Основы тригонометрии

ФЕДЕРАЛЬНАЯ СЛУЖБА ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА РОССИИ Красноярский авиационный технический колледж Хабаровский филиал Контрольная работа Предмет Математика Вариант № 7

Задание № 1

Даны координаты вершин треугольника:

Найти:

1)уравнение стороны АВ;

2)уравнение высоты СВ;

3)уравнение медианы СМ;

4)угол А;

5) площадь треугольника ABC.

А (2,5), В (4,-4), С (8,8)

Решение.

1) Уравнение прямой проходящей через точки, А (х, у) и В (х, у) имеет вид:

Подставляя координаты точек A (2,5) и В (4,-4) получим уравнение стороны АВ:

;

2)Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении, имеет вид:

Высота CB перпендикулярна стороне АВ. Чтобы найти угловой коэффициент высоты СD, воспользуемся условием перпендикулярности прямых. Т.к. и -4,5 (решили уравнение стороны АВ относительно у и нашли уравнение стороны АВ в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом, откуда -4,5), то КCB=.

Подставив в уравнение указанное выше координаты точки С (8,8) и найденный угловой коэффициент высоты, получим:

3)Чтобы найти уравнение медианы АМ, определим сначала координаты точки М, которая является серединой ВС, применяя формулы деления отрезка на две равные части:

Следовательно, М (1;2)

Подставив в уравнение прямой координаты точек, А и М, находим уравнение медианы:

4) Найти угол А.

Известно, что тангенс угла между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых соответственно равны К1 и К2, вычисляется по формуле:

Искомый угол, А образован прямыми АВ и АС, необходимо найти их угловые коэффициенты:

Получаем:

5)1.Найдем площадь треугольника ABC по формуле:

S=½

2.Длину стороны ВС находим по формуле:

=

= =

3.Уравнение прямой проходящей через точки В (х, у) и С (х, у) имеет вид:

Подставляя координаты точек В (4,-4) и С (8,8), получим уравнение стороны ВС:

4.Расстояние от точки F (x, y) до прямой Ах+Ву+С=0 (ВС) находится по формуле:

d=

Поэтому подставив координаты точки А (2,5) и соответствующие значения коэффициентов А=12; B=-4; C= 64; из общего уравнения прямой (ВС), получим длину высоты AD:

S=

Ответ: (ед2)

Задание№ 2

Дано уравнение кривой второго порядка

Определить вид кривой. Найти фокусы и эксцентриситет. Сделать чертеж.

Решение:

Кривая является эллипсом, т.к.:

— каноническое уравнение эллипса.

— большая ось

— малая ось

— фокусное расстояние

— фокусы.

Форма эллипса (мера его сжатия) характеризуется его эксцентриситетом:

Чертеж:

Задание№ 3

Дано уравнение директрисы параболы: у=-10

Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат. Сделать чертеж.

Решение.

Искомое уравнение параболы имеет вид:

По условию уравнение директрисы

Отсюда следует, что ветви параболы направлены в положительную сторону оси ОХ.

Тогда имеем: — уравнение параболы.

— фокус.

Задание№ 4

Найти производные, пользуясь формулами дифференцирования:

а) б) Решение:

а) б)

Задание № 5

Выполнить действия над комплексными числами:

Решение:

1)Упростим выражение:

Известно, что:

Тогда:

Ответ:

Задание № 6

Исследовать данную функцию методами дифференциального исчисления и построить их график.

1)Находим область определения области.

2)Находим асимптоты:

а) Вертикальных асимптот нет.

б) в) y=0 горизонтальная асимптота.

3), отсюда следует, функция является нечетной.

4)-точка пересечения графика функции с осями координат.

5)

Как мы видим, у возрастает на всех промежутках

6)

+ ;

у выпуклая при

у вогнутая при

Точек перегиба нет.

Чертеж:

Задание №7

Вычислить определенный интеграл:

Решение:

кривая уравнение дифференцирование

Пусть

Найдем новые пределы интегрирования:

При

При

Задание № 8

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

Решение:

1)Необходимо узнать чему равен х и у:

2)Формула Ньютона-Лейбница:

;

На основании этой формулы получим:

Ответ: