Макроэкономическая статистика. 
Статистика уровня жизни и доходов Населения

8.5. Имеются следующие данные о распределении населения по среднедушевому денежному доходу:

Среднедушевой денежный доход за период, усл. ден. ед. Численность населения, млн. чел.

До 100 2,9

100−200 18,5

200−300 25,5

300−400 23,4

400−500 18,8

500−600 14,3

600−700 10,7

700−800 8,0

800−900 6,0

900−1000 4,5

1000−1100 3,0

1100−1200 3,0

1200−1300 1,7

1300−1400 1,8

Свыше 1400 6,1

Итого: 148,2

Определите:

1) среднедушевой месячный доход, медианный доход, нижний и верхний децили;

2) опишите закономерности в распределении доходов населения;

3) децильный коэффициент дифференциации доходов и коэффициент фондов;

4) коэффициент концентрации доходов Джини.

Решение:

Определим средний доход по формуле:

где х средние уровни интервала; f частота интервала.

Построим таблицу:

Среднемесячный доход на одного человека, тыс. руб. хi Численность населения, тыс. чел. (f) x*f (хi-xcp)2f

До 100 50 2,9 145 623 726,6

100−200 150 18,5 2775 2 448 014,5

200−300 250 25,5 6375 1 774 087,8

300−400 350 23,4 8190 627 565,4

400−500 450 18,8 8460 76 440,8

500−600 550 14,3 7865 18 775,4

600−700 650 10,7 6955 198 591,2

700−800 750 8 6000 446 455,1

800−900 850 6 5100 678 323,1

900−1000 950 4,5 4275 856 353,7

1000−1100 1050 3 3150 862 643,3

1100−1200 1150 3 3450 1 214 384,2

1200−1300 1250 1,7 2125 921 470,9

1300−1400 1350 1,8 2430 1 258 719,6

Свыше 1400 1450 6,1 8845 5 346 867,4

Итого: 148,2 76 140 17 352 419,0

Получаем:

д.е.

Рассчитаем модальный доход.

Конкретное значение моды для интервального ряда рассчитывается по формуле:

где хМo нижняя граница модального интервала,

h величина модального интервала,

fMo частота модального интервала,

fMo-1 частота интервала, предшествующего модальному,

fMo+1 частота интервала, следующего за модальным.

Модальным интервалом в нашем случае признака является шестой интервал, так как его частота максимальна (f3 =25,5).

Расчет моды:

д.е.

Определим медиану:

где хМе нижняя граница медианного интервала,

h величина медианного интервала,

сумма всех частот,

fМе частота медианного интервала,

SMе-1 кумулятивная (накопленная) частота интервала, предшествующего медианному.

Для расчета медианы необходимо, прежде всего, определить медианный интервал, для чего используются накопленные частоты (или частости). Так как медиана делит численность ряда пополам, она будет располагаться в том интервале, где накопленная частота впервые равна полусумме всех частот или превышает ее (т.е. все предшествующие накопленные частоты меньше этой величины).

В нашем случае признака медианным интервалом является пятый интервал, так как именно в этом интервале накопленная частота Sj впервые превышает величину, равную половине численности единиц совокупности (=).

Расчет значения медианы:

д.е.

Для оценки закономерности в распределении доходов населения определим:

1. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение;

2. Коэффициент вариации.

Рассчитаем дисперсию:

Получаем:

Среднее квадратическое отклонение определим по формуле:

д.е.

Коэффициент вариации определим по формуле:

Получаем:

%.

Таким образом, среднее значение дохода составило 513,77 д.е. Медиана составила 420,21 д.е. В рассматриваемой совокупности наблюдений половина единиц имеют в среднем доход не более 420,21 д.е., а другая половина не менее 420,21 д.е. Для рассматриваемой совокупности единиц наблюдения наиболее распространенная величина дохода характеризуется средней величиной 276,92 д.е. Анализ полученных значений показателей и σ говорит о том, что средняя величина дохода составляет 513,77 д.е., отклонение от средней в ту или иную сторону составляет в среднем 342,18 д.е. (или 66,6%).

Значение Vσ = 66,6% превышает 33%, следовательно, вариация в исследуемой совокупности значительна и совокупность по данному признаку качественно неоднородна. Расхождение между значениями, Мо и Ме значительно (=513,77 д.е., Мо=276,92 д.е. Ме=420,21 д.е.), что подтверждает вывод о неоднородности совокупности. Таким образом, найденное среднее значение (513,77 д.е.) является нетипичной, ненадежной характеристикой исследуемой совокупности.

Используя коэффициент децильной дифференциации оценим степень дифференциации населения по доходам.

Для расчета значений децили необходимо сначала определить номер децили:

.

Рассчитываем значение децили:

где

х0 нижняя граница интервала или группы, содержащей дециль;

ND i номер децили;

fQ-1 сумма накопленных частот к интервалу предшествующему децильному;

fQ часота децильного интервала.

Получаем:

Рассчитаем коэффициент децильной дифференциации:

Такой показатель характеризует соотношение между крайними значениями признака. Другими словами, инструмент анализа дифференциации позволяет выявить во сколько раз среднее значение дохода, полученное из 10% наибольших значений признака превышает среднее значение дохода, полученное из 10% наименьших значений признака.