Асимптотики собственных значений оперативных матриц в окрестности непрерывного спектра

При изучении задач механики сплошных сред возникают дифференциальные операторные матрицы и связанные с ними дифференциальные оператор-функции, нелинейно зависящие от спектрального параметра Л. Например, одна из простейших моделей магнитной гидродинамики связана с оператор-функцией вида.

Многочисленные примеры других возникающих в магнитной гидродинамике дифференциальных оператор-функций можно найти в монографии [24], а также в статье [4]. Некоторые операторные матрицы, возникающие в теории упругости, рассмотрены в монографии [8].

Из-за своей тесной связи с приложениями задачи о спектральных свойствах дифференциальных оператор-функций с достаточно общим характером зависимости от спектрального параметра привлекали и привлекают большое внимание. Так, важные результаты для оператор-функций второго порядка получены уже в 1939 году в статье [20]. В последнее время появилось значительное число работ, посвящённых разработке методов численного нахождения собственных значений дифференциальных оператор-функций, нелинейно зависящих от спектрального параметра. Отметим среди этих работ статьи А. А. Абрамова [1], [2] и [3], а также статьи JI. Д. Акуленко и С. В. Нестерова [5], [6] и [7].

Однако вопрос о качественном описании поведения собственных значений операторных матриц и связанных с ними оператор-функций вблизи критических точек (в частности, границ непрерывного спектра) исследован недостаточно полно. Например, в работе [26] для задач Штурма-Лиувилля с монотонно зависящими от спектрального параметра коэффициентами получен ответ на вопрос об условиях накопления собственных значений к критическим точкам, но не получено никаких асимптотических формул, более точно характеризующих накопление собственных значений. Кроме того, в приложениях возникают оператор-функции, коэффициенты которых не являются монотонными по спектральному параметру. Однако такие оператор-функции изучены только в частных случаях (см., например, статьи [22] и [23]).

Настоящая диссертация посвящается исследованию вопроса о качественном описании поведения собственных значений дифференциальных операторных матриц и связанных с ними оператор-функций (в том числе немонотонных по спектральному параметру) в окрестности критических точек.

Применяемая в диссертации методика базируется на теории полуограниченных операторов в гильбертовом пространстве. Это отличает диссертацию от работ [20] и [1]-[3], в которых нелинейная задача на собственные значения сперва сводится к гамильтоновой системе дифференциальных уравнений первого порядка, а затем полученная гамильтоно-ва система анализируется на основе матричной осцилляционной теории (изложение которой дано в монографии [9]). Подход диссертации можно считать дальнейшим развитием методов, изложенных в монографиях [18] и [34].

Краткая характеристика содержания диссертации такова.

В первой главе развивается основанный на теоремах представления полуограниченных операторов квадратичными формами абстрактный подход к получению оценок и равенств для числа лежащих на заданном интервале собственных значений оператор-функций. Получаемые при этом общие теоремы применяются к дифференциальным оператор-функциям. Таким образом устанавливаются оценки и равенства для числа собственных значений дифференциальных оператор-функций на заданном интервале. При этом, вообще говоря, не требуется монотонности коэффициентов оператор-функции по спектральному параметру.

Вторая и третья главы посвящены применению результатов первой главы к изучению конкретных задач, связанных с приложениями.

Именно, во второй главе проводится исследование собственных значений операторной матрицы вида q{x) q (x) u (x)j.

При этом получены логарифмическая и степенная асимптотики для счётной функции собственных значений в окрестности границы непрерывного спектра. Для степенной асимптотики проведена также оценка остатка. В третьей главе исследуется операторная матрица 1 (dd2, ,<Р а. Л 1 f dA d, .d\ е{х) -W)Wi + Tx9[x)Tx) V.

V 1 0 / возникающая в задаче о малых колебаниях стержня с внутренним трением (материал Фойхта). Отметим, что связанная с этой матрицей оператор-функция четвёртого порядка в физически интересном случае немонотонна по спектральному параметру. Однако для неё тоже получены условия накопления собственных значений к критическим точкам, а также логарифмические асимптотики такого накопления.

Часть результатов диссертации была изложена в статьях диссертанта [12]-[17].

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих семинарах.

• «Несамосопряжённые операторы», руководители — профессора А. Г. Костюченко и А. А. Шкаликов.

• «Операторные модели математической физики», руководители — профессор А. А. Шкаликова и доцент И. А. Шейпак.

• Рабочем семинаре профессоров JI. Д. Акуленко и С. В. Нестерова в ИПМ РАН.

• Рабочем семинаре профессора А. А. Абрамова в ВЦ РАН.

Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях.

• «Инвариантные методы исследования на многообразиях структур геометрии, анализа и математической физики», посвящённой 90-летию со дня рождения Г. Ф. Лаптева (Москва, 1999).

• «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвящённой 100-летию со дня рождения И. Г. Петровского (Москва, 2001).

Диссертант выражает признательность своему научному руководителю профессору А. А. Шкаликову за постановку задач и обсуждение результатов. Диссертант также благодарит всех участников семинаров «Операторные модели» и «Несамосопряжённые операторы» за плодотворные дискуссии.

1. А. А. Абрамов. Об отыскании собственных значений и собственных функций самосопряжённой дифференциальной задачи// Жур. выч. мат. и мат. физ., т. 31(1991), № 6, стр. 819−831.

2. А. А. Абрамов, А. А. Асланян. Обобщение одного метода решения задачи на собственные значения для гамильтоновых систем// Жур. выч. мат. и мат. физ., т. 34(1994), № 12, стр. 1896−1901.

3. А. А. Абрамов. О вычислении собственных значений нелинейной спектральной задачи для гамильтоновых систем обыкновенных дифференциальных уравнений// Жур. выч. мат. и мат. физ., т. 41 (2001), № 1, стр. 29−38.

4. I. A. Adam. Critical layer singularities and complex eigenvalue in some differential equations of mathematical physics// Physics Reports (Review Section of Physics Letters), V. 142(1986), № 5, pp. 263−356.

5. Jl. Д. Акуленко, С. В. Нестеров. Эффективное решение обобщённой задачи Штурма-Лиувилля// ДАН, т. 363(1998), № 3, стр. 323−326.

6. J1. Д. Акуленко, С. В. Нестеров. Собственные колебания распределённых неоднородных систем, описываемых обобщёнными краевыми задачами// Прикл. мат. и мех., т. 63(1999), вып. 4, стр. 645−654.

7. JI. Д. Акуленко. Высокочастотные собственные колебания механических систем// Прикл. мат. и мех., т. 64(2000), вып. 5, стр. 817−832.

8. А. Г. Асланян, В. Б. Лидский. Распределение собственных частот тонких упругих оболочек. М., «Наука», 1974.

9. Ф. Аткинсон. Дискретные и непрерывные граничные задачи. М., «Мир», 1968.

10. F. Atkinson, Н. Langer, R. Mennicken, A. Shkalikov. The essential spectrum of some operator matrix// Math. Nachr., 167(1994), pp. 520.

11. Дж.-Г. Бак, А. А. Шкаликов. Мультипликаторы в дуальных соболевских пространствах и операторы Шрёдингера с потенциалами-распределениями/ / Мат. заметки, т. 71 (2002), вып. 5, стр. 643−651.

12. А. А. Владимиров. О числе собственных значений вблизи границы непрерывного спектра краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений// Материалы междунар. конференции, поев. 90-летию Г. Ф. Лаптева, 1999, стр. 10.

13. А. А. Владимиров. О спектре самосопряжённых дифференциальных операторов из параметрического семейства)/ Мат. заметки, т. 68(2000), вып. 3, стр. 471−474.

14. А. А. Владимиров. О накоплении собственных значений дифференциальных оператор-функций// Междунар. конференция, поев. 100-летию И. Г. Петровского, Тезисы докладов, 2001, стр. 425−426.

15. А. А. Владимиров. О накоплении собственных значений дифференциальных оператор-функций// Успехи мат. наук, т. 57 (2002), вып. 1, стр. 151−152.

16. R. О. Hriniv, A. A. Shkalikov, A. A. Vladimirov. Differential operator matrices with periodic coefficients of mixed order)/ Operator Theory: Advances and Applications. Basel: Birkhauser Verlag, 2000. V. 117, pp. 155−164.

17. А. А. Владимиров, P. О. Гринив, А. А. Шкаликов. Спектральный анализ периодических дифференциальных матриц смешанного порядка) / Труды Моск. мат. общества, 63(2002), стр. 45−86.

18. И. М. Глазман. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов. М., Физматгиз, 1963.

19. Р. О. Гринив, А. А. Шкаликов. Экспоненциальная устойчивость полугрупп, связанных с некоторыми операторными моделями в механике/ /Мат. заметки, в печати.

20. Е. Kamke. Neue Herleitung der Oszillationssatze fur die linearen selbstadjungierten Randwertaufgaben zweiter Ordnung// Math. Zeitschr., 44 (1939), S. 635−658.

21. Т. Като. Теория возмущений линейных операторов. М., «Мир», 1972.

22. P. Lancaster, A. Shkalikov, Qiang Ye. Strongly definitizable linear pencils in Hilbert space J J Integr. Equat. Oper. Theor., 17(1993), pp. 338−360.

23. P. Lancaster, A. Shkalikov. Damped vibrations of beams and related spectral problems// Canad. Appl. Math. Quart., 2(1994), № 1, pp. 4590.

24. A. E. Lifschitz. Magnetohydr о dynamics and Spectral Theory. Dodrecht, Kluwer Acad. Publishers, 1989.

25. J. P. Lutgen. Eigenvalue accumulation for singular SturmLiouville problems nonlinear in the spectral parameter// J. Diff. Eq., 159(1999), pp. 515−542.

26. R. Mennicken, H. Schmid, A. Shkalikov. On the eigenvalue accumulation of Sturm Liouville problems depending nonlinearly on the spectral parameter// Math. Nachr., 189(1998), pp. 157−170.

27. M. А. Наймарк. Линейные дифференциальные операторы. М., «Наука», 1969.

28. М. И. Нейман-заде, А. М. Савчук. Операторы Шрёдингера с сингулярными потенциалами// Труды МИАН им. В. А. Стеклова, т. 236(2002), стр. 262−271.

29. М. И. Нейман-заде, А. А. Шкаликов. Операторы Шрёдингера с сингулярными потенциалами из пространств мультипликаторов// Мат. заметки, т. 66(1999), вып. 5, стр. 599−609.

30. В. Н. Пивоварчик. Краевая задача, связанная с колебаниями стержня с внутренним и внешним трением/J Вестн. МГУ, серия 1, Ма-тем., мех., 1987, № 3, стр. 68−71.

31. Ф. Рисс, Б. Сёкефальви—Надь. Лекции по функциональному анализу. М., «Мир», 1979.

32. Ф. С. Рофе—Бекетов. О самосопряжённых расширениях дифференциальных операторов в пространстве вектор-функций// Теория функций, функ. ан. и их прилож.', 1969, вып. 8, стр. 3−24.

33. Ф. С. Рофе—Бекетов. Самосопряжённые расширения дифференциальных операторов в пространстве вектор-функций// ДАН СССР, 184(1969), № 5, стр. 1034−1037.

34. Ф. С. Рофе—Бекетов, А. М. Холькин. Спектральный анализ дифференциальных операторов. Связь спектральных и осцилляционных свойств. Мариуполь, 2001.

35. А. М. Савчук, А. А. Шкаликов. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами// Мат. заметки, т. 64(1999), вып. 6, стр. 897−912.

36. А. А. Шкаликов, Р. О. Гринив. О пучке операторов, возникающем в задаче о колебаниях стержня с внутренним трением// Мат. заметки, т. 56(1994), вып. 2, стр. 114−131.

37. Н. Schmid, С. Tretter. Singular Dirac systems and Sturm Liouville problems nonlinear in the spectral parameter// to appear in Journ. of Diff. Eq.