Психолого-педагогические основы проведения курсов по выбору

История возникновения и развития факультативной формы обучения

Опираясь на работы И. М. Смирновой [52] и [53], рассмотрим, как происходило развитие факультативных курсов в средней школе.

Термин «факультативные предметы» был известен ещё в XIX веке. В 1893 г. П. Ф. Каптерев в своей книге «О разнообразии и единстве общеобразовательных курсов» использовал его для названия углублённых курсов для старшеклассников.

В 1966 г. в соответствии с постановлением «О мерах дальнейшего улучшения работы средней общеобразовательной школы», появились факультативные занятия, которые явились формой дифференцированного обучения, учитывающей индивидуальные способности и склонности учащихся.

С 1967 г. в школах были введены факультативы «Дополнительные главы и вопросы математики» и «Специальные курсы». В 1967 г. в журнале «Математика в школе» были опубликованы программы этих курсов [54]. Они были направлены на изучение новой программы по математике и являлись местом апробации новых тем.

После введения в школах новых программ обязательного курса математики, программа факультатива «Дополнительные главы и вопросы математики» была изменена (некоторые темы были переведены в основной курс).

К 1980 г. был завершён переход средней школы на новую программу по математике. В связи с этим факультативный курс «Дополнительные главы и вопросы математики» был заменён на новый факультатив. Он включил в себя три раздела:

• 1. Избранные вопросы математики. 7−10 (8−11) классы.
• 2. Математика в приложениях. 9, 10 (10, 11) классы.
• 3. Алгоритмы и программирование. 8−10 (9−11) классы.

Программа приведённых факультативов была опубликована в журнале «Математика в школе» в 1980 г. [45].

В 1990 г. была опубликована новая программа факультативных курсов по трём дисциплинам, включая математику [44]. Её основной целью является углубление знаний по основному курсу, изучаемых на уроках, приобретение умения решать более трудные и разнообразные задачи.

В 2002 г. Министерством образования РФ были утверждены «Концепция модернизации российского образования» на период до 2010 г. [23] и «Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования» [24]. Одним из приоритетных направлений реформирования является профильная дифференциация обучения. Благодаря модернизации российского образования появились курсы по выбору (9 класс) и элективные курсы (10, 11 классы) [51, с. 7].

Их можно считать преемниками факультативных курсов, так как они все направлены на удовлетворение индивидуальных способностей и потребностей обучающихся, развитие их способностей. Но можно выделить и различия.

Используя статью [29] сравним элективные и факультативные курсы. Сначала отметим сходство:

• 1. Сходство целей.
• • Целью факультативных занятий является «углубление знаний, развитие интересов, способностей и склонностей учащихся, их профессиональное самоопределение.
• • Цели элективных курсов аналогичны и лишь конкретизируются в зависимости от направления каждого курса.
• 2. Объединяет отсутствие государственных стандартов и государственного итогового контроля по результатам их изучения. Кроме того, большинство авторов элективных курсов не рекомендуют использовать традиционную пятибалльную систему оценки на занятиях. Как известно, знания и умения учащихся на занятиях факультативов также не принято оценивать традиционной оценкой.
• 3. Содержательно они могут далеко выходить за рамки школьных учебных предметов и не должны их дублировать.
• 4. Сходство и в том, что и факультативы, и элективы выбираются самими учащимися на основе их интересов и предпочтений.

Перечислим отличия факультативных и элективных курсов.

• 1. Как известно, факультативные курсы — это необязательные учебные занятия для всех учащихся, а элективные курсы — обязательный образовательный компонент для всех учеников общеобразовательных школ, их должен выбрать каждый ученик.
• 2. Ещё одна отличительная черта факультативных и элективных курсов — их разная продолжительность. Факультативные курсы представлены программами, рассчитанными на весь учебный год (минимум — 34 ч). Элективный курс может быть в широком диапазоне продолжительности (от 6−8 до 72 ч), рассчитанные на один-два месяца, одну четверть или одно полугодие. Таким образом, элективные курсы в отличие от факультативов могут быть краткосрочными.
• 3. Факультативные курсы, как правило, были вынесены за основную сетку занятий и проводились на 7−8 уроках или даже в свободный от занятий день, например в субботу. Элективные же курсы в рамках компонента базисных планов входят в сетку часов и проводятся наравне с другими уроками.
• 4. Учащимся одного класса или одной параллели классов мог быть предложен единственный факультатив по одному предмету. Но, поскольку элективные курсы выбирают все ученики и продолжительность курсов разная, их число должно быть значительно больше. В нормативных документах и научнометодической литературе указывается необходимость предложения избыточного количества разных элективных курсов (минимум 2−3 курса в профильном обучении).

Согласно ФГОС основного и среднего общего образования (соответственно 2010 и 2012 гг.), остался один термин — курсы по выбору (9−11 классы) [51, с. 7].

Кроме того, можно добавить следующие отличия курсов по выбору от факультативов:

• — Темы факультативных курсов предлагал учитель, а темы курсов по выбору выбираются учащимися.
• — Факультативные курсы были только предметными, а курсы по выбору нескольких типов.
• — Факультативные курсы начинались с 7 (8) класса, а курсы по выбору начинаются с 9 класса.
• — Факультативные курсы разрабатывались и проводились самим учителем, а для курса по выбору нужен соответствующий гриф.

Курсы по выбору на этапе предпрофильной подготовки В Концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования написано, что «реализация идеи профилизации обучения на старшей ступени общего образования ставит выпускника перед необходимостью совершения ответственного выбора — предварительного самоопределения в отношении профилирующего направления собственной деятельности» [24, с. 13].

Для этого разрабатывается система предпрофильной подготовки, которая составляет основу функционирования профильных классов.

Основной целью предпрофильной подготовки является самоопределение обучающихся в выборе профиля их дальнейшего обучения в 10,11 классах или пути получения будущей профессии.

Курсы по выбору в рамках предпрофильной подготовки для 9 классов должны знакомить обучающихся со способами деятельности, которые необходимы для успешного освоения программ определённого профиля, помогать в раскрытии своих познавательных интересов, формировать образовательные потребности, что позволит реализовать более осознанный выбор профиля обучения в старших классах. Также они могут включать материал, выходящий за рамки школьной программы.

Согласно федеральному базисному учебному плану [66] минимальный объём предпрофильной подготовки составляет около 100 учебных часов в год. Их рекомендуется распределять следующим образом: примерно 2/3 объёма (2 часа в неделю) отвести на предметные и ориентационные курсы, а 1/3 объёма выделить для информационной работы.

Курсы должны носить краткосрочный и чередующийся характер. Оптимальная продолжительность курса по выбору в предпрофильной подготовке 8−12 часов, а максимальная — 34 часа (2 часа в неделю) [37].

Согласно [29] курсы по выбору должны отвечать следующим требованиям:

• · у ученика должен быть выбор (один из одного — это не выбор);
• · наполнение курсов по выбору должно меняться, как минимум, 2 раза в год;
• · содержание курсов по выбору предпрофильной подготовки должно:
• — знакомить учащихся со способами деятельности, необходимыми для успешного освоения программы того или иного профиля и профессии;
• — включать материал, выходящий за рамки школьной программы. Классификации курсов по выбору. Существуют различные классификации курсов по выбору, рассмотрим некоторые из них.

В классификации, приведённой И. М. Смирновой [50, с.73], курсы по выбору для 9 класса разделяются на три типа: предметные (расширяют знания учащихся по тому или иному предмету); ориентационные (способствуют самоопределению школьников); информационные (информационная работа направлена на организацию знакомства учащихся с местными образовательными учреждениями).

Другая классификация курсов по выбору, реализуемых в предпрофильной подготовке [71]:

• 1) предметно-ориентированные курсы (пробные);
• 2) межпредметные (ориентационные) курсы.

К первому типу относятся курсы, направленные на углубление знаний по предмету. Они являются аналогом традиционных факультативов, которые дополняют базовую программу, не нарушая её целостности. Оптимальной продолжительностью одного такого курса может быть четверть или полугодие. Это позволяет обучающимся за год освоить минимум 2−4 курса по разным предметам [там же].

Задачи предметно-ориентированных курсов [там же]:

• • создание условий для реализации личных познавательных интересов к учебному предмету;
• • уточнение готовности и способности осваивать предмет на повышенном уровне;
• • создание условий к сдаче экзаменов по выбору, то есть к наиболее вероятным предметам будущего профилирования.

Ко второму — курсы, требующие синтеза знаний по определённым учебным дисциплинам. Их программы предполагают выход за рамки традиционных учебных предметов. Данные курсы являются ознакомительными, краткосрочными и часто сменяемыми. Оптимальная продолжительность одного курса — одна четверть [там же].

Задачи межпредметных курсов [там же]:

• • формирование у школьников способности и умения ориентации в мире современных профессий;
• • ознакомление на практике со спецификой типичных видов деятельности, соответствующих наиболее распространенным профессиям;
• • поддерживание мотивации к тому или иному профилю.

Отбор содержания, методов и форм проведения курсов по выбору в рамках предпрофильной подготовки учащихся. Главной целью образования является разностороннее развитие и формирование личности, обладающей системой знаний, умений и ценностных ориентаций. Одним из важнейших направлений модернизации системы образования является переход к профильному обучению на старшей ступени общего образования. В 9 классе перед учащимися стоит выбор предварительного самоопределения в отношении профилирующего направления своей будущей деятельности. В формировании интересов к тому или иному профилю у учащихся могут помочь различные курсы выбору в рамках предпрофильной подготовки. В свою очередь курсы по выбору являются необходимым условием эффективности профильного обучения и должны быть с ним тесно взаимосвязаны по содержанию, методам и формам организации образовательного процесса [19, с. 151]. В связи с этим в процессе организации курсов по выбору необходимо учитывать следующее [там же, с. 151]:

• 1. В условиях профильного обучения возникает проблема преемственности образования на разных этапах основной ступени общего образования, целостности и универсальности системы приобретаемых учащимися знаний. Следовательно, необходим специальный отбор и структурирование содержания курсов по выбору в соответствии с федеральными государственными стандартами основного [67] и среднего общего [68] образования, с тем чтобы обеспечить целостность и универсальность системы знаний учащихся, при этом следует раскрыть прикладную направленность курса.
• 2. Формы и методы организации предпрофильного обучения должны быть ориентированы не только на углубление, расширение и систематизацию знаний ученика по тому или иному предмету, но и создавать условия для создания учащимися своих склонностей и индивидуальных особенностей, самостоятельного выбора ими познавательной траектории и предоставлять возможность для её реализации.

В своей статье [51] И. М. Смирнова рассматривает и раскрывает критерии отбора содержания учебного материала для предметных курсов по выбору. Приведём их [там же, с. 8−12]:

• 1. Критерий целостности содержания.
• 2. Критерий преемственности содержания основного курса и курса по выбору.
• 3. Критерий научной и практической значимости.
• 4. Критерий соответствия содержания воспитательным и развивающим целям обучения.
• 5. Критерий соответствия содержания возрастным особенностям учащихся.
• 6. Критерий соответствия содержания индивидуальным особенностям школьников.
• 7. Критерий соответствия содержания учебно-методическому обеспечению.
• 8. Критерий соответствия содержания имеющемуся времени.

Эти критерии подробнее будут рассмотрены в Главе 2 при описании разработки содержания курса по выбору «Дедуктивные рассуждения в математике».

Индивидуальные и возрастные особенности учащихся 9 класса.

Возрастные особенности подростков. В книге под редакцией Б. А Сосновского говорится, что «подростковый возраст — период от 11−12 лет до 14−15 лет — зачастую называют переходным, критическим, переломным, тем самым подчеркивая трудности личностного развития самих подростков в эти годы и трудности взрослых, взаимодействующих с ними» [46, с. 461].

Т.В. Драгунова отмечает ряд характерных особенностей для подросткового возраста [12, с. 178]:

• • подростку важно, чтобы его взрослость была замечена окружающими;
• • для подростка важно, чтобы форма его поведения была не детской;
• • ценность для подростка некоторой работы определяется её «взрослостью»;
• • любимый герой подростка — человек активный, стремящийся к цели, преодолевающий серьёзные, почти непреодолимые препятствия и выходящий из них победителем. В любом начинании он предпочитает быть деятелем, а не наблюдателем;
• • склонность к мечтанию и фантазированию в сочетании со склонностью рассказывать о своих реальных (или выдуманных) качествах. «Ребята больше хотят что-то делать, чем реально делают»;
• • возникновение разнообразных «кодексов» (например, товарищества);
• • возникающие представления о нормах поведения провоцируют на обсуждение поведения взрослых.

В подростковом возрасте начинает ярко проявляться самостоятельность. Отмечают также, что «в этот период учащиеся многое могут делать самостоятельно и стремятся расширить сферу такой деятельности. В этом они находят возможность удовлетворения бурно развивающейся потребности быть и считаться взрослым» [там же, с. 178, 179].

В этом возрасте стремительно развиваются такие личностные качества, как самосознание и самооценка. Поведение и деятельность подростка во многом определяются особенностями самооценки. Так, например, при завышенной самооценке у него часто возникают конфликты с окружающими. Также самооценка оказывает влияние на самовоспитание подростка. А именно, оценивая свои особенности и возможности по сравнению с другими, он может намечать программу самовоспитания [там же, с. 181, 182].

Особенности учебной деятельности подростков. Учение для подростка, как и для младшего школьника, является главным видом деятельности. В его учебной деятельности «имеются свои трудности и противоречия, но есть и свои преимущества». Главным достоинством этого периода является «готовность подростка ко всем видам учебной деятельности, которые делают его взрослым в собственных глазах. … Беда же подростка состоит в том, что эту готовность он ещё не умеет реализовывать, так как не владеет способами выполнения новых форм учебной деятельности. Обучать этим способам, не дать угаснуть интересу к ним — главная задача педагога» [там же, с. 186].

В.С. Мухина в работе [30] отмечает, что «важным стимулом к учению являются притязания на признание среди сверстников. Высокий статус может быть достигнут с помощью хороших знаний: при этом для подростка продолжают иметь значение оценки. Высокая оценка даёт возможность подтвердить свои способности. Совпадение оценки и самооценки важно для эмоционального благополучия подростка. В противном случае могут возникнуть внутренний дискомфорт, и даже конфликт» [там же, с. 423].

Особенности когнитивного развития подростков. Согласно теории Ж. Пиаже в этот период у подростков начинает развиваться мышление на уровне формальных операций. В этом возрасте появляется способность рассуждать, используя абстрактные понятия; выдвигать гипотезы и предположения; делать логические, дедуктивные выводы из своих рассуждений и т. д.

В книге [46, с. 465, 466] со ссылкой на Ф. Райса отмечены наиболее существенные свойства подросткового мышления, к которым относят следующие три взаимосвязанные характеристики:

• • способность выявить связь между двумя или большим числом переменных либо разобраться в сложных отношениях;
• • способность строить мысленные предположения о возможном влиянии одной или нескольких переменных на другую переменную;
• • гипотетико-дедуктивное мышление. Процесс мышления включает выдвижение и систематическую проверку гипотез («если это верно, то произойдёт что-то»), в результате чего наиболее вероятная возможность выявляется ещё до опытной проверки. Это обратимое маневрирование между реальностью и возможностью является основным качеством мышления подростков.

В книге под редакцией Б. А Сосновского подмечена «другая характеристика подросткового мышления — способность к гибкости. Подростки способны мыслить и решать проблемы разносторонне, обосновывать различные интерпретации наблюдаемых результатов» [там же, с. 466].

В этом возрасте происходит дальнейшая интеллектуализация таких психических процессов, как восприятие, память и воображение.

Индивидуальные особенности учащихся. И. М. Смирнова отмечает, что «одним из основополагающих принципов современного обучения является его ориентация на всестороннее формирование личности каждого обучаемого, реализацию всех его задатков, склонностей, способностей, интересов и т. п. В основе такого обучения должны лежать индивидуально-психологические особенности учащихся. Обучение ориентируется и учитывает эти особенности» [53, с. 118].

Исследованием индивидуальных различий занимается специальный раздел психологии — «дифференциальная психология». Колоссальный вклад в разработку исследуемой проблемы внесли работы Б. М. Теплова и его учеников. В его работах заняло большое место исследование понятия «способность». По Б. М. Теплову понятие способность характеризуется тремя признаками [там же, с. 123]:

• 4. Под способностями разумеются индивидуально-психологические особенности, отличающие одного человека от другого.
• 5. Способностями называют не всякие вообще индивидуальные особенности, а лишь такие, которые имеют отношение к успешности выполнения какой-либо деятельности или многих деятельностей.
• 6. Понятие способности не сводится к тем знаниям, навыкам и умениям, которые уже выработаны у данного человека.

Б.М. Теплов и его ученики выделили два типа способностей: общие и специальные [там же, с. 124]. Рассмотрим специальные способности, в частности математические.

Математические способности у учащихся обнаруживаются в среднем школьном возрасте (примерно к 14−15 годам), но могут проявиться как немного раньше, так и немного позже [там же, с. 126].

В.А. Крутецкий выделил следующие математические способности [26,.

с.362]:

• 1) формализованное восприятие математического материала;
• 2) обобщение математического материала;
• 3) свёрнутость математического мышления — тенденция мыслить в процессе математической деятельности сокращёнными структурами;
• 4) гибкость мыслительного процесса;
• 5) стремление к своеобразной экономии умственных усилий — к изяществу решений;
• 6) математическая память.

Исследования, проведённые В. А. Крутецким, И. В. Дубровиной, С. И. Шапиро, показали, что все перечисленные компоненты начинают развиваться неодновременно.

В работе Г. Клауса «Введение в дифференциальную психологию учения» выделены две основополагающие особенности [53, с. 131, 132]:

• 1) межиндивидульные особенности, т. е. различия между людьми;
• 2) внутрииндивидуальные особенности, т. е. различия в учебной деятельности одного и того же человека.

Изучение возрастных и индивидуальных особенностей каждого ученика играет важную роль в обучении, т.к. позволяет выявлять и учитывать их интересы.

Обзор литературы по теме исследования.

Обзор нормативных документов. 17 декабря 2010 года Министерством образования и науки Российской Федерации был утверждён Федеральный Государственный Образовательный Стандарт (ФГОС). В нём изложены и систематизированы все требования к результатам, структуре и условиям освоения основной образовательной программы основного общего образования. «В основе Стандарта лежит системно-деятельностный подход, который обеспечивает … активную учебно-познавательную деятельность обучающихся» [67, с. 2].

Основой образовательных стандартов общего образования является системно-деятельностный подход, который базируется на обеспечении соответствия учебной деятельности обучающихся их возрасту и индивидуальным особенностям. Теоретическая основа этого подхода опирается на идеи, изложенные в работах отечественных педагогов и психологов: Л. С. Выготского, А. Н. Леонтьева, Д. Б. Эльконина, П. Я. Гальперина и др.

ФГОС устанавливает требования к результатам освоения обучающимися основной образовательной программы основного общего образования: личностным, метапредметным и предметным.

Среди личностных результатов освоения основной образовательной программы основного общего образования можно выделить формирование ответственного отношения к учению, способности обучающихся к саморазвитию, самообразованию, осознанному выбору и построению дальнейшей индивидуальной траектории образования на базе ориентировки в мире профессий и профессиональных предпочтений [там же, с. 5].

Из представленных в ФГОС метапредметных результатов отметим умение самостоятельно определять цели своего образования, развивать мотивы и интересы своей познавательной деятельности, умение устанавливать причинноследственные связи, строить логическое рассуждение, умозаключение (индуктивное, дедуктивное и по аналогии) и делать выводы. факультативный обучение математика предпрофильный Проведение логических обоснований и доказательств математических утверждений входит в число важных предметных результатов изучения предметной области «Математика и информатика» [там же, с. 12]. В результате изучения предметной области «Математика и информатика» обучающиеся развивают логическое и математическое мышление, овладевают математическими рассуждениями, развивают математическую интуицию [там же, с. 12].

В документе «Концепция развития математического образования в Российской Федерации» отмечено, что изучение математики играет системообразующую роль в образовании, развивая познавательные способности человека, в том числе к логическому мышлению, влияя на преподавание других дисциплин [25, с. 1].

В нормативном документе «Фундаментальном ядре содержания общего образования» указано, что одной из основных целей школьного математического образования является приобретение навыков логического мышления [69].

В том же документе указано, что «развитие личности в системе образования обеспечивается, прежде всего, через формирование универсальных учебных действий (УУД), которые выступают инвариантной основой образовательного и воспитательного процесса. Овладение учащимися универсальными учебными действиями выступает как способность к саморазвитию и самосовершенствованию путем сознательного и активного присвоения нового социального опыта. УУД создают возможность самостоятельного успешного усвоения новых знаний, умений и компетентностей, включая организацию усвоения, т. е. умения учиться» [там же, с. 38].

К УУД относятся личностные универсальные учебные действия; регулятивные действия; познавательные действия; коммуникативные универсальные учебные действия.

Из УУД, приведенных в [там же, с. 39−42], выделим следующие УУД, формируемые на разработанном нами курсе по выбору:

• • личностные универсальные действия: жизненное, личностное, профессиональное самоопределение;
• • регулятивные действия: целеполагание, планирование, прогнозирование, коррекция;
• • познавательные действия: универсальные логические действия (выведение следствий, установление причинно-следственных связей, построение логической цепи рассуждений, доказательство, выдвижение гипотез и их обоснование);
• • коммуникативные учебные действия: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками, умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации.

В соответствии с Примерной основной образовательной программой основного общего образования (ПООП ООО) выделим предметные результаты предметной области «Математика», которые близки к тем, которые будут формироваться на разработанном нами курсе по выбору, или совпадают с ними.

«Выпускник научится в 7−9 классах (для использования в повседневной жизни и обеспечения возможности успешного продолжения образования на базовом уровне) …

• приводить примеры и контрпримеры для подтверждения своих высказываний" [43, с. 84].

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• строить цепочки умозаключений на основе использования правил логики"[там же, с. 91,92].

«Выпускник получит возможность научиться в 7−9 классах для успешного продолжения образования на углублённом уровне …

• • свободно оперировать понятиями: высказывание, истинность и ложность высказывания, сложные и простые высказывания, отрицание высказываний; истинность и ложность утверждения и его отрицания, операции над высказываниями: и, или, не; условные высказывания (импликации);
• • строить высказывания с использованием законов алгебры высказываний.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• строить рассуждения на основе использования правил логики" [43, с. 102].

В содержательном разделе примерной основной образовательной программы основного общего образования говорится, что «согласно ФГОС основного общего образования в курс математики введен раздел „Логика“, который не предполагает дополнительных часов на изучении и встраивается в различные темы курсов математики и информатики и предваряется ознакомлением с элементами теории множеств» [там же, с. 341].

Обзор учебников по математике и информатике. Перейдем к изучению учебной литературы. В соответствии с Федеральным перечнем учебников [38] и приказом о внесении изменений в федеральный перечень учебников [36] рассмотрим учебники для основной ступени общего образования, в которых уделено внимание рассуждениям в математике.

Среди учебников для 5 и 6 классов выделим следующие учебники:

1. М. И. Башмаков «Математика. В 2-х частях.5 класс» [3] и «Математика. В 2-х частях.6 класс» [4].

«В соответствии с ФГОС Программа [6] выстраивает требования к освоению курса по трем направлениям — личностные, метапредметные и предметные результаты» [там же, с. 9].

Среди личностных результатов можно выделить: «Умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, обосновывать свою точку зрения и уважительно относиться к иным мнениям» [там же, с. 9]. Это подтверждается наличием в каждом параграфе учебника заданий на развитие грамотности математической речи.

В метапредметных результатах указано: «Умение выстраивать аргументацию, приводить примеры и контрпримеры» [там же, с. 11]. Это подтверждает необходимость обучения школьников рассуждать, чтобы сформировать это умение.

В учебнике М. И. Башмакова присутствует раздел «Повторение», где есть подраздел «Элементы логики». В нём рассматриваются понятия равносильности утверждений, следования; употребление логических связок «если…, то …», «в том и только том случае»; логические связки «и», «или» [там же, с. 14].

2. Г. В. Дорофеев, Л. Г. Петерсон «Математика (в 2-х частях). 5 класс» [15.] и «Математика (в 3-х частях). 6 класс» [16].

В соответствии с ФГОС ООО в программе по математике 5−6 классов предусмотрены активные формы работы, направленные … на обеспечение развития интеллекта, приобретение практических навыков, умений проводить рассуждения, доказательства [41, с. 1].

В рабочей программе отмечено, что «самое серьезное внимание уделяется в 5−6 классах развитию логической линии. Отличительной чертой данной программы является то, что „логический материал“ располагается не отдельным блоком, а вводится порционно, чаще всего на нематематическом материале. Таким образом, логико-языковая линия развертывается в цепочку взаимосвязанных вопросов: математический язык — высказывания — доказательство — методы доказательства — определения — равносильные предложения — отрицание — логическое следствие — теорема. При этом новые логические понятия и отношения вначале выполняют самостоятельную роль как объекты изучения, а затем подчиненную, служебную роль при решении задач в связи с рассмотрением чисто математических вопросов» [там же, с. 22, 23].

В учебнике для 5 класса [15] представлена первая глава «Математический язык», содержащая три параграфа: 1. Математические выражения. 2. Математические модели. 3. Язык и логика.

В 3 параграфе в пунктах 4 и 5 рассказывается о том, как доказываются общие утверждения. В каждом пункте параграфа представлены: теоретический материал, задачи с решениями, задания, направленные на закрепление полученных знаний. А также в конце главы имеются задачи для самопроверки.

Во второй главе содержится параграф «Ещё немного логики», в котором говорится о равносильности предложений.

Учебник для 6 класса [16] содержит главу «Язык и логика», которая состоит из двух параграфов: 1. Отрицание высказываний. 2. Переменная.

К этим параграфам авторы предлагают различные задания, в том числе и задания на доказательство или опровержение утверждений.

Проанализируем учебники по алгебре для обучающихся 7−9 классов:

1. М. И. Башмаков «Алгебра. 8 класс» [2].

В пояснительной записке [5] отмечено: «Учебники написаны в русле реализации концепции продуктивного обучения…» [там же, с. 1]. В них автор выделил «шесть важнейших стилей», одним из которых является «дедуктивный (решение задач на доказательство, проведение дедуктивных рассуждений)» [там же, с. 1]. В соответствии с ФГОС «особое внимание уделяется формированию … логических действий» [там же, с. 3]. Логические действия включают: выведение следствий, построение логической цепи рассуждений, доказательство, выдвижение гипотез и их обоснование. [8, с. 35, 36]. Отмечено, что «особенностью раздела „Логика и множества“ является то, что представленный в ней материал изучается и используется распределенно? в ходе рассмотрения различных вопросов курса. Соответствующий материал нацелен на математическое развитие учащихся, формирование умения точно, сжато и ясно излагать мысли в устной и письменной речи» [7, с. 2].

В первой главе в пунктах 3 и 4 учебника [2] рассматриваются следующие понятия: равносильность утверждений, логическое следование, логические связки «если…, то…», «в том и только том случае», логические связки «и», «или» [7, с. 39].

2. Ю. М. Колягин, М. В. Ткачёва и др. «Алгебра. 9 класс» [21].

В курсе алгебры присутствует содержательный компонент «Элементы комбинаторики, теории вероятностей, статистики и логики» [1]. Он является обязательным компонентом школьного образования.

В этом учебнике представлена глава «Множества. Логика», содержащая следующие параграфы: «Множества», «Высказывания. Теоремы», «Следование и равносильность».

Изучив этот материал, обучающиеся должны «уметь … проводить несложные доказательства, получать простейшие следствия из известных или ранее полученных утверждений, оценивать логическую правильность рассуждений, использовать примеры для иллюстрации и контрпримеры для опровержения утверждений» и «использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для … распознавания логически некорректных рассуждений» [22].

Помимо учебников, входящих в федеральный перечень, рассмотрим учебник, который не входит в этот перечень: Л. Г. Петерсон, Д. Л. Абраров, Е. В. Чуткова «Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 7 класс» [40]. Этот учебник является непосредственным продолжением непрерывного курса математики 5−6 классов. Он содержит главу «Построение математической модели», в которой есть параграф «Основы построения математической теории».

В этом параграфе в пункте 2 говорится о методах математического доказательства. Некоторые из них были изложены ранее, например, «метод перебора» и «метод проб и ошибок». Также встречались и «косвенные доказательства», но их не выделяли в отдельную группу. В этом параграфе ученики знакомятся с одним из способов косвенного доказательства. Им является «доказательство методом от противного». К каждому методу математического доказательства приведены разобранные авторами задачи и рекомендации по применению этого метода.

Пункты «Логический вывод» и «Логические ошибки» являются материалом повышенного уровня. В них рассматриваются правильные рассуждения и некоторые наиболее распространенные логические ошибки. Среди них:

• • «порочный круг» (попытка доказать некоторое утверждение, используя при доказательстве истинность доказываемого утверждения);
• • попытка доказать некоторое утверждение, исходя из ложного предположения;
• • распространение общего правила на те случаи, которые являются исключениями из этого правила (данная группа ошибок связана с применением общего правила в тех случаях, на которые это правило не распространяется);
• • замена одного утверждения неравносильным другим;
• • неточные формулировки и двусмысленность понятий.

К каждой ошибке приведено рассуждение или задача и анализ причин противоречия. В конце этого пункта авторы приводят «правила логических рассуждений», которые помогут избегать подобных ошибок или своевременно их отыскивать, а также задачный материал.

Помимо учебников по математике нами рассмотрены учебники по информатике: Л. Л. Босова, А. Ю. Босова «Информатика. 8 класс» [9], И. Г. Семакин «Информатика. 8 класс» [49], Н. Д. Угринович «Информатика и ИКТ. 9 класс» [64]. В этих учебниках на изучение логических вопросов отводится по 4 часа. Рассматриваются элементы алгебры логики и логические операции.

Факультативные и элективные курсы по тематике, связанной с рассуждениями. Рассмотрим некоторые разработанные факультативные и элективные курсы по математике, в которых уделено внимание рассуждениям.

• 1. Н. Я. Виленкин, Р. С. Гутер и др. «Факультативный курс. Избранные вопросы математики (7−8 кл.) [10]
• 2. И. Л. Никольская «Факультативный курс по математике» [65]

Данные факультативные курсы будем рассматривать вместе, так как их содержательные части почти идентичны (в [там же] отсутствуют пункты.

«Связь операций над высказывательными формами с их множествами истинности» и «Уравнения, неравенства и тождества»). Различаются эти пособия по количеству упражнений (в [10] 124 упражнения, а в [65] - 70), но значительная их часть совпадает.

В рассмотренных факультативных курсах не было найдено материала про дедуктивные рассуждения. Среди заданий были обнаружены упражнения, связанные с рассуждениями.

3. А. Д. Гетманова «Логические основы математики» [13].

В данном элективном курсе уделяется внимание дедуктивным умозаключениям (Тема V), к которым относятся: непосредственные умозаключения, категорический силлогизм, в том числе: сокращённый категорический силлогизм (энтимема), сложные и сокращенные силлогизмы (полисиллогизмы и сориты), а также условные, разделительные умозаключения и условно-разделительные (лемматические) умозаключения (дилемма, трилемма).

В этом пособии приведено большое количество заданий, некоторые из них имеют пояснения. Так же в [27] представлен теоретический материал для изучения данной темы.

Хочется отметить, что в этом элективном курсе используются задания, опирающиеся на стихи, отрывки из рассказов или романов.

Изучив найденные факультативные и элективные курсы, близкие по теме к разрабатываемому курсу по выбору, отметим, что курса по выбору для школьников, полностью посвящённого дедуктивным рассуждениям в математике, мы не нашли.

Популярная литература для школьников. Рассмотрим популярную литературу для школьников, относящуюся к нашей теме исследования.

А.А. Столяр в книге «Зачем и как мы доказываем в математике» [55] в форме беседы разбирает следующие вопросы: Что же такое доказательство? Как устроены математические предложения? Что из чего следует? Как мы доказываем в математике? Как найти доказательство? В ходе обсуждения, автор приводит различные примеры задач, которые связанны с рассуждениями и доказательствами.

В книге для учащихся 6−10 классов «Учимся рассуждать и доказывать» [35] И. Л. Никольской и Е. Е. Семенова рассказывается о правильных рассуждениях, следованиях, законах логики. Она состоит из двух частей: «Азбука рассуждений» и «Рассуждаем и доказываем». Повествование выстроено в форме историй с введением логических понятий, примеров и заданий. В ней выделены знания и умения, которыми, по мнению авторов, должен владеть школьник: понимать значение связок «и» и «или», высказываний «Если…, то…», «Тогда и только тогда, когда», «Неверно, что…», уметь строить отрицание высказываний, содержащих кванторы и т. д.

В книге И. Р. Высоцкого и И. В. Ященко «Математика для нелюбителей» [11] содержится глава «Логика», в которой рассматриваются утверждения, отрицания к утверждениям, противоположные утверждения, доказательства и контрпримеры. Авторы рассказывают материал с помощью примеров и предлагают задачи на отработку полученных знаний для самостоятельного решения.

В статье [34] И. Л. Никольской и Н. Г. Саблиной, опубликованной в журнале «Квант», в форме рассказа рассматриваются предложения в условной форме, т. е. вида «Если А, то В»,, а также с помощью таблицы истинности устанавливаются логические взаимосвязи между предложениями «Если А, то В» и «Если не-В, то не-А», «Если В, то А» и «Если не-А, то не-В».

Методическая литература. Проанализируем методическую литературу, связанную с темой нашего исследования.

Известный специалист по проблемам развития логического мышления школьников, А. А. Столяр, внёс большой вклад в методику преподавания математики. В своих исследованиях он уделяет особое внимание проблемам обучения рассуждениям в математике и доказательствам.

В работе А. А. Столяра «Педагогика математики» [57] рассматриваются «педагогические проблемы, объединяемые вопросами „чему учить“ и „как учить“, т. е. проблемы содержания и методов обучения математике» [там же, с. 5]. Одной из таких проблем является логическая организация математического материала. В [там же] А. А. Столяр рассматривает дедукцию и индукцию рассуждений, правила вывода, используемые в математических доказательствах. Также уделяет внимание доказательствам, а именно обучению доказательству. Рассказывает, что поиск доказательства направляется тремя основными вопросами: «ЧТО? ОТКУДА? КАК?» [там же, с. 159], приводятся примеры доказательств.

В этой же книге [там же] приведена методика анализа рассуждений средствами логики высказываний, которая содержит: а) рассмотрение рассуждений одинаковой структуры, но различного содержания; б) обобщение и абстрагирование формы рассуждения от его содержания; в) запись схемы рассуждения (правил вывода) на языке логики высказываний; г) установление допустимости (или недопустимости) полученного правила вывода [там же, с. 222, 223]. Приведены примеры рассуждений в качестве иллюстрации этой методики.

В книге «Логические проблемы преподавания математики» [56] А. А. Столяр рассматривает методику постепенного ознакомления учащихся с некоторыми логическими операциями и правилами вывода. Приводит примеры применения логических знаний учащихся на геометрическом, алгебраическом материале, который может быть заменён любым другим соответствующим материалом той же логической структуры.

В работе «Методика обучения учащихся доказательству математических предложений» [14] В. А. Далингер отмечает, что пропедевтическую работу по подготовке учащихся к доказательству необходимо начинать на уровне 5, 6 классов и, конечно, продолжать в 7−9 классах. К основным направлениям пропедевтической работы относятся: знакомство учащихся с простыми и сложными высказываниями и значениями их истинности, обучение учащихся умению выделять условие и заключение в математических утверждениях, формирование у учащихся умений выведения следствий из заданных условий, проведения доказательных рассуждений и т. д. [там же, с. 42].

В книге И. В. Ященко и С. А. Шестакова «Подготовка к ЕГЭ по математике в 2017 году. Базовый уровень» [73] содержатся методические рекомендации с разбором задач. К задаче № 18 приведены следующие рекомендации [там же, с. 20, 21]. Характеристика задания: задание, проверяющее умение проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать логическую правильность рассуждений, распознавать некорректные рассуждения.

Комментарий: для решения задачи достаточно анализировать предложенные утверждения и делать правильные выводы на их основании.

Кроме того, приведён пример задания на отношение порядка с решением. В статье [59] И. Л. Тимофеева рассматривает вопросы, близкие к обучению дедуктивным рассуждениям: формирование понятия доказательства в виде дерева, логическое строение доказательства, а также правила вывода, как формальное отражение элементарных шагов доказательства [там же].

Отметим также книгу известного математика и педагога Д. Пойа «Математика и правдоподобные рассуждения» [42]. Она состоит из двух частей. В первой части книги автор раскрывает возможности применения индукции и аналогии в математике. Он считает, что индуктивные рассуждения изучать легче в области математики, чем в какой-либо другой области [там же, с. 9, 10]. Во второй части книги автор формулирует правила индуктивного («правильного») рассуждения похожие на логические правила вывода. Для теоретического обоснования этих правил он использует теорию вероятностей [там же, с. 10].

Кроме того, отметим учебное пособие И. Л. Тимофеевой, И. Е. Сергеевой, Е. В. Лукьяновой «Вводный курс математики» [58]. В нём в предисловии говорится о том, что «В последнее время неуклонно увеличивается разрыв между уровнем математической (прежде всего, логической) грамотности выпускников средних общеобразовательных школ, пришедших учиться на математические факультеты педагогических вузов, и уровнем, необходимым студентам для успешного изучения математических дисциплин в высшей школе» [там же, с. 3]. К тому же понижается уровень логической подготовки выпускников.

В данном пособии содержится глава «Математические рассуждения и их строения». Приведённый теоретический материал, как в этой главе, так и в других главах, можно использовать для проведения курса по выбору «Дедуктивные рассуждения в математике», предварительно адаптировав его для школьников.