Гомотопические свойства гильбертовых модулей над C* — алгебрами

Теория Салгебр и их представлений в последнее время стала интенсивно применяться в различных вопросах топологии. Наиболее плодотворные применения теории С* -алгебр оказались в Ктеории. Пожалуй, первые применения техники С* -алгебр для решения некоторых вопросов теории векторных расслоений следует искать в работах по теории фредгольмовых операторов. Как известно, фредгольмовы операторы имеют единственный гомотопический инвариант — индекс фредгольмового оператора, который вычисляется как разность размерностей ядра и коядра оператора" Важным методическим наблюдением является тот факт, что для непрерывного семейства фредгольмовых операторов, хотя индекс и является локально постоянной функцией, более тонким гомотопическим инвариантом является пара векторных расслоений, слои которых образованы ядрами и коядрами семейства фредгольмовых операторов. Это наблюдение сделанное М. Атья [II в 1965 году, и независимо К. Ени-хом [2] в 1964 г., позволило интерпретировать Кгруппы в терминах фредгольмовых операторов и в терминах эллиптических псевдодифференциальных операторов. В связи с этой проблематикой важное место занимает теорема Юойпера [3] 1965 г., о том, что группа всех обратимых ограниченных операторов бесконечномерного гильбертового пространства стягиваема. Это в частности означает, что любое векторное локально тривиальное расслоение, слой которого изоморфен бесконечномерному гильбертовому пространству, является тривиальным расслоением. В дальнейшем оказалось, что естественные варианты Ктеории в произвольных банаховых категориях, которые исследовал М. Каруби О]" [5] 1971 г., в случаях С*-алгебр получили интересные приложения. Эти приложения связаны с тем обстоятельством, что некоторые Г^-алгебры естественно возникают в топологических задачах. Одной из таких задач является задача описания гомотопических инвариантов неодносвяз-ных многообразий. Ряд таких инвариантов удобно описывать в терминах Ктеории для групповой С*-алгебры фундаментальной группы неодносвязного многообразия. А. С. Мищенко (1970;1978 гг.) [6], [7], [8] разработал теорию сигнатурных инвариантов неодносвяз-ных многообразий и теорию индекса эллиптических операторов над £*-алгебрами для исследования гомотопических инвариантов неод-носвязных многообразий. В частности была разработана теория фредгольмовых операторов над С*-алгебрами и построен индекс фредгольмовых операторов над С *-алгебрами как элемент Кгруппы С*-алгебры. Г. Г. Каспаров разработал применения техники С* -алгебр к гомотопическим инвариантам, описывающим расширения Салгебр [9]. Оставался открытым вопрос: какова гомотопическая структура группы всех обратимых операторов бесконечномерного гильбертова модуля над С*-алгеброй. От решения этого вопроса зависило, в частности, решение задачи описания гомотопических инвариантов фредгольмовых операторов над £**алгеброй.

Настоящая диссертация посвящена исследованию гомотопической структуры группы обратимых операторов бесконечномерного гильбертового модуля над Салгеброй, А. Гипотеза, которую проверял автор, заключалась в том, что все гомотопические группы ((¡-¿-(А))) тривиальны. В случае, когда алгебра, А равна полю комплексных чисел Ф, эта гипотеза справедлива и составляет теорему Кюйпера. Обобщение же теоремы Кюйпера на случай произвольной Салгебры, А может быть произведено двумя способами. Первый способ заключается в исследовании гомотопической структуры группы всех обратимых ограниченных операторов (гомоморфизмов модуля) модуля Ш. Второй способ заключается в изучении некоторой подгруппы ??//(, состоящей из тех ограниченных операторов, которые допускают сопряженный ограниченный оператор.

Рассмотренные группы Соправдываются следующими соображениями.

1. Любой псевдодифференциальный оператор над С*-алгеброй допускает сопряженный.

2. Алгебра ы- (4 ш) всех операторов, допускающих сопряженные, снова является £*-алгеброй.

Постановка задачи. Пусть Лпроизвольная Салгебра,.

— группа обратимых операторов, допускающих сопряженные, гильбертового модуля (А). Требуется вычислить гомотопические группы.

Формулировка основной теоремы диссертации.

Теорема. Для любой С*-алгебры Д все гомотопические группы линейной группы обратимых, ограниченных, допускающих сопряженные гомоморфизмов гильбертового модуля Ег (А) тривиальны, т. е.^^Ь^М))) 0 «Для всех К = (см. в [10], стр.80).

Следствия:

1. Каждое расслоение со слоем гильбертового модуля ¿-¿-(А), структурной группой и базисным пространством X является тривиальным. Здесь X — пространство имеющее гомотопический типа С — комплекса, (см. в [II], стр. 12).

2. Пусть, 3д* -множество всех фредгольмовых операторов допускающих сопряженные, тогда гомоморфизм псиос: 0Го (3~А) —> ^ является изоморфизмом ([п|, теорема 4).

4. Существует изоморфизм где X — пространства имеющий гомотопический тип с ух/ «комплекса ([II], теорема 5).

Содеравсние диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех параграфов. В первом параграфе даются основные определения изучаемых объектов, рассматривается вопрос о том для каких модулей над £*~алгеброй, А существует структура скалярного произведения со значениями в алгебре, А ¦ Кроме этого изучается вопрос о проективности гильбертовых Амодулей, который необходимо для изучения свойств фредгольмовых Аоператоров. А также доказывается ряд свойств гильбертового модуля & (А), Новыми являются следующие теоремы.

1. М.АТЬЯ. «Лекции по К.-теории». И. «Мир», 1967, стр.121−130.

2. К.ЕНИХ. bfAto^cxx^rrt eunciel скл.$í-jtdJto¿-m О/эел&Злг&г /? Вошт., J3?? f.

3. Н.КЮЙПЕР. «Гомотопический тип унитарной группы гильбертовапространства» (В книге М. АТЬЯ «Лекции по/f-теории» стр.241−260).

4. М.КАРУБИ. CLtcjd^a^ cU Ui^ObcL etК, — t/zeo^¿-c.Сйъп.. £оой Mrc/ъ. iupesc / J9G2.

5. М.КАРУБИ. P-OcCocUuA cie ?

6. А.С.МИЩЕНКО. «Гомотопические инварианты неодносвязных многообразий. I Рациональные инварианты». Изв.АН.Сер. матем. 34. (1970), 501−514.

7. А.С.МИЩЕНКО. «Гомотопические инварианты неодносвязных многообразий, П Простой гомотопический тип», Изв.АН. Сер. матем. 35:6 (X97I), 664−675.

8. А.С.МИЩЕНКО. «Гомотопические инварианты неодносвязаных многообразий, Ш Высшие сигнатуры, Изв. АН. Сер.матем. 35:6 (1971). 1332−1371.

9. Г. Г.ГАСПАРОВ. «Оперативный К-функтор и расширения Салгебр». Изв.АН. Сер.матем. 44:3 (1980).

10. В.А.КАСИМОВ. «Гомотопические свойства линейной группыгильбертового модуля Тезисы Ленинградской Международной топологической конференции. (1982), стр. 80.

11. В.А.КАСИМОВ. «Свойства гильбертовых модулей и фредгольмовыхлоператоров над салгебрами». ДАН Азерб.ССР. т. 38, № 8, 1982, стр.10−14.

12. В.А.КАСИМОВ. «Гильбертовы структуры в модулях над С*-алгебрами». ДАН Азерб. ССР, т.37, № 12, 1981, стр.3−5.

13. В.А.КАСИМОВ. «Гомотопические свойства общей линейной группыгильбертового модуля4 (А)». Мат. сборник Ю1.) 1982, стр.376−386.п *.

14. Ж. Д4КСМИЕ. «(^-алгебры и их представления», Москва, изд-воНаука", 1974.

15. В.Л.ПАШКЕ. «Лпплъ ръоск^ УпссСсь/ей Оыл З^афг^геъ, Щсьпл. ССмг. .ЛосЦ/&г.Ш73), Ш-Ш.

16. А.С.МИЩЕНКО, А.Т.ФОМЕНКО. «Индекс эллиптических операторовнад Салгебрами». Изв. АН, Сер.матем. 43−4 (1979), 831−859.17. &? КгарагФ: С *- тооШл*: ШгесхлтьШ-ПЛйргиъс сспс1? ЮЕссЛл-хСсг '(С&?/г*ьО%о?'оъ&(Х. О.

17. Н. ДАНФОРД, Дж.Т.ШВАРЦ. «Линейные операторы, общая теория», М., ИЛ., 1962.

18. В.А.КАСИМОВ. «Теорема Кюйпера для гильбертового модуляг (А} ДАН Азерб. ССР, т.38,."б, (1982).

19. Дж.МИЛЬНОР. «Введение в лагебраическую Итеорию», изд-воМир", Москва, 1974.

20. А.С.МИЩЕНКО. «Банаховы алгебры, псевдодифференциальныеоператоры и их приложения к /Гтеории». УМН, т.34:6 210 (1979), стр.67−79.

21. А.С.МИЩЕНКО, Ю.П.СОЛОВЬЕВ. «Представления банаховых алгебри формула типа Хирцебруха». Мат.сборник. ШС153). № 2, 1980, стр.209−226. 23. ХУ СЫ-ЦЗЯН. «Теория гомотопий», И., «Мир», 1964.