизны, для которой, как очевидно, кривизна Риччи является положительной.

Метрики положительной кривизны Риччи на связных суммах произвольного числа комплексных проективных пространств известны лишь в размерности че2 тыре. Дж. Ша и Д. Япг [20] в 1993 г. показали, что связные суммы СР2 и СР: кСР2^1СР2 У/г, / > 0 обладают метриками положительной кривизны Риччи. Чуть позже, в 1997 г. Г. Пе-рельман [16] частично повторил этот результат, построив метрики на связной сумме одинаково ориентированных проективных пространств: фкСР2 Ук > 1.

Все вышеупомянутые примеры в четной размерности 2п допускают действие компактного тора Тп = 51 х. х в1. В связи с этим возникает вопрос о существовании метрик положительной кривизны Риччи в более общих классах многообразий с действием Тп.

Объектом исследования насюящей работы являются квазиторические и момент-угол многообразия. Эти два класса многообразий впервые были введены М. Дэвисом и Т. Янушкиевичем в [8] в 1991 г. Их топология тесно связана с комбинаторикой выпуклых многогранников. До сих пор они изучались в основном с точки зрения алгебраической топологии. В этом свете изучение свойств кривизны квазиторичсских и момент-угол многообразий представляет весьма интересным.

Целью работы является построение метрик положительной кривизны Риччи на некоторых квазиторичсских и момент-угол многообразиях.

Диссертация состоит из трёх глав и десяти разделов. Далее мы рассмотрим вкратце содержание всех разделов, введём базовые определения и сформулируем основные результаты.

1. Базайкин Я. В. О новых примерах полных некомпактных метрик с группой голономии Spin (7) // Сибирский математический журнал. 2007. Т. 48, № 1. С. 11−32.

2. Бессе А. Многообразия Эйнштейна. М.: Мир, 1990.

3. Бухштабер В. М., Панов Т. Е. Торические действия в топологии и комбинаторике. М.: МЦНМО, 2004.

4. Berard-Bergery L. Certains fibres a courbure de Ricci positive // Comptes Rendus Hebdomadaires des Seances de l’Academie des Sciences. Series A et B. 3978. V. 286, N 20. R A929-A931.

5. Bosio F., Meersseman L. Real quadrics in C", complex manifolds and convex polytopes // Acta Mathematica. 2006. V. 197, N 1. P. 53−127.

6. Calabi E. Metriques kahleriennes et fibres holomorphes // Annales Scientifiques de l’E’cole Normale Supe’rieure. Quatrie’me Se’rie. 1979. V. 12, N 2. P. 269−294.

7. Cheeger J. Some examples of manifolds of nonnegative curvature // Journal of Differential Geometry. 1973. V. 8, N 4. P. 623−628.

8. Davis M. W., Januszkiewicz T. Convex polytopes, Coxeter orbifolds and torus actions // Duke Mathematical Journal. 1991. V. 62, N 2. P. 417−451.

9. Gao L. Zh. The construction of negatively Ricci curved manifolds // Mathematische Annalen. 1985. V. 271, N 2. P. 185−208.

10. Gilkey P. В., Park J., Tuschmann W. Invariant metrics of positive Ricci curvature on principal bundles // Mathematische Zeitschrift. 1998. V. 227, N 3. P. 455−463.

11. Gitler S., Medrano S. L. Intersections of quadrics, moment-angle manifolds and connected sums // arXiv:0901.2580v2 math. GT].

12. Joyce D. D. Compact manifolds with special holonomy. Oxford, 2000.

13. Nash J. C. Positive Ricci curvature on fibre bundles // Journal of Differential Geometry. 1979. V. 14, N 2. P. 241−254.

14. O’Neill B. The fundamental equations of a submersion // Mich Math. J. 1966. V. 13. P. 459−469.

15. Orlik P., Raymond F. Actions of the torus on 4-manifolds // I. TAMS. 1970. V. 152. P. 531−559.

16. Perelman G. Construction of Manifolds of Positive Ricci Curvature with Big Volume and Large Betti Numbers // Comparison Geom. MSRL 1997. V. 30. P. 157−163.

17. Poor W. A. Some exotic spheres with positive Ricci curvature // Mathematische Annalen. 1975. V. 216, N 3. P. 245−252.

18. Thurston W. The Geometry and Topology of Three-Manifolds. // Princeton University lecture notes, 1978—1981.

19. Wraith D. J. New connected sums with positive Ricci curvature // Annals of Global Analysis and Geometry. 2007. V. 32, N 4. P. 343−360.Работы автора по теме диссертации.

20. Базайкин Я. В., Матвиенко И. В. О четырехмерных Т^-многообразиях положительной кривизны Риччи // Сибирский математический журнал. 2007. Т. 48, № 5. С. 973−980.

21. Базайкин Я. В., Матвиенко И. В. О момент-угол многообразиях положительной кривизны Риччи // Сибирский математический журнал. 2011. Т. 52, № 1. С. 15−29.

22. Матвиенко И. В. Момент-угол многообразия положительной кривизны Риччи, отвечающие трёхмерному кубу // Успехи математических паук. 2011. Т. 66, № 2. С. 233−234.