Разработка элементов модульной технологии обучения математике в 6-ом классе

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования

" Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины"

Математический факультет Кафедра высшей математики РАЗРАБОТКА ЭЛЕМЕНТОВ МОДУЛЬНОЙ ТЕХНОЛОГИИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В 6-ОМ КЛАССЕ Дипломная работа Исполнитель:

Студент группы М-61 И. М. Смирнова Научный руководитель:

к. ф. — м. н., доцентВ.Г. Ермаков Рецензент:

к. ф. — м. н., профессор В. И. Мироненко Гомель 2006

• Введение
• 1. Об актуальности, проблемах и резервах введения курса теории вероятностей в школьный курс математики
• 1.1 О целесообразности введения теории вероятностей в школе
• 1.2 О способах решения проблем введения теории вероятностей в школьный курс математики
• 2. Методика изложения теории вероятностей в школе
• 2.1 Методы обучения
• 2.2 Знакомство школьников с миром вероятностей
• 3. Методические элементы введения комбинаторики
• 3.1 Фигурные числа
• 3.2 Магические квадраты
• 3.3 Латинские квадраты
• 3.4 Различные комбинации из трех элементов
• 3.5 Таблица вариантов и правило произведения
• 3.6 Перестановки
• Заключение
• Литература

В данной дипломной работе рассмотрен вопрос об актуальности, проблемах и резервах введения элементов теории вероятностей в школьный курс математики.

Актуальность такой постановки вопроса определяется в первую очередь тем, что человеку теперь приходится жить в сложном, быстро меняющемся мире, в котором детерминистические модели описания действительности теряют свою былую силу. В этих условиях право гражданина на осознанный выбор уже нельзя осуществить без умения делать выводы и прогнозы на основе анализа и обработки зачастую неполной и противоречивой информации. По этой причине во многих странах предпринимаются попытки включить элементы теории вероятностей в школьный курс математики. Различные аспекты такого введения широко обсуждались и в процессе проведения реформы математического образования в советской школе. Дискуссии по этому поводу продолжаются и поныне.

Цель данной дипломной работы состояла в том, чтобы, опираясь на существующие точки зрения по данной проблеме, исследовать этот вопрос практически — путем разработки пропедевтического факультативного курса теории вероятностей для учащихся средней школы.

Проведенный в первой части дипломной работы анализ соответствующего опыта ряда стран и основных аргументов по вопросу о включении этой теории в школьный курс математики привел к выводу о том, что сдерживают это введение представления об особой трудности для учащихся этого раздела математики и опасения в излишней перегрузке учащихся.

Далее в дипломной работе эти проблемы были проанализированы с точки зрения общей методики преподавания математики. Изучение работ Э. В. Ильенкова о природе человеческих способностей, теории поэтапного формирования умственных действий и понятий П. Я. Гальперина, теоретических основ методики преподавания математики Л. М. Фридмана, теории развивающего образования В. Г. Ермакова и работ других авторов позволило сделать заключение о том, что для совершенствования математического образования есть достаточно большой запас резервов. Поэтому вопрос о введении теории вероятностей в школьный курс математики можно считать методической проблемой.

Во второй части дипломной работы представлен разработанный факультативный курс теории вероятностей для школьников.

На наш взгляд, заслуживает внимания методика обучения учащихся теории вероятностей, которая основывается на понятии логико-методической модели «эксперимент». Эксперимент — это модель опыта с конечным множеством исходов. Как и в любой модели здесь выделено главное: множество исходов и возможность наступления каждого из них. Некоторые эксперименты доступны детям младшего школьного возраста.

Благоприятствует включению теории вероятностей тот факт, что она требует весьма немногого от технически формализованной математики. Например, если учащиеся овладели действиями с дробями, то можно продвинуться достаточно далеко. Освоение начальных разделов алгебры позволяют сформулировать теоретико-вероятностные принципы в общем виде. Теорию вероятностей можно применять также непосредственно, как и элементарную арифметику, т. е. с помощью моделей, которые каждый может понять сразу.

Правильное понимание теории вероятностей является прекрасной возможностью показать школьникам процесс математизации — и это практически единственная возможность после элементарной арифметики, вслед за которой плохо усвоенная дедуктивность делает непонятными другие ветви математики.

В данной дипломной работе учтены прекрасные опыты введения теории вероятностей уже на ранних стадиях обучения. Например, идея А. Энгеля пронизывает элементами теории вероятностей изучение дробей в младших классах, считая такое приближение к реальной действительности полезным. В подходе А. Энгеля удается добиться непрерывности изучения теории вероятностей.

Существующая программа школьного математического образования создает для введения теории вероятностей хорошую почву, поскольку, учитывая требования к современному обучению и возможности современных учеников, она предусматривает формирование у учащихся элементов математических понятий и логической структуры мышления. Проблема лишь в том, что многие учителей сами затрудняются в преподавании такого рода понятий, которые относятся к математической логике, что и сдерживает введение в школьный курс математики теории вероятностей и статистики. Поэтому пропедевтический курс теории вероятности должен содержать специальные блоки задач, направленных на формирование навыков моделирования, на укрепление общей математической культуры учащихся.

Замечания.

1) В первой главе рассмотрен вопрос об актуальности и проблемах введения элементов теории вероятностей и математической статистики.

2) Методика работы для факультативного курса по введению элементов теории вероятностей и элементов комбинаторики в школе рассматривается во второй и третьей главах.

3) Нумерация примеров сквозная.

1. Об актуальности, проблемах и резервах введения курса теории вероятностей в школьный курс математики

1.1 О целесообразности введения теории вероятностей в школе

Существует много аргументов, показывающих важность изучения школьниками элементов теории вероятностей. На данный момент этот вопрос является одним из важнейших аспектов модернизации содержания математического образования, что обусловлено ролью, которую играет вероятностно-статические знания в общеобразовательной подготовке современного человека. Без минимальной вероятностно-статической грамотности трудно адекватно воспринимать социальную, политическую, экономическую информацию и принимать на её основе обоснованные решения.

В нашу жизнь властно вошли выборы и референдумы, банковские кредиты и страховые полисы, таблицы занятости и диаграммы социологических опросов. Общество все глубже начинает изучать себя и стремиться сделать прогнозы о самом себе и о явлениях природы, которые требуют представлений о вероятности.

Полноценное существование гражданина в сложном, вариантном и многоукладном обществе непосредственно связано с правом на получение информации, с ее доступностью и достоверностью, с правом на осознанный выбор, который не возможно осуществить без умения делать выводы и прогнозы на основе анализа и обработки зачастую неполной и противоречивой информации.

Как следствие этих обстоятельств на станицах научных журналов ведется напряженное обсуждение важности и актуальности теории вероятности в современном обществе. Е. А. Бунимович, автор одной из таких работ, пишет: «Мы должны научить наших детей жить в вероятностной ситуации. А это значит извлекать, анализировать и обрабатывать информацию, принимать обоснованные решения в разнообразных ситуациях со случайными исходами.

Ориентация на демократические принципы мышления, на многовариантность возможного развития реальных ситуаций и событий, на формирование личности, способной жить и работать в сложном, постоянно меняющемся мире, с неизбежностью требует развития вероятностно-статического мышления у подрастающего поколения. Эта задача может быть решена в школьном курсе математики на базе комплекса вопросов, связанных с описательной статистикой и элементами математической статистики, с формированием комбинаторного и вероятностного мышления".

Однако не только социально-экономическая ситуация диктует необходимость формирования у нового поколения вероятностного мышления. Вероятностные законы универсальны. Они стали основой описания научной картины мира. Современная физика, химия, биология, социология, демография, лингвистика, философия, весь комплекс социально-экономических наук построены и развиваются на вероятностно — статической базе.

Вот, что пишут биологи Н. В. Глотов и О. В. Глотова: «Много лет назад занимаясь преподаванием генетики и биометрии (математических методов в биологии) в разных вузах и в биологии в школе, мы обратили внимание, что трудности, которые возникают и у учащихся, и у преподавателей при изучении ряда биологических проблем, связаны с несовершенством программ математического образования в школе. Отсутствие теории вероятностей и статистики в школьной программе препятствует формированию естественного взгляда на мир, который совершенно необходим любому человеку в современном обществе, независимо от того, кем он станет и чем будет заниматься в жизни… Сейчас в общем курсе школьной математики нет никаких элементов теории вероятности и статистики. Если же ученик сталкивается с этими разделами при изучении углубленного курса математики (а в биологических вузах таких много), то такого краткого знакомства с этими дисциплинами недостаточно; необходимо не просто научить решать какие-то частные задачи, но выработать элементы вероятностно-статического мышления. Иногда говорят, что мы живем в вероятностном мире. Может быть, это слишком сильное утверждение. Скорее, мы живем в детерминистско-вероятностном мире. Однако когда речь идет о живом, вероятностный аспект усиливается» [16, с. 64 — 65].

Подросток не отделен от этого мира глухой стеной, да и в своей жизни он ежедневно сталкивается с вероятностными ситуациями. Игра и азарт составляют существенную часть жизни ребенка. Круг вопросов, связанных с соотношениями понятий «вероятность» и «достоверность», проблема выбора наилучшего из нескольких вариантов решения, оценка степени риска и шансов на успех, представление о справедливости и несправедливости в играх и в реальных жизненных коллизиях — все это, несомненно, находится в сфере реальных интересов подростка. Подготовку к решению таких проблем и должен взять на себя курс школьной математики.

Одновременно само знакомство школьников с очень своеобразной областью математики, где между черным и белым существует целый спектр цветов и оттенков, возможностей и вариантов, а между однозначными «да» и «нет» существует еще и «быть может» (причем это «быть может» поддается строгой количественной оценке!), способствует устранению укоренившегося ощущения, что происходящее на уроке математики никак не связано с окружающем миром, с повседневной жизнью.

Именно вероятностно-статическая линия, или, как ее стали называть в последнее время, — стохастическая линия, изучение которой невозможно без опоры на процессы, наблюдаемые в окружающем мире, на реальный жизненный опыт ребенка, способна содействовать возвращению интереса к самому предмету «математика», пропаганде его значимости и универсальности.

Работы психологов утверждают, что наиболее благоприятен для формирования вероятностных представлений возраст 10−13 лет, что примерно соответствует V-VII классу.

В течение последних десятилетий элементы теории вероятностей и комбинаторики то вводились разделом в курс математики общеобразовательной школы, то исключались вообще. Внимание, которое уделяется этому учебному предмету во всем мире, позволяет предположить, что концепция его введения является актуальной.

Рассмотрим подробно вопрос о том, как проблема внедрения теории вероятности и математической статистики решается в средних школах ряда зарубежных стран. Ограничимся анализом, для примера, четырьмя развитыми капиталистическими странами: Великобританией, США, Японией и Францией.

В английской школе даже на самом низком уровне и на этапе начального обучения предусмотрено владение некоторыми вероятностными умениями и навыками. Экзамен на получение Общего аттестата об образовании в последние годы включает пять основных тем, одной из которых является — элементы теории вероятностей и математической статистики. Получить представление о требованиях к вероятностной подготовке английских школьников можно, если рассмотреть содержание тех задач, которые предлагаются учащимся на экзаменах. Эти требования оказываются достаточно высокими.

Для получения Общего аттестата об образовании обычного уровня школьники должны владеть следующим материалом по теории вероятностей: вероятность события, комбинация событий, случайная величина, биномиальное распределение, сложение и умножение вероятностей, математическое ожидание, медиана.

Для отдельных групп учащихся уровень требований к их знаниям значительно выше. Мы имеем в виду тех учащихся, которые сдают экзамен для получения Общего аттестата об образовании повышенного уровня по программе SMP (School Mathematics Project).

Математическая подготовка школьников в США неоднородна. Это связано со спецификой системы образования в США, выражающейся в делении учащихся по способностям, начиная с первых лет обучения в школе. Две трети всех учащихся изучают математику на самом элементарном уровне. Теоретико-вероятностные знания преподаются в основном в старшей средней школе, однако, в некоторых программах младшей средней школы встречаются понятия вероятности и элементарные сведения статистики. Углубленное изучение теоретико-вероятностных вопросов осуществляется в старшей средней школе лишь незначительным числом наиболее способных к математике учеников. Подготовка таких учеников довольно серьезная, и сами обучаемые достигают высоких успехов.

Несмотря на довольно узкий охват школьников США обучению стохастики, следует подчеркнуть широкую методическую установку педагогов. В методических рекомендациях школ США отмечается важность понимания вероятностных закономерностей для современного гражданина, которому предстоит ориентироваться в информационном потоке. Предполагается широко использовать игры, игровые ситуации для построения вероятностных моделей и определения вероятности выигрыша.

При обучении японских школьников систематически, с начальной школы, развиваются представления о вероятностных методах и методах математической обработки результатов наблюдений. Минимальная математическая подготовка оканчивающего среднюю старшую школу включает довольно значительный объем материала: элементарные сведения по комбинаторике, случайные события и способы их изучения. Программа максимального объема содержит элементы теории вероятностей и математической статистики. Японские педагоги-математики и методисты-математики много сделали по преподаванию стохастики. В частности, авторы учебников удачно излагают на доступном уровне все основные понятия теории вероятностей. Объем теоретико-вероятностного цикла составляет 2,5% от общего объема математики.

За введение элементов теории вероятности во французскую школу издавна выступали прогрессивные деятели народного образования Франции. Об этом свидетельствуют проекты программ тех лет. Действующие в настоящее время программы по теории вероятности и математической статистике были приняты в конце 60-х годов, незначительные изменения направлены лишь в сторону большей доступности изложения материала в 1981 — 85 годах. Как в образовательной, так и в профессиональной французской школе элементы теории вероятностей и математической статистики преподаются во II цикле, начиная с 16-летнего возраста учащихся. Но в настоящее время французские педагоги ищут и находят пути более раннего (с 13-летнего возраста) обучения школьников основам теоретико-вероятностным знаниям.

Вопрос о модернизации школьного математического образования в отечественной школе был поставлен в начале 60-х годов выдающимися математиками Б. В. Гнеденко, А. Н. Колмогоровым, А. Я. Хинчиным. Обращаясь к широкому кругу читателей — математиков, педагогов и методистов, — Б. В. Гнеденко писал: «Сейчас крайне назрела потребность введения в школьное обучение элементов теории вероятностей: В этом нуждаются и методологическое воспитание школьников, и последующая практическая деятельность их, и межпредметные связи». В связи с реформой школьного математического образования, проводимой в 60-е годы, появился целый ряд работ ученых методистов, которые ставили своей целью разработать методику преподавания теории вероятностей как отдельной темы школьного курса математики. Однако в 70-х годах из обязательных программ были исключены даже самые начальные сведения по теории вероятностей в силу неподготовленности школы к их восприятию. Реформой 80-х годов элементы теории вероятностей и математической статистики были включены в программы профильных классов, в частности, физико-математического и естественнонаучного.

Несмотря на то, что идея введения стохастической линии в школьный курс математики разрабатывается уже почти 40 лет и встречает практически полную поддержку в среде математиков и педагогов-практиков, в практику нашей школы теория вероятностей и математическая статистика введена лишь номинально. Основными причинами такого положения дел является нетрадиционность, новизна этого материала для самой математики, отсутствие прочных методических традиций преподавания его школьникам, неподготовленность части учителей к изложению материала в духе прикладной, а не чистой математики. Но самое главное — социально-экономическое состояние общества, при котором умение грамотно анализировать имеющуюся информацию, делать научно обоснованные прогнозы, предвидеть последствия принимаемых решений, — а все это призвана формировать вероятностно-статистическая линия курса математики, — осталось невостребованным.

В Российской Федерации также были попытки ввести курс теории вероятностей в качестве эксперимента в нескольких школах. Для этого разработано учебное пособие: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. «Алгебра: Элементы статистики и теории вероятностей» для учащихся 7 — 9 классов. Появились учебники, включающие элементы комбинаторики, статистики, теории вероятностей: а) «Математика»: учебник для 5 классов общеобразовательных учреждений (под редакцией Г. В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина), б) «Арифметика»: учебник для 5 классов общеобразовательных учреждений (под редакцией С. М. Никольского, М. К. Потапова, Н. Н. Решетникова, А.В. Шевкина) и другие учебники.

Однако, несмотря на то, что изучение элементов теории вероятностей, как уже общепризнано, необходимо любому современному человеку, в журнале «Математика в школе» была опубликована статья О.С. Ивашев-Мутасова, в которой сказано: «…решение вероятностных задач с самого начала требует существенного привлечения интуиции и здравого смысла. Это абсолютно не присуще курсу математики в средней школе. Поэтому введение теории вероятностей в средней школе — противопоказано» .

Примечательно, что после этой статьи на страницах журнала больше не было ни одного упоминания о теории вероятностей!

Основные аргументы за и против введения элементов теории вероятностей систематизированы в следующей таблице (таблица 1).

Таблица 1

В настоящее время принципиально изменилась ситуация в обществе, и это позволяет предположить, что формируемые вероятностным материалом знания и умения окажутся необходимыми широкому кругу людей и станут наравне с компьютерной грамотностью неотъемлемой составляющей общекультурной подготовки современного человека.

1.2 О способах решения проблем введения теории вероятностей в школьный курс математики

Рассмотрим вопрос о том, что необходимо изменить для возможности ведения теории вероятностей в школьный курс математики.

На сегодняшний день встает проблема организации учебной деятельности. Одним из путей решения изучаемой нами проблемы в обучении учащихся различным приемам самостоятельного познания, в активизации позиции ученика в процессе обучения, а также в применении деятельностно-ориентированного обучения. «Плохой учитель преподносит истину, а хороший учит находить ее самостоятельно» (А. Дистерерг).

Одной из преград введения теории вероятностей в школьный курс математики является фактор времени. Эту проблему можно решить при применении более тонких методических средств, таких как ориентировочное, целенаправленное действие, самообразование, познавательная активность школьников.

Проблема развития у школьников познавательной активности и самостоятельности издавна привлекала внимание ученых. Её изучали такие выдающиеся мыслители и педагоги, как Я. А. Коменский, Джон Локк, Ж. Ж. Руссо, И. Г. Пестолоцци, А. Дистерверг. Педагоги прошлого возлагали большие надежды на активные методы обучения, на внесение в процесс обучения исследовательского начала, на исключение догматики, формирование у учащихся мыслительных операций (анализ, обобщение, группировку). Выступали против зубрежки и схоластики в школе, за воспитание у школьников творческой активности. По их мнению, процесс обучения должен служить всестороннему развитию личности.

Бондаревский В.Б. говорит о том, что «главной задачей должно стать не воспитание человека, способного поступать правильно в тот момент, когда он находится под контролем родителей, учителей и т. д., а человека, способного к внутреннему самоконтролю, прекрасно понимающего значение самообразования и самовоспитания, умеющего творчески и содержательно организовывать свою жизнь» [2, c.31−33].

Фридман Л.М. в своем пособии «Теоретические основы методики обучения математике» пишет: «Постановка обучения математике в школах вызывает всеобщее недовольство. Американский исследователь С. Пейперт считает, что „тот род математики, который навязывается детям школой, бессмыслен, скучен и крайне беспомощен“. И в нашей стране все время раздаются голоса, осуждающие постановку обучения математике. Знания многих учащихся средних школ все еще страдают формализмом. Во многих случаях они крайне непрочны. Успеваемость недостаточна. Заучивание фактов зачастую преобладает над пониманием и умением применять методы. Самостоятельное мышление развивается совершенно недостаточно. Приобретенные знания забываются очень быстро. С тех пор положение с обучением математике в наших школах не только не улучшилось, но стало еще хуже. Многие обращают внимание на оторванность школьной математики от жизни» .

Фридман Л.М. выделил принципы организации учебного процесса, к которым отнес следующие: принцип развития самодеятельности, принцип самоорганизации, принцип индивидуального подхода, принцип ролевого участия школьников в учебном процессе, принцип личной ответственности, принцип психологического обеспечения учебного процесса, а также дифференцированное обучение. Где в поддержку принципа самоорганизации он приводит следующие слова психолога С. Л. Рубинштейна: «Всякая попытка воспитателя — учителя „внести“ в ребенка познание и нравственные нормы, минуя собственную деятельность ребенка по овладению ими, подрывает, как это отлично понимал еще Ушинский, самые основы здорового умственного и нравственного развития ребенка, воспитания его личностных свойств и качеств».

А что касается принципа самодеятельности, то Фридман говорит: «Самостоятельность личности — это такая деятельность человека, которая обеспечивает ему свободу выбора решений, носит творческий характер, реализует его инициативы, выполняется самостоятельно на основе мастерства, приобретенного в процессе обучения. Она имеет особую воспитательную ценность, когда в ней объединяются личностные интересы и ответственность за дело своего коллектива. Этот принцип непосредственно вытекает из главной цели школы — воспитание развитой, высоконравственной, творчески активной, социально зрелой, самостоятельной личности каждого ученика. Воспитывающий эффект учебного процесса зависит от того, чем является этот процесс для ученика, ради чего ученик учится, что побуждает его принимать активное участие в этом процессе» [11, с. 214 — 215].

Приведенные выше принципы помогут избавиться от формального преподавания математики и правильно организовать учебный процесс. И это очень важно, так как школа должна быть нацелена на будущее и служить прогрессу общества.

Профессор Гальперин П. Я. в своей работе «Методы обучения и умственное развитие ребенка» выделил ориентировочную и исполнительную части во всем целенаправленном действии: «При таком обучении в каждом целенаправленном действии ясно выступают две особенности его строения. Одна, присущая всякому целенаправленному действию, состоит в разделении ориентировочной и исполнительной части: сначала ребенок ориентируется в задании, а затем выполняет действие. В ходе обучения разделяющая их последовательность все более уменьшается, и обе части, ориентировочная и исполнительная, все более как бы сливаются. И это значит, что, в отличие от бессубъективного действия, всякое целенаправленное действие субъекта обладает бинарной структурой, и что в психологии нельзя рассматривать вместо действия только одну исполнительную часть (как это нередко делается до сих пор). Именно ориентировочная часть в первую очередь отвечает за ход обучения и качество его результатов. Другая особенность целенаправленного действия, свойственная уже только человеку состоит в его опосредованности своеобразным психическим орудием, которая в записи на ориентировочную и исполнительную части представлена как „отдельная вещь“. В развитии орудий заключаются главные возможности повышения эффективности действия».

П.Я. Гальперин предложил метод введения понятия числа: «Здесь остро выступили два вопроса: с чего «вообще» начинать изучение чисел (чтобы они не представлялись ребенку рядом произвольных названий) и как адекватно раскрыть ребенку само число, особенно первое из них — единицу (из которой строятся все остальные числа натурального ряда). Мы остановились на том, что начинать нужно с того, как числа входят в окружающую ребенка жизнь. В ней указание на число предметов означает результат их измерения — в повседневной жизни за числом стоит измерение. Для измерения нужна мера — мера является важнейшим средством внесения собственно математического начала в мышление ребенка. Но мера — сложный объект, и в представлении о ней выделяются, прежде всего, ее качественные и количественные стороны. Качество меры проявляется тем, что каждую величину можно измерять только своей мерой. «Отрабатывая» эту сторону понятия о мере, мы спрашиваем детей, чем можно измерить «эту вещь» и чем нельзя (например, можно ли измерить воду веревочкой? А чем можно?). В дальнейшем мера оказалась важнейшим средством разделения разных свойств, параметров вещи и ее оценки по каждому параметру в отдельности. Количественная характеристика меры тоже составляет довольно сложную проблему: что можно взять в качестве меры? Мера (одна мера) может состоять из нескольких вещей (частей!) и может составлять лишь часть какого-либо предмета. Меру нужно откладывать точно (а не «как-нибудь») и не забывать о том, что мера была отложена (для этого откладывают метки). Для меток нарочно берется самый разнообразный материал — чтобы его фактура не совпадала с его функцией (напоминать, что была отложена мера) и не подменять ее. Откладывание меток (по мере откладывания меры) вело к тому, что конкретная величина открывалась перед ребенком двояко: и как реальная вещь, и как множество (отложенных меток). Конкретное представительство математической величины само выступало как наглядно представленная вещь. Это означало переход величайшей важности — от конкретной величины к конкретному множеству, этой математической основе о числе. Получив конкретные множества, мы переходили к их количественному сравнению — еще без числа! Детям предлагались две кучки меток (два множества) и спрашивали, где меток больше. Если дети отвечали произвольно, «как покажется», то обращали их внимание на разные ответы, и опять спрашивали, как «доказать» точно, где меток больше, а где меньше. Если никто из детей не мог это сделать, то им показывали прием взаимнооднозначного соотнесения двух параллельных рядов меток. На этих рядах «отрабатывали» представления «равно» (столько же), «больше» и «меньше», «больше на…» и «меньше на…» («вот столько» — показ на избыток или недостаток элементов одного ряда по сравнению с другим). Лишь после этого вводилось представление о единице, которая определялась так: то, что отложено с помощью данной меры и равно своей, своей и только своей мере… Таким образом, в понятие числа с самого начала вводилось отношение (равенство своей мере), и это отношение с самого начала разъяснялось как «относительное»: только для «своей» меры. Дальнейшие числа строились по формуле 1, причем сложение всегда и немедленно сопровождалось вычитанием. Ноль разъяснялся не как «ничего», а как условная точка отсчета (отмеривания) «[3, с. 23 — 25].

Эти разнообразные и только в действии приобретенные знания сказываются в неожиданно легком усвоении дальнейших все более сложных разделов курса начальной математики и в легком переходе к решению задач.

Обычно внимание уделяют исполнительной части, а по Гальперину внимание надо уделить ориентировке. В этом помогут опорные карты и более основательная работа с базовыми понятиями. Есть так называемая «математика понятий» и «математика алгоритмов». Вторая сейчас развивается в ущерб первой и порождает массу проблем. Необходимо вернуться к работе над адекватным освоением учащимися базовых понятий, что откроет просмотр для самодеятельности учащихся и является необходимым условием активизации их деятельности.

В качестве еще одного образца для подражания можно взять учебник В. П. Хавина «Основы математического анализа», где автор показывает неформальное преподавание математике. В. П. Хавин пишет: «Сверхстрогие изложения, гордящиеся своей формальностью, а иногда и полным отсутствием рисунков и намеков на какие бы то ни было общенаучные связи, при всей их стройности и красоте мало могут дать для овладения живым анализом, как и их „понятные“ антагонисты. Также обстоит дело и с общностью. Постепенно повышаясь по мере знакомства с теорией, ее уровень не должен быть чрезмерно высоким с самого начала. Главная трудность в изложении анализа для начинающих — это поиск разумного компромисса между естественным стремлением к простоте, сохранению живого духа анализа, с одной стороны, и требованиями строгости и общности — с другой… Разделяя некоторые установки авторов „понятных“ книг, мы стремимся постоянно указывать на подлинные цели и основные идеи, не заслоняя здание анализа строительными лесами. В тоже время мы полагаем, что полностью снять эти леса нельзя. Приходится примириться с тем, что овладение анализом без затраты значительного времени и сил на изучение языка так же мало возможно, как внезапное и профессиональное исполнение сонаты Бетховена человеком, не знающим нотной грамоты и не игравшим гамм» [13,7−8].

Хавин говорит о том, что если начинать издалека изложение курса математического анализа (это применительно и к теории вероятности, и к математике в целом), то это утомительно и пропадает интерес к дальнейшему изучению. Нужно искать неформальные пути обучения.

Яркий педагогический пример «узкого коридора в сложное» дает проведенный Э. В. Ильенковым анализ «практической стадии первоначального очеловечивания» слепоглухонемого ребенка в системе И. Соколянского — А. Мещерякова. В силу сложившихся обстоятельств при обучении слепоглухонемого ребенка пользоваться ложкой для утоления голода педагог вынужден в буквальном смысле слова руководить его рукой, но должен это делать только до тех пор, пока не обнаружатся первые робкие и неуклюжие попытки ребенка самостоятельно совершать те же движения. «Как только такой намек появиться, — пишет Э. В. Ильенков, — сразу же ослабляй, педагог, руководящее усилие! И продолжай его ослаблять ровно в той мере, в какой усиливается активность руки малыша! … Если ты, не заметив ее, будешь продолжать руководить ребенком с прежней силой и настойчивостью — активность ручонки его ослабнет и угаснет, и тогда уже никакими понуканиями ее не разбудишь вновь» .

В разделе «Школа должна учить мыслить» книги Э. В. Ильенков пишет: «Надо организовать процесс усвоения знаний, процесс усвоения умственной культуры так, как организует его тысячи лет лучший учитель — жизнь. А именно: так, чтобы ребенок постоянно был вынужден тренировать не только (и даже не столько) память, сколько способность самостоятельно решать задачи, требующие мышления в собственном и точном смысле слова, — «силы суждения», умения решать, подходит данный случай под усвоенные ранее правила или нет, а если нет, то, как тут быть? «. «…отношение к противоречию и является очень точным критерием культуры ума. Даже, собственно говоря, показателем его наличия… И ум с самого начала надо воспитывать так, чтобы противоречие служило для него не поводом для истерики, а толчком к самостоятельной работе, к самостоятельному рассмотрению самой вещи» [8, с. 167 — 168].

Таким образом, можно подобрать методики введения понятий, которые позволят избежать традиционного для современной математики формального подхода к обучению, который и является главной причиной неудач учащихся в усвоении математики и, соответственно, причиной перегрузок и стрессов. Задача учителя помочь учащимся сориентироваться в основных понятиях, а потом упростить и систематизировать материал. Если так перестроить все обучение математике, то остается время и место для теории вероятностей.

2. Методика изложения теории вероятностей в школе

2.1 Методы обучения

Различают традиционные и современные методы обучения. Традиционные методы направлены на обучение готовым знаниям, и учебная деятельность учащихся носит репродуктивный характер, и не способствует эффективному развитию. Внешне традиционный метод проявляется в хорошо известной форме, когда учитель излагает учебный материал с привлечением различных средств наглядности, а ученики воспринимают учебную информацию, заучивают и воспроизводят ее по требованию учителя. Учебная деятельность ученика репродуктивна, а главный результат обучения — усвоение суммы фактов. Развивающий эффект весьма низок, т.к. нет активной деятельности учеников.

Современные методы, которые не противопоставляются традиционным, ориентированы на обучение деятельности по самостоятельному приобретению новых знаний, на обучение познавательной деятельности, включающей следующие компоненты:

1) общие логические приемы мышления (индукция, дедукция, анализ, синтез, аналогия, обобщение, абстрагирование, конкретизация, классификация);

2) специальные приемы мыслительной деятельности, составляющие основу математических методов познания (метод построения математических моделей процессов; способов абстрагирования, присущих математике; аксиоматический метод);

3) система знаний.

Методы обучения, выделяемые по источнику знаний:

1) Словесные методы обучения: рассказ, беседа, лекция, которые проводятся для всего класса;

2) наглядные методы обучения: а) метод иллюстраций; б) метод демонстраций;

3) практические методы обучения.

Методы обучения, определяемые уровнем познавательной деятельности учащихся:

1) репродуктивные: методы обучения, основу которого составляют словесный, наглядный и практический методы;

2) проблемно-поисковый метод обучения: проблемное изложение учебного материала, эвристическая беседа, исследовательский метод;

3) методы самостоятельной работы: а) работа с учебником и другой литературой; б) самостоятельные письменные работы; в) самостоятельное решение задач; г) самостоятельная работа с приборами; д) самостоятельное наблюдение; е) самостоятельное выполнение произвольных заданий.

Методы научного познания в обучении математике:

1) логические методы познания: индукция, дедукция, анализ, синтез, сравнение, аналогия, обобщение, конкретизация, моделирование, классификация, доказательство;

2) эмпирические методы познания: наблюдение, описание, измерение и эксперимент, которые не являются характерными для математики;

3) математические методы познания: а) метод математических моделей; б) аксиоматический метод.

Методы стимулирования и мотивации:

1) формирование познавательного интереса: занимательность, новизна, приближенность к открытиям науки, познавательные игры, проблемность, успех, анализ жизненных ситуаций (применимо к словесным, наглядным и практическим методам);

2) cстимулирование долга и ответственности: общественная значимость учения; личностная значимость учения; предъявление учебных требований; поощрение; порицание.

Методы контроля и самоконтроля.

История развития математики свидетельствует о том, что эмпирические методы сыграли неоценимую роль в зарождении математических знаний, становлении математики как науки, самостоятельной теоретической дисциплины. Школьное обучение математике в определенной мере повторяет ее исторический путь развития. Использование средств наглядности предполагает применение различных эмпирических методов, помогающих избежать пассивной созерцательности, активизировать действия учащихся, вовлечь их в целенаправленную работу.

2.2 Знакомство школьников с миром вероятностей

Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет в данном опыте. Например, если в ящике находятся только красные шары, то событие из ящика извлечен красный шар является достоверным (в ящике нет шаров другого цвета).

Невозможным называется событие, которое не может произойти в этом опыте. В нашем примере таковым является событие из ящика извлечен синий шар (таких шаров просто нет).

Случайным называется событие, если оно может произойти, а может и не произойти в данном опыте. Если бы в урне находились красные и синие шары, то событие из ящика извлечен красный шар — случайное (ведь мы можем и не извлечь красный шар в данном испытании). Случайными событиями являются «герб» и цифра на верхней стороне монеты при ее подбрасывании, выигрыш по билету лотереи и т. п.

Два события называются совместными в данном опыте, если появление одного из них не исключает появления другого в этом же опыте. Так, при подбрасывании двух монет события A — «герб на верхней стороне первой монеты» и B — «цифра на верхней стороне второй монеты являются совместными.

Равновозможными считают события, если нет оснований полагать, что одно событие является более возможным, чем другие. Например, при подбрасывании монеты событие K (появление цифры) и событие L (появление герба) являются равновозможными. Такими же будут появления любой из шести граней при подбрасывании игрального кубика.

Каждое событие, которое может наступить в итоге опыта, называется элементарным исходом (элементарным событием или шансом). Например, события A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, A_{6 -} элементарные исходы при подбрасывании кубика.

Элементарные исходы, при которых данное событие наступает, называются благоприятствующими этому событию, или благоприятными шансами. Например, при подбрасывании игрального кубика элементарные исходы A₂, A₄, A₆ являются благоприятствующими событию «выпало четное число очков».

Первый шаг на пути ознакомления школьников с миром вероятностей состоит в длительном экспериментировании. Эксперимент повторяют много раз при одних и тех же условиях, а детям предлагают указать результат. Потом условия эксперимента изменяют.

Приведем примеры игр и заданий, которые можно использовать при знакомстве школьников с основными понятиями теории вероятностей.

1. Эксперимент, помогающий подвести школьников к понятиям: невозможное событие, достоверное событие, а в отношении случайных событий — установить градации: более вероятное событие, менее вероятное событие.

Оборудование: мешок и 9 шаров — 3 красных, 3 белых и 3 зеленых.

Описание эксперимента. Учитель обращается к ребятам:

Вы, конечно, знаете, что Буратино очень любит кукольные спектакли, но у него часто не бывает денег, чтобы попасть в театр. Однажды продавец билетов согласился дать Буратино билет, если он верно ответит на вопрос: «В мешке имеется 3 красных, 3 белых и 3 зеленых шара. Сколько шаров нужно вынуть из мешка, чтобы наверняка иметь шары трех цветов? «Помогите Буратино дать правильный ответ.

Дети будут предлагать разные значения, но им необходимо обосновать свой выбор, проводя эксперименты. В результате они должны прийти к следующим выводам:

если вынуть 7, 8, 9 шаров, наверняка будут шары трех цветов;

если вынуть 3, 4, 5 или 6 шаров, то возможно, но не обязательно будут шары трех цветов;

если вынуть 1 или 2 шара, то невозможно получить шары трех цветов.

Целесообразно исследовать, в каком из случаев имеется наибольшая возможность получить шары трех цветов — если вытащить 3, или 4, или 5, или 6 шаров. Можно ввести и термины более вероятно, менее вероятно.

2. Опыты с пятью монетами. С помощью этих экспериментов можно научить ребенка навыку выводить закономерности при проведении опытов.

Оборудование: 5 одинаковых монет.

Описание эксперимента. Учитель рассказывает детям следующую историю:

Когда Буратино получил от Карабаса-Барабаса 5 золотых монет, он подбросил каждую монету, чтобы удостовериться, не сон ли это, и не исчезнут ли золотые. Буратино видел, что каждая монета ложилась одним из возможных способов: цифрой вверх или гербом вверх. Потом он подбросил все 5 монет сразу и подсчитал, что 2 монеты легли цифрой вверх, а 3 гербом. Буратино задумался: какие случаи еще могут получиться? Давайте поможем Буратино.

В этом и заключается задание: отметить, какие случаи возможны при бросании пяти монет. Занести данные в таблицу и заполнить ее, написав свое предположение о количестве появления каждого случая. Сравнить полученное число с результатами эксперимента, проведенного 20, 40, 60, 80 и 100 раз.

Таблица 2

Можно сказать, что каждый из данных случаев называют событием, и выяснить, какое событие более возможно, менее возможно, есть ли среди данных событий равновозможные. После проведения эксперимента 20 раз и занесения данных в таблицу, следует ожидать более точного совпадения предполагаемого и экспериментально полученного чисел появления каждого из случаев в серии из 40 экспериментов и т. д.

3. Эксперимент, который можно использовать при знакомстве с понятиями: равновозможные события, более вероятное событие, менее вероятное событие.

Оборудование: два белых и один черный шар.

Описание эксперимента. В ящик или мешок кладут два белых и один черный шар. Требуется вытащить последовательно один за другим 2 шара. Учитель спрашивает детей: «Каким может быть результат такого опыта? «

Обнаруживается, что может быть 3 случая:

С помощью эксперимента необходимо выяснить, какой из этих случаев более возможен, менее возможен или, может быть, среди них имеются равновозможные случаи. Затем полученные экспериментальные выводы необходимо обосновать, рассмотрев все возможные комбинации выбора двух шаров из имеющихся трех, которые можно условно обозначить Ч, Б₁, Б₂.

Задачи:

1. Подбрасываются два игральных кубика, подсчитываются суммы выпавших очков (суммы числа очков на верхних гранях обоих кубиков). Сумма выпавших очков на двух кубиках может меняться от 2 до 12. Записать полную группу событий в этом опыте.

2. Сколько элементарных исходов благоприятствует событию «на обоих кубиках выпало одинаковое число очков» при подбрасывании двух игральных кубиков.

3. Подбрасывается два игральных кубика. Какому событию благоприятствует больше элементарных исходов: «сумма выпавших очков равна 7», «сумма выпавших очков равна 8»?

4. Подбрасывается три игральных кубика, подсчитываются суммы очков, выпавших на них. Сколькими способами можно получить в сумме 5 очков; 6 очков?

5. Три сестры — Ольга, Маша и Таня — тянут жребий, кому из них мыть посуду. Для этого они кладут в шапку три бумажки, на которых нарисован крестик, и по очереди их вытаскивают: Ольга — первая, Маша — вторая, Таня — третья. Выпишите все возможные исходы этого опыта и найдите их количество.

4. Историческая справка: для разнообразия в обучении можно рассказать о теории вероятностей.

Вероятность — характеристика степени появления некоторого события при тех или иных определенных условиях.

Классическая теория вероятностей рассматривает вероятность как отношение числа благоприятствующих случаев ко всем возможным. При этом предполагается, что все рассмотренные случаи являются равновозможными, равновероятными. Так, если мы берем идеально изготовленную шестигранную игральную кость, то у нас нет оснований считать, что она на какую-то из граней будет выпадать чаще, чем на другую; более того, есть все основания для того, чтобы считать равновероятным выпадение ее на каждую из граней. Поэтому при бросании такой кости выпадение каждой из них можно ожидать с вероятностью, равной ¹/₆. В классической теории вероятностей мы имеем дело со случаями, когда вычисленная чисто теоретически вероятность того или иного события подтверждается в процессе опытной проверки. Такая ситуация, основывающаяся на симметричности исходов опыта, сравнительно редко встречается при исследовании реальных событий в науке и практике. Теория частотной, или статистической, вероятности, у истоков которой стояли Р. Мизес и Г. Рейхенбах, преодолевает указанную ограниченность классической теории.

Ключевым в частотной теории является понятие относительной частоты. Это отношение числа появлений изучаемого события в серии испытаний в данных условиях к числу всех испытаний, в которых это событие могло бы появиться при тех же условиях. Частотная теория позволяет по результатам относительной частоты изучаемых массовых случайных событий судить об их вероятности. Применение математики к изучению событий такого характера опирается на то, что во многих случаях при многократном повторении испытаний в примерно равных условиях частота появления результата остается примерно одинаковой. Результат же представляет собой отношение числа опытов, в которых он имел место, к общему числу производимых опытов. Так частота попадания в цель для данного стрелка в одних и тех же условиях при значительном числе испытаний остается почти одной и той же. Процент бракованных изделий в данном ряду испытаний в одном и том же производстве при одинаковых условиях примерно один и тот же.

В последнее время разрабатывается логическая (индуктивная) теория вероятности, в которой изучается отношение между посылками и заключением в правдоподобных умозаключениях. Логическая вероятность характеризует разумную степень веры в появление некоторого события в условиях некоторой неопределенности. Логическая вероятность используется в вероятностной и индуктивной логике.

«Математика случая» — так еще в XVII в. назвал теорию вероятностей один из ее основателей, французский ученый Блез Паскаль.

Случай? А зачем его изучать? — спросите вы.

Оказывается, еще в древности люди заметили, что случайное событие — вовсе не исключение в жизни, а правило. Это явилось объективной предпосылкой для возникновения науки о случайных явлениях. Знать законы случая необходимо. Вот пример.

Во всех крупных населенных пунктах имеются станции скорой медицинской помощи. Нет возможности заранее предсказать моменты, когда потребуется оказать помощь внезапно заболевшим людям. Как много в течение заданного времени будет вызовов к таким больным? Как долго придется врачу задержаться у больного? Сколько врачей и машин необходимо иметь во время дежурства, чтобы, с одной стороны, больные не слишком долго ожидали помощи, а с другой — не наблюдалось бы слишком непродуктивного использования врачебного персонала? Мы сталкиваемся с типичной ситуацией, в которой случайными являются моменты вызовов, длительность пребывания врача у больного, длительность проезда машины от пункта «Скорой помощи» до дома больного… (Гнеденко) Как видим, неотложная помощь зависит от многих случайных событий. Чтобы помощь была действительно неотложной, надо уметь учитывать все эти случайности.

Можно привести и более обыденные, более примитивные, если угодно, примеры. Под потолком висит лампочка — вы не знаете, когда она перегорит. Будет ли завтра снег, никому наверняка неизвестно, даже бюро погоды ошибается. Учитель не знает, сколько ошибок сделает школьник в диктанте.