Движение точки относительно земли: относительное равновесие, падение точки в пустоте

Допустим, что система координат ₃, центр которой совпадает с центром Земли, а оси направлены на «неподвижные» звезды, инерциальна. Ось 0^₃ совпадает с осью вращения Земли. Неинерциальная система координат О_хх_хх₂х_г жестко связана с Землей и равномерно вращается вокруг оси 0|Х₃, совпадающей с осью Oi?₃. Обозначим через г радиус-вектор свободной материальной точки в системе координат О_хх_хх^с_ъ и запишем уравнения движения в виде.

Здесь т — масса точки, ц — гравитационная постоянная Земли, О — угловая скорость вращения Земли, е₃ — орт оси 0, х₃. Два последних слагаемых в равенстве (15.1) представляют силу инерции переносного движения, вызванную вращением Земли, и силу инерции Кориолиса.

• 1. Равновесие точки на поверхности Земли. Вес тела. В этом случае радиус-вектор г постоянен, а на точку действует реакция связей — Р (реакция опоры).
• 0.15.1. Весом тела называется сила, равная и противоположно направленная реакции опоры.

Уравнение (15.1) с учетом реакции связей представим в виде Считая Землю шаром с радиусом R и определяя ускорение свободного падения g® = дг’Р, получим из соотношения (15.2).

Здесь R — радиус-вектор точки на поверхности Земли, 3 —геоцентрическая широта места (рис. 25). Единичный вектор е, ортогонален оси 0, х₃ и направлен по оси О_хх_х, если точка лежит в плоскости 0|Х, х₃. Обозначим через & ускорение свободного падения на полюсах Земли (& = рЛ" ²) и из формулы (15.3) получим.

Поскольку ?₀" d²R (gg = 289П²Л), то из (15.4) следует приближенное равенство.

Рис. 26.

Рис.25

Формула (15.5) показывает как изменяется ускорение свободного падения или вес тела mg{R) на поверхности Земли в зависимости от геоцентрической широты места.

Угол между местной вертикалью и экватором Земли (угол <�р) называется астрономической широтой места. Из рис. 25 легко получить.

2. Падение точки в пустоте. Рассмотрим движение свободной материальной точки в системе координат Oxyz, начало которой расположено на поверхности Земли на астрономической широте Ф, а ось Oz вертикальна (рис. 26). Ось Ох направим по параллели и востоку, а ось Оу — к северному полюсу Земли. Если р — радиусвектор точки М в системе координат Oxyz, то поле силы тяжести в окрестности точки О можно представить в виде.

Здесь R — радиус-вектор точки О относительно центра Земли Полагая отношение р/Л малым, ограничимся в (15.6) первым членом, что соответствует однородному полю силы тяжести, действующему на материальную точку М в окрестности точки О. Уравнение движения (15.1) в этом приближении примет вид.

Из формул (15.12) следует, что при падении в северном полушарии на широте <�р точка отклоняется в основном на восток и в меньшей степени на юг. Поскольку угловая скорость вращения Земли П = 7,27*10‘⁵ с" ¹, то в рядах (15.12) при временах падения порядка 100 с (высота падения около 50 км) можно ограничиться с достаточной степенью точности выписанными членами.